1. Root-Finding Methods
Metode Numerik | Sistem Persamaan Non-Linear
MENCARI AKAR PERSAMAAN
Didasarkan pada materi kuliah oleh Sudarmaji dan artikel-artikel dari Wikipedia.org
Theodorus Permana, 30 September 2013
Geophysics

2. Bisection Method
Binary Search Method | Dichotomy Method

3. BISECTION METHOD
Digunakan untuk menyelesaikan
persamaan kontinu f(x) = 0 yang terdefinisi
pada interval dari a hingga b, dimana f(a)
dan f(b) memiliki tanda yang berlawanan.
ASUMSI
Fungsi f memiliki
sedikitnya satu akar
yang berada diantara
a dan b, jika f kontinu,
real, dan berubah
tanda
DEFINISI

4. BISECTION METHOD
Pilih dua angka a dan b sehingga f(a) dan f(b)
Memiliki tanda yang berlawanan
Misal, a = 1 dan b = 2
DIKETAHUI 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑 − 𝒙 − 𝟐
STEP 1
𝒇 𝟏 = 𝟏 𝟑 − 𝟏 − 𝟐 = −𝟐
𝒇 𝟐 = 𝟐 𝟑 − 𝟐 − 𝟐 = +𝟒

5. BISECTION METHOD
Hitung nilai tengah c dan nilai fungsi f(c)
𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑
− 𝒙 − 𝟐
STEP 2
𝒄 =
𝒂 + 𝒃
𝟐
=
𝟏 + 𝟐
𝟐
= 𝟏. 𝟓
𝒇 𝟏. 𝟓 = 𝟏. 𝟓 𝟑 − 𝟏. 𝟓 − 𝟐 = −𝟎. 𝟏𝟐𝟓

6. BISECTION METHOD
Cek kondisi-kondisi berikut:
𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑
− 𝒙 − 𝟐
STEP 3
𝒇 𝒂 𝒇 𝒄 < 𝟎 → 𝒂 = 𝒂 𝐝𝐚𝐧 𝒃 = 𝒄A
𝒇 𝒂 𝒇 𝒄 > 𝟎 → 𝒂 = 𝒄 𝐝𝐚𝐧 𝒃 = 𝒃B
𝒇 𝒂 𝒇 𝒄 = 𝟎 → 𝐛𝐞𝐫𝐡𝐞𝐧𝐭𝐢C
Akar persamaan ada di antara a dan c
Akar persamaan ada di antara c dan b
Akar persamaan adalah c
𝒇 𝟏 𝒇 𝟏. 𝟓 = −𝟐 ∙ −𝟎. 𝟏𝟐𝟓 > 𝟎
KONDISI B TERPENUHI
Ubah a2 = 1.5 dan b2 = 2

7. BISECTION METHOD
hitung lagi c menggunakan nilai a dan b
yang baru, kemudian lanjut ke STEP 3
Hitung perkiraan error absolut:
𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑
− 𝒙 − 𝟐
STEP 4
∈ 𝒂 =
𝒄 𝒔𝒆𝒌𝒂𝒓𝒂𝒏𝒈 − 𝒄 𝒔𝒆𝒃𝒆𝒍𝒖𝒎𝒏𝒚𝒂
𝒄 𝒔𝒆𝒌𝒂𝒓𝒂𝒏𝒈
× 𝟏𝟎𝟎
∈ 𝒂 =
𝟏. 𝟕𝟓 − 𝟏. 𝟓
𝟏. 𝟕𝟓
× 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟒. 𝟐𝟗%
𝒄 𝒏 =
𝒂 𝒏 + 𝒃 𝒏
𝟐

8. BISECTION METHOD
Bandingkan nilai error absolut dengan
nilai error (toleransi) yang telah ditentukan
𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑
− 𝒙 − 𝟐
STEP 5
∈ 𝒂 > ∈ ?
Apakah
YA Lanjut ke STEP 2 dengan
Nilai a dan b yang baru
TIDAK STOP

