examen maths

1. ‫تربوي‬ ‫ومرشد‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ‫أستاذ‬ ً‫الناج‬ ‫أحمد‬ Page 1
‫المادة‬:‫الرياضيات‬
‫الشعبة‬:‫التجريبية‬ ‫العلوم‬ ‫شعبة‬
‫والتكنو‬‫لوجٌات‬
‫مدة‬‫االنجاز‬:3‫ساعات‬
‫المعامل‬:7
‫عامة‬ ‫معلومات‬
‫ي‬‫للبرمجة‬ ‫قابلة‬ ‫غير‬ ‫الحاسبة‬ ‫اآللة‬ ‫باستعمال‬ ‫سمح‬
‫االمتحان‬ ‫موضوع‬ ‫إنجاز‬ ‫مدة‬:3‫ساعات‬
-‫الصفحات‬ ‫عدد‬:‫ص‬‫ف‬( ‫حات‬‫والص‬ ‫معلومات‬ ‫تتضمن‬ ‫األولى‬‫ف‬‫المتبقٌتان‬ ‫حتان‬
‫تتضم‬‫ن‬‫االمتحان‬ ‫تمارٌن‬ ‫ان‬.)
‫ي‬ ‫الذي‬ ‫الترتيب‬ ‫في‬ ‫االمتحان‬ ‫تمارين‬ ‫إنجاز‬ ‫شح‬ ‫للمتر‬ ‫يمكن‬.‫ناسبه‬
.‫األجوبة‬ ‫تحرير‬ ‫عند‬ ‫األحمر‬ ‫اللون‬ ‫تفادي‬ ‫ينبغي‬
‫مرتبط‬ ‫رمز‬ ‫فكل‬ ،‫تمرين‬ ‫من‬ ‫أكثر‬ ‫في‬ ‫الرموز‬ ‫بعض‬ ‫تكرار‬ ‫من‬ ‫بالرغم‬
‫فيه‬ ‫المستعمل‬ ‫بالتمرين‬‫عالقة‬ ‫وال‬‫الالحقة‬ ‫أو‬ ‫السابقة‬ ‫بالتمارين‬ ‫له‬.
‫خاصة‬ ‫معلومات‬
-‫المجاالت‬ ‫حسب‬ ‫وتتوزع‬ ‫بينها‬ ‫فيما‬ ‫مستقلة‬ ‫تمارين‬ ‫خمسة‬ ‫من‬ ‫الموضوع‬ ‫يتكون‬
.‫كمايلي‬
‫التمرين‬
‫تمرين‬1‫العقدية‬ ‫األعداد‬3‫نقط‬
‫تمرين‬2‫الفضائية‬ ‫الهندسة‬3‫نقط‬
‫تمرين‬3‫االحتماالت‬ ‫حساب‬3‫نقط‬
‫تمرين‬4‫العددية‬ ‫المتتاليات‬3‫نقط‬
‫تمرين‬5‫وحساب‬ ‫الدوال‬ ‫دراسة‬
‫التكامل‬
8‫نقط‬

2. ‫تربوي‬ ‫ومرشد‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ‫أستاذ‬ ً‫الناج‬ ‫أحمد‬ Page 2
‫موض‬‫و‬‫األستاذ‬ ‫طرف‬ ‫من‬ ‫المقترح‬ ‫الوطني‬ ‫االمتحان‬ ‫ع‬
‫ا‬ ‫مادة‬ ‫في‬ ‫الناجي‬ ‫أحمد‬ ‫المرشد‬‫الدورة‬ ‫لرياضيات‬
‫العادية‬2012‫وشعبة‬ ‫بمسالكها‬ ‫التجريبية‬ ‫العلوم‬ ‫شعبة‬
‫ب‬ ‫والتكنولوجيات‬ ‫العلوم‬‫م‬.‫سلكيها‬
‫تمري‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ن‬1:3‫ن‬
1-‫العقدٌة‬ ‫األعداد‬ ‫مجوعة‬ ً‫ف‬ ‫حل‬C‫المعادلة‬:z z  2
10 50 0
2-‫مباشر‬ ‫ممنظم‬ ‫متعامد‬ ‫معلم‬ ‫إلى‬ ‫المنسوب‬ ‫المستوى‬ ً‫ف‬ O;e ;e1 2‫نعتبر‬ .
‫النقطتٌن‬A‫و‬B‫هما‬ ً‫التوال‬ ‫على‬ ‫لحقٌهما‬Az i 5 5‫و‬Bz i 5 5
‫أن‬ ‫بٌن‬ )‫أ‬B
A
z
i
z

