Nguyen ham va tich phan

Traàn Só Tuøng Tích phaân
Nhaéc laïi Giôùi haïn – Ñaïo haøm – Vi phaân
lim sin u(x) 1
lim ln(1 x) 1
® x
= ( u )' u'
= (ln u )' u'
= a
(tgu)' u' (1 tg u).u'
= = + 2
(cot gx)' 1 (1 cot g x)
Trang 1
1. Caùc giôùi haïn ñaëc bieät:
a)
lim sin x 1
®
=
x 0
x
Heä quaû:
lim x 1
®
=
x 0
sinx
®
=
u(x) 0
u(x)
lim u(x) 1
®
=
u(x) 0
sinu(x)
b)
x
lim 1 1 e, x R
x
®¥ x
æ + ö = Î ç ÷
è ø
Heä quaû:
1
x
lim(1 + x) =
e.
x ®
0
x 0
+
=
x
lim e -
1 =
1
x ® 0
x
2. Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn vaø caùc heä quaû:
(c)’ = 0 (c laø haèng soá)
(xa )' = axa-1 (ua )' = aua-1u'
1 ' 1
x x
2
æ ö = - ç ÷
è ø
1 ' u'
u u
2
æ ö = - ç ÷
è ø
( x )' 1
2 x
2 u
=
(ex )' = ex (eu )' = u'.eu
(ax )' = ax .ln a (au )' = au .lna . u'
(ln x )' 1
x
u
=
(log x ') 1
a
x.lna
(log u )' u'
u.lna
=
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu
(tgx)' 1 1 tg 2
x
cos 2
x
= = +
cos 2
u
2
-=
sin 2
x
(cot gu)' u' (1 cot g u).u'
-==- +
=- + 2
sin 2
u
3. Vi phaân:
Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a ; b) vaø coù ñaïo haøm taïi xÎ(a; b) . Cho soá
gia Dx taïi x sao cho x + Dx Î(a; b) . Ta goïi tích y’.Dx (hoaëc f’(x).Dx) laø vi phaân cuûa
haøm soá y = f(x) taïi x, kyù hieäu laø dy (hoaëc df(x)).
dy = y’.Dx (hoaëc df(x) = f’(x).Dx
AÙp duïng ñònh nghóa treân vaøo haøm soá y = x, thì
dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx
Vì vaäy ta coù: dy = y’dx (hoaëc df(x) = f’(x)dx)

Tích phaân Traàn Só Tuøng
NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN
§Baøi 1: NGUYEÂN HAØM
Trang 2
1. Ñònh nghóa:
Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) neáu moïi x
thuoäc (a ; b), ta coù: F’(x) = f(x).
Neáu thay cho khoaûng (a ; b) laø ñoaïn [a ; b] thì phaûi coù theâm:
F'(a+ ) = f(x) vaø F'(b- ) = f(b)
2. Ñònh lyù:
Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) thì :
a/ Vôùi moïi haèng soá C, F(x) + C cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân
khoaûng ñoù.
b/ Ngöôïc laïi, moïi nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) ñeàu coù theå
vieát döôùi daïng: F(x) + C vôùi C laø moät haèng soá.
Ngöôøi ta kyù hieäu hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) laø òf(x)dx. Do
ñoù vieát:
òf(x)dx = F(x) + C
Boå ñeà: Neáu F¢(x) = 0 treân khoaûng (a ; b) thì F(x) khoâng ñoåi treân khoaûng ñoù.
3. Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm:
· (òf(x)dx)' = f(x)
· òaf(x)dx = aòf(x)dx (a ¹ 0)
· ò[f(x) + g(x)]dx = òf(x)dx + òg(x)dx
· òf(t)dt =F(t) + C Þ òf [u(x)]u'(x)dx = F[u(x)]+ C = F(u) + C (u = u(x))
4. Söï toàn taïi nguyeân haøm:
· Ñònh lyù: Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a ; b] ñeàu coù nguyeân haøm treân ñoaïn ñoù.

BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM
Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp
thöôøng gaëp
ò = + ¹ du lnu C (u u(x) 0)
du (1 tg u)du tgu C
cos u
ò = ò + = + 2
dx (1 cotg x)dx cot gx C
sin x
du (1 cotg u)du cot gu C
sin u
ò = ò + = - + 2
ò = + > du u C (u 0)
ò + = + + ¹
ò + = - + + ¹
+ ò
eax bdx 1 eax b C (a 0)
ò + = + + ¹
Trang 3
Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp
(döôùi ñaây u = u(x))
òdx = x + C òdu = u + C
x 1 x dx C ( 1)
1
a+
a + ò
a = + a ¹ -
u 1 u du C ( 1)
1
a+
a + ò
a = + a ¹ -
dx lnx C (x 0)
x
ò = + = ¹
u
òexdx = ex + C òeudu = eu + C
x
axdx a C (0 a 1)
ò = + < ¹
lna
u
audu a C (0 a 1)
ò = + < ¹
lna
òcosxdx = sin x + C òcos udu = sin u + C
òsin xdx = -cosx + C òsin udu = -cos u + C
dx (1 tg 2
x)dx tgx C
cos 2
x
ò = ò + = +
2
2
2
ò = ò + = - +
2
dx x C (x 0)
2 x
ò = + >
2 u
cos(ax b)dx 1 sin(ax b) C (a 0)
a
sin(ax b)dx 1 cos(ax b) C (a 0)
a
dx = 1ln ax + b +
C
ax b a
a
dx 2 = ax ++ b C (a ¹
0)
ax b a
+ ò

Vaán ñeà 1: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG ÑÒNH NGHÓA
Baøi toaùn 1: CMR F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b)
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b)
+ Böôùc 2: Chöùng toû raèng F'(x) =f(x) vôùi "x Î(a; b)
Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau:
= " Î ìï
= íï
î =
f(x) 1
+
F'(x) [ln(x x a)]' (x x a)' 2 x a
+ + + = + + = =
x x a x x a
e khix 0
ìï ³ = í
îï + + <
Trang 4
Xaùc ñònh F’(a+)
Xaùc ñònh F’(b–)
+ Böôùc 2: Chöùng toû raèng
F'(x) f(x), x (a ; b)
F'(a +
) f(a)
F'(b -
) f(b)
Ví duï 1: CMR haøm soá: F(x) = ln(x + x2 + a) vôùi a > 0
laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá
x 2
a
=
+
treân R.
Giaûi:
Ta coù:
1 2x
2 2
2
2 2
+ + + +
x 2
+ a +
x 1 f(x)
= = =
2 2 2
x a(x x a) x a
+ + + +
Vaäy F(x) vôùi a > 0 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R.
x
Ví duï 2: CMR haøm soá:
2
F(x)
x x 1 khix 0
Laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá
ex khi x 0
f(x)
ì ³
= í
î + <
2x 1 khix 0
treân R.
Giaûi:
Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp:
a/ Vôùi x ¹ 0 , ta coù:
ex khi x 0
F'(x)
ì >
= í
î + <
2x 1 khix 0
b/ Vôùi x = 0, ta coù:

· Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0.
2 0
F'(0 ) lim F(x) - F(0) lim x + x + 1 -
e 1.
= = =
- x 0 - x
-
x 0 x 0
F'(0 ) lim F(x) - F(0) lim e -
e 1.
= = =
+ x 0 + x
ì ³
= í =
î + <
Trang 5
-
® ®
· Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0.
x 0
-
x 0 x 0
+
® ®
Nhaän xeùt raèng F'(0- ) = F'(0+ ) = 1 Þ F'(0) = 1.
Toùm laïi:
ex khi x 0
F'(x) f(x)
2x 1 khix 0
Vaäy F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R.
Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x)
treân (a ; b).
+ Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø:
F'(x)= f(x) vôùi "x Î(a; b)
Duøng ñoàng nhaát cuûa haøm ña thöùc Þ giaù trò tham soá.
Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau:
Xaùc ñònh F’(a+)
Xaùc ñònh F’(b–)
+ Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø:
F'(x) f(x), x (a ; b)
F'(a ) f(a)
F'(b ) f(b)
= " Î ìï
+
= î -
=
íï
Þ giaù trò cuûa tham soá.
Baøi toaùn 3: Tìm haèng soá tích phaân
· Duøng coâng thöùc ñaõ hoïc, tìm nguyeân haøm: F(x) = G(x) + C
· Döïa vaøo ñeà baøi ñaõ cho ñeå tìm haèng soá C.
Thay giaù trò C vaøo (*), ta coù nguyeân haøm caàn tìm.

ì £
= í
î + >
ì <
= í > î
limF(x) = limF(x) = f(1) Û a + b = 1 Û b = 1 -
a (1)
® - ® +
F'(1) = lim f(x) - F(1) lim x -
1 2.
= =
® x 1 ® - x 1
- -
F'(1 ) lim F(x) - F(1) lim ax + b - 1 lim ax + 1 - a -
1 a.
= = = =
+ x 1 + x 1 + x 1
- - -
Trang 6
Ví duï 3: Xaùc ñònh a , b ñeå haøm soá:
x2 khi x 1
F(x)
ax b khix 1
laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá:
2x khix 1
f(x)
ì £
= í > î
2 khix 1
treân R.
Giaûi:
Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp:
2x khix 1
a/ Vôùi x ¹ 1, ta coù:
F'(x)
2 khix 1
b/ Vôùi x = 1, ta coù:
Ñeå haøm soá F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, tröôùc heát F(x) phaûi lieân tuïc taïi x = 1, do
ñoù :
x 1 x 1
· Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá y = F(x) taïi ñieåm x = 1.
2
x 1 x 1
· Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 = 0.
x 1 x 1 x 1
+
® ® ®
Haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1 ÛF'(1- ) = F'(1+ ) Û a = 2. (2)
Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc b = –1.
Vaäy haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, neáu vaø chæ neáu a = 2, b = –1.
Khi ñoù: F’(1) = 2 = f(1)
Toùm laïi vôùi a = 2, b = 1 thì F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x).
Ví duï 4: Xaùc ñònh a , b , c ñeå haøm soá: F(x)=(ax2 + bx + c)e-2x laø moät nguyeân haøm cuûa
F(x) = - (2x2 - 8x + 7)e-2x treân R.
Giaûi:
Ta coù: F'(x)=(2ax + b)e-2x - 2(ax2 + bx + c)e-2x = éë-2ax2 + 2(a - b)x + b - 2cùûe-2x
Do ñoù F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân R
Û F'(x) = f(x), "xÎR
Û-2ax2 + 2(a - b)x + b - 2c = - 2x2 + 8x - 7, "x Î R
a 1 a 1
a b4 b 3
b 2c 7 c 2
ì = ì =
Û ï - = Û ï = - í í
ï - = - ï = î î
Vaäy F(x) =(x2 -3x + 2)e-2x .

BAØI TAÄP
Baøi 1. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ln tg x
æ p ö = ç + ÷
2 ln(x 1) , x 0 f(x) x 1 x
F(x) cuûa f(x) x 3x 3x 7 vaø F(0) 8.
= =
æ p ö p = ç ÷ =
- + æ ö = ç +¥÷
Trang 7
2 4
è ø
Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) 1
= .
cosx
Baøi 2. Chöùng toû raèng haøm soá
ln(x2 1) F(x) , x 0 x 0,x 0
ì +
ï ¹ =íï
î =
laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá
ì 2
+
ï - ¹ = 2 + íï
2
î =
1 ,x 0
Baøi 3. Xaùc ñònh a, b, c sao cho haøm soá F(x) = (ax2 + bx + c).e-x laø moät nguyeân haøm cuûa
haøm soá f(x) = (2x2 - 5x + 2)e-x treân R.
ÑS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1.
Baøi 4. a/ Tính nguyeân haøm
3 2
+ + -
2
(x 1)
+
b/ Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) sin2 x vaø F .
2 2 4
è ø
ÑS: a/
x2 8 F(x) x ;
= + +
2 x 1
+
b/ F(x) 1 (x sin x 1)
2=- +
Baøi 5. a/ Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c sao cho haøm soá:
F(x) = (ax2 + bx + c) 2x - 3 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá:
20x2 30x 7 3 f(x) treân khoaûng ;
2x 3 2
- è ø
b/ Tìm nguyeân haøm G(x) cuûa f(x) vôùi G(2) = 0.
ÑS: a/ a = 4; b = -2; c = 1; b/ G(x) =(4x2 - 2x +10) 2x -3 - 22.

Vaán ñeà 2: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG VIEÄC SÖÛ DUÏNG BAÛNG
CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN
Ví duï 1: CMR , neáu òf(x)dx = F(x) + C thì f(ax b)dx 1 F(ax b) C vôùi a 0.
+ = + + ¹
ò + = ò + + + + .
ò + = ò + + = + = +
ò = -ò = - +
2e dx 2 d(e 1) 2 ln(e 1) C
e 1 e 1
ò = ò + + = + +
ò = ò - = - +
cot g xdx 1 1 dx cot gx x C
= æ - ö = - - + ç ÷
è ø ò ò
ò = ò = - ò = - +
Trang 8
ò + = + + ¹
a
Giaûi:
Ta luoân coù: f(ax b)dx 1 f(ax b)d(ax b) vôùi a 0.
a
AÙp duïng tính chaát 4, ta ñöôïc: f(ax b)dx 1 (ax b)d(ax b) 1 F(ax b) C (ñpcm)
a a
Ghi chuù: Coâng thöùc treân ñöôïc aùp duïng cho caùc haøm soá hôïp:
òf(t)dt = F(t) + C Þ òf(u)du = F(u) + C, vôùi u = u(x)
Ví duï 2: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau:
a/ ò(2x + 3)3dx b/ òcos4 x.sin xdx c/
x
ò 2e dx
d/
e x
+1 (2 ln x 1)2dx
+ ò
x
Giaûi:
a/ Ta coù:
4 4
(2x 3)3dx 1 (2x 3)3d(2x 3) 1 . (2x + 3) C (2x +
3) C.
2 2 4 8
b/ Ta coù:
5
cos4 x.sin xdx cos4 xd(cos x) cos x C
5
c/ Ta coù:
x x
x
ò x ò
+ x
+ +
= = + +
d/ Ta coù:
2
(2 ln x +
1) dx 1 (2 ln x 1)2d(2 ln x 1) 1 (2 ln x 1)3 C.
x 2 2
a/ 2sin2 x dx
ò 2 b/ òcot g2xdx c/ òtgxdx d/ 3
tgx dx
ò cos x
Giaûi:
a/ Ta coù: 2sin2 x dx (1 cosx)dx x sin x C
2
b/ Ta coù: 2
sin 2
x
c/ Ta coù: tgxdx sin x dx d(cosx) ln cosx C
cosx cosx

tgx dx sin x dx d(cosx) 1 cos x C 1 C.
cosx cosx cosx 3 3cos x
ò = ò =- ò = - - + = - +
d/ Ta coù: 3
3 4 4 3
x dx
1+ x ò b/ 2
x dx 1 d(1 x ) 1 ln(1 x ) C
1 x 2 1 x 2
+ + ò ò
= = + +
= = æ - ö ç ÷
ò ò ò
- + - - è - - ø ln x 2 ln x 1 C ln x -
2 C.
= - - - + = +
= b/ f(x) sin3 x.
- + +
- - - - + e/ ln(ex + 2) + C.
- ò
- + e/ 1 (3 4lnx) 3 4lnx C.
Trang 9
a/ 2
1 dx
x - 3x + 2 ò
Giaûi:
a/ Ta coù:
2
2
+
2 2
b/ Ta coù: 2
1 dx 1 dx 1 1 dx
x 3x 2 (x 1)(x 2) x 2 x 1
x 1
-
BAØI TAÄP
Baøi 6. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:
a/ f(x) cos2 x ;
2
ÑS: a/ 1 (x sinx) C ;
2
+ + b/ 3 cos x 1 cos x C.
3
Baøi 7. Tính caùc tích phaân baát ñònh :
a/ òex (2 - e-x )dx; b/
x
x
e dx ;
ò 2 c/
2x x x
ò 2 .3 .5 dx
.
10 x
d/
2 5x
e 1dx;
e
- ò + e/
x
x
x
e dx
e + 2 ò
ÑS: a/ 2ex - x + C; b/
x
e C;
x
(1 ln2)2
+
-
c/
6x +
C
ln6
d/ 1 e2 6x e x C;
6
Baøi 8. Tính caùc tích phaân baát ñònh :
a/ ò x4 + x-4 + 2 dx ; b/ ò 3 x 5 xdx ; c/ òx x2 +1dx ;
d/ ò(1- 2x)2001dx; e/ 3 4 ln xdx
x
ÑS: a/
x3 1 C;
3 x
- + b/ 5 7 5 x C;
7
+ c/ 2 2 1 (x 1) x 1 C
3
+ + + ;
d/
1 2002 . (1 -
2x)C;
2 2002
6
+ + +

