A Beautiful Beamer LaTeX

BCH Codes
(Bose -Chaudhuri- Hocquenghem Codes)
Presentasi Paper Pengantar Teori Pengkodean, 2013
Hirwanto1
Lestin2
1
Gadjah Mada University 2
Polytecnic Torino
8 Juni 2013

Daftar Isi
1 Pendahuluan
Motivasi
2 Dasar Teori
Finite Field
Ring Polynomial
Minimal Polynomial
Cyclotomic Coset
3 Pembahasan
Pengantar
BCH Codes
Parameter BCH Code
Decoding BCH Code
4 Kesimpulan
BCH Codes,(Bose -Chaudhuri- Hocquenghem Codes), 8 Juni 2013 2/59

BCH Codes
BCH codes merupakan salah satu kelas yang sangat penting dari kode siklik
yang mulai dikembangkan pada tahun 1960 oleh R.C. Bose dan
D.Ray-Cahudhuri kemudian dilanjutkan oleh A. Hocquenghem sehingga biasa
disebut BCH codes (Bose-Chaudhuri-Hocquenghem codes) dan merupakan
generalisasi dari Hamming code untuk mengoreksi kesalahan ganda( multiple
error correction). BCH code dideﬁnisikan oleh kelipatan persekutuan terkecil
(f1(x), f2(x), ..., ft(x)) suku banyak yang diberikan.

Motivasi
Secara khusus, kode siklik didapat dari generator suku banyaknya.
Bagaimanapun, umumnya kita kesulitan dalam mendapatkan informasi pada
jarak minimum(minimum distance) kode siklik dari generator suku banyaknya,
meskipun kita dapat melengkapi hasilnya. Dengan kata lain, kita perlu memilih
beberapa generator khusus suku banyaknya sehingga kita bisa mendapatkan
informasi dengan algoritma yang lebih sederhana dan lebih eﬁsien. Kita
selanjutnya akan mendiskusikan salah satu generator khusus yang kita pilih
yaitu BCH-code, dan juga bagaimana kita membentuk algoritma untuk BCH-
codes. Untuk generator khusus yang lain seperti Reed Solomon,
Quadratic-Residus Code.

Definisi 2.1
Field dengan | F |< ∞ disebut lapangan hingga(finite field) dan F∗
sebagai
himpunan F {0}.

Definisi 2.1
Field dengan | F |< ∞ disebut lapangan hingga(finite field) dan F∗
sebagai
himpunan F {0}.
Definisi 2.2
Misalkan F lapangan. Karakteristik F adalah bilangan bulat positif terkecil m
dengan demikian bahwa
m
i=1
1 = 1 + 1 + . . . + 1 = 0
dimana 1 ∈ F. Jika m tidak ada maka karakteristiknya 0.

Lemma 3.3 dan Deﬁnisi 3.4
Lemma 2.3
Jika α, β ∈ F mempunyai karakteristik p, maka
(α + β)p
= αp
+ βp

Lemma 3.3 dan Deﬁnisi 3.4
Lemma 2.3
Jika α, β ∈ F mempunyai karakteristik p, maka
(α + β)p
= αp
+ βp
Deﬁnisi 2.4
Anggota α ∈ F lapangan hingga dikatakan generator F∗
atau elemen primitif
jika
{αi
: i ≥ 0} = F∗

Contoh 3.5
Contoh 2.5
Diberikan GF(9) yang dikontruksikan menggunakan polynomial yang irreducible
f(x) = x2
+ 1 ∈ Z3[x]. Carilah elemen primitif. Kita akan mencoba bahwa
α = x + 1 merupakan elemen primitif maka
(1 + x)0
= 1 (1 + x)4
= 2
(1 + x)1
= 1 + x (1 + x)5
= 2 + 2x
(1 + x)2
= 2x (1 + x)6
= x
(1 + x)3
= 1 + 2x (1 + x)7
= 2 + x
Jadi α = 1 + x merupakan elemen primitif untuk GF(9)

Ring Polynomial
Deﬁnisi 2.6
Misalkan F merupakan lapangan. Himpunan
F[x] = {
n
i=0
aixi
: ai ∈ F, n ≥ 0}
disebut sebagai ring polynomial atas F.