‫أن‬ ‫استنتج‬ )‫ب‬
i
B Az z e

 2
‫النقطة‬ ‫وأن‬B‫النقطة‬ ‫صورة‬ ً‫ه‬A‫الذي‬ ‫بالدوران‬
‫النقطة‬ ‫مركزه‬O.‫زاوٌته‬ ‫تحدٌد‬ ً‫ٌنبغ‬
‫المثلث‬ ‫طبٌعة‬ ‫حدد‬ )‫ج‬AOB. ‫جوابك‬ ‫معلال‬
‫تمري‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ن‬2:3‫ن‬
‫ممنظم‬ ‫متعامد‬ ‫معلم‬ ‫إلى‬ ‫المنسوب‬ ‫الفضاء‬ ً‫ف‬ ‫نعتبر‬ O;i; j;k‫النقطتٌن‬ .‫مباشر‬
E ; ;
 
 
 
1
1 0
3
‫و‬F ; ;
 
 
 
3 1
0
5 5
‫والفلكة‬ S‫معادلتها‬ ً‫الت‬: x y z    
22 2
1 1 0
1-‫حدد‬‫متلوث‬‫إحداثٌات‬‫الفلكة‬ ‫مركز‬ S‫شعاعها‬ ‫وقٌمة‬r.
2-‫أن‬ ‫بٌن‬x z  3 4 1 0‫للمستوى‬ ‫دٌكارتٌة‬ ‫معادلة‬ P‫النقطة‬ ‫من‬ ‫المار‬E
‫و‬ n ; ;3 0 4.‫علٌه‬ ‫المنظمٌة‬ ‫المتجهة‬
3-‫أن‬ ‫من‬ ‫تأكد‬  d ; P 1

3. ‫تربوي‬ ‫ومرشد‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ‫أستاذ‬ ً‫الناج‬ ‫أحمد‬ Page 3
4-‫الفلكة‬ ‫أن‬ ‫استنتج‬ S‫للمستوى‬ ‫مماسة‬ Pً‫ف‬‫النقطة‬F.
‫تمري‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ن‬3:3‫ن‬
‫الثانوي‬ ‫للتعلٌم‬ ‫خصوصٌة‬ ‫تعلٌمٌة‬ ‫بمؤسسة‬ً‫ألتأهٌل‬‫باكلورٌا‬ ‫ثانٌة‬ ‫مستوى‬ ‫قسم‬ ‫ٌوجد‬
‫ٌضم‬ ‫تجرٌبٌة‬ ‫علوم‬24‫تلمٌذا(ذكور‬‫وإناث‬‫مجموعتٌن‬ ‫إلى‬ ‫موزعٌن‬ )A‫و‬B‫حسب‬
ً‫التال‬ ‫الجدول‬:
-‫المجموعة‬A:‫ا‬.‫واألرض‬ ‫الحٌاة‬ ‫علوم‬ ‫شعبة‬ ‫اختاروا‬ ‫الذٌن‬ ‫لتالمٌذ‬
-‫المجوعة‬B:.‫الفٌزٌائٌة‬ ‫العلوم‬ ‫شعبة‬ ‫اختاروا‬ ‫الذٌن‬ ‫التالمٌذ‬
‫التالمٌذ‬‫الذكور‬‫اإلناث‬
‫المجموعة‬A127
‫المجموعة‬B23
1-‫ٌقع‬ ً‫لك‬ ‫الحظ‬ ‫نفس‬ ‫لهم‬ ‫التالمٌذ‬ ‫جمٌع‬ ‫أن‬ ‫ونفترض‬ .‫القسم‬ ‫هذا‬ ‫من‬ ‫تلمٌذا‬ ‫نختار‬
.‫االختٌار‬ ‫علٌهم‬
‫ذكرا؟‬ ‫التلمٌذ‬ ‫هذا‬ ‫ٌكون‬ ً‫ك‬ ‫االحتمال‬ ‫هو‬ ‫ما‬ )‫أ‬
‫المخت‬ ‫التلمٌذ‬ ‫ٌكون‬ ‫أن‬ ‫احتمال‬ ‫ماهو‬ )‫ب‬‫المجموعة‬ ‫من‬ ‫ار‬B‫؟‬
2-‫تضم‬ ‫لجنة‬ ‫نختار‬3‫ولٌكن‬ . ‫القسم‬ ‫هذا‬ ‫من‬ ‫تالمٌذ‬X‫الذي‬ ً‫العشوائ‬ ‫المتغٌر‬
.‫اللجنة‬ ‫هذه‬ ً‫ف‬ ‫اإلناث‬ ‫عدد‬ ‫ٌساوي‬
ً‫العشوائ‬ ‫المتغٌر‬ ‫احتمال‬ ‫قانون‬ ‫أعط‬ )‫أ‬X.
‫احتمال‬ ‫أحسب‬ )‫ب‬.‫اللجنة‬ ً‫ف‬ ‫معا‬ ‫الجنسٌن‬ ‫ٌكون‬ ً‫لك‬
‫تمري‬‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ن‬4:3‫ن‬
‫العددٌة‬ ‫الدالة‬ ‫نعتبر‬f‫المجال‬ ‫على‬ ‫المعرفة‬ I ; 3 6‫ب‬: 
x
f x
x


