Dokumen tersebut membahas tentang matematika sebagai ilmu deduktif dimana proses pengerjaannya harus bersifat deduktif dan bukan berdasarkan pengamatan atau induksi. Generalisasi dalam matematika hanya dapat diterima jika terbukti secara deduktif melalui contoh pembuktian.
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
(1) Dokumen tersebut membahas tentang teori bilangan dan konsep pembagian bilangan bulat;
(2) Terdapat definisi dan teorema-teorema yang menjelaskan relasi antara bilangan yang membagi bilangan lain;
(3) Beberapa contoh soal dan pembahasan juga disajikan untuk membuktikan teorema-teorema tersebut.
Letis adalah poset khusus yang memenuhi sifat tertentu terkait operasi batas bawah dan batas atas. Dokumen ini menjelaskan pengertian letis, beberapa sifat dasarnya, subletis, dan hasil kali letis.
Dokumen tersebut memberikan instruksi untuk mengkonstruksi rumus luas permukaan kubus. Peserta didik diminta menghitung luas permukaan kubus berdasarkan panjang sisi dan jumlah sisinya, lalu merumuskan hubungan antara luas permukaan (L) dengan panjang sisi (s).
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
(1) Dokumen tersebut membahas tentang teori bilangan dan konsep pembagian bilangan bulat;
(2) Terdapat definisi dan teorema-teorema yang menjelaskan relasi antara bilangan yang membagi bilangan lain;
(3) Beberapa contoh soal dan pembahasan juga disajikan untuk membuktikan teorema-teorema tersebut.
Letis adalah poset khusus yang memenuhi sifat tertentu terkait operasi batas bawah dan batas atas. Dokumen ini menjelaskan pengertian letis, beberapa sifat dasarnya, subletis, dan hasil kali letis.
Dokumen tersebut memberikan instruksi untuk mengkonstruksi rumus luas permukaan kubus. Peserta didik diminta menghitung luas permukaan kubus berdasarkan panjang sisi dan jumlah sisinya, lalu merumuskan hubungan antara luas permukaan (L) dengan panjang sisi (s).
Modul ini membahas persamaan Diophantine linier dan non linier. Persamaan Diophantine linier dapat diselesaikan dengan cara biasa, reduksi, dan kongruensi. Metode penyelesaian persamaan Diophantine non linier meliputi triple Pythagoras dan bilangan jumlah kuadrat. [/ringkuman]
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Dokumen tersebut membahas latar belakang masalah rendahnya hasil belajar matematika siswa dan penggunaan strategi pembelajaran kooperatif untuk meningkatkannya. Dokumen ini juga menjelaskan konsep strategi pembelajaran kooperatif dan beberapa pengertian belajar.
Buku ajar ini membahas tentang konsep geometri dasar seperti kongruensi pada segitiga, sifat-sifat segiempat, teorema Pythagoras, perbandingan seharga garis dan kesebangunan, beberapa teorema pada garis istimewa pada segitiga dan lingkaran. Peserta diharapkan dapat memahami konsep-konsep tersebut dan mampu menyelesaikan masalah-masalah geometri.
1. Barisan (xn) terbatas dan monoton turun. Limitnya adalah 2.
2. Barisan (xn) terbatas antara 0 dan 1/2 dan monoton naik. Limitnya adalah 1/2.
3. Barisan (xn) terbatas dibawah oleh √a dan monoton turun. Limitnya adalah √a.
Makalah ini membahas tentang pencerminan (refleksi) pada bidang datar. Definisi pencerminan dijelaskan sebagai fungsi yang memetakan titik ke titik lain sehingga membentuk sudut yang sama dengan sumbu refleksi. Sifat-sifat pencerminan seperti surjektif, injektif, dan melestarikan jarak juga dibuktikan sehingga pencerminan merupakan transformasi isometri. Contoh soal pencerminan juga diberikan unt
1. Dokumen tersebut membahas prinsip inklusi-eksklusi dalam menghitung banyaknya obyek yang memenuhi beberapa sifat tertentu.
2. Bentuk umum prinsip inklusi-eksklusi ditulis sebagai rumus yang menghitung jumlah obyek tanpa sifat tertentu berdasarkan jumlah obyek dengan berbagai kombinasi sifat.
