didaktika_lathi

1. 1
Τρία συνηθισµένα λάθη που κάνουν µαθητές της
Γ΄ Λυκείου στον ∆ιαφορικό Λογισµό
∆ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος
πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03
e-mail@p-theodoropoulos.gr
Περίληψη
Στην εργασία αυτή επισηµαίνονται τρία λάθη που κάνουν ανυποψίαστα µαθη-
τές της Γ΄ Λυκείου στην ενασχόλησή τους µε τον ∆ιαφορικό Λογισµό. Τα λά-
θη αυτά εντοπίζονται στην παραγώγιση µιας συνάρτησης πολλαπλού τύπου,
στην εφαρµογή των κανόνων de L’ Hospital και στην παραγώγιση της τετρα-
γωνικής ρίζας µιας συνάρτησης.
Σκοπός της εργασίας είναι να ενηµερωθούν και να προβληµατιστούν οι συνά-
δελφοι που διδάσκουν Μαθηµατικά Κατεύθυνσης στην Γ΄ Λυκείου και να το-
νίζουν στους µαθητές αυτά τα σηµεία, ώστε να αποφεύγονται τα λάθη που πα-
ρατηρούνται.
Α΄ Παράγωγος συνάρτησης πολλαπλού τύπου
Θα µελετήσουµε την περίπτωση µέσα από ένα παράδειγµα.
Έχει παρατηρηθεί ότι όταν δίνουµε στους µαθητές της Γ΄ Λυκείου µια συνάρ-
τηση πολλαπλού τύπου, η οποία στα συνοριακά της σηµεία ορίζεται µε τον έ-
ναν από τους δύο τύπους µε τους οποίους ορίζεται εκατέρωθεν αυτών, όπως
π.χ. η συνάρτηση:
3 2
1 , 0
( )
2 1, 0
x x
f x
x x x
συν − <

= 

− + ≥
και ζητάµε να βρουν την παράγωγό της, τότε πολλοί µαθητές για τα συνοριακά
σηµεία δεν κάνουν ειδικό έλεγχο, αλλά θεωρούν ότι η παράγωγος της συνάρ-
τησης σε αυτά τα σηµεία δίνεται από την παράγωγο του αντίστοιχου τύπου.
∆ηλαδή για την παραπάνω συνάρτηση δίνουν:
2
, 0
( )
6 2 , 0
x x
f x
x x x
ηµ <

′ = 

− ≥

2. 2
Οι µαθητές αυτοί δεν έχουν συνειδητοποιήσει ότι µια συνάρτηση f πολλαπλού
τύπου είναι παραγωγίσιµη σε ένα συνοριακό της σηµείο xo εάν υπάρχουν στο
IR τα όρια:
( ) ( )
lim
o
o
x x
o
f x f x
x x−
→
−
−
και
( ) ( )
lim
o
o
x x
o
f x f x
x x+
→
−
−
και είναι ίσα.
Επίσης, µερικοί µαθητές για να εξετάσουν γενικά αν µια συνάρτηση πολλαπλού
τύπου είναι παραγωγίσιµη σε ένα συνοριακό της σηµείο ενεργούν ως εξής:
Αρχικά βρίσκουν τις παραγώγους συναρτήσεις στα πλευρικά διαστήµατα του
συνοριακού σηµείου (ανοικτά στο συνοριακό σηµείο). ∆ηλαδή για την παρα-
πάνω συνάρτηση βρίσκουν τις παραγώγους:
( )f x xηµ′ = , x < 0 και 2
( ) 6 2f x x x′ = − , x > 0.
Στη συνέχεια, για να δουν αν η συνάρτηση παραγωγίζεται και στο συνοριακό
σηµείο, βρίσκουν (αν υπάρχουν) τα όρια των παραγώγων αυτών στο εν λόγω
σηµείο. ∆ηλαδή για τη συνάρτηση που µελετάµε βρίσκουν:
0 0
lim ( ) lim 0
x x
f x xηµ− −
→ →
′ = = και 2
0 0
lim ( ) lim(6 2 ) 0
x x
f x x x+ +
→ →
′ = − = .
Τέλος, αν τα δύο όρια υπάρχουν στο IR και είναι ίσα (όπως τα παραπάνω) συ-
µπεραίνουν ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη και σ’ αυτό το σηµείο, δια-
φορετικά όχι. ∆ηλαδή για την παραπάνω συνάρτηση συµπεραίνουν ότι
(0) 0f ′ = .
Είναι φανερό ότι ο τρόπος συµπερασµού και στις δύο περιπτώσεις δεν είναι
σωστός. Αυτό φαίνεται καθαρά και από τη συνάρτηση f που µελετάµε, η οποί-
α, όπως µπορούµε να δούµε και από την γραφική της παράσταση που ακολου-
θεί1
, δεν είναι παραγωγίσιµη στο 0, αφού δεν είναι συνεχής στο 0.
1
Καλό είναι όταν είναι εφικτό να υποστηρίζουµε τα συµπεράσµατα και εποπτικά, διότι η εποπτεία
διεγείρει την ενόραση και η ενόραση βοηθά πολύ στην κατανόηση των εννοιών και των σχέσεων.

