Download as PDF, PPTX
More Related Content
Bisection-Newton-Secant
- 1. Root-Finding Methods Metode Numerik| Sistem Persamaan Non-Linear MENCARI AKAR PERSAMAAN Didasarkan pada materi kuliah oleh Sudarmaji dan artikel-artikel dari Wikipedia.org Theodorus Permana, 30 September 2013 Geophysics
- 2. Bisection Method Binary SearchMethod | Dichotomy Method
- 3. BISECTION METHOD Digunakan untukmenyelesaikan persamaan kontinu f(x) = 0 yang terdefinisi pada interval dari a hingga b, dimana f(a) dan f(b) memiliki tanda yang berlawanan. ASUMSI Fungsi f memiliki sedikitnya satu akar yang berada diantara a dan b, jika f kontinu, real, dan berubah tanda DEFINISI
- 4. BISECTION METHOD Pilih duaangka a dan b sehingga f(a) dan f(b) Memiliki tanda yang berlawanan Misal, a = 1 dan b = 2 DIKETAHUI 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑 − 𝒙 − 𝟐 STEP 1 𝒇 𝟏 = 𝟏 𝟑 − 𝟏 − 𝟐 = −𝟐 𝒇 𝟐 = 𝟐 𝟑 − 𝟐 − 𝟐 = +𝟒
- 5. BISECTION METHOD Hitung nilaitengah c dan nilai fungsi f(c) 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑 − 𝒙 − 𝟐 STEP 2 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 𝟐 = 𝟏 + 𝟐 𝟐 = 𝟏. 𝟓 𝒇 𝟏. 𝟓 = 𝟏. 𝟓 𝟑 − 𝟏. 𝟓 − 𝟐 = −𝟎. 𝟏𝟐𝟓
- 6. BISECTION METHOD Cek kondisi-kondisiberikut: 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑 − 𝒙 − 𝟐 STEP 3 𝒇 𝒂 𝒇 𝒄 < 𝟎 → 𝒂 = 𝒂 𝐝𝐚𝐧 𝒃 = 𝒄A 𝒇 𝒂 𝒇 𝒄 > 𝟎 → 𝒂 = 𝒄 𝐝𝐚𝐧 𝒃 = 𝒃B 𝒇 𝒂 𝒇 𝒄 = 𝟎 → 𝐛𝐞𝐫𝐡𝐞𝐧𝐭𝐢C Akar persamaan ada di antara a dan c Akar persamaan ada di antara c dan b Akar persamaan adalah c 𝒇 𝟏 𝒇 𝟏. 𝟓 = −𝟐 ∙ −𝟎. 𝟏𝟐𝟓 > 𝟎 KONDISI B TERPENUHI Ubah a2 = 1.5 dan b2 = 2
- 7. BISECTION METHOD hitung lagic menggunakan nilai a dan b yang baru, kemudian lanjut ke STEP 3 Hitung perkiraan error absolut: 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑 − 𝒙 − 𝟐 STEP 4 ∈ 𝒂 = 𝒄 𝒔𝒆𝒌𝒂𝒓𝒂𝒏𝒈 − 𝒄 𝒔𝒆𝒃𝒆𝒍𝒖𝒎𝒏𝒚𝒂 𝒄 𝒔𝒆𝒌𝒂𝒓𝒂𝒏𝒈 × 𝟏𝟎𝟎 ∈ 𝒂 = 𝟏. 𝟕𝟓 − 𝟏. 𝟓 𝟏. 𝟕𝟓 × 𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟒. 𝟐𝟗% 𝒄 𝒏 = 𝒂 𝒏 + 𝒃 𝒏 𝟐
- 8. BISECTION METHOD Bandingkan nilaierror absolut dengan nilai error (toleransi) yang telah ditentukan 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑 − 𝒙 − 𝟐 STEP 5 ∈ 𝒂 > ∈ ? Apakah YA Lanjut ke STEP 2 dengan Nilai a dan b yang baru TIDAK STOP
- 9. BISECTION METHOD 𝒇𝒙 = 𝒙 𝟑 − 𝒙 − 𝟐 Iterasi n an bn cn ∈ % f(cn) 1 1 2 1.5 14.28 −0.125 2 1.5 2 1.75 7.69 1.6093750 3 1.5 1.75 1.625 4.00 0.6660156 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 10 1.5195313 1.5214844 1.5205078 0.0642285 −0.0051789 11 1.5205078 1.5214844 1.5209961 0.0321040 −0.0022794 12 1.5209961 1.5214844 1.5212402 0.0160461 −0.0008289 13 1.5212402 1.5214844 1.5213623 0.0080257 −0.0001034 14 1.5213623 1.5214844 1.5214233 0.0040094 0.0002594 15 1.5213623 1.5214233 1.5213928 0.0020047 0.0000780 Setelah 13 iterasi, nilai c konvergen ke nilai 1.521. Nilai tersebut kemudian dianggap sebagai akar persamaan
- 10. BISECTION METHOD MENENTUKAN JUMLAHITERASI Tentukan secara manual (pre-specified) 𝒏 = 𝒍𝒐𝒈 𝟐 ∈ 𝟎 ∈ = 𝒍𝒐𝒈 ∈ 𝟎 − 𝒍𝒐𝒈 ∈ 𝒍𝒐𝒈 𝟐 Tentukan batas toleransi ∈ dan ∈ 𝟎= 𝒃 − 𝒂
- 11. BISECTION METHOD f(a) danf(b) bertanda sama, tapi masih mungkin terdapat akar di antara a dan b TEORI f(a) dan f(b) berubah tanda, mungkin terdapat lebih dari satu akar di antara a dan b
- 12. BISECTION METHOD f(a) danf(b) bertanda sama, mungkin tidak terdapat akar di antara a dan b TEORI
- 13. BISECTION METHOD KELEBIHAN • Selalukonvergen • Interval (b - a) selalu menjadi separuhnya pada setiap iterasi, maka konvergensinya linear KELEMAHAN • Konvergensi lambat • Jika nilai a atau b dekat dengan akar persamaan yang dicari, konvergensinya jadi lebih lambat lagi
- 14. BISECTION METHOD KELEMAHAN Fungsi yang tidakmelewati sumbu-x Fungsi yang berubah tanda tapi tidak memiliki akar
- 15.