3. Beberapa contoh penerapan prinsip inklusi-eksklusi untuk
Dokumen tersebut membahas tentang penarikan kesimpulan yang melibatkan definisi dan hipotesis yang diberikan. Secara khusus, dibahas tentang tiga hal yang perlu diperhatikan dalam pendekatan pembuktian suatu pernyataan, yaitu: 1) kesimpulan yang diinginkan, 2) definisi yang relevan, dan 3) hipotesis yang diberikan. Beberapa contoh soal pembuktian juga diberikan beserta penyelesaiannya.
Modul ini membahas persamaan Diophantine linier dan non linier. Persamaan Diophantine linier dapat diselesaikan dengan cara biasa, reduksi, dan kongruensi. Metode penyelesaian persamaan Diophantine non linier meliputi triple Pythagoras dan bilangan jumlah kuadrat. [/ringkuman]
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Dokumen tersebut membahas latar belakang masalah rendahnya hasil belajar matematika siswa dan penggunaan strategi pembelajaran kooperatif untuk meningkatkannya. Dokumen ini juga menjelaskan konsep strategi pembelajaran kooperatif dan beberapa pengertian belajar.
Buku ajar ini membahas tentang konsep geometri dasar seperti kongruensi pada segitiga, sifat-sifat segiempat, teorema Pythagoras, perbandingan seharga garis dan kesebangunan, beberapa teorema pada garis istimewa pada segitiga dan lingkaran. Peserta diharapkan dapat memahami konsep-konsep tersebut dan mampu menyelesaikan masalah-masalah geometri.
1. Barisan (xn) terbatas dan monoton turun. Limitnya adalah 2.
2. Barisan (xn) terbatas antara 0 dan 1/2 dan monoton naik. Limitnya adalah 1/2.
3. Barisan (xn) terbatas dibawah oleh √a dan monoton turun. Limitnya adalah √a.
Makalah ini membahas tentang pencerminan (refleksi) pada bidang datar. Definisi pencerminan dijelaskan sebagai fungsi yang memetakan titik ke titik lain sehingga membentuk sudut yang sama dengan sumbu refleksi. Sifat-sifat pencerminan seperti surjektif, injektif, dan melestarikan jarak juga dibuktikan sehingga pencerminan merupakan transformasi isometri. Contoh soal pencerminan juga diberikan unt
1. Dokumen tersebut membahas prinsip inklusi-eksklusi dalam menghitung banyaknya obyek yang memenuhi beberapa sifat tertentu.
2. Bentuk umum prinsip inklusi-eksklusi ditulis sebagai rumus yang menghitung jumlah obyek tanpa sifat tertentu berdasarkan jumlah obyek dengan berbagai kombinasi sifat.
3. Beberapa contoh penerapan prinsip inklusi-eksklusi untuk
Dokumen tersebut membahas tentang penarikan kesimpulan yang melibatkan definisi dan hipotesis yang diberikan. Secara khusus, dibahas tentang tiga hal yang perlu diperhatikan dalam pendekatan pembuktian suatu pernyataan, yaitu: 1) kesimpulan yang diinginkan, 2) definisi yang relevan, dan 3) hipotesis yang diberikan. Beberapa contoh soal pembuktian juga diberikan beserta penyelesaiannya.
Dokumen tersebut membahas tentang pembuktian himpunan menggunakan aljabar himpunan dan definisi. Metode aljabar himpunan digunakan untuk membuktikan kesamaan himpunan dengan menggunakan hukum-hukum aljabar seperti hukum distributif dan komplemen. Sedangkan metode definisi digunakan untuk membuktikan implikasi dengan menggunakan definisi operasi dan hubungan antar himpunan seperti subset. Contoh pembu
Makalah ini membahas tentang geometri netral, yaitu geometri yang memiliki sistem aksioma kesejajaran, urutan, kekongruenan, dan Archimedes tetapi tidak menentukan banyaknya garis sejajar melalui suatu titik. Makalah ini mengkaji apakah persegi panjang ada dalam geometri netral dan apa yang dapat didasarkan pada persegi panjang tersebut."
Probabilitas adalah tingkat keyakinan terjadinya suatu peristiwa yang dihitung menggunakan pendekatan klasik, frekuensi relatif, dan subjektif. Terdapat tiga pendekatan untuk menghitung probabilitas yaitu pendekatan klasik, frekuensi relatif, dan subjektif.