Vaán ñeà 3: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH
Phöông phaùp phaân tích thöïc chaát laø vieäc söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc ñeå bieán ñoåi bieåu
thöùc döôùi daáu tích phaân thaønh toång caùc bieåu thöùc maø nguyeân haøm cuûa moãi bieåu thöùc ñoù
coù theå nhaän ñöôïc töø baûng nguyeân haøm hoaëc chæ baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñôn giaûn ñaõ bieát.
Chuù yù quan troïng: Ñieåm maáu choát laø pheùp phaân tích laø coù theå ruùt ra yù töôûng cho rieâng
mình töø moät vaøi minh hoaï sau:
· Vôùi f(x) = (x3 - 2)2 thì vieát laïi f(x) = x6 - 4x3 + 4.
= = - +
f(x) 1 thì vieát laïi f(x) 1 1
= = -
= = - - +
ò ò ò ò
I (1 x) dx (1 x) dx (1 x) d(1 x) (1 x) d(1 x)
= - - - =- - - + - -
= = + -
Trang 10
· Vôùi
f(x) x2 - 4x +
5 thì vieát laïi f(x) x 3
2 x 1 x 1
- -
.
· Vôùi 2
x 5x 6 x 3 x 2
- + - -
· Vôùi f(x) 1 thì vieát laïi f(x) 1 ( 3 2x 2x 1)
2x 1 3 2x 2
+ + -
· Vôùi f(x) =(2x - 3x )2 thì vieát laïi f(x) = 4x - 2.6x + 9x.
· Vôùi f(x) = 8cos3 x.sin x thì vieát laïi f(x)= 2(cos3x + 3cosx).sin x
= 2 cos3x.sin x + 6 cosx.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + 2sin 2x.
· tg2x = (1+ tg2x) -1
· cot g2x = (1+ cot g2x) -1
x n (1 + x 2
) +
1 1
·
= x n
+
1 x 1 x
2 2
+ +
.
Ñoù chæ laø moät vaøi minh hoaï mang tính ñieån hình.
Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = òx(1- x)2002dx.
Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc : x = 1 – (1 – x)
ta ñöôïc: x(1- x)2002 = [1- (1- x)](1- x)2002 = (1- x)2002 - (1- x)2003.
Khi ñoù:
2002 2003 2002 2003
(1 - x) 2003 (1 -
x) 2004
C.
2003 2004
= - + +
Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh: I = òx(ax + b)adx, vôùi a ¹ 0
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x 1 .ax 1 [(ax b) b]
a a

+ a = + - + a = ò + a+ + - ò + a +
= ò + - + - ò + - +
[ (ax b) d(ax b) (ax b) d(ax b)]
a
1 [ln ax b 1 ] C.
a ax b
= + + +
I 1 [ d(ax b) (ax b) d(ax b)] 1 [ax b ln ax b ] C.
= ò + - ò + - + = + - + +
a a
I 1 [(ax b) (ax b) ] C.
a 2 1
I dx
- - - æ ö = = = ç - ÷ - + - - - - è - - ø
è - - ø - - ò ò ò ò I 1 . dx dx 1 [ d(x 3) d(x 1) ' 1 .(ln x 3 ln x 1) C
I 1 ( x 2 x 3)dx 1 [ (x 2) d(x 2) (x 3) d(x 3)]
ò ò ò
= + + - = + + + - -
I dx .
Trang 11
Ta ñöôïc:
x(ax b) 1[(ax b) b)(ax b) 1[ (ax b) 1d(ax b) (ax b) d(ax d)]
a a
Ta xeùt ba tröôøng hôïp :
· Vôùi a = 2, ta ñöôïc: 1 2
1I
2
2
+
· Vôùi a = –1, ta ñöôïc:
1
2 2
· Vôùi a Î R {-2; -1}, ta ñöôïc:
2 1
2
+ a+ + a+
= + +
a+ a+
Ví duï 2: Tính tích phaân baát ñònh: 2
x 4x 3
=
- + ò
Giaûi:
Ta coù: 2
1 1 1 . (x 1) (x 3) 1 . 1 1
x 4x 3 (x 3)(x 1) 2 (x 3)(x 1) 2 x 3 x 1
Khi ñoù: = æç - ö÷ = - - - = - - - +
2 x 3 x 1 2 x 3 x 1 2
1 ln x -
3 C.
2 x 1
= +
-
Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: I dx
x 2 x 3
=
+ + - ò
Giaûi:
Khöû tính voâ tæ ôû maãu soá baèng caùch truïc caên thöùc, ta ñöôïc:
1 1
2 2
5 5
2 [ (x 2) 3 (x 3) 3
] C.
15
= + + - +
sinx.cos x
= ò
Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: sin2 x + cos2 x = 1,

1 sin x cos x sin x 1 sin x 2 . 1 . sin x.cos x sin x.sin x cos x sin x cos x cos x tg x
1 d tg x I ò sin x dx ò 2 dx ò d(cosx) ò è 2 ø 1 ln tg x = + x x = -+ x = + +
C. cos x cos tg cos x tg cosx 2
I dx .
I 1 . dx (1 tg x)d(tgx) d(tgx) tg xd(tgx) tgx 1 tg x C.
= ò = ò + = ò + ò = + +
cos x cosx 3
f(x) 2 x x e 3x
= d/ f(x) 1
- + - + ; b/ x 4 e lnx C;
+ + + d/ 3 3 1 (3x 4) (3x 2) C.
Trang 12
Ta ñöôïc:
2 2
2 2 2 2
1
2
2 2
+
= = + = +
Suy ra: 2 2
2
æ ö
ç ÷
22 2
cos x
= ò
Giaûi:
dx d(tgx)
cos x
Söû duïng keát quaû: 2
=
ta ñöôïc: 2 2 3
2 2
BAØI TAÄP
Baøi 9. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:
a/ f(x) = (1- 2x2 )3 ; b/
3x 2
3
- -
= ;
x
c/
(2 x)2 f(x) ;
x
+
3x 4 3x 2
=
+ - +
ÑS: a/ x 2x3 12 x5 8 x7 C
5 7
- - + +
3x x
c/ 3 2 6 3 2 6 x 24 x x 3 x x C;
7 5
9
éë - + + ùû +
f(x) 1 ;
a/ 2
x 6x 5
=
- +
b/
f(x) 4x2 + 6x +
1 ;
2x 1
=
+
c/
f(x) 4x3 + 4x2 -
1 ;
2x 1
=
+
d/
3
f(x) 4x 9x 1;
- + +
=
2
9 4x
-
ÑS: a/ 1 ln x -
5 C;
4 x 1
+
-
b/ x2 2x 1 ln 2x 1 C;
+ - + +
2
c/ 2 x3 1 x2 1 x 1 ln 2x 1 C
3 2 2 4
+ - - + + ; d/
x2 1 ln 2x -
3 - +
C.
2 12 2x 3
+

æ p ö æ p ö ç - ÷ ç + ÷ è ø è ø
a/ (sin x + cos x)2 ; b/ cos 2x .cos 2x ;
- + ; b/ 1 sin 5x 7 1 sin x C
+ + d/ 3 x 1 si n2x 1 si n4x C;
+ + f/ 5 x 3 sin8x C.
Trang 13
3 4
c/ cos3 x;
d/ cos4 x; e/ sin4 x + cos4 x; f/ sin6 2x + cos6 2x.
ÑS: a/ 1xcos2x C
2
æ p ö æ p ö ç + ÷ + ç - ÷ +
è ø è ø
10 12 2 12
c/ 3 sin x 1 si n3x C;
4 12
+ + +
8 4 31
e/ 3 x sin 4x C;
4 16
+ +
8 64

Vaán ñeà 4: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ
Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñöôïc söû duïng khaù phoå bieán trong vieäc tính caùc tích phaân baát
ñònh. Phöông phaùp ñoåi bieán soá ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm coù hai daïng döïa treân ñònh lyù sau:
Ñònh lyù:
a/ Neáu òf(x)dx = F(x) + C vaø u = j(x) laø haøm soá coù ñaïo haøm thì òf(u)du = F(u) + C.
b/ Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc thì khi ñaët x = j(t) trong ñoù j(t) cuøng vôùi ñaïo haøm cuûa noù
(j’(t) laø nhöõng haøm soá lieân tuïc, ta seõ ñöôïc: òf(x)dx = òf[j(t)].j'(t)dt.
Töø ñoù ta trình baøy hai baøi toaùn veà phöông phaùp ñoåi bieán nhö sau:
Baøi toaùn 1: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 1 tích tích phaân baát ñònh I = òf(x)dx.
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc:
+ Böôùc 1: Choïn x = j(t), trong ñoù j(t) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp.
+ Böôùc 2: Laáy vi phaân dx = j’(t)dt
+ Böôùc 3: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt
+ Böôùc 4: Khi ñoù I = òg(t)dt.
Löu yù: Caùc daáu hieäu daãn tôùi vieäc löïa choïn aån phuï kieåu treân thoâng thöôøng laø:
Daáu hieäu Caùch choïn
é p p = - £ £ êê
= £ £ p êë
é é p pù ê = Î ê- ú ê ë û
p ê=
Î p êë
é p p = - < < êê
= < < p êë
I dx .
Trang 14
a2 - x2
x a sint vôùi t
2 2
x x cost vôùi0 t
x2 - a2
ax
vôùit ; {0}
sint 2 2
axvôùi t [0; ] { }
cost 2
a2 + x2
x a tgt vôùi t
2 2
x a cot gt vôùi0 t
a x hoaëc a x
ax a x
+ -
- +
x = acos2t
(x - a)(b - x) x = a + (b – a)sin2t
Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh:
2
(1 x )
=
- ò
Giaûi:
p p
Ñaët x sint; t
= - < <
2 2

dx cos tdt & dx cos tdt dt d(tgt)
Suy ra: 2 3 3 2
= = = =
(1 x ) cos t cos t
I d(tdt) tgt C x C.
- ò
= = + = +
p p ìï = - < < Þ > Þí
I x dx
x 1
= < < Suy ra: 2
x dx 2dt 2(cos t +
sin t) dt
x 1 sin 2t 8sin t cos t
1 (cot gt. 1 tgt. 1 1 )dt
4 sint cos t sint cost
1 (cot gt. 1 tdt. 1 2 1 )
4 sint cos t tgt cos t
1 [ cot gt.d(cot gt) tgt.d(tgt) 2 d(tgt)].
4 tgt
=- + +
= - + +
= - -ò + ò + ò
1 ( 1 cot g t 1 tg t 2ln tgt ) C 1 (cot g t tg t) 1 ln tgt C
4 2 2 8 2
1 x x 1 1 ln x x 1 C.
2 2
=- - + + + = - - +
cos t sin t 4cos2t 4 1 sin 2t 4 1
- -
cotg t tgt 1
- = = = = -
2 2
sint 2sin t 1 cos2t 1 cos 2t
cost 2sint.cost sin2t sin2t sin 2t
Trang 15
-
Khi ñoù:
2
1 x
Chuù yù: Trong ví duï treân sôû dó ta coù: 2 3 3
2
(1 x ) cos t vaø tgt x
1 x
- = =
-
laø bôûi:
2
2 2
cos t cost
t cost 0
2 2 cost 1 sin t 1 x
= - = - ïî
2
2
=
- ò
Giaûi:
Vì ñieàu kieän x > 1, ta xeùt hai tröôøng hôïp :
· Vôùi x > 1
Ñaët: 1x
;0 t
p
sin2t 4
dx 2 cos2tdt
sin 2t
=
ú
2 2 2 2
=- = -
2 3 3 3
-
2 2
2 2 2
=- - + +
Khi ñoù: I 1 [ cot gt.d(cot gt) tgt.d(tgt) 2 d(tgt)]
4 tgt
2 2 2 2
2 2
= -- - - +
· Vôùi x < –1 Ñeà nghò baïn ñoïc töï laøm
Chuù yù: Trong ví duï treân sôû dó ta coù: cot g2t - tg2t = 4x x2 -1 vaø tgt = x - x2 -1
laø bôûi:
4 4 2
2 2
2 2 2 2 2
cos t.sin t sin 2t sin 2t sin2t sin 2t
tgt = -
= = = -
2
1 1 1
sin2t sin 2t
= - - 2

I dx
+ ò
Ví duï 3: Tính tích phaân baát ñònh: 2 3
(1 x )
=
Giaûi:
dx dt & dx cos tdt cos tdt.
= = =
cos t (1 x ) cos t
I cos tdt sin t C x C
+ ò
= = + = +
1 cos t vaø sin t x
= =
1 x 1 x
I dx , vôùi k Z.
+ ò
= Î
Trang 16
p p
Ñaët: x tgt; t
= - < < . Suy ra:
2 2
3
2 2 3 2
+
Khi ñoù:
2
1 x
Chuù yù:
1. Trong ví duï treân sôû dó ta coù:
2 2
+ +
laø bôûi:
2
2
cos t cost
t cos t 0 x 2 2 sint tgt.cost
1 x
ì =
p p ï - < < Þ > Þí
ï = =
î +
2. Phöông phaùp treân ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi baøi toaùn toång quaùt:
2 2 2k 1
(a x ) +
Baøi toaùn 2: Söû duïng phöông phaùp ñoåi bieán soá daïng 2 tích tích phaân I = òf(x)dx.
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc:
+ Böôùc 1: Choïn t = y(x), trong ñoù y(x) laø haøm soá maø ta choïn cho thích hôïp
+ Böôùc 2: Xaùc ñònh vi phaân dt = y'(x)dx.
+ Böôùc 3: Bieåu thò f(x)dx theo t vaø dt. Giaû söû raèng f(x)dx = g(t)dt
+ Böôùc 4: Khi ñoù I = òg(t)dt.
Daáu hieäu Caùch choïn
Haøm soá maãu coù t laø maãu soá
Haøm soá f(x, j(x) t = j(x)
Haøm f(x) a.sin x +
b.cosx
c.sinx d.cosx e
=
+ +
t tg x (vôùi cos x 0)
= ¹
2 2
Haøm f(x) 1
(x a)(x b)
=
+ +
· Vôùi x + a > 0 & x + b > 0, ñaët:
t = x + a + x + b
· Vôùi x + a < 0 & x + b < 0, ñaët:
t = x - a + -x - b

Ví duï 4: Tính tích phaân baát ñònh: I = òx3 (2 - 3x2 )8dx.
Giaûi:
Ñaët: t = 2 - 3x2 . Suy ra: dt = 6xdx
x3(2 3x2 )8dx x2 (2 3x2)8xdx 2 t 2 t .t8. 1 dt 1 (t9 2t8)dt.
- - æ ö - = - = = ç- ÷ = -
3 3 6 18
= - = æ - ö + = - + ç ÷
è ø ò
- -
=- = = - +
= - + = - æ - + ö + = - - + + ç ÷
è ø ò
= - Þ = . Suy ra: 2 2xdx 3 t tdt,
- æ ö - = - = ç- ÷ = -
= - = æ - ö + = - + ç ÷
è ø ò
Trang 17
è ø
Khi ñoù: I 1 (t9 2t8 )dt 1 1 t10 2 t9 C 1 t10 1 t9 C
18 18 10 9 180 81
x2dx I
1 x
=
- ò
Giaûi:
Ñaët: t = 1- x Þ x = 1- t2
Suy ra:
2 2 2
dx 2tdt & x dx (1 t ) ( 2tdt) 2(t4 2t2 1)dt
1 x t
-
Khi ñoù: I 2 (t4 2t2 1)dt 2 1 t5 2 t3 t C 2 (3t4 10t2 15)t C
5 3 15
2 [3(1 x)2 10(1 x) 15] 1 x C 2 (3x2 4x 8) 1x C
15 15
=- - - - + - + =- + + - +
Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = òx5 3 (1- 2x2 )2dx.
Giaûi:
Ñaët:
3
t 3 1 2x2 x2 1 -
t
2
2
=-
3
5 3 2 2 2 3 2 2 2 2 7 4 x (1 2x ) dx x (1 2x ) xdx 1 t .t 3 t dt 3 (t t )dt.
2 4 8
è ø
Khi ñoù: I 3 (t7 t4 )dt 3 1 t8 1 t5 C 3 (5t6 8t3 )t2 C
8 8 8 5 320
2 2 2 3 2 2 3 [5(1 2x ) 8(1 2x )] (1 2x) C
320
= - - - - +
4 2 3 2 2 3 (20x 4x 3) (1 2x ) C.
320
= - - - +
Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh: I = òsin3 x cos xdx.
Giaûi:
Ñaët: t = cosx Þ t2 = cosx
dt = sinxdx,

3 2 2
sin x cosxdx sin x cosx sinxdx (1 cos x) cosx sinxdx
= = -
= - 4 = 6 -
2
(1 t ).t.(2tdt) 2(t t )dt.
Khi ñoù: I 2 (t6 t2 )dt 2 1 t7 1 t3 C 2 (3t6 7t2 )t C
= - = æ - ö + = - + ç ÷
è ø ò
7 3 21
3 2(
cos x 7cosx) cosx C.
21
= - +
= æ - ö = - + = + - + + ç ÷
cos xdx cos x dx cot g x 1 dx cot g x.(1 cot g x) dx
sinx sin x sin x sin x sin x sin x
= = = +
= +
= + = + + = æ + + ö + ç ÷
è ø ò ò
I dx
dt 1 e dx 2dt dx ,
dx dx e -
dx 2tdt 2(1 1 )dt
e e e (1 e ) e (1 e ) 1t t 1
Trang 18
3
2
I cosx.sin xdx
1 sin x
=
+ ò
Giaûi:
Ñaët: t = 1- x Þ x = 1- t2at = 1+ sin2 x
Suy ra: dt = 2sin x cosxdx,
3 2
2 2
cosx.sin xdx sin x.cos x.sin xdx (t 1)dt 1 1 1 dt.
1 sin x 1 sin x 2t 2 t
- æ ö = = = ç - ÷ + + è ø
Khi ñoù: I 1 1 1 dt f12(t ln t C 1 [1 sin2 x ln(1 sin2 x)] C
è ø ò
2 t 2
2
8
I cos xdx .
sin x
=ò
Giaûi:
Ñaët: t = cotgx
Suy ra: 2
dt 1 dx,
sin x
= -
2 2
2 2 2 2
8 6 2 4 2 2
t 2 .(1 t 2 ) 2
dt.
Khi ñoù: I t2 .(1 t2 )dt (t6 2t4 t2 )dt 1 t7 2 t5 1 t3 C
7 5 3
7 5 3 1(
15cotg x 42cotgx 35cotg x) C.
105
= + + +
Ví duï 10: Tính tích phaân baát ñònh: x x / 2
e e
=
- ò
Giaûi:
Ñaët: t = e-x / 2
Suy ra: x / 2
x / 2
=- Û- =
2 e
x / 2
x x /2 x x /2 x / 2 x / 2
- -
-
= = = = +
- - - - -

