La conica dell'ellisse

1. L'ELLISSE
L'ellisse è una conica; vale a dire che si ricava sezionando un cono con un piano con
un'inclinazione maggiore di quella della generatrice del cono rispetto al suo asse. Si
definisce inoltre come il luogo dei punti aventi la somma della distanza tra i fuochi
costante.
(PF1
+PF2
=K).
P

2. Punti notevoli a=Semiasse maggiore
b=Semiasse minore
c=Semiasse focale
2a=Asse maggiore
2b=Asse minore
2c=Asse focale
b2
=a2
-c2
COORDINATE:
A, B, C, D = vertici
F1
(-c; 0)
F2
(c; 0)
A (-a; 0)
B (a; 0)
C (b; 0)
D (-b; 0)
*Dimostrazione PF1
+PF2
=2a *
PF1
= √(x+c)2
+ y2
a c
b

3. Eccentricità
Definisce quanto un ellisse è
schiacciato e si esprime dividendo
l'asse focale per quello maggiore,
quindi:
Il valore dell'eccentricità è sempre
compreso tra 0 e 1.
Se uguale a 0, i due fuochi coincidono
e l'ellisse degenera in una
circonferenza di raggio a.
Se tende a 1, l'ellisse si schiaccia
sempre più e quando assume
precisamente 1 degenera in un
segmento lungo 2a percorso due volte,

4. Altre caratteristiche notevoli
SEMILATO RETTO:
Il semilato retto di un'ellisse, definisce
la distanza tra ciascuno dei fuochi
dell'ellisse e l'ellisse stessa, misurata
lungo una linea perpendicolare all'asse
maggiore 2a. Si esprime in funzione di
a e b, grazie alla formula:
AREA:
L'area di un ellisse è espressa dalla
formula:

5. Fuochi sull'asse y
Nel caso in cui i fuochi si
trovassero sull'asse delle y, a
formula dell'ellisse resta
invariata e l'unica cosa che
cambia è il fatto che in questo
caso b corrisponde all'asse
maggiore.
Ciò si limita ad alterare la
formula dell'eccentricità, che
diventa:
b

6. Tangenza
1) METODO DEL DELTA (valido per tutte le coniche)
Risolvo il sistema tra l'equazione della circonferenza e della retta e metto il delta
della risolvente pari a zero (in modo da avere una sola soluzione).
2) METODO DELLO SDOPPIAMENTO
Applico la formula dello sdoppiamento nel caso in cui il punto è sull'ellisse, quindi
sostituisco x0
e y0
con le coordinate del punto.
y-y0
=m(x-x0
)

7. Tangenza
1) METODO DEL DELTA (valido per tutte le coniche)
Risolvo il sistema tra l'equazione della circonferenza e della retta e metto il delta
della risolvente pari a zero (in modo da avere una sola soluzione).
2) METODO DELLO SDOPPIAMENTO
Applico la formula dello sdoppiamento nel caso in cui il punto è sull'ellisse, quindi
sostituisco x0
e y0
con le coordinate del punto.
y-y0
=m(x-x0
)