Tài liệu cung cấp các ví dụ về việc tìm nghiệm nguyên cho nhiều phương trình khác nhau bằng cách sử dụng bất đẳng thức và suy diễn. Các phương trình bao gồm x² - 6xy + 13y² = 100, yz x + xz y + xy z = 3, và y² = 1 + x + x² + x³, cùng với phương pháp giải chi tiết. Kết quả cuối cùng trình bày các nghiệm nguyên cho mỗi phương trình một cách rõ ràng.

1. DT: 0936 – 128 - 126 http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Sử Dụng Bất Đẳng Thức Tìm Nghiệm Nguyên
Ví Dụ 1: Giải phương trình sau trên tập số nguyên:
x2 – 6xy + 13y2 = 100
Giải
Viết phương trình đã cho dưới dạng:
(x – 3y)2 = 4(25 – y2) (1)
Từ (1) suy ra: y2 ≤ 25 và 25 – y2 là số chính phương. Do đó:
y2 ∈ {0; 9; 16; 25} hay y ∈ {0; ±3; ±4; ±5}
Từ đó ta tìm được các nghiệm: (-10, 0); (17, 3); (1, 3); (-17, -3); (-1, -3); (6, 4);
(18, 4); (-18, -4); (-6, -4); (15, 5); (-15, -5).
Ví Dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
𝑦𝑧
𝑥
+
𝑥𝑧
𝑦
+
𝑥𝑦
𝑧
= 3
Giải
Điều kiện: x, y, z # 0. Từ phương trình đã cho ta có:
y2z2 + x2z2 + x2y2 = 3xyz.
Suy ra: xyz > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cô-Sita có:
y2z2 + x2z2 + x2y2 ≥ 3√ 𝑥4 𝑦4 𝑧43
.
Từ đó ta có:3xyz ≥ 3√ 𝑥4 𝑦4 𝑧43
hay 𝑥𝑦𝑧 ≤ 1. Do xyz > 0 nên xyz = 1.
Từ đó ta có các nghiệm: (1, 1, 1); (1, -1, - 1); (-1, -1, 1); (-1, 1, -1)
Ví Dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
y2 = 1 + x + x2 + x3 + x4.

2. DT: 0936 – 128 - 126 http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Giải
Với x = 0 thì y = 1 hoặc y = -1. Xét x # 0. Từ phương trình đã cho ta có:
4y2 = (2x2 + x)2 + 3x2 + 4x + 4 > (2x2 + x)2
Hơn nữa: 4y2 = (2x2 + x + 2)2 - 5x2 < (2x2 + x + 2)2.
Suy ra: (2x2 + x)2 < 4y2 < (2x2 + x + 2)2
Do đó, ta có:4y2 = (2x2 + x + 1)2
Hay 4(1 + x + x2 + x3 + x4) = (2x2 + x + 1)2
Giải phương trình này ta được:x = -1 hoặc x = 3.
Từ đó ta được các nghiệm của phương trình là:
(0, -1); (0, 1); (-1, 1); (-1, -1); (3, 11); (3, -11)
Ví Dụ 4: Giải phương trình sau trong tập các số nguyên:
y3 = 1 + x + x2 + x3.
Giải
Từ phương trình đã cho ta có: x3 < y3 < (x + 2)3
Suy ra: y3 = (x + 1)3 hay 1 +x + x2 + x3 = (x + 1)3.
Từ đó ta có:x = 0 hoặc x = -1.
Ta có các nghiệm của phương trình: (0, 1); (-1, 0)
Ví Dụ 5: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt
Giải
Vì vai trò của x, y, z, t là như nhau nên có thể giải sử: 𝑥 ≥ 𝑦 ≥ 𝑧 ≥ 𝑡.
Khi đó:2xyzt = 5(x + y + z + t) + 10 ≤ 20𝑥 + 10
Suy ra: 𝑦𝑧𝑡 ≤ 15 → 𝑡3
≤ 15 → 𝑡 ≤ 2.

3. DT: 0936 – 128 - 126 http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Với t = 1 thì 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15𝑥 + 15
Suy ra: 2yz ≤ 30 → 2𝑧2
≤ 30 → 𝑧 ≤ 3
Nếu z = 1 thì 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay
(2x - 5)(2y - 5) = 65.
Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm là: (35; 3), (9; 5)
Giải tương tự những trường hợp còn lại và trường hợp t = 2. Cuối cùng ta được
nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho là:
(35; 3; 1; 1), (9; 5; 1; 1Type equation here.)