Khi ñoù: I 2 1 1 dt 2(e x / 2 ln e x / 2 1) C.
= æç + ö÷ = - + - + + è - ø ò
2tdt e dx dx 2tdt & dx 2tdt 2tdt .
= Û = = =
I 2 dt ln t - 1 C ln 1 + e -
1 C
- + + + ò
= = + = +
t 1 t 1 1 e 1
dt 1 e dx 2dt dx ,
dx dx dx 2dt
= = =
1 e e (e- 1) e e- 1 t 1
I 2 dt 2 ln t t 1 C 2 ln e e 1 C
+ ò
= - = - + + + = - - + - + +
I dx , vôùi a 0.
+ ò .
= ¹
x a
dt 1 x dx x a x dx dx dt
æ ö + + = ç + ÷ = Û = è + ø + +
x a x a x a t
Trang 19
t 1
Chuù yù: Baøi toaùn treân ñaõ duøng tôùi kinh nghieäm ñeå löïa choïn cho pheùp ñoåi bieán t = e-x / 2 ,
tuy nhieân vôùi caùch ñaët t = ex / 2 chuùng ta cuõng coù theå thöïc hieän ñöôïc baøi toaùn.
x
I dx
1 e
=
+ ò .
Giaûi:
Caùch 1:
Ñaët: t = 1+ ex Û t2 = 1+ ex
Suy ra: x
2 x 2 2
t 1 1 e t(t 1) t 1
- + - -
Khi ñoù:
x
2 x
Caùch 2:
Ñaët: t = e-x / 2
Suy ra: x / 2
x / 2
= - Û - =
2 e
-
x x x x /2 x 2
+ + + +
Khi ñoù: 2 x /2 x
t 2
1
2
Giaûi:
Ñaët: t = x + x2 + a
Suy ra:
2
2 2 2
Khi ñoù: I dt ln t C ln x x2 a C.
t =ò = + = + + +
Ví duï 13: Tính tích phaân baát ñònh: I dx
(x 1)(x 2)
=
+ + ò .
Giaûi:
Ta xeùt hai tröôøng hôïp:
x 1 0
· Vôùi
ì + >
í Û > - î + >
x 1
x 2 0
Ñaët: t = x +1 + x + 2

Suy ra: dt 1 1 dx ( x 1 x 2)dx dx 2dt
= æ + ö = + + + Û = ç + + ÷ + + + + è ø
2 x 1 2 x 2 2 (x 1)(x 2) (x 1)(x 2) t
Khi ñoù: I 2 dt 2 ln t C 2 ln x 1 x 2 C
ò = + = + + + +
é ù - + + - + = ê- - ú = ë - + - + û + +
= - ò = - + = - - + + - + +
f(x) x ;
x 4
- + - + - + b/
ln x 2 2x 5 C;
-- +
f(x) 1 (a 0)
= >
- - + b/
æ ö
ç + + - ÷ +
è ø
6 6 6 x x ln x 1 C.
= b/ f(x) 1
= ; c/ 3
= e/ 4
+ - +
Trang 20
t =
· Vôùi
x 1 0
ì + <
í Û < - î + <
x 2
x 2 0
Ñaët: t = -(x +1) + -(x + 2)
Suy ra: dt 1 1 dx [ (x 1) (x 2)]dx
2 (x 1) 2 (x 2) 2 (x 1)(x 2)
dx 2dt
Û = -
(x 1)(x 2) t
+ +
Khi ñoù: I 2 dt 2 ln t C 2 ln (x 1) (x 2) C
t
BAØI TAÄP
Baøi 12. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:
a/ f(x) = x2 (x -1)9; b/
4
10
=
-
c/
2
f(x) x x ;
3
-
(x 2)
=
-
d/
2
4
f(x) x -
1;
x 1
=
+
ÑS: a/ 1 (x 1)12 2 (x 1)11 1 (x 10)10 C.
12 11 10
5
5
1 ln x -
2 +
C.
20 x 2
+
-
c/ 2
(x 2)
-
d/
1 ln x 2
- x 2 +
1 +
C.
2 2 x 2
x 2 1
+ +
a/
f(x) 2x ;
x x 2
1
=
+ -
b/
2 2 3
(x a )
+
; c/
f(x) 1 .
x x
3 2
=
-
ÑS: a/ 2 x3 2 (x2 1)3 C;
3 3
x C;
a x a
2 2 2
+
+
c/
3
2
a/
5
f(x) cos x ;
3
sinx
cosx
f(x) sin x +
cosx
sinx cosx
=
-
;
d/
cos3 x f(x) ;
sinx
f(x) 1 .
sin x
=
ÑS: a/ 3 3 sin2 x 3 3 sin14 x 3 3 sin8 x C;
2 14 4

b/ ln tg x C;
æ p ö ç + ÷ +
è ø
- + e/ 3 1 cotgx cot gx C.
f(x) x 1 ;
-
Trang 21
2 4
c/ 3 3 1 sin2x C;
2
- +
d/ ln sin x 1 sin2 x C;
2
- - +
3
a/
f(x) 1 ;
2x
1 e
=
+
+
b/ x
x(1 xe )
=
+
c/
x x
x x
f(x) 2 .3 ;
9 4
=
-
d/ f(x) 1 ;
xlnx.ln(lnx)
=
ÑS: a/ -ln(e-x + e-2x +1) + C; b/
x
x
ln xe +
C;
1 xe
+
c/
x x
x x
1 ,ln 3 2 C;
2(ln3 ln2) 3 2
+
- +
d/ ln ln(ln x) + C.

Vaán ñeà 5: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM
BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN
Coâng thöùc tính tích phaân töøng phaàn: ò udv = uv - ò vdu.
Baøi toaùn 1: Söû duïng coâng thöùc tích phaân töøng phaàn xaùc ñònh I = ò f(x)dx.
+ Böôùc 1: Bieán ñoåi tích phaân ban ñaàu veà daïng: 1 2 I= ò f(x)dx = ò f (x).f (x)dx.
+ Böôùc 2: Ñaët: 1
u f (x) du
dv f (x)dx v
ì = ì
í Þ í î = î
I x ln(x x 1)
I ln(x x 1) x dx.
+ ò
ì +
ì = + + ï ï ï = + = í Þ í ï = ï + + +
î + ï = + î
Trang 22
2
+ Böôùc 3: Khi ñoù: I= uv - ò vdu.
Ví duï 1: Tích tích phaân baát ñònh:
2
+ +
2
x 1
=
+ ò .
Giaûi:
Vieát laïi I döôùi daïng: 2
2
x 1
= + +
Ñaët :
2
2
2 2
2
2
1 x
u ln(x x 1) x 1 dx x du dv x x 1 x 1
x 1 v x 1
Khi ñoù: I = x2 +1 ln(x + x2 +1) - òdx = x2 +1 ln(x + x2 +1) - x + C.
Ví duï 2: Tích tích phaân baát ñònh: I = ò cos(ln x)dx.
Giaûi:
Ñaët :
u cos(ln x) du 1sin(ln x)dx
= ì - ì ï = í Þ í î = ï = î
x
dv dx v x
Khi ñoù: I = x cos(ln x) + òsin(ln x)dx. (1)
Xeùt J= òsin(ln x)dx.
Ñaët:
u sin(ln x) du 1 cos(ln x)dx
x
ì = ì = Þ ï í = í î îï =
dv dx v x.
Khi ñoù: J = x.sin(ln x) - ò cos(ln x)dx = x.sin(ln x) - I (2)

Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I x.cos(ln x) x.sin(ln x) I I x [cos(ln x) sin(ln x)] C.
= + - Û = + +
ì = ì = Þ ï í = í î îï =
ì = ì = - Þ ï í = í î îï =
I x [sin(ln x) cos(ln x)] C. I x [sin(ln x) cos(ln x)] C.
= - + = + +
I ln(cosx)dx.
u ln(cosx) du sin x dx
ì = ì ï ï = - í Þ í
ï = ï = î î
dx cosx dv v tgx cos x
I ln(cos x).tgx tg xdx ln(cosx).tgx 1 1 dx
= + = + æ - ö ç ÷
è ø ò ò
Trang 23
2
Chuù yù: Neáu baøi toaùn yeâu caàu tính giaù trò cuûa moät caëp tích phaân:
1 2 I = òsin(ln x)dx vaø I = ò cos(ln x)dx
ta neân löïa choïn caùch trình baøy sau:
· Söû duïng tích phaân töøng phaàn cho I1, nhö sau:
Ñaët :
u sin(ln x) du 1 cos(ln x)dx
x
dv dx v x
Khi ñoù: 1 2 I = x.sin(ln x) - òcos(ln x)dx = x.sin(ln x) - I . (3)
Ñaët :
u cos(ln x) du 1 sin(ln x)dx
x
dv dx v x
Khi ñoù: 2 1 I = x.cos(ln x) - òsin(ln x)dx = x.cos(ln x) + I . (4)
· Töø heä taïo bôûi (3) vaø (4) ta nhaän ñöôïc:
1 2
2 2
Ví duï 3: Tích tích phaân baát ñònh: 2
cos x
= ò
Giaûi:
Ñaët :
2
Khi ñoù: 2
2
cos x
=ln(cosx).tgx + tgx - x + C.
Baøi toaùn 2: Tính I = ò P(x)sinaxdx (hoaëc ò P(x) cosaxdx) vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc
R[X] vaø aÎR*.

Ta löïa choïn moät trong hai caùch sau:
· Caùch 1: (Söû duïng tích phaân töøng phaàn). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
= ì = ì ï í Þ í î = a ï = - a î a
æ - ö = ç ÷ = - = -
è ø ò ò ò ò
du dx dx
ì = = ì = ïï í Þ í + î = ï = ïî
u x x 1
dv cos2xdx 1vsin2x
= - ò = + + (2)
= + + +
Trang 24
+ Böôùc 1: Ñaët :
u P(x) du P'(x)dx
1 . dv sin xdx v cos x
+ Böôùc 2: Khi ñoù: I = - 1 P(x) cosa + 1 P'(x).cosax.dx.
a aò
+ Böôùc 3: Tieáp tuïc thuû tuïc treân ta seõ “khöû” ñöôïc ña thöùc.
· Caùch 1: (Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau:
+ Böôùc 1: Ta coù: I = ò P(x)cosaxdx = A(x)sinax + B(x) cosax + C. (1)
trong ñoù A(x) vaø B(x) laø caùc ña thöùc cuøng baäc vôùi P(x).
+ Böôùc 2: Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc:
P(x).cosax = [A'(x) + B(x)].sina +[A(x) + B'(x)].cosx (2)
Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc caùc ña thöùc A(x) vaø B(x)
+ Böôùc 3: Keát luaän.
Nhaän xeùt: Neáu baäc cuûa ña thöùc P(x) lôùn hôn hoaëc baèng 3 ta thaáy ngay caùch 1 toû ra quaù
coàng keành, vì khi ñoù ta caàn thöïc hieän thuû tuïc laáy tích phaân töøng phaàn nhieàu hôn ba laàn.
Do ñoù ta ñi tôùi nhaän ñònh chung sau:
– Neáu baäc cuûa P(x) nhoû hôn hoaëc baèng 2, ta löïa choïn caùch 1.
– Neáu baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2, ta löïa choïn caùch 2.
Ví duï 4: Tính : I = ò x.sin2 xdx (ÑHL_1999)
Giaûi:
Bieán ñoåi I veà daïng cô baûn:
I x 1 cos2x dx 1 xdx 1 x cos2xdx 1 x2 1 x cos2xdx (1)
2 2 2 4 2
Xeùt J = ò x cos2xdx.
Ñaët :
2
2
Khi ñoù: J x sin 2x 1 sin 2xdx x sin 2x 1 cos2x C.
2 2 2 4
Thay (2) vaøo (1) ta ñöôïc: 2 1
I x x sin 2x 1 cos2x C.
4 4 8
Ví duï 5: Tính : I = ò(x3 - x2 + 2x - 3)sin xdx.

Giaûi:
(x x 2x 3)sinx [ax (3a b )x (2b c )x c d ].cosx
- + - = + + + + + + -
[ax (3a b )x (2b c )x c d ].sinx (2)
- - - - - + -
a 0 a 1
3a b 0 3a b 1
ì = ì- =
ï + = ï - = - ï ï
í + = í - = ï ï
îï + = îï- + = -
u cos(bx) du bsin(bx)dx
ì = ì = - Þ ï í í
= + ò
u sin(bx) du b cos x(bx)dx
= - ò = -
= + -
I [a.cos(bx) b.sin(bx)e C.
Û= +
Trang 25
Ta coù: I = ò(x3 - x2 + 2x - 3)sin xdx
3 2 3 2
1 1 1 1 2 2 2 2 =(a x + b x + c x + d ) cosx + (a x + b x + c x + d )sin x + C (1)
Laáy ñaïo haøm hai veá cuûa (1), ta ñöôïc:
3 2 3 2
2 1 2 1 2 1 2
3 2
1 2 1 2 1 2 1
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc, ta ñöôïc:
2 2
1 2 2 1
1 2 2 1
1 2 2 1
(I) vaø (II)
2b c 0 2b c 2
c d 0 c d 3
Giaûi (I) vaø (II), ta ñöôïc: 1 1 1 1 2 2 2 2 a = -1, b = 1, c = 4, d =1, a = 0, b = 3, c = -2, d = -4.
Khi ñoù: I =(-x3 + x2 + 4x +1)cosx + (3x2 - 2x + 4)sin x + C.
Baøi toaùn 3: Tính I = òeax cos(bx)dx (hoaëc òeax sin(bx)) vôùi a, b ¹ 0.
+ Böôùc 1: Ñaët : ax ax
1 . dv e dx v e
a
= = î ïî
Khi ñoù: I 1 eax cos(bx) b eax sin(bx)dx. (1)
a a
+ Böôùc 2: Xeùt J = òeax sin(bx)dx.
ì = ì = Þ ï í í
Ñaët ax ax
v 1 e dv e dx
a
= = î ïî
Khi ñoù: J 1 eax sin(bx) b eax cos(bx)dx 1 eax sin(bx) b I. (2)
a a a a
+ Böôùc 3: Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc: I 1 eaõ cos(bx) b [1 eax sin(bx) b I]
a aa a
ax
+
2 2
a b
+
· Caùch 2: (Söû duïng phöông phaùp haèng soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc :
+ Böôùc 1: Ta coù: I = òeax cos(bx)dx = [Acos(bx) + B.sin(bx)]eax + C. (3)
trong ñoù A, B laø caùc haèng soá.

ax ax ax
e .cos(bx) b[ Asin(bx) Bcos(bx)]e a[Acos(bx) Bsin(bx)]e
= - + + +
= + + -
A a Aa Bb 1 a b
Ba Ab 0 B b
ì = ì + = ïï + í Þ í î - = ï =
I [a.cos(bx) b.sin(bx)]e C.
= +
1 2 I = òe cos(bx)dx vaø I = òe sin(bx)dx.
u cos(bx) du bsin(bx)dx
ì = ì = - Þ ï í í
I 1 e cos(bx) b e sin(bx)dx 1 e cos(bx) b I . (3)
= + ò = +
u sin(bx) du b cos(bx)dx
I 1 e sin(bx) b e cos(bx)dx 1 e sin(bx) b I . (4)
= - ò = -
I [a.cos(bx) + b.sin(bx)]e C. I [a.sin(bx) -
b.cos(bx)]e C.
= + = +
1 2 J = òe sin (bx)dx vaø J = òe cos (bx)dx.
= ò + = ò + ò = + ò
Trang 26
ax
[(Aa Bb).cos(bx) Ba Ab)sin(bx)]e .
2 2
îï +
2 2
a b
+ Böôùc 3: Vaäy:
ax
+
2 2
a b
+
Chuù yù:
1. Neáu baøi toaùn yeâu caàu tính giaù trò cuûa moät caëp tích phaân:
ax ax
ta neân löïa choïn caùch trình baøy sau:
Ñaët: ax ax
v 1 e dv e dx
a
= = î ïî
Khi ñoù: ax ax ax
1 2
a a a a
Ñaët: ax ax
v 1 e dv e dx
a
= = î ïî
Khi ñoù: ax ax ax
2 1
a a a a
· Töø heä taïo bôûi (3) vaø (4) ta nhaän ñöôïc:
ax ax
1 2 2 2 2 2
a b a b
+ +
2. Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc tích phaân:
ax 2 ax 2
Ví duï 6: Tính tích phaân baát ñònh: I = òex .cos2 xdx.
Giaûi:
Caùch 1: Vieát laïi I döôùi daïng:
I 1 ex .(1 cos2x)dx 1 ( exdx ex .cos2xdx) 1 (ex ex .cos2xdx) (1)
2 2 2
· Xeùt J = òex .cos2xdx.