9. BISECTION METHOD 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑
− 𝒙 − 𝟐
Iterasi n an bn cn ∈ % f(cn)
1 1 2 1.5 14.28 −0.125
2 1.5 2 1.75 7.69 1.6093750
3 1.5 1.75 1.625 4.00 0.6660156
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
10 1.5195313 1.5214844 1.5205078 0.0642285 −0.0051789
11 1.5205078 1.5214844 1.5209961 0.0321040 −0.0022794
12 1.5209961 1.5214844 1.5212402 0.0160461 −0.0008289
13 1.5212402 1.5214844 1.5213623 0.0080257 −0.0001034
14 1.5213623 1.5214844 1.5214233 0.0040094 0.0002594
15 1.5213623 1.5214233 1.5213928 0.0020047 0.0000780
Setelah 13 iterasi, nilai c konvergen ke nilai
1.521. Nilai tersebut kemudian dianggap
sebagai akar persamaan

10. BISECTION METHOD
MENENTUKAN JUMLAH ITERASI
Tentukan secara manual
(pre-specified)
𝒏 = 𝒍𝒐𝒈 𝟐
∈ 𝟎
∈
=
𝒍𝒐𝒈 ∈ 𝟎 − 𝒍𝒐𝒈 ∈
𝒍𝒐𝒈 𝟐
Tentukan batas toleransi ∈
dan ∈ 𝟎= 𝒃 − 𝒂

11. BISECTION METHOD
f(a) dan f(b) bertanda
sama, tapi masih
mungkin terdapat
akar di antara a dan b
TEORI
f(a) dan f(b) berubah
tanda, mungkin
terdapat lebih dari
satu akar di antara
a dan b

12. BISECTION METHOD
f(a) dan f(b) bertanda sama, mungkin tidak
terdapat akar di antara a dan b
TEORI

13. BISECTION METHOD
KELEBIHAN
• Selalu konvergen
• Interval (b - a) selalu menjadi
separuhnya pada setiap iterasi, maka
konvergensinya linear
KELEMAHAN
• Konvergensi lambat
• Jika nilai a atau b dekat dengan akar
persamaan yang dicari, konvergensinya
jadi lebih lambat lagi

14. BISECTION METHOD
KELEMAHAN
Fungsi yang
tidak melewati
sumbu-x
Fungsi yang
berubah tanda
tapi tidak
memiliki akar

15. Newton-Raphson Method
Newton’s Method

16. NEWTON-RAPHSON METHOD
Digunakan untuk menyelesaikan
persamaan f(x) = 0 yang differentiable
DIKETAHUI
• Fungsi f
• f ’ = turunan dari fungsi tersebut
• x0 = tebakan awal dari akar fungsi
DEFINISI
TIPS
x0 dapat dicari dengan metode-metode
yang lebih sederhana, seperti metode
Bisection

17. NEWTON-RAPHSON METHOD
Hitung pendekatan nilai akar yang baru
STEP 1
𝒙 𝟏 = 𝒙 𝟎 −
𝒇 𝒙 𝟎
𝒇′ 𝒙 𝟎
Hitung error absolut
STEP 2
∈ 𝒂 =
𝒙 𝒔𝒆𝒌𝒂𝒓𝒂𝒏𝒈 − 𝒙 𝒔𝒆𝒃𝒆𝒍𝒖𝒎𝒏𝒚𝒂
𝒙 𝒔𝒆𝒌𝒂𝒓𝒂𝒏𝒈
× 𝟏𝟎𝟎

18. Bandingkan nilai error absolut dengan
nilai error (toleransi) yang telah ditentukan
STEP 3
∈ 𝒂 > ∈ ?
Apakah
YA Lanjut ke STEP 1 dengan
Nilai x yang baru
TIDAK STOP
NEWTON-RAPHSON METHOD