Ring Polynomial
Deﬁnisi 2.6
Misalkan F merupakan lapangan. Himpunan
F[x] = {
n
i=0
aixi
: ai ∈ F, n ≥ 0}
disebut sebagai ring polynomial atas F.
Teorema 2.7
Misalkan f(x) suku banyak atas F dengan derajat(degree) ≥ 1. Maka
F[x]/(f(x)) bersama dengan operasi penjumlahan dan perkalian berbentuk
gelanggang. Lebih jauh, F[x]/(f(x)) adalah lapangan jika dan hanya jika
irreducible.

Lemma 3.8 dan Lemma 3.9
Lemma 2.8
Untuk setiap anggota tak nol α ∈ GF(q), αq−1
= 1. Selanjutnya, α ∈ GF(qm
)
jika hanya jika αq
= α.

Lemma 3.8 dan Lemma 3.9
Lemma 2.8
Untuk setiap anggota tak nol α ∈ GF(q), αq−1
= 1. Selanjutnya, α ∈ GF(qm
)
jika hanya jika αq
= α.
Lemma 2.9
Untuk setiap elemen β dari ﬁnite ﬁeld F dengan q elemen, kita mempunyai
βq
= β

Minimal Polynomial
Deﬁnisi 2.10
Misalkan F lapangan dengan karakteristik p dan misalkan α ∈ F∗
. Suku banyak
minimal α terhadap GF(p) merupakan suku banyak monic m(x) derajat
terkecil di GF(p)[x] dengan demikian m(α) = 0.

Minimal Polynomial
Deﬁnisi 2.10
Misalkan F lapangan dengan karakteristik p dan misalkan α ∈ F∗
. Suku banyak
minimal α terhadap GF(p) merupakan suku banyak monic m(x) derajat
terkecil di GF(p)[x] dengan demikian m(α) = 0.
Teorema 2.11
Suku banyak minimal anggota α tunggal.

1. Bukti Teorema 3.2

1. Bukti Teorema 3.2
Andaikan F = GF(q) dan F mempunyai karakteristik p. Mengikuti Lemma 2.8
bahwa α memenuhi suku banyak xq−1
− 1 ∈ GF(p)[x]. Ketika terdapat suatu
suku banyak GF(p)[x] dengan α akarnya maka ada salah satu dari akarnya
dengan derajat terkecil. Ini mengatakan bahwa ada suku banyak minimal yaitu
m(x). Andaikan ada dua suku banyak monic m1(x) dan m2(x) dengan derajat
terkecil mempunyai akar α.

2. Lanjutan Bukti Teorema 3.2

.
Dengan menggunakan algoritma pembagian suku banyak didapat
m1(x) = l(x)m2(x) + r(x),
dimana deg r(x) < deg m2(x) atau r(x) = 0. Ketika m1(α) = 0 dan
m2(α) = 0, kita mempunyai r(α) = 0, tetapi karena m2(x) mempunyai derajat
terkecil maka r(x) = 0, sehingga m2(x) membagi m1(x). Dengan cara yang
sama, m1(x) membagi m2(x) dan ketika keduanya merupakan suku banyak
monic, maka m1(x) = m2(x) sehingga terbukti α tunggal.

.
Dengan menggunakan algoritma pembagian suku banyak didapat
m1(x) = l(x)m2(x) + r(x),
dimana deg r(x) < deg m2(x) atau r(x) = 0. Ketika m1(α) = 0 dan
m2(α) = 0, kita mempunyai r(α) = 0, tetapi karena m2(x) mempunyai derajat
terkecil maka r(x) = 0, sehingga m2(x) membagi m1(x). Dengan cara yang
sama, m1(x) membagi m2(x) dan ketika keduanya merupakan suku banyak
monic, maka m1(x) = m2(x) sehingga terbukti α tunggal.
Teorema 2.12
Untuk α ∈ F∗
, suku banyak minimal α, maka m(α)(x) adalah suku banyak
yang irreducible.