4 3
1‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫بٌن‬ )f‫المجال‬ ‫على‬ ‫تزاٌدٌة‬I
2‫أن‬ ‫بٌن‬ ) f I I

4. ‫تربوي‬ ‫ومرشد‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ‫أستاذ‬ ً‫الناج‬ ‫أحمد‬ Page 4
3‫لتكن‬ ) nu‫حٌث‬ ‫العددٌة‬ ‫المتتالٌة‬
 n n
u
n IN :
u f u

  

0
1
6
‫أ‬-‫أن‬ ‫بالترجع‬ ‫بٌن‬nn IN:u  3
‫ب‬-ٌ‫المتتال‬ ‫أن‬ ‫بٌن‬‫ة‬ nu‫تناقصٌة‬
‫ج‬-‫أن‬ ‫استنتج‬‫المتتالٌة‬ nu‫أحسب‬ ‫ثم‬ ‫متقاربة‬n
x
lim u
 
‫تمري‬‫ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬‫ن‬5:8‫ن‬
‫األول‬ ‫الجزء‬
‫العددٌة‬ ‫الدالة‬ ‫نعتبر‬g‫المجال‬ ‫على‬ ‫المعرفة‬ ;0‫ب‬:   g x ln x ln x 
2
‫ولٌكن‬ gC. ‫ممنظم‬ ‫متعامد‬ ‫معلم‬ ً‫ف‬ ‫منحناها‬
1‫أن‬ ‫من‬ ‫تحقق‬ )   x :g x lnx lnx  0 1
2‫أحسب‬ ) x
lim g x
 
‫ثم‬ 
xx
lim g x
 00
‫علٌها‬ ‫المحصل‬ ‫النتٌجة‬ ‫وأول‬
3)‫أ‬-‫أن‬ ‫بٌن‬ 
x
ln x
lim
x 

2
0‫وضع‬ ‫ٌمكنك‬t x
‫ب‬-‫أن‬ ‫استنتج‬ 
x
f x
lim
x 
 0‫النتٌجة‬ ‫لهذه‬ ‫هندسٌا‬ ‫تأوٌال‬ ‫أعط‬ ‫ثم‬
4‫المعادلة‬ ‫حل‬ )   x ; : lnx lnx   
2
0‫نق‬ ‫أفاصٌل‬ ‫واستنتج‬‫المنحنى‬ ‫تقاطع‬ ‫ط‬
 gC.‫األفاصٌل‬ ‫محور‬ ‫مع‬
‫الثاني‬ ‫الجزء‬
1)‫أ‬-‫أن‬ ‫بٌن‬   x :g' x ln x
x
  
1
0 2 1

5. ‫تربوي‬ ‫ومرشد‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ‫أستاذ‬ ً‫الناج‬ ‫أحمد‬ Page 5
‫ب‬-‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫بٌن‬g‫المجال‬ ‫على‬ ‫تناقصٌة‬;e
 
 
 
1
2
0‫على‬ ‫وتزاٌدٌة‬
‫المجال‬e ;
 
 
 
1
2
‫ج‬-‫أن‬ ‫من‬ ‫تأكد‬g e
  
 
 
1
2
1
4
.
‫د‬-‫الدالة‬ ‫تغٌرات‬ ‫جدول‬ ‫أعط‬g‫المجال‬ ‫على‬ ;0.
2‫أ‬ )-‫العددٌة‬ ‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫بٌن‬g‫المجال‬ ‫على‬ ‫مرتٌن‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ;0‫وأن‬
   
ln x
x ; :g'' x
x

    2
3 2
0
‫ب‬-‫النقطة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬I e ;
 
 
 
3
2
3
4
‫المنحنى‬ ‫انعطاف‬ ‫نقطة‬ ً‫ه‬ gC
3‫المعادلة‬ ‫أن‬ ‫بٌن‬ ) g x  0‫وحٌدا‬ ‫حال‬ ‫تقبل‬‫المجال‬ ً‫ف‬e ;e
 
 
 
1 3
2 2
4)‫الدالة‬ ‫لتكن‬h‫الدالة‬ ‫قصور‬g‫المجال‬ ‫على‬e ;e
 
 
 
1 3
2 2
‫أ‬-‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫بٌن‬h‫عكسٌة‬ ‫دالة‬ ‫تقبل‬h1
‫المجال‬ ‫على‬e ;e
 
 
 
1 3
2 2
‫مجموعة‬ ‫محددا‬
.‫تعرٌفها‬
‫ب‬-‫الدالة‬ ‫تغٌرات‬ ‫جدول‬ ‫أعط‬h1
‫ج‬-‫أحسب‬   
'
h1
0
‫الثالث‬ ‫الجزء‬
ً‫التال‬ ً‫المبٌان‬ ‫التمثٌل‬‫للمنحنى‬ ‫هو‬ gC‫للدالة‬ ‫الممثل‬g.