19. NEWTON-RAPHSON METHOD
PERSAMAAN UMUM
𝒙 𝒏+𝟏 = 𝒙 𝒏 −
𝒇 𝒙 𝒏
𝒇′ 𝒙 𝒏
KELEBIHAN
• Konvergensi kuadratik, jika memang
konvergen
• Hanya butuh satu tebakan awal

20. NEWTON-RAPHSON METHOD
KELEMAHAN
Divergensi di Titik Belok
Tebakan awal atau hasil iterasi yang
mendekati titik belok dari suatu fungsi f
akan mulai divergen dari akar fungsi itu

21. NEWTON-RAPHSON METHOD
KELEMAHAN
Pembagian oleh Nol
Misalkan fungsi:
𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑
− 𝟎. 𝟎𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟐. 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟔
= 𝟎
Dalam bentuk Newton-Raphson menjadi:
𝒙𝒊+𝟏 = 𝒙𝒊 −
𝒙𝒊
𝟑
− 𝟎. 𝟎𝟑𝒙𝒊
𝟐
+ 𝟐. 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟔
𝟑𝒙𝒊
𝟐
− 𝟎. 𝟎𝟔𝒙𝒊
Jika 𝒙 𝟎 = 𝟎 atau 𝒙 𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟐, penyebutnya
akan menjadi nol

22. NEWTON-RAPHSON METHOD
KELEMAHAN
Osilasi di dekat Maksimum Lokal
atau Minimum Lokal
Hasil dari metode ini mungkin saja tidak
konvergen ke suatu akar, tapi konvergen
ke maksimum atau minimum lokal
Hal ini dapat berujung pada pembagian
oleh nilai yang mendekati nol, dan
hasilnya menjadi divergen

23. NEWTON-RAPHSON METHOD
KELEMAHAN
Osilasi di dekat Maksimum Lokal
atau Minimum Lokal

24. NEWTON-RAPHSON METHOD
KELEMAHAN
Root
Jumping
Jika fungsi f(x) berosilasi dan memiliki
beberapa akar, kita terkadang memilih
tebakan awal yang mendekati satu dari
akar-akar tersebut. Namun, tebakan
tersebut dapat “melompat” dan malah
konvergen ke akar yang lain

25. Secant Method

26. SECANT METHOD
dari Metode Newton
PENURUNAN RUMUS
𝒙 𝒏+𝟏 = 𝒙 𝒏 −
𝒇 𝒙 𝒏
𝒇′ 𝒙 𝒏
cari pendekatan untuk turunan pertama
𝒇′(𝒙 𝒏) =
𝒇 𝒙 𝒏 − 𝒇(𝒙 𝒏−𝟏)
𝒙 𝒏 − 𝒙 𝒏−𝟏
Substitusikan menjadi
𝒙 𝒏+𝟏 = 𝒙 𝒏 −
𝒇 𝒙 𝒏 𝒙 𝒏 − 𝒙 𝒏−𝟏
𝒇 𝒙 𝒏 − 𝒇(𝒙 𝒏−𝟏)

27. SECANT METHOD
Padahal, metode Secant ditemukan lebih
dari 3000 tahun sebelum metode Newton
ditemukan!
FAKTA
Pendekatan Garis Secant
𝑨𝑩
𝑨𝑬
=
𝑫𝑪
𝑫𝑬
Prinsip segitiga
sebanding
PENURUNAN RUMUS 2

28. SECANT METHOD
𝒇(𝒏)
𝒙 𝒏 − 𝒙 𝒏+𝟏
=
𝒇(𝒙 𝒏−𝟏)
𝒙 𝒏−𝟏 − 𝒙 𝒏+𝟏
PENDEKATAN GARIS SECANT
Disusun ulang menjadi
𝒙 𝒏+𝟏 = 𝒙 𝒏 −
𝒇 𝒙 𝒏 𝒙 𝒏 − 𝒙 𝒏−𝟏
𝒇 𝒙 𝒏 − 𝒇(𝒙 𝒏−𝟏)