3. 3
Οι µαθητές που κάνουν το δεύτερο λάθος νοµίζω ότι παρασύρονται από το ε-
ξής: Τυχαίνει να έχουν λύσει ασκήσεις µε συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει
αυτό που κάνουν και έτσι το γενικεύουν. Αυτό που κάνουν ισχύει όταν ικανο-
ποιείται η υπόθεση του παρακάτω θεωρήµατος, το οποίο όµως οι µαθητές δε
γνωρίζουν γιατί δεν διδάσκεται.
Θεώρηµα2
: Έστω µία συνάρτηση f , η οποία ορίζεται σε ένα διάστηµα ∆ και
για ένα εσωτερικό σηµείο xο του ∆ υπάρχει δ > 0, τέτοιο ώστε η f να είναι πα-
ραγωγίσιµη στα διαστήµατα (xο-δ, xο) και (xο, xο+δ). Αν η συνάρτηση f είναι
συνεχής στο xο και υπάρχουν στο IR τα όρια lim ( )
ox x
f x−
→
′ και lim ( )
ox x
f x+
→
′ και είναι
ίσα, τότε η f είναι παραγωγίσιµη και στο xο µε ( ) lim ( )
o
o
x x
f x f x
→
′ ′= .
Απόδειξη
Επειδή η f είναι συνεχής στο xο, εφαρµόζοντας τις ιδιότητες των ορίων στα
όρια:
( ) ( ) ( ) ( )
lim και lim
o o
o o
x x x x
o o
f x f x f x f x
x x x x− +
→ →
− −
− −
προκύπτει απροσδιοριστία της µορφής
0
0
και αφού υπάρχουν τα όρια lim ( )
ox x
f x−
→
′
και lim ( )
ox x
f x+
→
′ , σύµφωνα µε τον κανόνα de L’ Hospital έχουµε:
( ) ( )
lim
o
o
x x
o
f x f x
x x−
→
−
=
−
lim ( )
ox x
f x−
→
′ και
( ) ( )
lim =
o
o
x x
o
f x f x
x x+
→
−
−
lim ( )
ox x
f x+
→
′ .
Επειδή τώρα τα όρια lim ( )
ox x
f x−
→
′ και lim ( )
ox x
f x+
→
′ είναι ίσα και πραγµατικοί α-
ριθµοί καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι:
( ) ( ) ( ) ( )
lim = lim
o o
o o
x x x x
o o
f x f x f x f x
IR
x x x x− +
→ →
− −
∈
− −
.
Άρα η f είναι παραγωγίσιµη στο xο µε ( ) lim ( )
o
o
x x
f x f x
→
′ ′= . 
Σχόλιο: Αν για µία συνάρτηση f ικανοποιείται η υπόθεση του παραπάνω θεω-
ρήµατος, τότε όπως προκύπτει και από το συµπέρασµα του θεωρήµατος η πα-
ράγωγος f ΄ της συνάρτησης αυτής είναι συνεχής στο xο. Αν λοιπόν µία συνάρ-
τηση f είναι παραγωγίσιµη σε µια περιοχή ενός σηµείου xο του πεδίου ορισµού
της και η f ΄ δεν είναι συνεχής στο xο, τότε δεν υπάρχει το lim ( )
ox x
f x
→
′ . Συνεπώς
2
Το θεώρηµα αυτό το διατυπώνω και το αποδεικνύω µε αυτόν τον τρόπο για να το προσαρµόσω στις
συναρτήσεις πολλαπλού τύπου που µελετάµε. Μια γενική διατύπωση του θεωρήµατος µπορείτε να
βρείτε στο βιβλίο του ∆ηµητρίου Α. Κάππου: Μαθήµατα Αναλύσεως - Απειροστικός Λογισµός (Αθήνα
1962), τεύχος Α΄, σελίδα 531.