Deﬁnisi 2.13
Untuk α ∈ F, misalkan t bilangan bulat positif terkecil dengan demikian
αpt
= α, maka himpunan conjugates dari α(terhadap GF(p)) adalah
C(α) = {α, αp
, αp2
, αp3
, . . . , αpt−1
}
C(α) = C(αpi
), ∀i ∈ F lapangan dengan karakteristik p

Deﬁnisi 2.13
Untuk α ∈ F, misalkan t bilangan bulat positif terkecil dengan demikian
αpt
= α, maka himpunan conjugates dari α(terhadap GF(p)) adalah
C(α) = {α, αp
, αp2
, αp3
, . . . , αpt−1
}
C(α) = C(αpi
), ∀i ∈ F lapangan dengan karakteristik p
Lemma 2.14
Misalkan F lapangan hingga dengan karakteristik p, misalkan α ∈ F∗
, dan
C(α) himpunan konjugat α terhadap GF(q), maka
m(x) =
β∈C(α)
(x − β)

Bukti Lemma 3.14
Misalkan m(x) =
t
i=0 mixi
dengan koeﬁsien mi ∈ F, kita catatan bahwa
m(x)p
= β∈C(α)(xβ)p
= β∈C(α)(xp
− βp
)
= β∈C(α)(xp
− β) = m(xp
)
=
t
i=1 xip
Dengan mengikuti Lemma 2.3 didapat bahwa
{β : β ∈ C(α)} = {βp
: β ∈ C(α)}
Dilain pihak, kita dapatkan bahwa
m(x)p
=
t
i=1
(mixi
)p
=
t
i=1
mp
i xip
Jadi, mi = mp
i dan dengan menggunakan Lemma 2.8 sehingga terbukti bahwa
mi ∈ GF(p), 0 ≤ i ≤ t.

Teorema 2.15
Untuk α ∈ F, suku banyak minimal α diberikan oleh
mα(x) =
β∈C(α)
(x − β)

Teorema 2.15
Untuk α ∈ F, suku banyak minimal α diberikan oleh
mα(x) =
β∈C(α)
(x − β)
Contoh 2.16
Kontruksikan lapangan F = GF(23
). Hal pertama yang diperlukan adalah suku
banyak pangkat tiga atas Z2. Misalkan kita mengambil f(x) = x3
+ x + 1 dan
anggota-anggota F adalah
{0, 1, x, x + 1, x + x2
, x2
, 1 + x2
, 1 + x + x2
}.

1. Penyelesaian Contoh 3.7
Ketika x3
+ x + 1 = 0 mod f(x), maka kita mempunyai
x3
≡ −x − 1 = x + 1(mod(f(x))), dan 1 = −1 ∈ Z2. Selanjutnya kita tuliskan
anggota lapangan dengan a0 + a1x + a2x2
, maka didapatkan
0 = (000) x2
= (001)
1 = (100) 1 + x2
= (101)
x = (010) x + x2
= (011)
1 + x = (110) 1 + x + x2
= (111)
Jika kita mengambil α, maka dengan mudah kita dapatkan bahwa α merupakan
generator F. Andaikan kita mengambil β = (101) dan kita akan dicari mβ(x).

2. Lanjutan Penyelesaian Contoh 3.7
Dengan menggunakan Teorema 2.15 diatas
mβ(y) = (y − β)(y − β2
)(y − β4
)
dan ketika β8
= β dan kita akan menghitung
(y −β)(y −β2
)(y −β4
)= y3
+(β +β2
+β4
)y2
+(ββ2
+ββ4
+β2
β4
)y +ββ2
β4
Dengan menggunakan representasi setiap anggota tak nol sebagai akar dari
generator α, dengan mengambil α = x, kita dapatkan
α0
= (100) α4
= (011)
α1
= (010) α5
= (111)
α2
= (001) α6
= (101)
α3
= (110) α7
= (100)

Ketika β = α6
, maka β2
= α12
= α5
= dan β4
= α24
= α3
, diperoleh
β + β2
+ β4
= α6
+ α5
+ α3
= (101) + (111) + (110)
= 100
ββ2
+ ββ4
+ β2
β4
= β3
+ β5
+ β6
= α18
+ α30
+ α36
= α4
+ α2
+ α
= 0
ββ2
β4
= β7
= α42
= 1

Jadi, didapat suku banyak minimal β2
dan β4
yaitu
mβ(y) = y3
+ y2
+ 1
Sedangkan suku banyak minimal α juga merupakan suku banyak minimal α2
dan α4
yaitu
mα(y) = y3
+ y + 1

Definisi Cyclotomic Coset
Definisi 2.17
Diberikan q dan n dan bilangan bulat i, 0 ≤ i ≤ n − 1, cyclotomic coset (q
modulo n) memuat i didefinisikan oleh
Ci = {i, iq, iq2
, . . . , iqn−1
}
dimana anggota-anggota himpuna mengambil modulo n, dan s bilangan bulat
terkecil dengan demikian iqs
≡ i(modn). C = {Ci : 0 ≤ i ≤ n − 1} disebut
himpunan cyclotomic coset q modulo n