6. ‫تربوي‬ ‫ومرشد‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ‫أستاذ‬ ً‫الناج‬ ‫أحمد‬ Page 6
1)‫مبٌانٌا‬ ‫حل‬‫المتراجحة‬x :(lnx) lnx 2
0
2‫أن‬ ‫باألجزاء‬ ‫مكاملة‬ ‫باستعمال‬ ‫بٌن‬ )
e
ln xdx 1
1
3)‫أ‬-‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬G‫على‬ ‫المعرفة‬ ;0‫ب‬:
    G x x ln x ln x  
2
2 2‫للدال‬ ‫أصلٌة‬ ‫دالة‬‫ة‬x (lnx)2
‫على‬ ;0
‫ب‬-‫أن‬ ‫استنتج‬ 
e
ln x dx e 
2
1
2
‫ج‬-‫المنحنى‬ ‫بٌن‬ ‫المحصور‬ ‫المستوى‬ ‫حٌز‬ ‫مساحة‬ ‫استنتج‬ gC‫األفاصٌل‬ ‫ومحور‬
‫معادلتاهما‬ ‫اللذٌن‬ ‫والمستقٌمٌن‬x 1‫و‬x e

7. ‫تربوي‬ ‫ومرشد‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ‫أستاذ‬ ً‫الناج‬ ‫أحمد‬ Page 7
‫األول‬ ‫التمرين‬ ‫حل‬
1-‫المعادلة‬ ‫لنحل‬ E :z :z z   2
10 50 0
‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫ممٌز‬ ‫لدٌنا‬ E‫هو‬ i   
2
100 10‫ألن‬i  2
1
‫ومنه‬z i 1 5 5‫و‬z i 2 5 5‫إذن‬ S i; i  5 5 5 5
2-‫أ‬-‫أن‬ ‫لنبٌن‬B
A
z
i
z

‫إذن‬ ‫لدٌنا‬B
A
z
i
z

‫ب‬-‫استنتاج‬
‫أن‬ ‫بما‬B
A
z
i
z
‫فإن‬B Az iz‫وحٌث‬
i
i cos isin e

 
   2
2 2
‫فإن‬
i
B Az e z

 2
‫ومنه‬ 
i
B O A Oz z e z z

  2
‫ألن‬Oz  0‫النقطة‬ ‫بأن‬ ً‫ٌعن‬ ‫وهذا‬B‫صورة‬ ً‫ه‬
‫النقطة‬A‫بالدوران‬r‫النقطة‬ ‫مركزه‬O‫وزاوٌته‬
2
‫ج‬-‫المثلث‬ ‫طبٌعة‬AOB
‫النقطة‬ ‫لدٌنا‬B‫النقطة‬ ‫صورة‬ ً‫ه‬A‫بالدوران‬r‫مرك‬‫النقطة‬ ‫زه‬O‫وزاوٌته‬
2
‫إذن‬
   
OA OB
OA;OB






2
2
‫المثلث‬ ‫أي‬AOBً‫ف‬ ‫الساقٌن‬ ‫ومتساوي‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قائم‬
‫النقطة‬O.
‫الثاني‬ ‫التمرين‬ ‫حل‬
1-‫إحداثٌات‬ ‫لنحدد‬‫متلوث‬‫الفلكة‬ ‫مركز‬ S‫وشعاعها‬r.
‫لدٌنا‬         S : x y z x y z           
2 2 2 22 2 2
1 1 0 0 0 1 1
‫ومنه‬ ; ; 0 0 1‫الفلكة‬ ‫مركز‬ S‫وشعاعها‬r 1
B
A
z i
z i

 

5 5
5 5
5  i1
5  
 i
i

 