4. 4
στο παραπάνω θεώρηµα η ύπαρξη του lim ( )
ox x
f x
→
′ αποτελεί µόνο ικανή συνθήκη
για την ύπαρξη της παραγώγου της f στο xο. ∆ηλαδή, αν δεν υπάρχει το
lim ( )
ox x
f x
→
′ δε σηµαίνει ότι η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο xο.
ς εφαρµογή του παραπάνω θεωρήµατος ας δούµε την παρακάτω άσκηση:
Άσκηση: ∆ίνεται η συνάρτηση:
2
, 1
( )
4 1, 1
x x
f x
x x
λ + ≤

= 

− >
.
Να βρείτε την τιµή του λ για την οποία η f είναι συνεχής στο 1 και στη συνέ-
χεια για την τιµή του λ που θα βρείτε να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιµη
στο 1.
Λύση
Εύκολα βρίσκουµε ότι η f είναι συνεχής στο 1 εάν και µόνον εάν λ = 2.
Για λ = 2 θα µελετήσουµε την f ως προς την παραγωγισιµότητα στο 1 µε δύο
τρόπους, µε τον ορισµό και µε εφαρµογή του παραπάνω θεωρήµατος.
1ος
τρόπος (µε τον ορισµό της παραγώγου)
Έχουµε:
2 2
1 1 1 1 1
( ) (1) 2 3 1 ( 1)( 1)
lim lim lim lim lim( 1) 2
1 1 1 1x x x x x
f x f x x x x
x
x x x x− − − − −
→ → → → →
− + − − + −
= = = = + =
− − − −
και
1 1 1 1
1 1
( ) (1) 4 1 3 4 1 3 4 4
lim lim lim lim
1 1 1 1
4( 1) 4 4
lim lim 2.
2( 1)( 1) ( 1)
x x x x
x x
f x f x x x
x x x x
x
x x x
+ + + +
+ +
→ → → →
→ →
− − − − − −
= = = =
− − − −
−
= = = =
+ − +
Άρα η f είναι παραγωγίσιµη στο 1 µε (1) 2f ′ = .
2ος
τρόπος (µε τη βοήθεια του παραπάνω θεωρήµατος)
Έχουµε:
( ) 2f x x′ = , x < 1 και
2
( )f x
x
′ = , x > 1.

5. 5
Εύκολα αποδεικνύεται ότι ισχύει
1
lim ( )
x
f x−
→
′ =
1
lim ( ) 2
x
f x+
→
′ = . Αφού η f είναι συ-
νεχής στο 1, σύµφωνα µε το παραπάνω θεώρηµα συµπεραίνουµε ότι η f είναι
παραγωγίσιµη στο 1 µε (1) 2f ′ = .
Σηµείωση: Η παραγωγισιµότητα της f στο 1 φαίνεται και από τη γραφική της
παράσταση που ακολουθεί.
Εµείς ως εκπαιδευτικοί θα πρέπει να προφυλάσσουµε τους µαθητές µας από
τέτοια λάθη λύνοντας σχετικές ασκήσεις στην τάξη και συζητώντας όλες τις
περιπτώσεις. Θα πρέπει να τονίζουµε ιδιαίτερα ότι η συνέχεια µιας συνάρτη-
σης πολλαπλού τύπου σε ένα συνοριακό της σηµείο xο είναι αναγκαία συνθήκη
(όχι και ικανή) για να είναι η συνάρτηση αυτή παραγωγίσιµη στο xο. Γι’ αυτό
θα πρέπει πρώτα να εξετάζουµε µια τέτοια συνάρτηση ως προς τη συνέχεια
στο συνοριακό σηµείο xο και στην περίπτωση που είναι συνεχής να εξετάζουµε
αν είναι και παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό. Ο έλεγχος για την παραγωγισιµό-
τητα πρέπει να γίνεται µε τον ορισµό και µόνο και όχι µε τη βοήθεια του πα-
ραπάνω θεωρήµατος, το οποίο και δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο, αλλά
και όπως είδαµε η ύπαρξη του lim ( )
ox x
f x
→
′ αποτελεί µόνο ικανή συνθήκη για την
ύπαρξη της παραγώγου στο xο.