Contoh 2.18
Untuk n = 9 dan q = 2, didapat
C1 = [1, 2, 4, 8, 7, 5] = C2 = C4 = C8 = C7 = C5
C − 3 = [3, 6] = C6
C − 0 = [0]

Contoh 2.18
Untuk n = 9 dan q = 2, didapat
C1 = [1, 2, 4, 8, 7, 5] = C2 = C4 = C8 = C7 = C5
C − 3 = [3, 6] = C6
C − 0 = [0]
Teorema 2.19
Misalkan f(x) = xn
− 1 suku banyak atas GF(q). Banyaknya faktor irreducible
dari f(x) adalah sama dengan banyak cyclotomic coset q modulo n.

Pengantar
Suku banyak monic g(x) ∈ GF(q)[x] dikatakan sebagai split didalam perluasan
field GF(qm
) dari GF(q) jika g(x) bisa difaktorkan sebagai hasil kali suku
banyak linear di GF(qm
), kita bisa menuliskannya ;
g(x) = (x − α1)(x − α2) . . . (x − αn)
dimana αi ∈ GF(qm
) dan GF(qm
) disebut sebagai splitting field dari g(x).
Secara umum, dapat didefinisikan bahwa splitting field dari g(x) ∈ GF(qm
)
sebagai lapangan terkecil GF(qm
), dengan kata lain lapangan terkecil yang
memuat semua akar -akar dari g(x).

Splitting ﬁeld g(x) bisa didapatkan dari derajat faktor irreducible atas GF(q).
Catatan bahwa g(x) boleh irreducible atas GF(q), tetapi selalu faktor-
faktornya sebagai hasil kali suku banyak linear yang berbeda di splitting ﬁeld.
Untuk contoh, g(x) = x2
+ x + 1 adalah merupakan irreducible atas GF(2) dan
tidak mempunyai akar di GF(2), tetapi atas GF(4),
g(x) = (x + α)(x + α2
)
dan mempunyai akar-akarnya adalah α dan α2
, dimana GF(4) = {0, 1, α, α2
}
dengan α2
+ α + 1 = 0

Contoh
Contoh 3.1
Diberikan suku banyak dibawah ini
g(x) = 1 + x3
+ x5
+ x6
+ x8
+ x9
+ x1
0
atas GF(2), dapat dicek bahwa g(x) tidak mempunyai akar di GF(2), ataupun
GF(22
), GF(23
), dan GF(24
), tetapi menggunakan GF(5) didapat akar -akar
α dari h(x) = 1 + x2
+ x5
yaitu α, α3
, dan anggota kojugatenya adalah
α, α2
, α4
, α8
, α16
dan α3
, α6
, α12
, α24
, α17
adalah merupakan akar -akar
dari g(x), dan semua akar dari g(x) di GF(25
)

Contoh
Contoh 3.2
Diberikan suku banyak dibawah ini :
g(x) = 2 + 2x + x4
+ 2x5
+ x6
+ x7
atas GF(3) dan hanya memiliki satu akar dengan yaitu 1, dan tidak ada akar
dari persamaan tersebut di GF(32
), sedangkan dengan mengggunakan GF(33
)
didapat akar α dari h(x) = 1 + 2x2
+ x3
yaitu;
1, α2
, α6
, α18
, α4
, α12
, α10
Akar -akar diatas merupakan akar α dari g(x).

Deﬁnisi 4.4
Deﬁnisi 3.3
Misalkan kita mempunyai sebanyak t suku banyak
f1(x), f2(x), . . . , ft(x) ∈ F[x], maka kelipatan persekutuan terkecil dari
f1(x), f2(x), . . . , ft(x) adalah suku banyak monic dengan derajat terkecil dan
merupakan perkalian dari semua suku banyak f1(x), f2(x), . . . , ft(x).
Selanjutnya, dinotasikan sebagai lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft(x)).