2
1
21
2 i
2
i

8. ‫تربوي‬ ‫ومرشد‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ‫أستاذ‬ ً‫الناج‬ ‫أحمد‬ Page 8
2-‫المعادلة‬ ‫أن‬ ‫لنبٌن‬‫للمستوى‬ ‫الدٌكارتٌة‬ Pً‫ه‬x z  3 4 1 0
‫المتجهة‬ ‫لدٌنا‬ n ; ;3 0 4‫المستوى‬ ‫على‬ ‫منظمٌة‬ P‫إذن‬
 P : x oy z d   3 4 0‫أي‬ P : x z d  3 4 0‫أن‬ ‫بما‬ E P‫و‬E ; ;
 
 
 
1
1 0
3
‫فإن‬d
 
       
 
1
3 0 1 4 0 0
3
‫أي‬d  1 0‫ومنه‬d 1‫المعادلة‬ ‫فإن‬ ً‫وبالتال‬
‫للمستوى‬ ‫الدٌكارتٌة‬ Pً‫ه‬x z  3 4 1 0
3-‫أن‬ ‫لنبٌن‬  d ; P 1
‫لدٌنا‬  d ; P
   
  
 2 2 2
3 0 4 1 1 5
3 0 4 5
1‫إذن‬  d ; P 1
4-‫استنتاج‬
‫لدٌنا‬  d ; P 1‫الفلكة‬ ‫إذن‬ S‫للمستوى‬ ‫مماسة‬ P‫وحٌث‬ .F ; ;
 
 
 
3 1
0
5 5
‫من‬ ‫كل‬ ‫إلى‬ ً‫تنتم‬‫المستوى‬ P‫والفلكة‬ S‫ألن‬
   
        
 

                 
2 2
2
3 1 9 4 5
3 4 1 0
5 5 5 5 5
3 1 9 16 25
0 1 1 0
5 5 25 25 25
‫إذن‬‫المستوى‬ P‫للفلكة‬ ‫مماس‬ S
‫النقطة‬ ً‫ف‬F
‫الثالث‬ ‫التمرين‬ ‫حل‬
1-‫الحدث‬ ‫احتمال‬G
‫الحدث‬ ‫لدٌنا‬G‫إذن‬ "‫ذكر‬ ‫تلمٌذ‬ ‫اختٌار‬ " p G  
14 7
24 12
2-‫الحدث‬ ‫احتمال‬A
‫الحدث‬ ‫لدٌنا‬A‫المجموعة‬ ‫من‬ ‫التلمٌذ‬ "B‫ذك‬ ‫وٌكون‬‫إذن‬ "‫را‬ p A 
2
5
3-ً‫العشوائ‬ ‫المتغٌر‬ ‫احتمال‬ ‫قانون‬X
ً‫العشوائ‬ ‫المتغٌر‬ ‫ٌأخذها‬ ً‫الت‬ ‫القٌم‬Xً‫ه‬0‫و‬1‫و‬2‫و‬3.

9. ‫تربوي‬ ‫ومرشد‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ‫أستاذ‬ ً‫الناج‬ ‫أحمد‬ Page 9
* 
C
p X
C
  
3
14
3
24
182
0
1012
‫قانون‬ ‫ٌلخص‬ ً‫التال‬ ‫الجدول‬X
* 
C C
p X
C

  
2 1
14 10
3
24
455
1
1012
* 
C C
p X
C

  
1 2
14 10
3
24
315
2
1012
* 
C
p X
C
  
3
10
3
24
60
3
1012
4-‫المتغٌر‬ ‫ٌأخذ‬ ‫أن‬ ‫ٌجب‬ ‫اللجنة‬ ‫ضمن‬ ‫معا‬ ‫الجنسٌن‬ ‫ٌكون‬ ً‫لك‬X‫القٌمة‬1
‫والقٌمة‬2‫هو‬ ‫المطلوب‬ ‫االحتمال‬ ‫ومنه‬:   p X p X   
637
1 2
1012
‫الرابع‬ ‫التمرين‬ ‫حل‬
1-‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫لنبٌن‬f‫المجال‬ ‫على‬ ‫تزاٌدٌة‬ I ; 3 6
ٌ‫لد‬‫نا‬ 
x
f x
x


4 3
‫إذن‬ f ' x
x
 2
3
‫وحٌث‬
x2
3
0‫لكل‬x I‫إذن‬f‫على‬ ‫تزاٌدٌة‬
‫المجال‬ I ; 3 6.
2-‫أن‬ ‫لنبٌن‬ f I I
‫لدٌنا‬f‫المجال‬ ‫على‬ ‫تزاٌدٌة‬ I ; 3 6‫إذن‬        f I f ; f ;f ;
 
       
7
3 6 3 6 3
2
‫أن‬ ‫وبما‬ ; ;
 