29. DIKETAHUI
• Fungsi f
• x0 dan x1 = tebakan awal dari akar
fungsi, tidak harus mengapit akar yang
akan dicari, namun diusahakan nilainya
dekat dengan akar yang dicari.
Jika x0 dan x1 tidak cukup dekat dengan
akar yang dicari, maka metode ini tidak
dijamin dapat konvergen
SECANT METHOD
TIPS
x0 dan x1 dapat dicari dengan metode yang
lebih sederhana, seperti Bisection

30. SECANT METHOD
STEP 1
Hitung nilai pendekatan akar yang baru
menggunakan x0 dan x1
𝒙 𝒏+𝟏 = 𝒙 𝒏 −
𝒇 𝒙 𝒏 𝒙 𝒏 − 𝒙 𝒏−𝟏
𝒇 𝒙 𝒏 − 𝒇(𝒙 𝒏−𝟏)
Hitung error absolut
∈ 𝒂 =
𝒙 𝒏+𝟏 − 𝒙 𝒏
𝒙 𝒏+𝟏
× 𝟏𝟎𝟎

31. Bandingkan nilai error absolut dengan
nilai error (toleransi) yang telah ditentukan
STEP 2
∈ 𝒂 > ∈ ?
Apakah
YA
Nilai xn = xn+1 dan xn-1 = xn
Lanjut ke STEP 1 dan cari
xn+1 yang baru
TIDAK STOP
NEWTON-RAPHSON METHOD

32. NEWTON-RAPHSON METHOD
KELEBIHAN
• Konvergensinya cepat, jika memang
konvergen
• Konvergensi superlinear, di antara
linear dan kuadratik
• Butuh dua tebakan awal yang tidak
harus mengapit akar yang dicari
KELEMAHAN
• Pembagian oleh Nol
• Root Jumping

33. SECANT METHOD
FAKTA
pendekatan untuk turunan pertama
𝒇′(𝒙 𝒏) =
𝒇 𝒙 𝒏 − 𝒇(𝒙 𝒏−𝟏)
𝒙 𝒏 − 𝒙 𝒏−𝟏
disebut juga pendekatan
FINITE-DIFFERENCE
yang akan dipelajari di bab-bab berikutnya

34. SUMMARY
INPUT TEBAKAN AWAL DARI AKAR PERSAMAAN
BISECTION
Dua nilai, harus mengapit akar yang
dicari, fungsi harus berlawanan tanda di
antara kedua nilai tersebut
NEWTON-RAPHSON
Satu nilai, sebisa mungkin dekat dengan
akar yang dicari
SECANT
Dua nilai awal yang tidak harus mengapit
akar yang dicari, tapi diusahakan dekat
dengan akar yang dicari

35. SUMMARY
INPUT – FUNGSI YANG AKAN DISELESAIKAN
BISECTION
Fungsi f(x)
NEWTON-RAPHSON
Fungsi f(x) dan turunan pertamanya f ’(x)
SECANT
Fungsi f(x)

36. SUMMARY
KONVERGENSI
BISECTION
Pasti konvergen, konvergensi linear
(orde 1)
NEWTON-RAPHSON
Belum pasti konvergen, tapi jika memang
konvergen, konvergensinya kuadratik
(orde 2)
SECANT
Belum pasti konvergen, tapi jika memang
konvergen, konvergensinya superlinear
(orde ≈1.618)

37. TUGAS KELOMPOK
WAJIB
Bisection Method
PILIHAN
Newton-Raphson Method
Secant Method
BAHASA PROGRAM
asal jangan Matlab
YANG DIKUMPUL
• Kode Program
• Tabel hasil iterasi manual
• Tabel hasil iterasi program

38. The End ?