Matematika merupakan ilmu deduktif yang mempelajari pola dan hubungan. Konsep-konsep matematika tersusun secara hierarkis dan logis, dimulai dari yang sederhana hingga yang kompleks. Pembuktian dilakukan secara deduktif berdasarkan aksioma dan teorema.
Pembuktian ekspresi-ekspresi logika verupa validitas argument-argumen ,misalnya dengan memakai table kebenaran, penyederhanaan dengan hukum-hukum logika, sampai metode tablo semantic, bersifat mekanis dan langsung kelihatan hasilnya. Tentunya sangat penting untuk menemukan metode lain yang lebih mekanis dan mudah digunakan di dalam logika. Metode tersebut disebut resolusi (resolution).
Irna nuraeni 3.6 the search for a rectangleIrna Nuraeni
Dokumen tersebut membahas tentang penelitian mengenai persegi panjang dan membuktikan beberapa teorema yang berkaitan dengan persegi panjang, diantaranya teorema yang membuktikan bahwa diagonal persegi panjang kongruen, sudut puncak persegi panjang kongruen dan sama-sama 90 derajat, jumlah sudut segi empat persegi panjang adalah 360 derajat, dan garis yang menghubungkan titik tengah sisi atas dan bawah perse
Dokumen tersebut membahas konsep-konsep dasar probabilitas, meliputi pengertian probabilitas, pendekatan perhitungan probabilitas, kejadian/peristiwa dan notasi himpunan, serta beberapa aturan dasar probabilitas.
Pembuktian teorema pythagoras dari euclidDinal Ulya
Pembuktian teorema Pythagoras dari Euclid dapat dilakukan dengan membagi hipotenusa menjadi dua bagian persegi yang masing-masing luasnya sama dengan luas persegi pada sisi-sisi penyiku segitiga siku-siku. Ada beberapa cara untuk membuktikan hal ini, yaitu dengan menggunakan kemiripan segitiga, transformasi bangun datar, dan hubungan antara luas segitiga dengan luas persegi dan persegipanjang.
Dokumen tersebut membahas tentang isometri lanjutan yang merupakan kelanjutan dari isometri dasar. Terdapat empat jenis isometri dasar yaitu reflexi pada garis, translasi, rotasi, dan reflexi geser. Dokumen ini menjelaskan hasil kali dari dua isometri dasar tersebut dapat menghasilkan isometri baru seperti reflexi atau reflexi geser. Selain itu, dibahas pula teorema-teorema terkait is
Saccheri adalah matematikawan Italia abad ke-17 yang meneliti postulat Euclid. Ia membangun segiempat khusus bernama segiempat Saccheri dan membuktikan 5 teorema tentang segiempat tersebut. Teorema terakhir membuktikan bahwa sudut-sudut atas segiempat Saccheri adalah lancip, bukan siku-siku atau tumpul. Karya Saccheri menantang postulat Euclid tentang paralel dan membuka jalan bag
1. TUGAS STRATEGI BELAJAR MATEMATIKA
OLEH
MELSIM IMELDA LALUS
1101031030
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PMIPA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS NUSA CENDANA
KUPANG
2013
2. MATEMATIKA SEBAGAI ILMU DEDUKTIF
Matematika dikenal sebagai ilmu deduktif,ini berarti proses pengerjaan
matematis harus bersifat deduktif. Matematika tidak menerima generalisasi
berdasarkan pengamatan (induktif), tetapi harus berdasarkan pembuktian
deduktif (umum). Meskipun demikian untuk membantu pemikiran, pada tahap –
tahap permulaan seringkali kita memerlukan bantuan contoh – contoh atau
ilustrasi geometri.
Perlu pula diketahui bahwa baik isi maupun metode mencari kebenaran
dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam apalagi dengan ilmu
pengetahuan umunya. Metode mencari kebenaran yang dipakai oleh matematika
adalah imu deduktif, sedangkan oleh ilmu pengetahuan alam adalah metode
induktif atau eksperimen. Namun dalam matematika mencari kebenaran itu bisa
dimulai dengan cara induktif, tetapi selanjutnya generalisasi yang benar ntuk
semua keadaan harus bisa dibuktikan secara deduktif. Dalam matematika, suatu
generalisasi, sifat, teori atau dalil itu belum dapat diterima kebenarannya
sebelum dapat dibuktikan secara deduktif.