u cos2x du 2sin2xdx
dv e dx v e
ì = ì = -
í Þ í
î = î =
Ñaët: x x
Khi ñoù: J = ex cos2x + 2òex sin 2xdx (2)
u sin2x du 2cos2xdx
dv e dx v e
ì = ì =
í Þ í
î = î =
= + - Û = + +
Thay (4) vaøo (1), ta ñöôïc:
= + + + = + + +
ò + = + + +
1e (1 + cos2x) =- ( b.sin2x + 2c.cos2x)e + (a + b.cos2x +
c.sin2x)e
2
= + + +
u P(x) du P'(x)dx
î = ï = î a
Trang 27
· Xeùt: K = òex sin 2xdx.
Ñaët: x x
Khi ñoù: K = ex sin 2x - 2òex cos2xdx = ex sin 2x - 2J (3)
J ex cos2x 2(ex si n2x 2J) J 1 (cos2x 2sin 2x)ex C (4)
5
I 1 [ex 1 (cos2x 2sin 2x)ex ] C 1 (5 cos2x 2sin 2x)ex C
2 5 10
Caùch 2: x x 1Ie .(1 cos2x)dx (a b.cos2x c.sin2x)e C. (5)
2 =
x x x
x
[a (2x b) cos2x (c 2b)sin2x]e . (6)
= + + + -
2a 1 a 1/ 2
2(2c b) 1 b 1/10.
2(c 2b) 0 c 1/ 5
ì = ì =
ï + = Þ ï = í í
ï - = ï = î î
Vaäy: x 1I
(5 cos2x 2sin2x)e C.
10
Baøi toaùn 4: Tính I = ò P(x)eaxdx vôùi P laø moät ña thöùc thuoäc R[X] vaø aÎR*.
+ Böôùc 1: Ñaët : x ax
1 . dv ea dx v e
+ Böôùc 2: Khi ñoù: I = 1 P(x)eax - 1 P'(x).eax.dx.
a aò
+ Böôùc 3: Tieáp tuïc thuû tuïc treân ta seõ “khöû” ñöôïc ña thöùc.
· Caùch 2: (Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh). Ta thöïc hieän theo caùc böôùc :

+ Böôùc 1: Ta coù: I = ò P(x).eax .dx = A(x)eax + C. (1)
trong ñoù A(x) laø ña thöùc cuøng baäc vôùi P(x)
P(x).eax = [A'(x) + aA(x)].eax (2)
Söû duïng phöông phaùp heä soá baát ñònh ta xaùc ñònh ñöôïc A(x).
+ Böôùc 3: Keát luaän
Nhaän xeùt: Neáu baäc cuûa ña thöùc P(x) lôùn hôn hoaëc baèng 3 ta thaáy ngay caùch 1 toû ra quaù
coàng keành, vì khi ñoù ta caàn thöïc hieän thuû tuïc laáy tích phaân töøng phaàn nhieàu hôn ba laàn.
Do ñoù ta ñi tôùi nhaän ñònh chung sau:
· Neáu baäc cuûa P(x) nhoû hôn hoaëc baèng 2, ta löïa choïn caùch 1.
· Neáu baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2, ta löïa choïn caùch 2.
= - ò = - +
a+ a a+ a+
I x ln x x dx x ln x x C.
= - = - +
a+ a+ a + a + ò
Trang 28
Ví duï 7: Tính : I = ò xe3xdx.
Giaûi:
u x du dx
Ñaët: 3x 3x
v 1 e dv e dx
3
= = î ïî
. Khi ñoù: I 1 xe3x 1 e3x .dx 1 xe3x 1 e3x C.
3 3 3 9
Ví duï 8: Tính : I = ò(2x3 + 5x2 - 2x + 4)e2xdx
Giaûi:
Ta coù: I = ò(2x3 + 5x2 - 2x + 4)e2xdx = (ax3 + bx2 + cx + d)e2x + C. (1)
(2x3 + 5x2 - 2x + 4)e2x = [2ax3 + (3a + 2b)x2 + (2b + 2c)x + c + 2d]e2x (2)
Ñoàng nhaát ñaúng thöùc ta ñöôïc:
2a 2 a 1
3a 2b 5 b 1
2b 2c 2 c 2
c 2d 4 d 3
ì = ì =
ï + = ï = ï Û ï í + = - í = - ï ï
îï + = îï =
Khi ñoù: I = (x3 + x2 - 2x + 3)e2x + C.
Baøi toaùn 5: Tính I = ò xa.ln xdx, vôùi aÎR {-1}.
Ñaët :
1
du 1 dx u lnx x
dv x dx v 1 x
1
a
a+
ì = ì = ïï í Þ í
î = ï =
îï a +
Khi ñoù:
1 1 1
2
1 1 1 ( 1)

= ò = - +
=æ ö ç ÷
è ø
1 x 1 - + b/ - (x 2 + 2)cos2x + sin2x + cos2x +
C;
Trang 29
Ví duï 9: Tính I = ò x2 ln 2xdx.
du dx u ln2x x
dv x dx v 1 x
ì = ì = ïï í Þ í
î = ï =
Ñaët : 2
3
3
ïî
. Khi ñoù:
3 3 3
I x ln2x x2dx x ln 2x x C.
3 3 9
BAØI TAÄP
a/ f(x) = ln x; b/ f(x) = (x2 +1)e2x ; c/ f(x) = x2 sin x;
d/ f(x) =ex sin x; e/ f(x)= x.cos x; f/ f(x)= ex (1+ tgx + tg2x).
ÑS: a/ x ln x - x + C b/ 1 (2x2 x 3)e2x C;
4
- + +
c/ (2 - x)2 cosx + 2sin x + C; d/ 1 ex (sin x cosx) C;
2
- +
e/ 2 x(x - 6)sin x + 6(x - 2) cos x + C; f/ extgx + C.
a/ f(x) = e x ; b/
2 f(x) ln x ;
x
c/ f(x)=(x +1)2 cos2 x;
d/ f(x)= e-2x .cos3x; e/ f(x) = sin(ln x); f/ f(x) = x2 + K, (K ¹ 0);
ÑS: a/ 2( x 1)e x ln2 x -+ C; b/
2lnx - 2x - +
C;
x
c/
(x + 1)3 (x + 1)2 sin 2x (x +
1) cos2x sin 2x + + - +
C;
6 4 4 8
d/
e -
2x (3sin3x 2cos3x) C;
13
- + e/ [ ] x sin(lnx) cos(lnx C;
2
+ +
f/ x x2 K + K + ln x + x2 + K +
C.
2 2
a/ f(x) = x3 ln x (HVQY_1999) b/ f(x) = (x2 + 2)sin 2x (ÑHPÑ_2000)
c/ f(x) = xsin x (ÑHMÑC_1998)
ÑS: a/ 1 x4 ln x 1 x4 C;
4 16
2 2 4
c/ -2 x3 cos x + 6xsin x +12 x cos x -12sin x + C.

Vaán ñeà 6: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM
BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP DUØNG NGUYEÂN HAØM PHUÏ
YÙ töôûng chuû ñaïo cuûa phöông phaùp xaùc ñònh nguyeân haøm cuûa f(x) baèng kyõ thuaät duøng haøm phuï laø
tìm kieám moät haøm g(x) sao cho nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x) deã xaùc ñònh hôn so vôùi
haøm soá f(x), töø ñoù suy ra nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x).
+ Böôùc 1: Tìm kieám haøm soá g(x).
+ Böôùc 2: Xaùc ñònh caùc nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x) ± g(x), töùc laø:
F(x) G(x) A(x) C
1
2
+ = + ìí
î - = +
F(x) G(x) sin x + cosx dx d(sin x -
cosx) ln sin x cosx C .
ò ò
Þ + = = = - +
- -
- = = Þ - = = +
F(x) G(x) ln sin x cosx C 1 F(x) (ln sinx cosx x) C.
F(x) G(x) x C 2
ìï + = - + í Þ = - + +
îï - = +
f(x) cos x
g(x) sin x
+ ò
+ = = Þ + = = +
f(x) g(x) cos x sin x cos x sin x cos2x
sin x cos x (cos x sin x) 2 cos x.sin x 1 1 sin 2x
Trang 30
(I)
F(x) G(x) B(x) C
+ Böôùc 3: Töø heä (I), ta nhaän ñöôïc:
F(x) 1 [A(x) B(x)] C
2 =+ +
laø hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x).
Ví duï 1: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) sin x .
sinx cosx
=
-
Giaûi:
Choïn haøm soá phuï: g(x) cosx
sinx cosx
=
-
Goïi F(x) vaø G(x) theo thöù töï laø nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá f(x), g(x). Ta coù:
f(x) g(x) sin x +
cosx
sinx cosx
+ =
+
1
2
sinx cosx sinx cosx
f(x) g(x) sin x -
cosx 1 F(x) G(x) dx x C .
sinx cosx
-
ò
Ta ñöôïc: 1
2
Ví duï 2: Tìm nguyeân haøm haøm soá:
4
4 4
sin x cos x
=
+
Giaûi:
Choïn haøm soá phuï:
4
4 4
sin x cos x
=
+
4 4
4 4 1
f(x) g(x) sin x +
cs x 1 F(x) G(x) dx x C
sin x cos x
4 4 2 2
4 4 2 2 2 2 2
2
2
- -
- = = =
+ + - -

F(x) G(x) 2 cos2x dx d(sin 2x) 1 ln sin 2x 2 C
- - + ò ò
2 2
2 sin2x sin 2x 2 2 2 sin2x 2
ì + = +
ï æ + ö í + Þ = ç + ÷ + ï - = + è - ø î -
f(x) g(x) 2(sin x cos x).sin2x 2sin2x F(x) G(x) 2 sin2xdx cos2x C
f(x) g(x) 2(sin x cos x).sin2x 2cos2x.sin2x sin4x
+ = + = Þ + = =- +
- = - = - = -
Þ - = - = +
Þ = æ- + ö + í ç ÷ - = + + è ø ïî
f(x) e .
e e- =
F(x) G(x) e e dx d(e e ) ln e e C
ò ò
e e e e
ìï + = - + í Þ = - + +
îï - = +
F(x) G(x) ln e e C 1 F(x) (lne e x) C.
F(x) G(x) x C 2
Trang 31
-
Þ - = = - =- +
Ta ñöôïc:
1
2
F(x) G(x) x C
F(x) 1 x 1 ln 2 sin 2x C. F(x) G(x) 1 ln 2 sin2x C 2 2 2 2 sin 2x
2 2 2 sin2x
Ví duï 3: Tìm nguyeân haøm haøm soá: f(x) = 2sin2 x.sin 2x.
Giaûi:
Choïn haøm soá phuï: g(x) = 2 cos2 x.sin2x.
2 2
1
2 2
2
F(x) G(x) sin 4xdx 1 cos4x C
4
ò
ò
Ta ñöôïc:
1
2
F(x) G(x) cos2x C
+ = - + ìï
F(x) 1 cos2x 1 cos4x C. F(x) G(x) 1 cos4x C 2 4
4
Ví duï 2: Tìm nguyeân haøm haøm soá:
x
x x
-
Giaûi:
Choïn haøm soá phuï:
x
g(x) e -
.
- =
x x
e e
-
x x
x x
x x x x
x x
x x x x 1
f(x) g(x) e e
e e
x x
x x 2
f(x) g(x) e e 1 F(x) G(x) dx x C .
e e
-
-
- -
-
- -
-
-
+
+ =
-
+ -
Þ + = = = - +
- -
-
- = = Þ - = = +
-
ò
Ta ñöôïc:
x x
1 x x
2
-
-
BAØI TAÄP
Baøi 19. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá:
a/ f(x) sin x ;
sinx cosx
=
+
b/ f(x) = sin2 x.cos2x. c/
x
f(x) e
e e- =
x x
+
ÑS: a/ 1 (x ln sinx cosx C;
2
- + + b/ 1 (si n2x 1 si n4x x) C;
- - + c/ x x 1 (x lne e ) C.
4 4
2
+ + - +

Vaán ñeà 7: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM SOÁ HÖÕU TÆ
Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm soá höõu tæ ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc phöông
phaùp cô baûn sau:
1. Phöông phaùp tam thöùc baäc hai
2. Phöông phaùp phaân tích
3. Phöông phaùp ñoåi bieán
4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn
5. Söû duïng caùc phöông phaùp khaùc nhau.
1. PHÖÔNG PHAÙP TAM THÖÙC BAÄC HAI
Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ döïa treân tam thöùc baäc hai
Treân cô sôû ñöa tam thöùc baäc hai veà daïng chính taéc vaø duøng caùc coâng thöùc sau:
1. 2
± ò (1)
dx 1 ln x a C, vôùi a 0
x a 2a x a
- + ò (2)
I xdx
dx xdx 1 d(x 1)
ò = ò =
ò
- - - - - - - - - - ò ò
= =
I 1 dt 1 . 1 ln t - 3 C 1 ln x - 1 -
3 C.
- + - + ò
= = += +
Trang 32
xdx = 1lnx ± a +
C
x 2
a 2
2. 2 2
-
= + ¹
x 2x 2
=
- - ò
Giaûi:
Ta coù:
2
-
4 2 2 2 2 2
x 2x 2 (x 1) 3 2 (x 1) 3
2 2
2 2
1 . 1 ln x - 1 - 3 C 1 ln x - 1 -
3 C.
2 3 x 1 3 4 3 x 1 3
= += +
- + - +
· Chuù yù: Cuõng coù theå trình baøy baøi toaùn töôøng minh hôn baèng vieäc ñoåi bieán soá tröôùc khi
aùp duïng caùc coâng thöùc (1), (2). Cuï theå:
Bieán ñoåi tích phaân ban ñaàu veà daïng: xdx xdx
=
4 2 2 2
x 2x 2 (x 1) 3
Ñaët t = x2 -1
Suy ra: 2 2 2
dt 2xdx & xdx 1 . dt .
(x 1) 3 2 t 3
- - -
Khi ñoù :
2
2 2
2 t 3 2 2 3 t 3 4 3 x 1 3

I x dx
x 1 1
æ - ö + ç ÷ æ ö = = è ø - ç ÷
I x dx 1 2 2 d x 1
ò ò
1 9 2 1 9 2 x x
æ ö æ ö è ø ç - ÷ - ç - ÷ -
è ø è ø
x 1 d x 1 d x 1
æ - ö æ - ö æ - ö ç ÷ç ÷ ç ÷
1 2 2 1 2
2 1 9 4 1 9 x x
= è ø è ø + è ø
ò ò
æ - ö - æ - ö - ç ÷ ç ÷
è ø è ø
2 4 2 4
x 1 3 1 . 1 ln x 1 9 1 .1 ln 2 2 C 2 2 2 4 4 3 x 1 3
æ ö - - = ç - ÷ - + +
è ø - +
I x dx, vôùi a 0.
+ ò
= ¹
x 1 .a x 1 [(ax b) b] 1 [(ax b) 2b(ax b) b ]
= = + - = + - + +
x 1 . (ax + b) - 2b(ax + b) +
b
é ù
1 1 2b b .a(ax b)a- (ax b)a- (ax b)a
= ê - + ú ë + + + û
é ù
I 1 . dx 2bdx b dx
ò ò ò
= ê - + ú ë + + + û
é + + + ù
1 . d(ax b) 2bd(ax b) b d(ax b)
a (ax b)a- (ax b)a- (ax b)a
ò ò ò .
= ê - + ú ë + + + û
Trang 33
3
4 2
x x 2
=
- - ò
Giaûi:
Ta coù:
2
3
2
2 2
2 2
2 4 2 4
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
4 2
2
2 2
1 ln x x 2 1 ln x -
2 C.
4 2 x 1
= - - + +
+
2. PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH
Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ baèng phöông phaùp phaân tích
Caàn hieåu raèng thöïc chaát noù laø moät daïng cuûa phöông phaùp heä soá baát ñònh, nhöng ôû ñaây ñeå
phaân tích P(x)
Q(x)
ta söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc quen thuoäc.
Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh:
2
2
(ax b)
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
a a a
Ta ñöôïc:
2 2 2
2
=
(ax b)a a (ax b)a
+ +
2
2 2 1
Khi ñoù:
2
2 2 1
a (ax b)a- (ax b)a- (ax b)a
2
3 2 1

I x dx.
x (1 - x) - 2(1 - x) +
1 1 2 1 = = - +
.
(1 x) (1 x) (1 x) (1 x) (1 x)
I dx 2dx dx
- - - ò ò ò
1 2 1 C.
= - + +
1 3 3 1 .
= + + +
I é 1 3 3 1 ù
dx
= ê + + + ú ë - - - - û ò
1 3 3 1 C.
= - - - - +
I dx , vôùia 0 vaø n
+ + ò nguyeân döông.
= ¹
1 1 1 . (x - x ) - (x -
x )
= =
ax bx c a(x x )(x x ) a(x x ) (x x )(x x )
+ + - - - - -
æ ö
1 1 1 .
= - a(x - x ) ç è x - x x - x
÷ ø
Trang 34
2
39
(1 x)
=
- ò
Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x2 = (1- x)2 - 2(1- x) +1
2 2
Ta ñöôïc:
39 39 37 37 39
- - - - -
Khi ñoù: = - +
37 38 39
(1 x) (1 x) (1 x)
36 37 38
36(1 x) 37(1 x) 38(1 x)
- - -
Chuù yù: Môû roäng töï nhieân cuûa phöông phaùp giaûi treân ta ñi xeùt ví duï:
3
10
I x dx.
(x 1)
=
- ò
Giaûi:
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc (coâng thöùc Taylo): x3 =1+ 3(x -1) + 3(x -1)2 + (x -1)3.
Ta ñöôïc:
3 2 3
10 10
x 1 + 3(x - 1) + 3(x - 1) + (x -
1)
=
(x 1) (x 1)
- -
10 9 8 7
(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)
- - - -
Khi ñoù: 10 9 8 7
(x 1) (x 1) (x 1) (x 1)
9 8 7 6
9(x 1) 8(x 1) 7(x 1) 6(x 1)
- - - -
Daïng 2: Tính tích phaân baát ñònh: n 2 n
(ax bx c)
Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau:
· Tröôøng hôïp 1: Neáu n = 1
Ta xeùt ba khaû naêng cuûa D = b2 - 4ac
Ÿ Khaû naêng 1: Neáu D > 0
Khi ñoù: 2 1
2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2