6. 6
Β΄ Κανόνες de L’ Hospital
Ένα άλλο λάθος που γίνεται συχνά από µαθητές της Γ΄ Λυκείου είναι στην ε-
φαρµογή των κανόνων de L’ Hospital για την εύρεση ενός ορίου. Το λάθος
που κάνουν εδώ οι µαθητές είναι κυρίως στην περίπτωση που το x τείνει σε
έναν πραγµατικό αριθµό xο και οι συναρτήσεις των όρων του κλασµατικής πα-
ράστασης είναι παραγωγίσιµες στο xο. Στην περίπτωση αυτή οι µαθητές όταν
συναντούν απροσδιόριστη µορφή συνήθως παραγωγίζουν τις συναρτήσεις των
όρων του κλάσµατος και δίνουν ως όριο τον λόγο των αντίστοιχων παραγώγων
στο σηµείο xο χωρίς να εξετάζουν αν υπάρχει το όριο της κλασµατικής παρά-
στασης µε τις παραγώγους που προκύπτει.
(Μπορείτε να δείτε και στην ηλεκτρονική διεύθυνση:
http://www.p-theodoropoulos.gr/ergasies/didakt-ask-glyk.pdf
σχετικό σχόλιό µου για την εφαρµογή των κανόνων de L’ Hospital).
Εδώ θα πρέπει να προσέχουµε και πώς διατυπώνουµε µία άσκηση, ώστε να
µην παρασύρουµε τους µαθητές σε λάθη. Για παράδειγµα, αν δώσουµε στους
µαθητές την άσκηση:
απαντώντας οι µαθητές στο πρώτο ερώτηµα θα βρουν εύκολα ότι οι συναρτή-
σεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο 0 µε (0) 0f ′ = και
1
(0)
6
g′ = − , ενώ για το
δεύτερο ερώτηµα είναι σχεδόν βέβαιο ότι οι περισσότεροι µαθητές θα δώσουν
τη λύση:
0
0
0 0
( ) ( ) (0) 0
lim lim 0
1( ) ( ) (0)
6
x x
f x f x f
g x g x g
 
 
 
→ →
′ ′
= = = =
′ ′
−
,
επειδή δεν υποψιάζονται ότι δεν υπάρχει το
0
lim ( )
x
f x
→
′ .
∆ίνονται οι συναρτήσεις:
2 1
, 0
( )
0, 0
x x
x
f x
x
ηµ

≠

= 


=
και
2
1
, 0
( )
0, 0
x
x
xx
g x
x
ηµ
− ≠

= 


=
.
α. Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο 0.
β. Να βρείτε (αν υπάρχει) το
0
( )
lim
( )x
f x
g x→
.

7. 7
Αν όµως στο πρώτο ερώτηµα ζητηθεί να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτή-
σεων αυτών που είναι:
1 1
2 , 0
( )
0, 0
x x
x x
f x
x
ηµ συν