  
7
3 3 6
2
‫فإن‬ f I I.
3-‫أ‬-‫أن‬ ‫بالترجع‬ ‫لنبٌن‬nn IN:u  3
‫أجل‬ ‫من‬n  0‫لدٌنا‬u 0 6‫إذن‬u0 3)‫(صحٌح‬
‫أن‬ ‫نفترض‬nn IN:u  3‫أن‬ ‫ونبٌن‬nu 1 3
‫االفتراض‬ ‫حسب‬ ‫لدٌنا‬nu 3‫الدالة‬ ‫سبق‬ ‫ما‬ ‫حسب‬ ‫أن‬ ‫ونعلم‬f‫تزاٌدٌة‬
‫إذن‬   nf u f 3‫وحٌث‬
 
 
n nu f u
f

 


1
3 3
‫إذن‬nu 1 3‫فإن‬ ‫ومنه‬nn IN:u  3
3210ix
60
1012
315
1012
455
1012
182
1012
 ip X x

10. ‫تربوي‬ ‫ومرشد‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ‫أستاذ‬ ً‫الناج‬ ‫أحمد‬ Page 10
‫ب‬-‫أن‬ ‫لنبٌن‬ nu‫تناقصٌة‬
‫لدٌنا‬n n n n n
n n n
n n n
u u u u u
u u u
u u u
      
      
 
2 2
1
4 3 4 3 4 3
‫أن‬ ‫وبما‬
 n n nu u u    
22
4 3 2 1‫أن‬ ‫وعلم‬nu 3‫إذن‬nu  2 1‫ومنه‬
 nu 
2
2 1‫أي‬n nu u 2
4 3 0‫أن‬ ‫كما‬nu 0‫ألن‬nu 3‫إذن‬
n n
n
u u
u
  
 
 
2
4 3
0‫فإن‬ ً‫وبالتال‬n nu u1‫المتتالٌة‬ ‫أن‬ ً‫ٌعن‬ ‫وهذا‬ nu
.‫تناقصٌة‬
‫ج‬-‫استنتاج‬
‫المتتالٌة‬ ‫لدٌنا‬ nu‫بالعدد‬ ‫مصغورة‬3‫إذن‬ ‫وتناقصٌة‬ nu.‫متقاربة‬
‫الدالة‬ ‫وحٌث‬f‫على‬ ‫متصلة‬‫المجال‬I‫ولدٌنا‬ f I I‫و‬u I0‫المتتالٌة‬ ‫نهاٌة‬ ‫إذن‬
 nu‫عند‬ً‫الحقٌق‬ ‫العدد‬ ً‫ه‬a‫ٌحقق‬ f a a.
‫أن‬ ‫بما‬nu 3‫فإن‬n
n
lim u
 
 3
‫التمرين‬ ‫حل‬5
‫األول‬ ‫الجزء‬
1-‫أن‬ ‫من‬ ‫لنتأكد‬   x :g x lnx lnx  0 1
‫لدٌنا‬   g x ln x ln x 
2
‫إذن‬   g x ln x ln x 1
2-‫الدالة‬ ‫نهاٌة‬g‫محد‬ ‫عند‬‫ات‬ ;0
‫لدٌنا‬
 
x
x
lim ln x
lim ln x
 
 
 


  
‫إذن‬ x
lim g x
 
 
      
a a a
f a a a a a a a a ‫أو‬
a a
  
               
2
24 3 4 3
0 2 1 0 3 1 0 3 1

11. ‫تربوي‬ ‫ومرشد‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ‫أستاذ‬ ً‫الناج‬ ‫أحمد‬ Page 11
‫لدٌنا‬
 
x
x
x
x
lim ln x
lim ln x


 


  
0
0
0
0
1
‫إذن‬ 
xx
lim g x

 
00
‫األراتٌب‬ ‫محور‬ ‫ومنه‬
‫للمنحى‬ ‫مقارب‬ gC‫للدالة‬g.
3-‫أ‬-‫أن‬ ‫لنبٌن‬ 
x
ln x
lim
x 

2
0
‫لدٌنا‬t x
t x
x
 
 

2
0
‫ومنه‬   
x t x
ln tln x ln t
lim lim lim
x t t     
 
    
 
22 2 2
2
4 0‫ألن‬
x
ln t
lim
t 
 0‫فإن‬ ً‫وبالتال‬ 
x
ln x
lim
x 

2
0
‫ب‬-‫استنتاج‬
‫لدٌنا‬
 
x
x
ln x
lim
x
ln x
lim
x
 
 



 

2
0
0
‫إذن‬ 
x x
ln x ln x
lim lim
x x   
 
  
 
 
2
0‫فإن‬ ‫ومنه‬ 
x
g x
lim
x 
 0
‫المنحنى‬ ‫فإن‬ ً‫وبالتال‬ gC‫للدالة‬g.‫األفاصٌل‬ ‫محور‬ ‫اتجاه‬ ً‫ف‬ ‫شلجمٌا‬ ‫فرعا‬ ‫ٌقبل‬
4-‫أ‬-‫المعادلة‬ ‫لنحل‬ x : ln x ln x 
2
0
 