æ ö
I 1 1 1 dx 1 [ln x x ln x x ] C.
Do ñoù: 1 1 2
= - = - - - + a(x - x ) ç x - x xx - ÷ 1 2 è a(x 1 2 ø 1 -
x
2
1 .ln x -
x C.
= +
a(x x) x x
- -
I 1 dx 1 C.
- - ò
= =- +
a (x x ) a(x x )
æ p p ö = Îç- ÷
= + ta ñöôïc: n n 2 n
u 1 du 2ntdt
é ù ì + - ü
I 1 t 2n t dt 1 t 2n [(t k) k]dt
ò ò
= ê + ú = í + ý ë + + û î + + þ
ì é ùü
1 t 2n a (t k) ò dt k (t k) ò
dt
(t k)
1 t 2n(I kI ) 2nkI t (2n a )I
a (t k) (t k)
2(n 1(kI t (2n 2 a )I (1)
= í + ê - úý î + ë + + ûþ
é ù
= ê + - ú Û = + - ë + û +
Û - = + - -
f(x) 1
Trang 35
ò
1
1 2 2
Ÿ Khaû naêng 2: Neáu D = 0
Khi ñoù: 2 2
0
1 1
=
ax bx c a(x x )
+ + -
Do ñoù: 2
0 0
Ÿ Khaû naêng 3: Neáu D < 0
Khi ñoù thöïc hieän pheùp ñoåi bieán x tgt vôùit ; .
2 2
è ø
· Tröôøng hôïp 2: Neáu n > 1
Baèng pheùp ñoåi bieán t x b ,
2a
I 1 dt
a (t k)
=
+ ò
Söû duïng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn vôùi pheùp ñaët:
2 n 2 n 1
(t k) (t k)
dv dt v t
+
ì = ì = - ï + Þ ï + í í
îï = îï =
Khi ñoù:
2 2
n n 2 n 2 n1 n 2 n 2 n 1
a (t k) (t k) + a (t k) (t k) +
n 2 n 2 n 2 n 1
n
n 2 n n n 1 n 1 2 n n
n 1
n 2 n 1 n 1
(t k)
+
+ +
-
- +
+
Chuù yù: Vì coâng thöùc (1) khoâng ñöôïc trình baøy trong phaïm vi saùch giaùo khoa 12, do ñoù caùc
em hoïc sinh khi laøm baøi thi khoâng ñöôïc pheùp söû duïng noù, hoaëc neáu trong tröôøng hôïp ñöôïc
söû duïng thì ñoù laø moät coâng thöùc quaù coàng keành raát khoù coù theå nhôù ñöôïc moät caùch chính
xaùc, do vaäy trong töôøng hôïp n > 1 toát nhaát caùc em neân trình baøy theo caùc böôùc sau:
– Böôùc 1: Xaùc ñònh I1.
– Böôùc 2: Xaùc ñònh In theo In–1 (chöùng minh laïi (1)).
– Böôùc 3: Bieåu dieãn truy hoài In theo I1 ta ñöôïc keát quaû caàn tìm.
Ví duï 5: Cho haøm soá 2
x (m 2)x 2m
=
- + +

Tính tích phaân baát ñònh I = ò f(x)dx bieát:
a/ m = 1 b/ m = 2.
Giaûi:
I f(x)dx dx dx dx d(x 2) d(x 1)
- + - - - - ò ò ò ò ò ò
ln x 2 ln x 1 C ln x 2 C.
a/ Vôùi m = 1: 2
x 3x 2 x 2 x 1 x 2 x 1
= - - - + = +
I f(x)dx dx 1 C.
- - ò ò
= = =- +
I dx
J dx dx 1 1 1 dx 1 ln x 1 C.
æ ö + = = = ç - ÷ = + + + + + è + + ø + ò ò ò
u 1 du 2ntdt
J t 2n t dt t 2n [(t 1) 1]dt
- - - - ò ò
= + = +
t 2n é dt dt ù
t 2n(J J )
= + ê + ú = + + - ë - - û - ò ò
2nJ t (2n 1)J 2(n 1)J t (2n 3)J
Û =- - - Û - = - - -
+ - -
(t 1) (t 1)
- -
J 1 t 2n 3)J
é ù
Û = - = ê + - ú - ë - û
é ù ì ì æ öüü = = - ê + ú = - í + í- ç + ÷ýý ë - û î - î è - øþþ
I J 1 t 3J 1 t 3 1 t J
x + 2 3(x + 2) 3 ln x +
1 C.
= - + + +
Trang 36
- -
= = = - = -
-
x 1
-
b/ Vôùi m = 2: 2
(x 2) x 2
(x 4x 3)
=
+ + ò
Giaûi:
J dx
Xeùt tích phaân n 2 n
(x 4x 3)
=
+ + ò , ta laàn löôït coù:
· Vôùi n = 1
1 2
x 4x 3 (x 1)(x 3) 2 x 1 x 3 3 x 3
· Vôùi n > 1
Baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn vôùi pheùp ñaët:
2 n 2 n 1
(t 1) (t 1)
dv dt v t
+
ì = ì = - ï - Þ ï - í í
îï = îï =
Khi ñoù:
2 2
- +
n 2 n 2 n1 2 n 2 n 1
(t 1) (t 1) + (t 1) (t 1) +
2 n 2 n 2 n 1 2 n n n 1
(t 1) (t 1) (t 1) + (t 1) +
n 1 2 n n n 2 n 1 n 1
n n 2 n 1 n 1
2(n 1) (t 1)
- -
J 1 t J
= - æ + ö ç - ÷ è ø
Do ñoù: 2 2 1
2 t 1
3 2 2 2 2 2 2 1
4 (t 1) 4 (t 1) 2 t 1
2 2 2
4(x 4x3 ) 8(x 4x 3) 16 x 3
+ + + + +

I ( l x +m
)dx , vôùi a 0
+ + ò vaø n nguyeân döông.
Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh: n 2 n
= ¹
(ax bx c)
Phaân tích: x l (2ax b) l
b
l +m= + +m-
2a 2a
I (2ax b)dx ( b) dx
l + l
= + m-
+ + + + ò ò
Khi ñoù: n 2 n 2 n
2a (ax bx c) 2a (ax bx c)
+ + ò thì:
J (2ax b)dx ln ax bx c C.
l + l
= = + + +
J (2ax b)dx . 1 C.
l + l
= =- +
+ + - + + ò
+ + ò vaø baäc cuûa P(x) lôùn hôn 1.
l +m
I Q(x)dx l (2ax + b)dx ( l
b) dx .
+ + + + ò ò ò
= + + m -
l + m æ ö
x 1 A B .
= ç + ÷ + + è - - ø
ax bx c a x x x x
I (2x - 10x + 16x -
1)dx
Trang 37
J (2ax b)dx
l +
=
a/ Vôùi n 2 n
2a ((ax bx c)
Ÿ Neáu n = 1, ta ñöôïc:
2
+ + ò
1 2
2a ax bx c 2a
Ÿ Neáu n > 1, ta ñöôïc:
n 2 n 2 n 1
2a (ax bx c) 2a(n 1) (ax bx c) -
K dx ,
b/ Vôùi n 2 n
(ax bx c)
=
+ + ò ta ñaõ bieát caùch xaùc ñònh trong daïng 2.
Toång quaùt heïp: Trong phaïm vi phoå thoâng chuùng thöôøng gaëp tích phaân baát ñònh sau:
I P(x)dx , vôùi a 0
= ¹
2
ax bx c
– Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp chia ña thöùc P(x) cho ax2 + bx + c ta ñöôïc:
2 2
2 2
P(x) Q(x) x
ax bx c ax bx c
Q(x) . 2ax b ( b). 1
2a ax bx c 2a ax bx c
= +
+ + + +
= + l + + m - l
+ + + +
– Böôùc 2: Khi ñoù: 2 2
2a ax bx c 2a ax bx c
Chuù yù: Tuy nhieân trong tröôøng hôïp ax2 + bx + c coù D = b2 - 4ac > 0
(ta ñöôïc hai nghieäm x1, x2), chuùng ta thöïc hieän pheùp phaân tích:
2
1 2
3 2
2
x 5x 6
=
- + ò
Giaûi:

2x - 10x + 16x - 1 2x 4x -
1 2 A B
= + = + +
2x - 10x + 16x -
1 2x 11 7 .
= + -
= é + - ù = + - - - + êë - - úû ò
I (a x b x c )dx , vôùi a 0
-a + + ò
= ¹
ax bxc A B C
(x )(ax bx c) x x x x x
æ ö
I A B C dx Aln x Bln x x Cln x x C
= ç + + ÷ = -a + - + - + è x -a x - x x - x
ø
ax bxc A B C
(x )(ax bx c) x x x (x x )
é ù
I A B C dx Aln x Bln x x C C.
= ê + + = -a + - - + ë x - a x - x (x - x ) ú û x -
x
Trang 38
Bieán ñoåi:
3 2
2 2
x 5x 6 x 5x 6 x 3 x 2
- + - + - -
Ta ñöôïc haèng ñaúng thöùc: 4x -1 = A(x - 2) + B(x - 3) (1)
Ñeå xaùc ñònh A, B trong (1) ta coù theå löïa choïn moät hai caùch sau:
· Caùch 1: Phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá
Khai trieån veá phaûi cuûa (1) vaø saép xeáp ña thöùc theo thöù töï baäc luøi daàn, ta coù:
4x -1 = (A + B)x + 2A - 3B.
A B 4 A 11
2A 3B 1 B 7
ì + = ì =
í Û í î- - = - î = -
· Caùch 2: Phöông phaùp trò soá rieâng:
Laàn löôït thay x = 2, x = 3 vaøo hai veá cuûa (1) ta ñöôïc heä:
A 11
B 7
= ìí
î = -
Töø ñoù suy ra:
3 2
2
x 5x 6 x 3 x 2
- + - -
Do ñoù: I 2x 11 7 dx x2 11ln x 3 7ln x 2 C.
x 3 x 2
Nhaän xeùt: Trong ví duï treân vieäc xaùc ñònh caùc heä soá A, B baèng hai caùch coù ñoä phöùc taïp
gaàn gioáng nhau, tuy nhieân vôùi baøi toaùn caàn phaàn tích thaønh nhieàu nhaân töû thì caùch 2
thöôøng toû ra ñôn giaûn hôn.
2
+ +
1 1 1
n 2
(x )(ax bx c)
Ta xeùt ba khaû naêng cuûa D = b2 – 4ac
· Khaû naêng 1: Neáu D > 0, khi ñoù: 2
1 2 ax + bx + c = a(x - x )(x - x )
Khi ñoù phaân tích:
21
1 1
2
1 2
+ +
= + +
-a + + - a - -
Do ñoù: 1 2
1 2
ò
· Khaû naêng 2: Neáu D = 0, khi ñoù: 2 2
0 ax + bx + c = a(x - x ) .
21
1 1
2 2
0 0
+ +
= + +
-a + + - a - -
Do ñoù: 2 0
0 0 0
ò
· Khaû naêng 3: Neáu D < 0

ax bxc A B(2x b) C
+ + +
= + +
I A B(2ax b C dx
é + ù = ê + + ú ë - a + + + + û ò
Aln x Bln | ax bx c | C dx
dx Jax bx c
I P(x)dx , vôùi a 0
-a + + ò vaø baäc cuûa P(x) lôùn hôn 2.
= ¹
P(x) Q(x) a x b x c
= +
I Q(x)dx (a x b x c )dx
-a + + ò ò
I (x + 2x -
2)dx
x + 2x - 2 x + 2x - 2 A B(2x -
1) C
= = + +
x 1 (x 1)(x x 1) x 1 x x 1 x x 1
(A 2B)x (A B C)x A B C
+ - - - + - +
x + 2x - 2 1 2x -
1
x 1 x 1 x x 1
I 1 2x 1 dx ln | x 1| ln | x x 1| C ln x x 1 C
æ - ö - + = ç- + ÷ = - + + - + + = + è + - + ø + ò
I dx , vôùi a b
+ + ò
= ¹
Trang 39
2
1 1 1
2 2 2
(x )(ax bx c) x ax bx c ax bx c
-a + + - a + + + +
Do ñoù: 2 2
x ax bx c ax bx c
2
2
ax bx c
= -a + + + +
+ + ò
Trong ñoù tích phaân =
2
+ + ò ñöôïc xaùc ñònh baèng pheùp ñoåi bieán x = tgt vôùi
æ p p ö Îç- ÷
è ø
t ;
2 2
.
Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh:
2
(x )(ax bx c)
– Böôùc 1: Thöïc hieän pheùp chia ña thöùc P(x) cho (x - a)(ax2 + bx + c) ta ñöôïc:
2
+ +
1 1 1
2 2
(x )(ax bx c) (x )(ax bx c)
-a + + -a + +
– Böôùc 2: Khi ñoù:
2
+ +
1 1 1
2
(x )(ax bx c)
= +
2
3
x 1
=
+ ò
Giaûi:
Bieán ñoåi:
2 2
3 2 2 2
+ + - + + - + - +
2
3
x 1
=
+
A 2B 1 A 1
A B C 2 B 1
A B C 2 C 0
ì + = ì = -
ï- + + = Û ï = í í
ï - + = - ï = î î
Khi ñoù:
2
=- +
3 2
+ + - +
Do ñoù:
2
2
2
x 1 x x 1 x 1
Daïng 5: Tính tích phaân baát ñònh: 2 2
(x a) (x b)

é + - + ù é ù = ê ú = ê - ú + + ë - + + û - ë + + û
é ù
= ê - + ú - ë - + + + û
é + - - ù
= - + - ê ë + - + + + ú û
2 1 1 1
=
é æ ö ù ê - ç - ÷ + ú ë + - è + + ø + û
I 1 1 2 1 1 1
ò ò ò ò
(a b) (x b) a b x b x a (x a)
1 1 2 (ln | x b | ln | x a) | 1 C
(a b) x a a b x a
1 2 ln x a 2x a b C.
(a b) a b x b (x b)(x a)
I dx
é + - + ù ê ú = ë û
2
1 (x 3) (x 1) 1 1 1
é + - + ù é ù = ê ú = ê - ú + + ë + + û ë + + û
1 é 1 2 1 ù 1 é 1 (x + 3) - (x + 1) 1
ù
4 (x 1) (x 1)(x 3) (x 3) 4 (x 1) (x 1)(x 3) (x 3)
1 dx dx dx dx
4 (x 1) x 1 x 3 (x 3)
1 1 ln | x 1| ln | x 3 | 1 C 1 ln x 3 2x 4 C.
4 x 1 x 3 4 x 1 (x 1)(x 3)
= ê - + ú = ê - + ú ë + + + + û ë + + + + û
é ù
ò ò ò ò
= ê - + + ú ë + + + + û
Trang 40
2 2
é + - + ù = êë - úû
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
(x a) (x b) 1,
a b
1 (x a) (x b) 1 1 1
(x a) (x b) (a b)(x a)(x b) (a b) x b x a
1 1 2 1
(a b) (x b) (x a)(x b) (x a)
1 1 2 . (x a) (x b) 1
(a b) (x b) a b (x b)(x a) (x a)
1 1
(a b)
- (x b) 2 a b x b x a (x a)
2
ta ñöôïc:
2 2 2
2
2
é æ öù
= ê - ç - + ÷ú - ë + - è + + + øû
= é- - + - + - ù + - êë + - + úû
é + + + ù
= ê - ú + - ë - + + + û
(x 3) (x 1)
=
+ + ò
Giaûi:
2 2
(x 3) (x 1) 1,
2 2
(x 3) (x 1) 2(x 3)(x 1) 4 x 1 x 3
2 2 2 2
2 2
é ù é + + ù = ê- - + + + - ú + = ê - ú + ë + + û ë + + + û
Daïng 6: Tính tích phaân baát ñònh: I P(x) dx
Q(x)
= ò