- 16. NEWTON-RAPHSON METHOD Digunakan untukmenyelesaikan persamaan f(x) = 0 yang differentiable DIKETAHUI • Fungsi f • f ’ = turunan dari fungsi tersebut • x0 = tebakan awal dari akar fungsi DEFINISI TIPS x0 dapat dicari dengan metode-metode yang lebih sederhana, seperti metode Bisection
- 17. NEWTON-RAPHSON METHOD Hitung pendekatannilai akar yang baru STEP 1 𝒙 𝟏 = 𝒙 𝟎 − 𝒇 𝒙 𝟎 𝒇′ 𝒙 𝟎 Hitung error absolut STEP 2 ∈ 𝒂 = 𝒙 𝒔𝒆𝒌𝒂𝒓𝒂𝒏𝒈 − 𝒙 𝒔𝒆𝒃𝒆𝒍𝒖𝒎𝒏𝒚𝒂 𝒙 𝒔𝒆𝒌𝒂𝒓𝒂𝒏𝒈 × 𝟏𝟎𝟎
- 18. Bandingkan nilai errorabsolut dengan nilai error (toleransi) yang telah ditentukan STEP 3 ∈ 𝒂 > ∈ ? Apakah YA Lanjut ke STEP 1 dengan Nilai x yang baru TIDAK STOP NEWTON-RAPHSON METHOD
- 19. NEWTON-RAPHSON METHOD PERSAMAAN UMUM 𝒙𝒏+𝟏 = 𝒙 𝒏 − 𝒇 𝒙 𝒏 𝒇′ 𝒙 𝒏 KELEBIHAN • Konvergensi kuadratik, jika memang konvergen • Hanya butuh satu tebakan awal
- 20. NEWTON-RAPHSON METHOD KELEMAHAN Divergensi diTitik Belok Tebakan awal atau hasil iterasi yang mendekati titik belok dari suatu fungsi f akan mulai divergen dari akar fungsi itu
- 21. NEWTON-RAPHSON METHOD KELEMAHAN Pembagian olehNol Misalkan fungsi: 𝒇 𝒙 = 𝒙 𝟑 − 𝟎. 𝟎𝟑𝒙 𝟐 + 𝟐. 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟔 = 𝟎 Dalam bentuk Newton-Raphson menjadi: 𝒙𝒊+𝟏 = 𝒙𝒊 − 𝒙𝒊 𝟑 − 𝟎. 𝟎𝟑𝒙𝒊 𝟐 + 𝟐. 𝟒 × 𝟏𝟎−𝟔 𝟑𝒙𝒊 𝟐 − 𝟎. 𝟎𝟔𝒙𝒊 Jika 𝒙 𝟎 = 𝟎 atau 𝒙 𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟐, penyebutnya akan menjadi nol
- 22. NEWTON-RAPHSON METHOD KELEMAHAN Osilasi didekat Maksimum Lokal atau Minimum Lokal Hasil dari metode ini mungkin saja tidak konvergen ke suatu akar, tapi konvergen ke maksimum atau minimum lokal Hal ini dapat berujung pada pembagian oleh nilai yang mendekati nol, dan hasilnya menjadi divergen
- 23. NEWTON-RAPHSON METHOD KELEMAHAN Osilasi didekat Maksimum Lokal atau Minimum Lokal
- 24. NEWTON-RAPHSON METHOD KELEMAHAN Root Jumping Jika fungsif(x) berosilasi dan memiliki beberapa akar, kita terkadang memilih tebakan awal yang mendekati satu dari akar-akar tersebut. Namun, tebakan tersebut dapat “melompat” dan malah konvergen ke akar yang lain
- 25.