Contohnya dalam ilmu fisika , bila dalam percobaannya seseorang telah
berhasil menunjukkan kepada kita bahwa ketika ia mengambil sebatang logam
kemudian dipanaskan dan memuai, kemudian sebatang logam lainnya
dipanaskan ternyata memuai lagi, dan seterusnya mengambil beberapa contoh
jenis – jenis logam lainya dan ternyata selalu memuai jika dipanaskan maka ia
dapat membuat kesimpulan atau generalisasi bahwa setiap logam yang
dipanaskan itu memuai. Generalisasi yang dibuat secara induktif itu dalam ilmu
fisika dibenarkan.
Contoh lainnya misalnya dalam ilmu biologi yang berdasarkan pada
pengamatan dari beberapa binatang menyusui ternyata selalu melahirkan,
3. sehingga kita bisa membuat generalisasi secara induktif bahwa setiap binatang
menyusui adalah melahirkan.
Kedua contoh dalam ilmu fisika dan ilmu biologi seperti di atas tersebut,
secara matematika belum dapat dianggap sebagai generalisasi. Dalam
matematika, contoh – contoh seperti itu baru dapat dianggap sebagai
generalisasi bila kebenarannya dapat dibuktikan secara deduktif.
Sekarang kita akan mengambil beberapa contoh generalisasi yang
dibenarkan dan yang tidak dibenarkan dalam matematika. Generalisasi yang
dibenarkan dalam matematika adalah generalisasi yang telah dapat dibuktikan
secara deduktif.
Contoh :
Buktikan bahwa untuk sebarang himpunan A,B dan C berlaku ( A B) C=
A (B C) !
Jika kita membuktikan ini dengan menggunakan contoh – contoh, misalkan S
adalah himpunan bilangan asli dengan :
A = {4,8,12,16,20}
B = {5,10,15,20} dan
C = {8,10,12,14,16,18,20}
Maka : (A B ) = {20}
(B C ) = {10,20}
(A B) C = {20}
A (B C) = {20}
Dengan demikian terbukti bahwa ( A B) C=A (B C)
Namun kebenaran contoh ini tidak diakui sebagai landasan untuk
menerima kebenaran generalisasi ini sekalipun telah diberikan contoh sebanyak
4. mungkin. Kebenaran ini baru akan diakui jika dilalukan pembuktian secara
dedukti sebagai berikut :
Bukti :
Pembuktian ini didasarkan pada defenisi kesamaan dari dua himpunan, yang
berarti harus di buktikan bahwa ( A B) C A (B C) dan A (B
C) (A B) C
Pembuktian ( A B) C A (B C)
Misalkan : x (A B) C berarti x (A B ) dan x C
x (A B ) berarti x A dan x B
Sehingga x A, x B dan x C
x B dan x C berarti x (B C)
Maka x A dan x (B C ) berarti x A (B C)
Jadi terbukti bahwa ( A B) C A (B C)
Pembuktian A (B C) (A B) C
Misalkan : x A (B C) berarti x A dan x (B C)
x (B C ) berarti x B dan x C
Sehingga x A, x B dan x C
x A dan x B berarti x (A B)
Maka x (A B ) dan x C berarti x (A B) C
Jadi terbukti bahwa A (B C) (A B) C
Karena telah terbukti secara deduktif maka kebenaran generalisasi tersebut
dapat diterima.
Dari uraian – uraian diatas dapat disimpulkan bahwa matematika itu
merupakan ilmu deduktif yang tidak menerima generalisasi yang didasarkan
kepada observasi (induktif) tetapi generalisasi yang didasarkan pada
pembuktian secara deduktif.
5. Mungkin anda bertanya, bukalah dalil - dalil / sifat- sifat / rumus –
rumus dalam matematika itu ditemukan secara induktif (coba-coba, eksperimen,
penilitian dan lain-lain). Memang betul, para matematisi itu menemukan
(menyusun) matematika atau bagiannya itu secara induktif, tetapi begitu suatu
pola, aturan, dalil, rumus yang merupakan generalisasi itu ditemukan, maka
generalisasi itu harus dapat dibuktikan kebenarannya secara umum (deduktif).