= ò baèng phöông phaùp heä soá baát ñònh.
P(x) D(x) E(x)
Q(x) A (x).B (x).C (x)
D(x) a .A'(x) a b .B'(x) b c .C'(x) c
å å å
= A (x) A (x) = B (x) B (x) = C (x) C (x)
é ù é ù é ù
I D(x)dx a .A'(x) a b .B'(x) b c .C'(x) c
ò åò åò åò
= + ê + ú + ê + ú + ê + ú
= A (x) A (x) = B (x) B (x) = C (x) C (x)
ë û ë û ë û
- + +
Trang 41
Giaû söû caàn xaùc ñònh: I P(x)
Q(x)
– Böôùc 1: Phaân tích Q(x) thaønh caùc ña thöùc baát khaû quy, giaû söû laø:
Q(x) = An (x).Bm(x).Ck (x), vôùi n, m, kÎN.
trong ñoù A(x), B(x), C(x) laø ña thöùc baäc hai hoaëc baäc nhaát.
– Böôùc 2: Khi ñoù ta phaân tích:
n m k
n i i m j j k t t
1 2 1 2 1 2
i i j j t j
i 1 j 1 t 1
= +
é ù é ù é ù
= + ê + ú + ê + ú + ê + ú
ë û ë û ë û
Xaùc ñònh ñöôïc caùc heä soá i i j j t t
1 2 1 2 1 2 a , a , b , b , c ,c baèng phöông phaùp heä soá baát ñònh.
– Böôùc 3: Xaùc ñònh:
n i i m j j k t t
1 2 1 2 1 2
i i j j t t
i 1 j 1 t 1
3 2
3 2
I x 3x x 6dx.
x 5x 6x
=
- + ò
Giaûi:
Ta coù:
3 2 2 2
3 2 3 2
x - 3x + x + 6 = 1 2x - 5x + 6 1 2x - 5x +
6 1 a b c + = + = + + +
.
x 5x 6x x 5x 6x x(x 2)(x 3) x x 2 x 3
- + - + - - - -
Ta ñöôïc haèng ñaúng thöùc: 2x2 - 5x + 6 = a(x - 3)(x - 2) + bx(x - 3) + cx(x - 2) (1)
Ñeå xaùc ñònh a, b, c trong (1) ta coù theå löïa choïn moät trong hai caùch sau:
· Caùch 1: Phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá
2x2 - 5x + 6 = (a + b + c)x2 -(5a + 3b + 2c)x + 6a
a b c 2 a 1
5a 3b 2c 5 b 2
6a 6 c 3
ì + + = ì =
ï + + = Û ï = - í í
ï = ï = î î
Laàn löôït thay x = 0, x = 2, x = 3 vaøo hai veá cuûa (1) ta ñöôïc heä:
a 1
b 2
c 3
= ìï
= - íï
î =

= æ + - + ö = + - - + + + ç - - ÷ è ø ò
I 7x -
4 dx.
7x4 7x 4 a b c
x 3x 2 (x 2)(x 1) (x 1) x 1 x 2
7x 4 1 2 2 .
x 3x 2 (x 1) x 1 x 2
I é 1 2 2 ù
dx 1 2 ln | x 1| 2 ln | x 2 | C.
= ê + - ú = - + + - + + + ë - - + û - ò
I x - x - 4x -
1
x x 4x 1 x x 4x 1 a b c d
- - - - - -
= = + + +
(c d)x (b c)x (a b)x a
+ + - + + +
Trang 42
Khi ñoù:
3 2
3 2
x - 3x + x +
6 = 1 1 2 3
+ - +
x 5x 6x x x 2 x 3
- + - -
Do ñoù: I 1 1 2 3 dx x ln | x | 2 ln | x 2 | 3ln | x 3 | C.
x x 2 x 3
x 3x 2
=
- + ò
Giaûi:
- -
Ta coù: 3 2 2
= = + +
- + + - - - +
2
(b c)x (a b 2c)x 2a 2b c
+ + + - + - +
2
(x 2)(x 1)
=
- -
Ta ñöôïc haèng ñaúng thöùc: 7x - 4 = a(x + 2) + b(x -1)(x + 2) + c(x -1)2 (1)
Ñeå xaùc ñònh a, b, c trong (1) ta coù theå löïa choïn moät trong hai caùch sau:
· Caùch 1: Phöông phaùp ñoàng nhaát heä soá:
7x - 4 = (b + c)x2 + (a + b - 2c)x + 2a - 2b + c.
b c 0 a 1
a b 2c 7 b 2
2a 2b c 4 c 2
ì + = ì =
ï + - = Û ï = í í
ï - + = - ï = - î î
Laàn löôït thay x = 0, x = 2, x = 3 vaøo hai veá cuûa (1) ta ñöôïc heä:
a 1
b 2
c 2
= ìï
= íï
î = -
-
Khi ñoù: 3 2
= + -
- + - - +
Do ñoù: 2
(x 1) x 1 x 2 x 1
3 2
4 3
x x
=
+ ò
Giaûi:
Ta coù:
3 2 3 2
4 3 3 3 2
x x x (x 1) x x x x 1
- + +
3 2
3
x (x 1)
=
+

x x 4x 1 1 3 2 1 .
=- - + -
I 1 3 2 1 dx 1 3 2 ln | x | ln | x 1 | C.
= æ- - + - ö = + + - + + ç + ÷ è ø ò
I x .P(x )dx .
I 1 P (t)dt (1)
dt 4x dx & x dx 1 . dt
= + - -
I 1 [(t + 2) - (t - 2)] dt 1 é 1 2 1 ù
dt
= = ê - + ú - ë - - + û ò ò
Trang 43
c d 1 a 1
b c 1 b 3
a b 4 c 2
a 1 d 1
ì + = ì = -
ï + = - ï = - ï Û ï í + = - í = ï ï
îï = - îï = -
Khi ñoù:
3 2
- - -
4 3 3 2
x x x x x x 1
+ +
Do ñoù: 3 2 2
x x x x 1 2x x
3. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN
Baøi toaùn 3: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ baèng phöông phaùp ñoåi bieán
Neáu tích phaân caàn xaùc ñònh coù daïng:
k1 k
k
Q(x )
-
= ò
· Böôùc 1: Ñaët t = xk, suy ra : dt = kxk-1dx,
Khi ñoù: 1
k Q (t)
1
= ò
Trong ñoù P1(x), Q1(x) laø ña thöùc coù baäc nhoû hôn P(x) vaø (Q(x).
· Böôùc 2: Tính tích phaân trong (1)
Chuù yù: Ta nhaän thaáy söï môû roäng töï nhieân vôùi daïng: I j '(x).P[ j
(x)]dx
Q[ (x)]
=
j ò
trong ñoù j(x) laø moät ña thöùc baäc k cuûa x.
Khi ñoù ñaët t = j(x).
3
8 2
I x dx .
(x 4)
=
- ò
Giaûi:
Ñaët t = x4
Suy ra:
3
3
= =
8 2 2 2
(x 4) 4 (t 4)
- -
I 1 dt
Khi ñoù: 2 2
4 (t 4)
=
- ò
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 2 11
[(t 2) (t 2)]
16
Ta ñöôïc:
2
2 2 2 2 2
64 (t 4) 64 (t 2) t 4 (t 2)

1 é 1 1 ln t - 2 1 ù
C
64 t 2 2 t 2 t 2
1 2t 1 ln t 2 C 1 2x 1 ln x 2 C
64 t 4 2 t 2 64 x 4 2 x 2
= ê- - - ú + ë - + + û
æ - ö æ - ö
= - ç - ÷ + = - çç - ÷÷ + è - + ø è - + ø
I (2x 1)dx
I (2x 1)dx
dt (2x 1)dx & (2x 1)dx dt .
= + =
I dt ln t - 2 C ln x + x -
1 C.
- + + + ò
= = + = +
-
1 1 1 1
- -
I = x 1 dx =
x dx. x x 1 x 2 x
1 1 dt 1 1 dx & x dt
æ ö - = ç - ÷ = è ø æ ö - ç + ÷
1 I dt 1 ln t - 2 C 1 x + -
2 = = += ln x 1 +
C t 2 2 2 t 2 2 2 x 1
- + + +
Trang 44
4 4
2 8 4
+
Ví duï 14: Tính tích phaân baát ñònh: 4 3 2
x 2x 3x 2x 3
=
+ + + - ò
Giaûi:
+
Bieán ñoåi I veà daïng: 2 2
(x x 1) 4
=
+ + - ò
+
Ñaët t = x2 + x +1. Suy ra: 2 2 2
(x x 1) 4 t 4
+ + - -
Khi ñoù:
2
2 2
t 4 t 2 x x 3
2
4
I x 1dx.
x 1
=
+ ò
Giaûi:
Bieán ñoåi I veà daïng:
2 2
2
2
2
+ æ + ö - ç ÷
è ø
ò ò
Ñaët t x 1 .
= + Suy ra:
x
2
2 2 2
x 1 t 2 x
x
è ø
Khi ñoù: 2
x
ò
2
2
1 ln x - x 2 +
1 C.
2 2 x x 2 1
= +
+ +
4. SÖÛ DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN
Phöông phaùp naøy cho duø ít ñöôïc söû duïng ñoái vôùi caùc haøm soá höõu tæ, tuy nhieân trong
nhöõng tröôøng hôïp rieâng noù laïi toû ra khaù hieäu quaû.
Baøi toaùn 4: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm höõu tæ baèng phöông phaùp tích phaân töøng
phaàn

I P(x)Q'(x)dx
Neáu tích phaân caàn xaùc ñònh coù daïng: n
ì =
ï ì í Þ í = î ïî
ì = ì =
ï Þ ï í = í = ï - ï - î î
u x du 3x dx
dv xdx v 1
J x dx 1 [(x + 1) + (x - 1)] dx 1 é 1 2 1 ù
dx
= = = ê + + ú - - ë - - + û
(x 1) 4 (x 1) 4 (x 2) x 1 (x 1)
1 æ 1 ln x - 1 1 ö C 1 æ ln x - 1 2x ö
C (2)
4 x 1 x 1 x1 4 x 1 x 1
= ç - + - ÷ + = ç - ÷ + è - + + ø è + - ø
= - + ç - ÷ + - è + - ø
u x du dx
dv xdx v 1
ì = ì =
ï Þ ï í = í = - îï - îï -
J x 1 dx x 1 ln x 1 .
- - - + ò
= - + =- +
Trang 45
Q (x)
= ò
· Böôùc 1: Ñaët
u P(x)
n
du
dv Q'(x)dx v
Q (x)
· Böôùc 2: Khi ñoù: I = uv - ò vdu.
4
2 3
I x dx
(x 1)
=
- ò
Giaûi:
3
2 3
I x .xdx
(x 1)
=
- ò
Ñaët :
3 2
2 3 2 3
(x 1) 4(x 1)
Khi ñoù:
3 2
2 3 2 2
I x 3 x dx (1)
- - ò
= +
4(x 1) 4 (x 1)
Xeùt tích phaân:
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
ò ò ò
3
2 3 2
I x 3 æ ln x - 1 2x ö
C.
4(x 1) 16 x 1 x 1
Chuù yù: Ñeå xaùc ñònh tích phaân J chuùng ta cuõng coù theå tieáp tuïc söû duïng tích phaân töøng phaàn
nhö sau:
Ñaët:
2 2 2
(x 1) 2(x 1)
Khi ñoù: 2 2 2
-
2(x 1) 2 x 1 2(x 1) 4 x 1
5. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC NHAU
Trong phaàn naøy chuùng ta seõ ñi xem xeùt moät vaøi baøi toaùn ñöôïc giaûi baèng caùc phöông
phaùp khaùc nhau vaø muïc ñích quan troïng nhaát laø caàn hoïc ñöôïc phöông phaùp suy luaän
qua moãi ví duï.

I x 3 dx.
- + + + + + +
= + + =
=- + -
= æ- + - ö = - + + - + + ç + + ÷ è ø ò
3 ln(x2 ) 4 ln(x2 1) 5 ln(x2 2) C.
2 2
I dx .
dt 3x dx & dx 1 . dt
= =
1 a bt ct (a b)t (2a b c)t a
+ + + + +
= + + =
I 1 t t dt ln | t | 1 ln | t 1| 1 . 1 C
= ê - - ú = - + + + ë + + û + ò
Trang 46
2
-
4 2
x(x 3x 2)
=
+ + ò
Giaûi:
Ñaët t = x2 . Suy ra: dt 2xdx & x3 (2 3x2 )8dx t -
3 dt.
t(t 1)(t 2)
= - =
+ +
Khi ñoù: I t -
3 dt
t(t 1)(t 2)
=
- + ò
Ta coù:
t 3 a b c (a b c)t2 (2a 2b c)t 2a
t(t 1)(t 2) t t 1 t 2 t(t 1)(t 2)
+ - + + + +
a b c 0 a 3/ 2
3a 2b c 1 b 4
2a 3 c 5/ 2
ì + + = ì = -
ï + + = Û ï = í í
ï = - ï = - î î
Khi ñoù: t3 -
31 4 5 1
t(t 1)(t 2) 2t t 1 2t 2
+ + + +
Do ñoù: I 3 1 4 5 1 dt 3 ln t 4 ln | t 1| 5 ln | t 2 | C
2t t 1 2t2 2 2
=- + + - + +
t(x 1)
=
+ ò
Giaûi:
Ñaët t = x3 . Suy ra: 2
6 2 2 2
x(x 1) 3 t(t 1)
+ +
I 1 dt
Khi ñoù: 2 2
3 t(t 1)
=
+ ò
Ta coù:
4 2
2 2 2 2 2 2 2
t(t 1) t t 1 (t 1) t(t 1)
+ + + +
Ñoàng nhaát, ta ñöôïc:
a b 0 a 1
2a b c 0 b 1
a 1 c 1
ì + = ì =
ï + + = Û ï = - í í
ï = ï = - î î
dt 1 t t .
Þ = - -
2 2 2 2 2
t(t 1) t t 1 (t 1)
+ + +
é ù
Do ñoù: 2
2 2 2 2
t t 1 (t 1) 2 2 t 1
2 6
2 2 6 6
1 (ln t 1 ) C 1 (ln x 1 ) C.
2 t 1 t 1 2 x 1 x 1
= + + = + +
+ + + +

-
dt 4x dx & 1 - x 1 . 1 -
t
= =
1 - t a b (a + b)t +
a
t(1 t) t t 1 t(t 1)
I 1 2 dt ln | t | 2 ln | t 1| C ln | t | C ln x C.
= æ - ö = - + + = + = + ç + ÷ + + è ø ò
I (x 1)dx
I (x -
1)dx
I [(x - 4x + 1) - (x - 4x)](x - 1)dx (x - 1)dx (x -
1)dx
- - + - - + ò ò ò
= = -
1 (ln | x 4x | l n | x 4x 1 |) C 1 ln x 4x C.
4 4x 4x 1
I x 1 dx.
æ 1 ö æ 1 1 1 - d ç x + ÷ d ç x + + 1 ö ÷
I = ò x è x ø è x ø
x 2x 1 2 1 dx = ò = ò
+ - + + æ x 1 1 + ö + 2 æ x + ö æ 1 ö x x ç x ÷ ç x ÷ - 3 ç x + + 1 - 4 x
÷
+ + - - +
= + = +
+ + + + +
Trang 47
4
4
I 1 x dx.
x(1 x )
=
+ ò
Giaûi:
Ñaët t = x4 . Suy ra:
4
3
4
x(1 x ) 4 t(1 t)
+ +
Khi ñoù: I 1 1 -
t dt
4 t(1 t)
=
+ ò
Ta coù: = + =
2 2
+ + +
a b 1 a 1
a 1 b 2
ì + = - ì =
í Û í î = î = -
1 t 1 2
Þ -
= -
t(1 t) t t 1
+ +
Do ñoù:
4
2 4 2
t t 1 (t 1) (x 1)
3
-
3 4
x(x 4)(x 4x 1)
=
- - + ò .
Giaûi:
3
4 4
(x 4x)(x 4x 1)
=
- - + ò
Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: 1 = (x4 - 4x +1)(-(x4 - 4x)
Ta ñöôïc:
4 4 3 3 3
4 4 4 4
(x 4x)(x 4x 1) x 4x x 4x 1
4
4 4
4
-
= - - - + + = +
- +
2
-
4 3 2
x 2x x 2x 1
=
+ - + + ò
Giaûi:
Chia caû töû vaø maãu cuûa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân cho x2 ¹ 0, ta ñöôïc:
2
2 2
2
2
è ø è ø è ø
2
2
1x
1 1 2 1 x x 1 ln x C ln C. 4 x 1 1 2 4 x 3x 1
x