- 26. SECANT METHOD dari MetodeNewton PENURUNAN RUMUS 𝒙 𝒏+𝟏 = 𝒙 𝒏 − 𝒇 𝒙 𝒏 𝒇′ 𝒙 𝒏 cari pendekatan untuk turunan pertama 𝒇′(𝒙 𝒏) = 𝒇 𝒙 𝒏 − 𝒇(𝒙 𝒏−𝟏) 𝒙 𝒏 − 𝒙 𝒏−𝟏 Substitusikan menjadi 𝒙 𝒏+𝟏 = 𝒙 𝒏 − 𝒇 𝒙 𝒏 𝒙 𝒏 − 𝒙 𝒏−𝟏 𝒇 𝒙 𝒏 − 𝒇(𝒙 𝒏−𝟏)
- 27. SECANT METHOD Padahal, metodeSecant ditemukan lebih dari 3000 tahun sebelum metode Newton ditemukan! FAKTA Pendekatan Garis Secant 𝑨𝑩 𝑨𝑬 = 𝑫𝑪 𝑫𝑬 Prinsip segitiga sebanding PENURUNAN RUMUS 2
- 28. SECANT METHOD 𝒇(𝒏) 𝒙 𝒏− 𝒙 𝒏+𝟏 = 𝒇(𝒙 𝒏−𝟏) 𝒙 𝒏−𝟏 − 𝒙 𝒏+𝟏 PENDEKATAN GARIS SECANT Disusun ulang menjadi 𝒙 𝒏+𝟏 = 𝒙 𝒏 − 𝒇 𝒙 𝒏 𝒙 𝒏 − 𝒙 𝒏−𝟏 𝒇 𝒙 𝒏 − 𝒇(𝒙 𝒏−𝟏)
- 29. DIKETAHUI • Fungsi f •x0 dan x1 = tebakan awal dari akar fungsi, tidak harus mengapit akar yang akan dicari, namun diusahakan nilainya dekat dengan akar yang dicari. Jika x0 dan x1 tidak cukup dekat dengan akar yang dicari, maka metode ini tidak dijamin dapat konvergen SECANT METHOD TIPS x0 dan x1 dapat dicari dengan metode yang lebih sederhana, seperti Bisection
- 30. SECANT METHOD STEP 1 Hitungnilai pendekatan akar yang baru menggunakan x0 dan x1 𝒙 𝒏+𝟏 = 𝒙 𝒏 − 𝒇 𝒙 𝒏 𝒙 𝒏 − 𝒙 𝒏−𝟏 𝒇 𝒙 𝒏 − 𝒇(𝒙 𝒏−𝟏) Hitung error absolut ∈ 𝒂 = 𝒙 𝒏+𝟏 − 𝒙 𝒏 𝒙 𝒏+𝟏 × 𝟏𝟎𝟎
- 31. Bandingkan nilai errorabsolut dengan nilai error (toleransi) yang telah ditentukan STEP 2 ∈ 𝒂 > ∈ ? Apakah YA Nilai xn = xn+1 dan xn-1 = xn Lanjut ke STEP 1 dan cari xn+1 yang baru TIDAK STOP NEWTON-RAPHSON METHOD
- 32. NEWTON-RAPHSON METHOD KELEBIHAN • Konvergensinyacepat, jika memang konvergen • Konvergensi superlinear, di antara linear dan kuadratik • Butuh dua tebakan awal yang tidak harus mengapit akar yang dicari KELEMAHAN • Pembagian oleh Nol • Root Jumping
- 33. SECANT METHOD FAKTA pendekatan untukturunan pertama 𝒇′(𝒙 𝒏) = 𝒇 𝒙 𝒏 − 𝒇(𝒙 𝒏−𝟏) 𝒙 𝒏 − 𝒙 𝒏−𝟏 disebut juga pendekatan FINITE-DIFFERENCE yang akan dipelajari di bab-bab berikutnya
- 34. SUMMARY INPUT TEBAKAN AWALDARI AKAR PERSAMAAN BISECTION Dua nilai, harus mengapit akar yang dicari, fungsi harus berlawanan tanda di antara kedua nilai tersebut NEWTON-RAPHSON Satu nilai, sebisa mungkin dekat dengan akar yang dicari SECANT Dua nilai awal yang tidak harus mengapit akar yang dicari, tapi diusahakan dekat dengan akar yang dicari
- 35. SUMMARY INPUT – FUNGSIYANG AKAN DISELESAIKAN BISECTION Fungsi f(x) NEWTON-RAPHSON Fungsi f(x) dan turunan pertamanya f ’(x) SECANT Fungsi f(x)
- 36. SUMMARY KONVERGENSI BISECTION Pasti konvergen, konvergensilinear (orde 1) NEWTON-RAPHSON Belum pasti konvergen, tapi jika memang konvergen, konvergensinya kuadratik (orde 2) SECANT Belum pasti konvergen, tapi jika memang konvergen, konvergensinya superlinear (orde ≈1.618)
- 37. TUGAS KELOMPOK WAJIB Bisection Method PILIHAN Newton-RaphsonMethod Secant Method BAHASA PROGRAM asal jangan Matlab YANG DIKUMPUL • Kode Program • Tabel hasil iterasi manual • Tabel hasil iterasi program
- 38.