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Topog4qgis tech documentation

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topog4qgis technical specifications

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Topog4qgis tech documentation

  1. 1. TOPOG4QGIS: DOCUMENTAZIONE TECNICA GIULIANO CURTI 1. 2. 2.1. Overview Trattamento dei dati GPS Trasformazione dal riferimento geocentrico a quello topocentrico. 3. Collimazione delle stazioni (collimazione a 2 punti) L'operazione nale della procedura, consistente nella collimazione del rilievo con i punti duciali uciali, forniti dall'Agenzia del Territorio, consiste in una trasformazione ane mediante una matrice di roto-scala-traslazione; questa trasformazione, ancorchè necessaria per il controllo nale del rilievo, modica pesantemente sia gli angoli che le distanze rilevate; la conservazione in particolare delle distanze rilevate costituisce un importante strumento di indagine sulla qualità del rilievo pertanto l'applicativo interpone, prima della collimazione nale, una operazione di traslazione del baricentro dei PF rilevati nel baricentro dei PF uciali ed un allineamento con il primo duciale1; questi vertici sono conservati con il nome di misurati, successivamente suddivisi in misurati veri e propri e ribattuti contandosi fra i primi le prime occorrenze dei vertici nel rilievo e fra i secondi tutte le occorrenze successive, appunto le ribattiture. 4. Collimazione ai Punti Fiduciali (collimazione a 3 o più punti) La collimazione nale, come già accennato in precedenza, avviene mediante trasformazione del rilievo nello spazio dei duciali; l'operazione, valida solo in presenza di 3 o più PF rilevati, avviene con il metodo L(east) S(quare) M(ethod) di cui diamo nel seguito traccia, rinviando ad una seppur stringata descrizione in appendice.     x x z z Dette X =  y  e X =  y  le coordinate rispettivamente di un punto duciale rilevato e uciale, il problema diventa quello di trovare la matrice M tale che M X = X ; estendendo a 3 punti  sviluppando abbiamo M X1 X2 X3 = e   a  e i b f l c g m  x d  1 y h  1  z1 n 1 x2 y2 z2 1 x3 y3  = z3  1 sando alla trasposta abbiamo M X1  X1 X2 X2 X3 Date : 2013-11-04. X3 T = x1 =  y1 z1 X1 X2 x2 y2 z2  x3 y 3 ; pasz3 X3 T MT = 1Si poteva ovviamente optare per la traslazione nel primo PF ed allineamento sul secondo, ma si è preferito usare una trasformazione più neutra rispetto ai PF. 1
  2. 2. TOPOG4QGIS: DOCUMENTAZIONE TECNICA 2    T     a e i T X1 X1 x1 y1 z1 1   T  X2  M T =  x2 y2 z2 1   b f l  = X 1 X 2 X 3 T =  X T  =  2   c g m  T T x3 y3 z3 1 X3 X3 d h n   x1 y 1 z 1  x2 y 2 z 2 ; introducendo le equazioni normali abbiamo X1 X2 X3 X1 X2 X3 x3 y 3 z 3      a e i x1 x2 x3   y1 y2 y3  x1 y1 z1 1  b f l  T     = X1 X2 X3  z1 z2 z3  x2 y2 z2 1  c g m  = X1 X2 X3 x3 y3 z3 1 1 1  d h n  1  x1 x2 x3   y1 y2 y3  x1 y 1 z 1     z1 z2 z3  x2 y 2 z 2 riassumibile in CA = B dopo aver sostituito C = x3 y 3 z 3 1 1 1       x1 x2 x3  x1 x2 x3   y1 y2 y3  x1 y 1 z 1  y1 y2 y3  x1 y1 z1 1        z1 z2 z3  x2 y2 z2 1 e B =  z1 z2 z3  x2 y 2 z 2 , perx3 y3 z3 1 x3 y 3 z 3 1 1 1 1 1 1 tanto perveniamo alla soluzione A = C −1 B . Nel caso di operazioni nello spazio bidimensionale XY le       matrici si riducono a  x1 x2 x3 x1 y1 1 x1 x2 x3 x1 y 1 a b c C =  y1 y2 y3   x2 y2 1 , B =  y1 y2 y3   x2 y 2  e A = . e f g 1 1 1 x3 y3 1 1 1 1 x3 y 3  5. T MT = Appendice 5.1. L(east) S(quare) M(ethod). Il metodo dei minimi quadrati è dovuto al genio di Carl Friedrich Gauss che lo usò per determinare l'esatta posizione di un pianeta o asteroide appena scoperto (1800) da Giuseppe Piazzi dell'Osservatorio di Palermo2 e poco dopo scomparso (v. Carl B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori 1990, pag. 585 e Eric T. Bell, I grandi matematici, Rcs Libri 2010, pag. 304). Il metodo esprime la ricerca di un valore incognito mediante l'approssimazione con equazioni lineari imponendo che il valore approssimante presenti il minor errore quadratico rispetto al valore cercato. Esprimendo con più chiarezza in formule, abbiamo l'equazione lineare αx1 + βx2 + . . . + ωxn = x nella quale risultano incogniti i parametri α, β, . . . , ω , mentre i valori x1 , x2 , . . . , xn , x possono essere ricavati da prove e saggi; la  situazione dopo un certo numero m di prove risulterà       αx1 + βx2 + . . . + ωxn x1  αy1 + βy2 + . . . + ωyn   y1   =     ... ... αw1 + βw2 + . . . + ωwn w1 x x2 . . . x n α  y  y2 . . . yn   β     =   . . . . La ... ... ...  ...  w2 . . . wn ω w condizione dei minimi quadrati impone di minimizzare l'espressione (αx1 + βx2 + . . . + ωxn − x)2 . Una soluzione al problema riportata in vari testi di matematica è quella basata sulla ricerca dei punti di minimo e massimo locale (nel caso specico minimo) che si ha nel punto di derivata prima nulla delle varie equazioni quadratiche. 2É triste pensare che nel 1800 Palermo partecipava alla vita scientica mondiale ed ora.....
  3. 3. TOPOG4QGIS: DOCUMENTAZIONE TECNICA 3 Una soluzione più sintetica ed elegante è quella oerta da I.M. Gel'fand in LecDover Publications 1989, pag. 28, quale esempio del problema Perpendicular from a point to a subspace (Ÿ2 pag. 26) in uno spazio   tures on Linear Algebra, x  y   Euclideo, nel quale si presenta il vettore X =   . . .  come obiettivo, il sottospazio       w  xn  x2 x1          y1    , X2 =  y2  , . . . , Xn =  yn  quello generato dai vettori X1 =   . . .   ...  ...       w w2 w1  n x1  y1   supposti linermente indipendenti e il vettore approssimante A = α   ...  + w1       α xn x2      y2    + . . . + ω  yn  = X1 X2 . . . Xn  β  nel sottospazio conβ  ...   ...   ... ω wn w2 siderato; la condizione di perpendicolarità, equivalente alla condizione di minimo quadrato precedente, diventa quindi X − A ⊥ X1 X2 . . . Xn → X1 X2 . . . Xn  0→ X1 X2 ... T Xn (A) =   X1  X2     ...  Xn X1  α  β     ...  = ω X2 ... Xn T X1 X2 ... Xn  X1 X2 ... Xn la forma presentata sopra3. X1 X2 ... Xn X che diventa 3É probabile che la forma con cui ho espresso l'argomento non sia irreprensibile e scevra di errori; insieme alla preghiera di attingere alla fonte uciale indicata, formulo l'augurio che imprecisioni ed errori mi siano segnalati per una loro pronta correzione. α  β     ...  = ω T X −A

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