− ≠

′ = 


=
&
3 2
2 1
, 0
( )
1
, 0
6
x x x
x
x x
g x
x
συν ηµ−
+ ≠


′ = 


− =

τότε κάποιοι µαθητές θα δουν ότι δεν υπάρχει το
0
lim ( )
x
f x
→
′ και θα δώσουν τη
λύση:
0
( )
lim
( )x
f x
g x→
=
0 0
( ) ( ) (0)
(0) 00lim lim 0
( ) ( ) (0) 1(0)
0 6
x x
f x f x f
fx x
g x g x g g
x x
→ →
−
′−= = = =
− ′
−
−
που είναι σωστή.
Παρατήρηση: Παρατηρώντας την δεύτερη λύση βλέπουµε ότι τελικά το όριο
0
( )
lim
( )x
f x
g x→
είναι ίσο3
µε
(0)
(0)
f
g
′
′
που δίνουν οι µαθητές και στην πρώτη λύση.
Όµως, η πρώτη λύση δεν µπορεί να γίνει αποδεκτή, επειδή οι µαθητές ισχυρί-
ζονται ότι
0
( ) (0)
lim 0
( ) (0)x
f x f
g x g→
′ ′
= =
′ ′
, ενώ το
0
( )
lim
( )x
f x
g x→
′
′
δεν υπάρχει αφού δεν υ-
πάρχει το
0
lim ( )
x
f x
→
′ . Την µη ύπαρξη του
0
lim ( )
x
f x
→
′ µπορούµε εύκολα να αποδεί-
ξουµε µε τη βοήθεια των ακολουθιών:
1
2
2
να
π
νπ
=
+
και
1
2
νβ
νπ
= για τις ο-
ποίες ισχύει ότι lim ( ) 0f να′ = και lim ( ) 1f νβ′ = − . Αυτόν τον τρόπο όµως δεν
µπορούµε να τον παρουσιάσουµε στους µαθητές, γιατί δεν γνωρίζουν την α-
ντίστοιχη θεωρία.
Επειδή στο σχολικό βιβλίο δεν τονίζεται ιδιαίτερα η µη ύπαρξη των lim
x
xηµ
→±∞
και lim
x
xσυν
→±∞
(δείτε το παράδειγµα στο κριτήριο παρεµβολής) και στις πανελ-
λαδικές εξετάσεις έχουν δοθεί σχετικά θέµατα4
θα πρέπει να το τονίζουµε εµείς
κατά τη διδασκαλία. Εγώ για παράδειγµα για να πείσω τους µαθητές µου ότι
3
Γενικά αποδεικνύεται ότι αν f και g είναι δύο συναρτήσεις, οι οποίες ορίζονται σε µια περιοχή ενός
σηµείου xo και είναι παραγωγίσιµες στο xo και ισχύουν f(xo) = g(xo) = 0, g(x) ≠ 0 κοντά στο xo και
g΄(xo) ≠ 0 τότε:
( )
lim
( )ox x
f x
g x→
=
( )
( )
o
o
f x
g x
′
′
.
4
Στις εξετάσεις του 2001 ζητήθηκε ο υπολογισµός του ορίου 2
lim (2 )
1x
x
x
x
ηµ
→+∞
 
⋅ 
+ 
.

8. 8
δεν υπάρχουν τα όρια lim
x
xηµ
→±∞
και lim
x
xσυν
→±∞
και να χρησιµοποιούν τη διαδι-
κασία της φραγµένης συνάρτησης για τον υπολογισµό ορίων σαν το παραπά-
νω, χρησιµοποιούσα γραφικό τρόπο. Παρουσίαζα στους µαθητές για σύγκριση
και αντιδιαστολή τις γραφικές παραστάσεις δύο συναρτήσεων, όπως π.χ. τις
παρακάτω:
και
στις οποίες παρατηρούµε τα εξής:
• Στην πρώτη γραφική παράσταση η καµπύλη στο +∞ προσεγγίζει µια οριζό-
ντια ευθεία µε εξίσωση y = l. Αυτό σηµαίνει ότι υπάρχει το lim ( )
x
f x
→+∞
και
ισούται µε l, δηλαδή lim ( )
x
f x l
→+∞
= .
• Στη δεύτερη, που είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )f x xηµ= ,
η οποία είναι φραγµένη, φαίνεται καθαρά ότι η ταλάντωση συνεχίζεται ως
το +∞ και το -∞ που σηµαίνει ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης
( )f x xηµ= στο +∞ και στο -∞ δεν προσεγγίζει µια οριζόντια ευθεία, δηλα-
δή δεν υπάρχουν τα όρια lim
x
xηµ
→+∞
και lim
x
xηµ
→−∞
.