BAØI TAÄP
2x + 41x -
91 dx;
(x 1)(x x 12)
- - - ò c/ 3 2
(x 3x 2)dx ;
x(x 2x 1)
- +
+ + ò f/
+ - + + b/ 4 ln x -1 + 5ln x - 4 + 7ln x + 3 + C;
- + - + + +
+ + - +
xdx ;
1 ln x (1 2) C;
4 2 x (1 2)
Trang 48
Baøi 20. Tính tích phaân sau:
a/ 2
dx ;
4x + 8x + 3 ò b/ 2
dx ;
x - 7x +10 ò c/ 2
dx .
3x - 2x -1 ò
ÑS: a/ 1 ln 2x +
1 C;
4 2x 3
+
+
b/ 1 ln x -
5 +
C;
3 x 2
-
c/ 1 ln 3x +
3 +
C.
4 3x 1
+
Baøi 21. Tính caùc tích phaân sau:
2x 7 dx;
x 3x 2
-
- + ò b/ 2
a/ 2
5x 7 dx;
x 3x 2
2x 7 dx;
x 5x 6
-
- + ò c/ 2
2x 5 dx;
9x 6x 1
+
+ + ò d/ 2
+
- + ò
ÑS: a/ 5ln x -1 - 3ln x - 2 + C; b/ 5ln x 1 9 ln x -
1 + - +
C;
2 x 1
+
c/ 3ln x + 2 - ln x + 3 + C; d/ 2 ln 3x 1 17 . 1 C.
- - æ ö + ç - ÷ è ø
9 9 3x 1
a/ xdx ;
(x +1)(2x +1) ò b/
2
2
dx ;
6x - 7x - 3x ò
d/
3
3
x 1dx;
4x x
-
- ò e/
3
2
2
(x 2) dx .
x(x 2x 1)
ò
+
2
- + ÑS: a/ ln x 1 1 ln x 1 C;
2 2
c/ 1 ln x 2 ln x 3 3 ln x 1 C;
3 33 2 11 3
d/ 1 x ln x 7 ln x 1 9 ln x 1 + - - - + +
C;
4 16 2 16 2
e/ x 2 ln x 4 ln x 1 4 C;
x 1
+
f/ 4 ln x 2 ln x 1 9 C.
- - - +
x 1
-
xdx ;
x - 3x + 2 ò b/
a/ 4 2
7
4 2
x dx ;
(x +1) ò c/ 4 2
x - 2x -1 ò d/
5
ò x dx ;
e/ x 6 - x 3
- 2 2
2dx ;
x(x +1) ò
f/
5
ò x dx ;
g/ x 6 - x 3
- 2 10 2
dx ;
x(x +1) ò h/
2
4
x 1dx;
x 1
-
+ ò i/
3
ò x dx;
k/
(x 2 +1) 2
2
ò
x dx .
(1- x) 10
ÑS: a/
2
2
1 ln x -
2 +
C;
2 x 1
-
1 ln x 1 1 C;
4 x 1
æ - + ö + ç ÷
è + ø
b/ 4
4
c/
2
2
- +
+
- -
d/
1 3
ln x 6 - x 3
1 - 2 + ln x -
2 +
C;
6 18 x 3
1
+

1 ln(x 1) 1 C;
2 x 1
é + + ù + êë + úû
+ +
f(x) m n p
= + +
+ - - + b/
y a b c .
- + - + + +
f(x) 1
Trang 49
e/
2
2
ln x +
C;
x 1
+
f/
2
2
1 ln x +
C;
8 x 4
+
g/
10
10 10
1 ln x 9 C;
9 x 1 x 1
æ ö
ç ÷ + +
è + ø +
h/
x 1 2 1 ln x C; 2 2 x 1 2
é ù ê + - ú
ê ú +
ê + + ú
ë x
û
i/ 2
2
1 1 1 C.
k/ 7 8 9
- - - +
7(x 1) 4(x 1) 9(x 1)
- - -
Baøi 24. Cho haøm soá
2
2
f(x) 2x 2x 5
x 3x 2
=
- +
a/ Tìm m, n, p ñeå 2
(x 1) x 1 x 2
- - +
b/ Tìm hoï nguyeân haøm cuûa f(x) (ÑHTM_1994)
ÑS: a/ m 3;n 3 = = 1;p = 1. b/ ln (x - 1)(x + 2) - +
C.
x 1
-
a/
4
3
f(x) x -
2 ;
x x
=
-
b/
2
2
1 ln x 1 C.
2 x
-+
(ÑHTM_1994)
ÑS: a/ 1 x2 2 ln x 1 ln x2 1 C;
2 2
2
2
1 ln x 1 C.
2 x
-+
Baøi 26. Cho haøm soá
2
3
y 3x + 3x +
3
x 3x 2
=
- +
.
a/ Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c ñeå 2
= + +
(x 1) x 1 x 2
- - -
b/ Tìm hoï nguyeân haøm cuûa y (ÑHQG–Haø Noäi_1995)
ÑS: a/ a = 3; b = 2; c = 1. b/ 3 2lnx 1 lnx 2 C.
x 1
-
Baøi 27. Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá:
a/
2001
2 1002
f(x) x
(1 x )
=
+
b/ 1999
x(x 2000)
=
+
c/
2
f(x) x -
1
2 2
(x 5x 1)(x 3x 1)
=
+ + - +
ÑS: a/
2 1001
2
1 x C;
2002 1 x
æ ö
ç ÷ +
è + ø
b/
1999
1 ln x C;
1999 2000 x 1999
2000
+
- +
c/
2
2
1 ln x - 3x +
1 +
C.
8 x 5x 1
- +

Vaán ñeà 8: NGUYEÂN HAØM CAÙC HAØM LÖÔÏNG GIAÙC
Ñeå xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc ta caàn linh hoaït löïa choïn moät trong caùc
phöông phaùp cô baûn sau:
1. Söû duïng caùc daïng nguyeân haøm cô baûn.
2. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc ñöa veà caùc nguyeân haøm cô baûn.
3. Phöông phaùp ñoåi bieán.
4. Phöông phaùp tích phaân töøng phaàn.
1. SÖÛ DUÏNG CAÙC DAÏNG NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN
Baøi toaùn 1: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc baèng vieäc söû duïng caùc daïng
- + - +
+ + - + + ò ò
+ + - + +
ò
ò ò
Trang 50
nguyeân haøm cô baûn.
Daïng 1: Tính tích phaân baát ñònh: I dx
sin(x a)sin(x b)
=
+ + ò
· Böôùc 1: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc:
1 sin(a b) sin[(x a) (x b)
= =
sin(a b) sin(a b)
- -
· Böôùc 2: Ta ñöôïc:
I dx dx 1 sin[(x + a) - (x -
b)] dx
= =
sin(x a)sin(x b) sin(a b) sin(x a)sin(x b)
1 sin(x a).cos(x b) cos(x a).sin(x b) dx
sin(a b) sin(x a)sin(x b)
1 cos(x b) dx cos(x a) dx
sin(a b) sin(x b) sin(x a)
1 [ln | sin(x b)} ln | sin(x a) |] C
sin(a b)
1 ln sin(x b) C.
sin(a b) sin(x a)
=
- + +
é + + ù
= ê - ú - ë + + û
= + - + +
-
+
= +
- +
Chuù yù: Phöông phaùp treân cuõng ñöôïc aùp duïng cho caùc daïng tích phaân sau:
1. I dx
cos(x a) cos(x b)
=
ò , söû duïng ñoàng nhaát thöùc 1 sin(a -
b) =
.
+ + sin(a -
b)
2. I dx
sin(x a) cos(x b)
=
ò , söû duïng ñoàng nhaát thöùc 1 cos(a -
b) =
.
+ + cos(a -
b)

Ví duï 1: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) 1
p éæ + p ö - ù êç ÷ ú éæ p ö ù = = ëè ø û = + - p êç ÷ ú ëè ø û
éæ p ö ù æ p ö æ p ö êç + ÷ - ú ç + ÷ + ç + ÷ = ëè ø û = è ø è ø
ò ò
æ p ö æ p ö ç + ÷ ç + ÷
è ø è ø
F(x) 2 dx 2 dx
- - ò ò
= =
- - ò ò
+ a + a - a ò ò
+ a + ò ò .
= = £
Trang 51
sinx.cos x
4
=
æ + p ö ç ÷
è ø
.
Giaûi:
· Caùch 1: Söû duïng phöông phaùp trong daïng toaùn cô baûn
cos cos x x 4 4 1 2 cos x x .
cos 2 4
4 2
Ta ñöôïc:
cos x x cosx cosx sinx sinx
F(x) 2 4 dx 2 4 4
sinx.cos x sinx.cos x
4 4
sin x
2 cosx dx 4 dx
sinx cos x
4
2 ln | sin x | ln cos x C 2 ln sin x C
4 cos x
4
é æ + p ö ù ê ç ÷ ú = ê + è ø ú
ê æ p ö ú ê ç + ÷ ú ë è ø û
é æ p ö ù = ê - ç + ÷ ú + = + ë è ø û æ + p ö ç ÷
è ø
ò ò
· Caùch 2: Döïa treân ñaëc thuø cuûa haøm f(x)
Ta coù: 2
sinx.(cosx sinx) sin x(cot gx 1)
2 d(cot gx) 2 d(cot gx -
1) 2 ln cot gx 1 C.
cot gx 1 cot gx 1
= - = - = - - +
sinx sin
=
+ a ò
· Böôùc 1: Bieán ñoåi I veà daïng: I dx 1 x dx x (1) sinx sin 2 sin .cos
2 2
= =
· Böôùc 2: AÙp duïng baøi toaùn 1 ñeå giaûi (1).
1. I dx , vôùi | m | 1
+ ò
= £
sinx m
2. I dx vaø I dx , vôùi | m | 1
cosx cos cosx m

= = =
æ ö + p + p - p ç + ÷
è ø
p æ + p - p ö ç - ÷ + p - p = = è ø = æ - ö p ç ÷ è ø
æ + p - - p ö ç ÷
= è ø
ò + p - p
+a
+a
ò ò
ò
ò ò ò
æ + a + + a ö = ç - ÷ è + a ø
= - = a -
Trang 52
2sinx 1
=
+
.
Giaûi:
Bieán ñoåi f(x) veà daïng:
f(x) 1 1 . 1 1 . 1 (1) 1 2 sin x sin 4 sin 6x .cos 6x 2 sinx
2 6 12 12
cos 6x 6x cos 2 6x 6x 1 6 12 12 cos
cos 3 3 12 12
6 2
Ta ñöôïc:
cos 3x 6x F(x) 1 12 12 2 3 sin 6 .cos 6x
12 12
cos 6x .cos 6x sin 6x .sin 6x 1 12 12 12 12
2 3 sin 6x .cos 6x
12 12
ò
1 cos 6x sin 6x ò 12 6x dx ò
12 dx 2 3 sin cos 6x
12 12
sin 6x 1 ln sin 6x ln cos 6x C 1 ln 12 C. 2 3 12 12 3 cos 6x
12
+p -p +p -p
+
=
+p - p
é + p - p ù
ê ú
= ê + ú ê + p - p ú
ë û
+ p
é + p + p ù
= ê - ú + = + ë û - p
Daïng 3: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò tgx.tg(x + a)dx.
· Böôùc 1: Bieán ñoåi I veà daïng:
I tgx.tg(x )dx sin x.sin(x ) dx
cosx.cos(x )
= +a =
cosx.cos(x ) sinx.sin(x ) 1 dx
cosx.cos(x )
cos a
dx dx cos dx x (1)
cosx.cos(x ) cosx.cos(x )
+ a +a
· Böôùc 2: AÙp duïng baøi toaùn 1 ñeå giaûi (1).

1. I = ò tg(x + a).cot g(x + b)dx.
2. I = ò cot g(x + a).cot g(x + b)dx.
Ví duï 3: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) tgx.tg x
æ p ö æ p ö æ p ö ç + ÷ ç + ÷ + ç + ÷
= è ø = è ø è ø -
æ p ö æ p ö ç + ÷ ç + ÷
è ø è ø
ò ò ò
= - =- +
æ + p ö æ + p ö ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ta löïa choïn moät trong hai caùch sau:
p éæ p ö ù êç + ÷ - ú ëè ø û éæ p ö ù = = = êç + ÷ - ú p ëè ø û
éæ + p ö - ù æ p ö æ p ö êç ÷ ú ç + ÷ - ç + ÷ = ëè ø û = è ø è ø
ò ò
æ + p ö æ + p ö ç ÷ ç ÷
è ø è ø
é æ + p ö ù ê ç ÷ ú é æ p ö ù = ê è ø - ú = - ç + ÷ + + æ p ö ê è ø ú ê ç + ÷ ú ë û êë è ø úû
=
J 2 dx 2 dx
- - ò ò
= =
Trang 53
æ p ö = ç + ÷
4
è ø
.
Giaûi:
Bieán ñoåi f(x) veà daïng:
sinx.sinx cosx.cosx sinx.sin x
f(x) 4 4 4 1
cosx.cos x cosx.cos x
4 4
cos 2 1 4 1 . 1.
cosx.cos x 2 cos x.cos x
4 4
p
= -= -
æ + p ö æ + p ö ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Khi ñoù: F(x) 2 dx dx x 2 dx (1)
2 cosx.cos x 2 cos x.cos x
4 4
Ñeå ñi xaùc ñònh : J dx
cosx.cos x
4
=
æ + p ö ç ÷
è ø
· Caùch 1: Söû duïng phöông phaùp trong daïng toaùn cô baûn.
sin sin x x 1 4 4 2 sin x x
sin 2 4
4 2
Ta ñöôïc:
sin x x sinx cosx cosx sinx
J 2 4 dx 2 4 4 dx
cosx.cos x cosx.cos x
4 4
sin x sin x 2 4 dx dx 2 ln cosx x ln cosx C
ò ò
cos x cosx 4
4
2 ln cosx
C 2 ln1 tgx C.
cos x
4
+ =- - +
æ p ö ç + ÷
è ø
· Caùch 2: Döïa treân ñaëc thuø cuûa haøm döôùi daáu tích phaân
Ta coù: 2
cosx.(cosx sinx) cos x(1 tgx)

2 d(tgx) 2 d(1 tgx) 2 ln 1 tgx C
1 tgx 1 tgx
I 1 dx 1 dx a b sin(x ) a b 2sin x cos x
+ + a + + a + a
I 1 dx 1 sin(x +a
)dx
ò ò
ò
= =
a b sin(x ) a b sin (x )
+ + a + + a
1 d[cos(x +a )] 1 ln cos(x +a ) -
1 C.
a b cos (x ) 1 2 a b cos(x ) 1
= - =- +
ò ò ò
= = =
+ æ + p ö æ + p ö æ + p ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø è ø
é æ p öù ê ç + ÷ú ë è øû p = = = + +
ò ò
æ + p ö æ + p ö æ + p ö ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
I a sin x +
b cosx dx.
a sinx b cosx
Trang 54
-
- - ò ò
= = - =- - +
Vaäy ta ñöôïc: F(x) = -x - ln 1- tgx + C.
asinx bcosx
=
+ ò
Ta coù theå löïa choïn hai caùch bieán ñoåi:
· Caùch 1: Ta coù:
= =
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
d tg x 1 dx 1 2
a b 2tg x cos x a b tg x
2 2 2
1 ln tg x C.
a b 2
æ + a ö
ç ÷
= = è ø
+ + a + a + + a
+a
= +
+
ò ò
ò ò
· Caùch 2: Ta coù:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
+ + a - + + a +
Chuù yù: Chuùng ta cuõng coù theå thöïc hieän baèng phöông phaùp ñaïi soá hoaù vôùi vieäc ñoåi bieán:
t tg x .
2
=
3sinx cosx
=
+
.
Giaûi:
Ta coù: F(x) 2dx dx dx
3 sin x cosx sin x 2sin x cos x
6 2 12 2 12
2
d tg x
dx 2 12 ln tg x C.
2tg x cos x tg x 2 12
2 12 2 12 2 12
2 2
=
+ ò

· Böôùc 1: Bieán ñoåi : 1 1 2 2 2 2 a sinx b cosx A(a sinx + = + b cos x) + B(a cosx - b sin x)
· Böôùc 2: Khi ñoù:
I A(a sin x + b cosx) + B(a cosx -
b sin x) 2 2 2 2
dx
a sinx b cosx
A dx B a cosx b sin x dx Ax Bln a sin x b cosx C
+ ò ò
= + = + + +
+ - - -
= = -
æ - ö + = ç - ÷ = - è + ø + ò ò
I a sin x +
b cosx dx
(a sinx b cosx)
I A(a sin x + b cosx) + B(a cosx -
b sin x) dx
(a sinx b cosx)
A dx B a cosx -
b sin x dx
+ + ò ò
= +
a sinx b cosx (a sinx b cosx)
A ò
dx B
a + b sin(x + a ) a sin x +
b cosx
A ln | tg x | B C
a b 2 a sin x b cosx
= - +
+ +
sin b vaø cos a
a = a =
Trang 55
2 2
=
+ ò
-
2 2
2 2
a sinx b cosx
2 2
Ví duï 5: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) 4sin x +
3cos x
sinx 2cosx
=
+
.
Giaûi:
Bieán ñoåi: 4sin x + 3cos x = a(sin x + 2 cos x) + b(cosx - 2sin x)
= (a - 2b)sin x + (2a + b) cosx
a 2b 4 a 2
2a b 3 b 1
ì - = ì =
í Û í î + = î = -
Khi ñoù: f(x) 2(sin x 2 cosx) (cosx 2sin x) 2 cosx 2sin x .
sinx 2cosx sinx 2cosx
+ +
Do ñoù: F(x) 2 cosx 2sin x dx 2 dx d(sin x 2 cosx)
sinx 2cosx sinx 2cosx
= 2x - ln sin x + 2 cosx + C
2
2 2
=
+ ò
· Böôùc 1: Bieán ñoåi : 1 1 2 2 2 2 a sin x + b cosx = A(a sin x + b cosx) + B(a cosx - b sin x)
2 2 2 2
2
2 2
=
+ ò
2 2
2
2 2 2 2
= -
2 2
2 2 2 2
+a
2 2
2 2 2 2
Trong ñoù 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a b a b
+ +