 
 
x : ln x ln x
x : ln x ln x
x : ln x ln x
x
x e x‫أو‬
: ln x ‫و‬ ‫ا‬lnx-1=0
 
   
   
 
 


2
2
0
0 0
0 1 0
0
1
0
‫المنحنى‬ ‫ومنه‬ ‫فإن‬ ‫ومنه‬ gC‫للدالة‬g‫النقطتٌن‬ ً‫ف‬ ‫األفاصٌل‬ ‫محور‬ ‫ٌقطع‬ A ;1 0
‫و‬ B e;1.
‫الثاني‬ ‫الجزء‬
1-‫أ‬-‫أن‬ ‫لنبٌن‬     x . :g' x ln x     
1
0 2 1
2

12. ‫تربوي‬ ‫ومرشد‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ‫أستاذ‬ ً‫الناج‬ ‫أحمد‬ Page 12
‫الدالة‬ ‫لدٌنا‬g‫المجال‬ ‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ;0‫ومنه‬‫ف‬‫إن‬
      
' ln x
g' x ln x ln x ln x
x x x

     
2 1 1 2 1
2‫أي‬
   x :g' x ln x
x
  
1
0 2 1.
‫ب‬-‫الدالة‬ ‫رتابة‬g‫من‬ ‫كل‬ ‫على‬;e
 
 
 
1
2
0‫و‬e ;
 
 
 
1
2
 x :g' x x : ln x x :ln x x e          
1
2
1
0 0 0 2 1 0 0
2
‫إشارة‬ ‫جدول‬ ً‫نعط‬ ‫ومنه‬ g' x‫لكل‬ x ; 0
‫إشارة‬ ‫جدول‬ ‫خالل‬ ‫من‬ g' x‫لدٌنا‬:
‫الدالة‬g‫المجال‬ ‫على‬ ‫تناقصٌة‬;e
 
 
 
1
2
0‫ألن‬ x ;e :g' x
 
   
 
1
2
0 0
‫الدالة‬g‫المجال‬ ‫على‬ ‫تزاٌدٌة‬e ;
 
 
 
1
2
‫ألن‬ x e ; :g' x
 
    
 
1
2
0
‫ج‬-‫أن‬ ‫من‬ ‫لنتأكد‬g e
  
 
 
1
2
1
4
g e lne lne
      
          
     
1 1 1
2 2 2
1 1 1
1 1
2 2 4
‫ألن‬lne 1‫إذن‬g e
  
 
 
1
2
1
4
‫د‬-‫التغٌرات‬ ‫جدول‬

13. ‫تربوي‬ ‫ومرشد‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ‫أستاذ‬ ً‫الناج‬ ‫أحمد‬ Page 13
2-‫ا‬-   
ln x
x ; :g'' x
x

    2
3 2
0
‫الدالة‬ ‫لدٌنا‬g'‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ;0‫إذن‬
       
'
x :g'' x ln x ln x ln x
x x x x
  
        
 
2 2 2
1 1 2 1
0 2 1 2 1 2 3‫فإن‬ ‫ومنه‬
   
ln x
x ; :g'' x
x

    2
3 2
0
‫ب‬-‫النقطة‬ ‫أن‬ ‫لنثبت‬I e ;
 
 
 
3
2
3
4
‫المنحنى‬ ‫انعطاف‬ ‫نقطة‬ ً‫ه‬ gC
 g'' x ln x ln x x e       
3
2
3
0 3 2 0
2
‫أن‬ ‫وبما‬
g e lne lne
      
          
     
3 3 3
2 2 2
3 3 3
1 1
2 2 4
‫النقطة‬ ‫فإن‬I e ;
 
 
 
3
2
3
4
‫نقطة‬ ً‫ه‬
‫المنحنى‬ ‫انعطاف‬ gC.
3-‫المعادلة‬ ‫أن‬ ‫لنبٌن‬ g x  0‫وحٌدا‬ ‫حال‬ ‫تقبل‬‫المجال‬ ً‫ف‬e ;e
 
 
 
1 3
2 2
.
‫الدالة‬ ‫لدٌنا‬g‫المجال‬ ‫على‬ ‫متصلة‬ ;0‫على‬ ‫متصلة‬ ً‫فه‬ ‫إذن‬
‫المجال‬e ;e
 
 
 
1 3
2 2
‫ألن‬ e ;e ;
 
  
 
1 3
2 2
0.

g e
g e g e
g e
   
  
     
     
     