9. 9
Γ΄ Παράγωγος τετραγωνικής ρίζας συνάρτησης
Τέλος, ένα άλλο σοβαρό λάθος που γίνεται από µερικούς µαθητές της Γ΄ Λυ-
κείου είναι στην παραγώγιση της τετραγωνικής ρίζας µιας συνάρτησης g, η
οποία παίρνει µη αρνητικές τιµές και υπάρχει οπωσδήποτε τουλάχιστον ένα
σηµείο που µηδενίζεται. Το λάθος εδώ αφορά σε κάθε σηµείο που µηδενίζεται
η g. Επειδή η συνάρτηση y x= δεν παραγωγίζεται στο 0, πολλοί µαθητές
νοµίζουν ότι και η συνάρτηση ( ) ( )f x g x= δεν παραγωγίζεται σε κάθε ση-
µείο που µηδενίζεται η g (προφανώς και η f ) και έτσι δεν κάνουν ειδικό έλεγ-
χο.
Αυτό για τους µαθητές θεωρώ πως είναι δικαιολογηµένο, γιατί στο σχολικό
βιβλίο στην εύρεση της παραγώγου της συνάρτησης y x= δεν ελέγχεται αν η
συνάρτηση αυτή είναι παραγωγίσιµη και στο 0, αλλά γίνεται παραποµπή σε
προηγούµενη παράγραφο που είναι εκτός ύλης. Αυτό έχει ως αποτέλεσµα οι
µαθητές να µη συνειδητοποιούν ότι πρέπει να ελέγχεται και αυτή η περίπτωση.
Γι’ αυτό εδώ είναι πολύ σηµαντικός ο ρόλος του εκπαιδευτικού, ο οποίος πρέ-
πει να τονίζει ιδιαίτερα την περίπτωση αυτή παρουσιάζοντας στους µαθητές
και ειδικά παραδείγµατα, όπως το παρακάτω:
Παράδειγµα: Έστω ότι ζητάµε από τους µαθητές να βρουν την παράγωγο της
συνάρτησης:
( ) , [0, ]f x x x xηµ π= ∈ .
Επειδή η δοθείσα συνάρτηση µηδενίζεται στα σηµεία 0 και π, πολλοί µαθητές
θεωρούν ότι δεν παραγωγίζεται σ’ αυτά τα σηµεία και δίνουν ως παράγωγο τη
συνάρτηση:
1
( ) ( ), (0, )
2
f x x x x x
x x
ηµ συν π
ηµ
′ = ⋅ + ∈ .
Γι’ αυτό εµείς θα πρέπει να τονίζουµε ότι αν έχουµε µια τέτοια συνάρτηση θα
πρέπει να ελέγχουµε αν είναι παραγωγίσιµη και στα σηµεία µηδενισµού της.
Έτσι, για την παραπάνω συνάρτηση πρέπει να γίνει έλεγχος για τα σηµεία 0
και π. Έχουµε λοιπόν:
α) Έλεγχος για το σηµείο 0:
20 0 0 0
( ) (0)
lim lim lim lim 1
0x x x x
x xf x f x x x
x x xx
ηµ ηµ ηµ
→ → → →
−
= = = =
−
β) Έλεγχος για το σηµείο π:
2
( ) ( ) ( ) 1 ( )
lim lim lim lim
( )x x x x
x xf x f x x x x
x x x xxπ π π π
ηµπ ηµ π ηµ π
π π π ππ→ → → →
− − −
= = − = − ⋅ = −∞
− − − −−

10. 10
Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη και στο 0, ενώ στο π
δεν είναι, οπότε η παράγωγός της είναι η συνάρτηση:
1
( ), (0, )
2
( )
1, 0
x x x x
x x
f x
x
ηµ συν π
ηµ

⋅ + ∈

′ = 


 =
Εποπτικά αυτό φαίνεται στη γραφική παράσταση της f που ακολουθεί, στην
οποία παρατηρούµε ότι η κλίση της f στο 0 είναι ίση µε 1, ενώ στο π απειρί-
ζεται αρνητικά, αφού η Cf στο σηµείο αυτό κατεβαίνοντας (αρνητική κλίση)
τέµνει κάθετα τον άξονα x΄x.
Γενική παρατήρηση: Ο τίτλος του αντίστοιχου κεφαλαίου είναι:
«∆ιαφορικός Λογισµός».
Όµως, στο κεφάλαιο αυτό σε κανένα σηµείο δεν δίνεται η έννοια του διαφο-
ρικού µιας συνάρτησης σε ένα σηµείο xo του πεδίου ορισµού της στο οποίο
είναι παραγωγίσιµη. Γι’ αυτό οι µαθητές ίσως απορούν γιατί ονοµάζεται έτσι
το συγκεκριµένο κεφάλαιο.
Είναι γνωστό ότι αν µια συνάρτηση y = f(x) είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο
xo του πεδίου ορισµού της, τότε το διαφορικό5
της f στο σηµείο xo ορίζεται ως
εξής:
( ) ( )o ody df x f x dx′= = .
5
Ο Leibniz επινόησε τα απείρως µικρά µεγέθη τα οποία ονόµασε διαφορικά και για την απόδοσή τους
χρησιµοποίησε τον συµβολισµό που χρησιµοποιείται και σήµερα.