Ví duï 6: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) 8cos x
f(x) 8cosx 8cosx
= =
F(x) 2dx 2 3 d( 3 sin x cosx)
+ + ò ò
æ p ö = ç + ÷ +
+ è ø ò
1 1 1 . 1asin x b cosx c c[1 cos(x )] 2c cos x
sin a vaø cos b
a = a =
d æ x -a ö
ç ÷ I 1 ò dx 1 ò è 2 ø 1 tg x -a = x = x = +
C. 2c cos -a c cos -a
2 2
Trang 56
2 3sin2x cos2x
=
+ -
.
Giaûi:
Bieán ñoåi: 2 2 2
3sin x 2 3sinxcosx cos x ( 3sinx cosx)
+ + +
Giaû söû: 8cosx = a( 3sinx + cosx)+ b( 3 cosx -sinx) = (a 3 - b)sinx +(a+ b 3)cosx
a 3 b 0 a 2
a b 3 b 2 3
ìï - = ìï = í Û í
îï + = îï =
Khi ñoù: f(x) 2 2 3( 3 cos x -
sin x)
= -
3sinx csx ( 3sinx cosx)
+ +
+
Do ñoù: = -
2
3sinx cosx ( 3sinx cosx)
1 ln tg x 2 3 C.
2 2 12 3sinx cosx
æ p ö = ç + ÷ - +
è ø +
Chuù yù: Trong lôøi giaûi treân ta ñaõ taän duïng keát quaû trong ví duï 4 laø:
2dx 1 ln tg x C
3 sin x cosx 2 2 12
asinx bcosx c
=
+ + ò
Ta xeùt 3 khaû naêng sau:
1. Neáu c = a2 + b2
Ta thöïc hieän pheùp bieán ñoåi:
2
2
= =
+ + + - a - a
trong ñoù
2 2 2 2
a b a b
+ +
Khi ñoù:
2 2
2 2
2. Neáu c = - a2 + b2
Ta thöïc hieän pheùp bieán ñoåi:

1 1 1 . 1asin x b cosx c c[1 cos(x )] 2c sin x
sin a vaø cos b
a = a =
d æ x -a ö
ç ÷ I 1 ò dx 1 = x = ò è 2 ø 1 x = cot g x - a +
C. 2c sin -a c sin -a
c 2
dx 2dt , sin x 2t & cosx 1 t .
= = =
dt 1 . 1 dx 1 x 1 2dt = = æ 1 + tg ö dx = (1 + t )dx Þ dx = 2 x 2 ç 2 ÷
cos 2 1 t
= ta ñöôïc: 2 2
4dt tg x 1 I 1 t 2dt 2 d(t 1) ln t 1 C ln 2 C
+ - - = + = = = + = +
ò ò ò
4t 1 - t t 2t (t 1) 1 t + 1 x - +
1 + + - tg + 1 1 t 1 t
2 I a sin x + b cosx +
c dx.
a sinx b cosx c
I A(a sin x + b cos x + c ) + B(a cosx - b sin x) +
C
ò
a sinx b cosx c
ò ò ò
a cosx b sin x dx A dx B dx C
a sinx b cosx c a sinx b cosx c
Trang 57
2
2
= =
+ + - - a -a
trong ñoù
2 2 2 2
a b a b
+ +
Khi ñoù:
2 2
2 2
3. Neáu c2 ¹ a2 + b2
Ta thöïc hieän pheùp ñoåi bieán t tg x .
2
=
Khi ñoù:
2
-
2 2 2
1 t 1 t 1 t
+ + +
Ví duï 7: Tính tích phaân baát ñònh I 2dx
2sinx cosx 1
=
- + ò .
Giaûi:
Ñaët: t tg x ,
2
2
2
2
è ø +
Khi ñoù:
2
2 2 2
2 2
+ +
ln tg x C.
æ p ö = ç - ÷ +
2 4
è ø
Daïng 8: Tính tích phaân baát ñònh: 1 1 1
1 2 2
=
+ + ò
· Böôùc 1: Bieán ñoåi:
1 1 1 2 2 2 2 2 a sin x + b cosx + c = A(a sin x + b cosx + c ) + B(a cos x - b sin x) + C
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
=
+ +
-
= + +
+ + + +

Ax Bln a sin x b cosx c C dx
2 2 2
a sin x + b cosx + c ò ñöôïc xaùc ñònh nhôø daïng 4.
- + + + -
- + - + ò ò ò
= + -
æ p ö = ç - ÷ +
- + è ø ò
I a sin x b sin x cosx c cos xdx.
=
ò +
I (Asin x + Bcosx)(a sin x + b cos x) +
Cdx
a sinx b cosx
(Asinx Bcosx)dx C dx
a sinx b cosx
Trang 58
a sinx b cosx c
2 2 2
= + + + +
+ + ò
trong ñoù
dx
2 2 2
Ví duï 8: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) 5sin x .
2sinx cosx 1
=
- +
.
Giaûi:
Giaû söû: 5sinx = a(2sinx – cosx + 1) + b(2cosx + sinx) + c
= (2a + b)sinx + (2b – a)cosx + a + c.
2a b 5 a 2
2b a 0 b 1
a c 0 c 2
ì + = ì =
ï - = Û ï = í í
ï + = ï = - î î
Khi ñoù: f(x) 2(2sin x cos x 1) (2 cosx sin x) 2
2sinx cosx 1
=
- +
2 cosx +
sin x 2 sinx cosx 1 2sinx cosx 22
1
=+ -
- + - +
Do ñoù: F(x) 2dx 2 cosx +
sin x dx 2 dx
2sinx cosx 1 2sinx cosx 1
2 dx d(2sin x cos x 1) 2dx
2sinx cosx 1 2sinx cosx 1
2x ln | 2sin x cosx 1| ln tg x C.
2 2
- +
= + -
- + - +
æ p ö = + - + - ç - ÷ +
è ø
ò ò
2dx ln tg x C.
2sinx cosx1 2 4
2 2
+ +
1 1 1
a sinx b cosx
2 2
· Böôùc 1: Bieán ñoåi: 2 2
1 1 1 a sin x + b sin x.cosx + c cos x
2 2
2 2 = (Asin x + Bcosx)(a sin x + b cosx) + C(sin x + cos x)
2 2
2 2
2 2
=
+
= + +
+
ò
ò ò

Acosx Bsin x C dx
a b sin(x )
2 2
2 2
Acosx Bsin x C ln | tg x | C
a b 1
2 2
2 2
sin b vaø cos a
a = a =
ì + = ì = ï ï
í + = Û í = -
ï + = ï = î î
+ ò ò
3 cosx sin x 1 ln tg x C.
æ p ö = - - - ç + ÷ +
æ p ö = ç + ÷ +
+ è ø ò
I dx .
dt 1 dx & dx dt
= =
I dx
Trang 59
=- + +
+ + a
+a
=- + + +
+
ò
trong ñoù 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a b a b
+ +
.
Ví duï 9: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá
4sin2 f(x)
x +
1 3sinx cosx
=
+
.
Giaûi:
Giaû söû: 4sin2 x+1= 5sin2 x+ cos2 x = (asinx+ bcosx)( 3sinx+cosx)+c(sin2 x+cos2 x)
= (a 3 + c)sin2 x + (a + b 3)sin x.cosx + (b + c) cos2 x.
a 3 c 5 a 3
a b 3 0 b 1
b c 1 c 2
Do ñoù: F(x) ( 3 sin x cosx)dx 2dx
3sinx cosx
= - -
2 2 12
è ø
2dx 1 ln tg x C.
3 sin x cosx 2 2 12
asin x bsinxcosx ccos x
=
+ + ò
· Böôùc 1: Bieán ñoåi I veà daïng: I dx
2 2
(atg x btgx c) cos x
=
+ + ò
· Böôùc 2: Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán: t = tgx
Suy ra: 2 2 2 2
cosx (atg x btgx c) cos x at bt c
+ + + +
I dt .
Khi ñoù: 2
at bt c
=
+ + ò
3sin x 2sinxcosx cos x
=
- - ò

Giaûi:
d tgx 1 I dx 1 d(tgx) 1 3
= = = è ø
ò ò ò
- - æ ö æ ö ç - ÷ - ç - ÷ -
- - - -
= + = += +
- + + +
- - + d/ cosx.siny 1[sin(x y) sin(x y)]
= + = æ + ö + ç ÷
è ø ò
Trang 60
dx d(tgx)
cos x
Söû duïng ñaúng thöùc: 2
=
æ - ö ç ÷
Ta coù: 2 2 2 2
(3tg x 2tgx 1) cos x 3 1 4 3 1 4 tgx tgx
3 9 3 9
è ø è ø
tgx 1 2 1 ln 3 3 C 1 ln tgx 1 C 1 ln sin x cosx C. 4 tgx 1 2 4 3tgx 1 4 3sin x cos x
3 3
2. SÖÛ DUÏNG CAÙC PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LÖÔÏNG GIAÙC ÑÖA VEÀ CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ
BAÛN
Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh nguyeân haøm caùc haøm löôïng giaùc söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi
löôïng giaùc
Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc ñöa bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà daïng quen
thuoäc. Caùc pheùp bieán ñoåi thöôøng duøng bao goàm:
· Pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång (chuùng ta ñaõ thaáy trong phöông phaùp phaân tích)
· Haï baäc
· Caùc kyõ thuaät bieán ñoåi khaùc.
Chuùng ta seõ laàn löôït xem xeùt caùc ví duï maãu.
2.1. Söû duïng pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång:
ÔÛ ñaây chuùng ta nhôù laïi caùc coâng thöùc sau:
a/ cosx.cosy 1[cos(x y) cos(x y)]
=+ + - c/ sinx.cosy 1[=+ sin(x y) + sin(x -
2 2 y)]
b/ sinx.siny 1[cos(x y) cos(x y)]
2 =
2 =+ - -
Ví duï 11: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = cos3x.cos5x. (ÑHAN–97)
Giaûi:
Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång, ta ñöôïc: f(x) 1 (cos8x cos2x)
= +
2
Khi ñoù: F(x) 1 (cos8x cos2x)dx 1 1 sin8x 1 sin2x C.
2 28 2
Chuù yù: Neáu haøm f(x) laø tích cuûa nhieàu hôn 2 haøm soá löôïng giaùc ta thöïc hieän pheùp bieán
ñoåi daàn, cuï theå ta ñi xem xeùt ví duï sau:

æ p ö æ p ö = ç - ÷ ç + ÷
Ví duï 12: Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) tgxtg x tg x
æ p - ö æ p + ö ç ÷ ç ÷
= è ø è ø
æ p ö æ p ö ç - ÷ ç + ÷
è ø è ø
æ p ö æ p ö æ p ö ç - ÷ ç + ÷ = ç - ÷
è ø è ø è ø
æ p ö æ p ö æ p ö ç - ÷ ç + ÷ = ç + ÷
è ø è ø è ø
= ò = ò = - ò = - +
= c/ sin3 x 3sin x sin3x
= d/ cos3 x 3cosx cos3x
+ = + - = - = - -
+ = + - + = -
= - - = +
Trang 61
3 3
è ø è ø
Giaûi:
Ta coù:
sinx.sin x .sin x
f(x) 3 3 (1)
cosx.cos x .cos x
3 3
Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi tích thaønh toång, ta ñöôïc:
sin x.sin x .sin x 1 sin x cos2x cos 2
3 3 2 3
cosx.cos x .cos x 1 cos cos 2 cos2x
3 3 2 3
1 cosx 1 cos2x.cosx 1 cosx 1 (cos3x cosx) 1 cos3x.
4 2 4 4 4
=- + =- + + =
Suy ra: f(x) = tg3x
Khi ñoù: F(x) 1 tg3xdx 1 sin3x dx 1 d(cos3x) 1 ln cos3x C.
4 4 cos3x 12 cos3x 12
2.2. Söû duïng pheùp haï baäc:
ÔÛ ñaây chuùng ta nhôù laïi caùc coâng thöùc sau:
a/ sin2 x 1 cos2x
2
-
-
4
=
b/ cos2 x 1 cosx
2
+
+
4
=
ñöôïc söû duïng trong caùc pheùp haï baäc mang tính cuïc boä, coøn haèng ñaúng thöùc:
sin2 x + cos2 x =1.
ñöôïc söû duïng trong caùc pheùp haï baäc mang tính toaøn cuïc cho caùc bieåu thöùc, ví duï nhö:
sin4 x cos4 x (sin2 x cos2 x)2 2sin2 x.cos2 x 1 1 sin2 2x 1 1 (1 cos 4x)
2 4
1 cos 4x 3
4 4
= +
sin6 x cos6 x (sin2 x cos2 x)3 3sin2 x cos2 x) 1 3 sin2 2x
4
1 3 (1 cos4x) 3 cos4x 5 .
8 8 8
Ví duï 13: (HVQHQT_98): Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá :
a/ f(x) = sin3 x.si n3x
b/ f(x) = sin3 x.cos3x + cos3 x.sin 3x.
Giaûi:

= = -
3 (cos2x cos4x)x 1 (1 cos6x) 1 (3cos2x 3cos4x cos6x 1)
8 8 8
= ò - + -
- +
= +
3 (cos3x.sin x sin3x.cosx) 3 sin 4x.
4 4
= ò = - +
- +
+ + ò ò
= = - =- + +
-
+ + ò ò
= = = -
Trang 62
a/ Bieán ñoåi f(x) veà daïng:
f(x) 3sin x -
sin x .sin3x 3 sin3x.sin x 1 sin2 3x.
4 4 4
= - - - = - + - .
Khi ñoù: F(x) 1 (3cos2x 3cos4x cos6x 1)dx
8
1 3 sin 2x 3 sin 4x 1 sin 6x x C.
82 4 6
= æ - + - ö + ç ÷
è ø
b/ Bieán ñoåi f(x) veà daïng:
f(x) 3sin x sin3x .cos3x cos3x 3cosx .sin3x
4 4
= + =
Khi ñoù: F(x) 3 sin 4xdx 3 cos4x C.
4 16
2.3. Söû duïng caùc pheùp bieán ñoåi löôïng giaùc khaùc nhau
ÔÛ ñaây ngoaøi vieäc vaän duïng moät caùch linh hoaït caùc coâng thöùc bieán ñoåi löôïng giaùc caùc
em hoïc sinh coøn caàn thieát bieát caùc ñònh höôùng trong pheùp bieán ñoåi.
Ví duï 14: (ÑHNT TP.HCM_99): Tìm hoï nguyeân haøm cuûa haøm soá :
a/ f(x) sin x -
cosx ;
sinx cosx
=
+
b/ f(x) cos2x .
sinx cosx
=
+
Giaûi:
a/ Ta coù: F(x) sin x cosx d(sin x cosx) ln(sin x cos x) C
sinx cosx sinx cosx
b/ Ta coù:
cos2x cos2 x sin2 x F(x) dx dx
= =
sinx cosx sinx cosx
= ò(cos x - sin x)dx = sin x + cosx + C.
Ví duï 15: (ÑHNT HN_97): Tính tích phaân baát ñònh: I sin3x.sin 4x .
tgx cot g2x
=
+ ò
Giaûi:
Bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân veà daïng:
sin3x.sin 4x sin3cxo.ssxin 4x sin 4x.sin3x.sin 2x 1 (cosx cos7x)sin 2x tgx cot g2x 2
cosx.sin2x
+

1 (sin 2x.cosx cos7x.sin 2x) 1 (sin3x sin x sin 9x sin 5x).
2 4
= - = + - +
Khi ñoù: 1I(sinx sin3x sin5x sin9x)dx
= ò + + -
1 (cosx 1 cos3x 1 cos5x 1 cos9x) C.
4 3 5 9
+ +
= =
Trang 63
4
=- + - +
Toång quaùt: Caùch tính phaân daïng: òsinm x.cosn xdx vôùi m, n laø nhöõng soá nguyeân ñöôïc
tính nhôø caùc pheùp bieán ñoåi hoaëc duøng coâng töùc haï baäc.
3. PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN
Baøi toaùn 3: Tính tích phaân caùc haøm löôïng giaùc baèng phöông phaùp ñoåi bieán
Tính tích phaân baát ñònh sau: I = òR(sin x, cosx)dx trong ñoù R laø haøm höõu tæ.
Ta löïa choïn moät trong caùc höôùng sau:
– Höôùng 1: Neáu R(-sin x, cosx) = -R(sin x, cos x)
thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = cosx
– Höôùng 2: Neáu R(sin x, - cosx) = -R(sin x, cosx)
thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = sinx
– Höôùng 3: Neáu R(-sin x,-cosx) = -R(sin x, cos x)
thì söû duïng pheùp ñoåi bieán töông öùng laø t = tgx
(ñoâi khi coù theå laø t = cotgx).
Do ñoù vôùi caùc tích phaân daïng:
1. I = ò tgnxdx, vôùi nÎZ ñöôïc xaùc ñònh nhôø pheùp ñoåi bieán t = tgx.
2. I = ò cot gnxdx, vôùi nÎZ ñöôïc xaùc ñònh nhôø pheùp ñoåi bieán t = cotgx.
– Höôùng 4: Moïi tröôøng hôïp ñeàu coù theå ñöa veà tích phaân caùc haøm höõu tæ baèng pheùp ñoåi
bieán t tg x .
2
=
Ví duï 16: (ÑHNT Tp.HCM_97): Tính tích phaân baát ñònh: I cos x +
sin x.cosx dx.
2 sinx
=
+ ò
Giaûi:
Bieán ñoåi I veà daïng: I (1 +
sin x)cosx
2 sinx
=
+ ò
Ñaët t = sinx
Suy ra: dt cosxdx & (1 sin x) cos x dx 1 t dt
2 sinx 2 t
+ +

Nguyen ham va tich phan

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Viewers also liked

Viewers also liked (8)

Similar to Nguyen ham va tich phan

Similar to Nguyen ham va tich phan (20)

More from Vcoi Vit

More from Vcoi Vit (20)

Nguyen ham va tich phan