 
 
1
2
1 3
2 2
3
2
1
4
0
3
4
‫الدالة‬ ‫لدٌنا‬g‫المجال‬ ‫على‬ ‫تزاٌدٌة‬e ;e
 
 
 
1 3
2 2

14. ‫تربوي‬ ‫ومرشد‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ‫أستاذ‬ ً‫الناج‬ ‫أحمد‬ Page 14
‫المعادلة‬ ‫إذن‬ g x  0‫وحٌدا‬ ‫حال‬ ‫تقبل‬‫المجال‬ ً‫ف‬e ;e
 
 
 
1 3
2 2
.
4-‫أ‬-‫لنب‬‫الدالة‬ ‫أن‬ ‫ٌن‬h‫عكسٌة‬ ‫دالة‬ ‫تقبل‬h1
.‫تعرٌفها‬ ‫مجموعة‬ ‫محددا‬
‫الدالة‬ ‫لدٌنا‬h‫المجال‬ ‫على‬ ‫متصلة‬e ;e
 
 
 
1 3
2 2
‫و‬h‫على‬ ‫تزاٌدٌة‬e ;e
 
 
 
1 3
2 2
‫إذن‬
‫الدالة‬h‫عكسٌة‬ ‫دالة‬ ‫تقبل‬h1
ً‫ه‬ ‫تعرٌفها‬ ‫مجموعة‬
J h e ;e ;
    
          
1 3
2 2
1 3
4 4
.
‫ب‬-‫العكسٌة‬ ‫الدالة‬ ‫تغٌرات‬ ‫جدول‬h1
‫ج‬-‫لنحسب‬   
'
h1
0
   
    
'
''
h e
h eh h
e


   1
1
1 1 1
0
10
‫إذن‬   
'
h e
1
0
‫الثالث‬ ‫الجزء‬
1-‫المتراجحة‬ ‫مبٌانٌا‬ ‫لنحل‬x :(lnx) lnx 2
0
   x :(lnx) lnx x : lnx lnx x :g x      
22
0 0 0 0 0‫فإن‬ ‫ومنه‬
‫المنحنى‬ gC‫للدالة‬g‫لكل‬ ‫األفاصٌل‬ ‫محور‬ ‫تحت‬ x ;e 1‫فإن‬ ً‫وبالتال‬ S ;e 1.
2-‫أن‬ ‫لنبٌن‬
e
ln xdx 1
1

15. ‫تربوي‬ ‫ومرشد‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ‫أستاذ‬ ً‫الناج‬ ‫أحمد‬ Page 15
‫نضع‬ '
u x 1‫و‬ v x x‫فإن‬ ‫ومنه‬:
 
 
 
 
'
'
u x x
u x
v x ln x v x
x
   
 
   
1
1‫فإن‬ ً‫وبالتال‬
 
ee
ln xdx xln x x 1 1
.
x
1
 
e
e
dx xln x x   1
1
1‫أ‬‫ي‬
e
ln xdx 1
1
‫ب‬-‫أن‬ ‫لنبٌن‬    G x x ln x ln x  
2
2 2‫للدالة‬ ‫أصلٌة‬ ‫دالة‬x (ln x)2
‫على‬
 ;0.
‫الدالة‬ ‫لدٌنا‬G‫على‬ ‫لالشتقاق‬ ‫قابلة‬ ;0‫إذن‬
‫إذن‬   '
G x ln x
2
‫فإن‬ ‫ومنه‬    G x x ln x ln x  
2
2 2‫للدالة‬ ‫أصلٌة‬ ‫دالة‬
x (ln x)2
‫على‬ ;0.
‫ج‬-‫المنحنى‬ ‫بٌن‬ ‫المحصور‬ ‫المستوى‬ ‫حٌز‬ ‫مساحة‬ ‫لنستنتج‬ gC‫األفاصٌل‬ ‫ومحور‬
‫معادلتاهما‬ ‫اللذٌن‬ ‫والمستقٌمٌن‬x 1‫و‬x e.
‫لتكن‬  ‫و‬ ‫المساحة‬‫المنحنى‬ ‫وحٌث‬ ‫القٌاس‬ ‫وحدة‬ gC‫األفاصٌل‬ ‫محور‬ ‫تحت‬
‫المجال‬ ‫على‬ ;e1‫إذن‬:
‫أي‬   e .   3.
      
'
G' x x lnx lnx lnx lnx x         
2 2
2 2 2 2
lnx
x
2 2
 lnx lnx
 
  
 
2
2 2 lnx 2 2  lnx
2
             
e e e
e
g x dx. ln x ln x dx. ln xdx G x . e . e .      
 
              
 
  
2
1
1 1 1
1 2 3