11. 11
Παρατηρούµε ότι το διαφορικό µιας συνάρτησης f σε ένα σηµείο xo του πεδί-
ου ορισµού της στο οποίο είναι παραγωγίσιµη είναι µια γραµµική συνάρτηση
µε τη βοήθεια της οποίας υπολογίζονται µε µεγάλη ακρίβεια οι τιµές της f για
τιµές του x κοντά στο xo. ∆ηλαδή έχουµε:
( ) ( ) ( ) ( )o o o of x dx f x dy f x f x dx′+ ≈ + = + .
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης του διαφορικού της f στο xo ταυτίζε-
ται µε την εφαπτοµένη της Cf στο σηµείο (xo, f (xo)). Πρέπει να σηµειωθεί ότι
το διαφορικό µιας συνάρτησης f σε ένα σηµείο xo ορίζεται µόνο εάν υπάρχει η
παράγωγος της f στο xo.
Στο σηµείο αυτό επιτρέψτε µου να εκφράσω την προσωπική µου άποψη σχετι-
κά µε την διδασκαλία της έννοιας του διαφορικού στους µαθητές της Γ΄ Λυ-
κείου.
Νοµίζω ότι η έννοια του διαφορικού δεν είναι δύσκολη και γι’ αυτό θα µπο-
ρούσε να εισαχθεί στην ύλη των Μαθηµατικών Κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου.
Θεωρώ ότι συναρτήσεις σαν την παραπάνω προσφέρονται για την παρουσίαση
της έννοιας του διαφορικού µιας συνάρτησης σε µαθητές της Γ΄ Λυκείου, γιατί
εµφανίζονται και οι δύο οι περιπτώσεις και έτσι οι µαθητές µπορούν να τις συ-
γκρίνουν και να τις κατανοήσουν καλύτερα. Πιο συγκεκριµένα, για την παρα-
πάνω συνάρτηση f ορίζεται διαφορικό στο σηµείο 0 επειδή η f είναι παραγωγί-
σιµη στο 0, ενώ στο π που δεν είναι παραγωγίσιµη δεν ορίζεται διαφορικό. Οι
µαθητές µπορούν να το διαπιστώσουν αυτό και εποπτικά ως εξής: Παρατηρούν
ότι η γραφική παράστασης της f στο σηµείο Ο(0, f (0)) έχει πλάγια εφαπτοµέ-
νη που είναι γραφική παράσταση συνάρτησης (ορίζεται διαφορικό), ενώ στο
σηµείο Α(π, f(π)) η Cf έχει κατακόρυφη εφαπτοµένη που δεν είναι γραφική πα-
ράσταση συνάρτησης (δεν ορίζεται διαφορικό).
Αν λοιπόν εισαχθεί η έννοια του διαφορικού στην ύλη των Μαθηµατικών Κα-
τεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου, τότε οι µαθητές θα κατανοούν:
1. τον τίτλο του αντίστοιχου κεφαλαίου,
2. τον όρο «διαφορικές εξισώσεις»,
3. το διαφορικό ( )du g x dx′= που συναντούν στον Ολοκληρωτικό Λογισµό,
4. γιατί µια παραγωγίσιµη συνάρτηση λέγεται και διαφορίσιµη και τέλος
5. γιατί στον ορισµό της παραγώγου, όταν το όριο
( ) ( )
lim
o
o
x x
o
f x f x
x x→
−
−
υπάρχει
και δεν είναι πραγµατικός αριθµός, δεν λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη
(διαφορίσιµη) στο xo.