Penjeleasan lebih lanjut
Jika f1(x), f2(x), ..., ft(x) ∈ Fq[x] dapat difaktorisasi menjadi
f1(x) = a1.p1(x)e1,1
. . . pn(x)e1,n
f2(x) = a2.p1(x)e2,1
. . . pn(x)e2,n
...
...
ft(x) = at.p1(x)et,1
. . . pn(x)et,n
dimana pi(x) merupakan suku banyak monic yang irreducible atas Fq maka
lcm(f1(x), f2(x), ..., ft(x)) = p1(x)max{e1,1,...,et,1}
...pn(x)max{e1,n,...,et,n}

Contoh 4.5 dan Lemma 4.6
Contoh 3.4
Diberikan polinomial biner,
f1(x) = (1 + x)2
(1 + x + x4
)3
f2(x) = (1 + x)(1 + x + x2
)2
f3(x) = x2
(1 + x + x4
)
sehingga, lcm(f1(x), f2(x), f3(x)) = x2
(1 + x)2
(1 + x + x2
)2
(1 + x + x4
)3

Contoh 4.5 dan Lemma 4.6
Contoh 3.4
Diberikan polinomial biner,
f1(x) = (1 + x)2
(1 + x + x4
)3
f2(x) = (1 + x)(1 + x + x2
)2
f3(x) = x2
(1 + x + x4
)
sehingga, lcm(f1(x), f2(x), f3(x)) = x2
(1 + x)2
(1 + x + x2
)2
(1 + x + x4
)3
Lemma 3.5
Diberikan f1(x),f2(x), . . ., ft(x) suku banyak atas Fq. Jika f(x) habis dibagi
oleh semua suku banyak fi(x), ∀i = 1, 2, . . . , t maka f(x) habis dibagi oleh
lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft(x))

Bukti Lemma 3.5
Beweis.
Ambil g(x) = lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft(x)). Menggunakan algoritma pembagian
maka ada dua suku banyak u(x) dan r(x) atas Fq dengan demikian
deg(r(x)) < deg(g(x)) dan f(x) = u(x)g(x) + r(x). Jadi,
r(x) = f(x) − u(x)g(x), dan selanjutnya r(x) juga habis dibagi oleh semua
fi(x). Ketika g(x) mempunyai derajat terkecil,dengan jelas bahwa r(x) = 0.

Contoh 4.7
Contoh 3.6
Suku banyak f(x) = x15
− 1 ∈ F2[x] dibagi oleh f1(x) = 1 + x + x2
∈ F2[x]
habis dibagi oleh f1(x) = 1 + x + x2
∈ F2[x], f2(x) = 1 + x + x4
∈ F2[x], dan
f3(x) = (1 + x + x2
)(1 + x3
+ x4
) ∈ F2[x]. Maka f(x) habis dibagi oleh
lcm(f1(x), f2(x), f3(x)) = (1 + x + x2
)(1 + x + x4
)(1 + x3
+ x4
).

Deﬁnisi 4.8
Deﬁnisi 3.7
Misalkan α elemen primitif dari Fqm dan dinotasikan oleh Mi
(x) merupakan
polynomial minimal dari αi
terhadap Fq. Sebuah primitif BCH code atas Fq
dengan panjang n = qm
− 1 didesain dengan distance δ adalah q-ary cyclic
code yang dibangun oleh g(x) :=lcm(M(a)
(x), M(a+1)
(x), . . . , M(a+δ−2)
(x))
untuk suatu bilangan bulat a. Lebih jauh, code ini disebut sebagai narrow
sense jika a = 1.

Contoh 4.9
Contoh 3.8
Misalkan β merupakan akar dari 1 + x + x2
∈ F2[x], maka F4 = F2[β].
Misalkan α menjadi akar dari β + x + x2
∈ F4[x]. Maka α elemen primitif dari
F16. Diberikan narrow-sense 4−ary BCH code dengan panjang 15 didesain
dengan distance 4, maka generator polynomialnya adalah
g(x) = lcm(M(1)
(x), M(2)
(x), M(3)
(x))

Contoh 4.9
Contoh 3.8
Misalkan β merupakan akar dari 1 + x + x2
∈ F2[x], maka F4 = F2[β].
Misalkan α menjadi akar dari β + x + x2
∈ F4[x]. Maka α elemen primitif dari
F16. Diberikan narrow-sense 4−ary BCH code dengan panjang 15 didesain
dengan distance 4, maka generator polynomialnya adalah
g(x) = lcm(M(1)
(x), M(2)
(x), M(3)
(x)) = 1+βx+βx2
+x3
+x4
+β2
x5
+x6
.

Parameter BCH Code
Teorema 3.9
Diketahui panjang dari BCH code adalah qm
− 1.
Dimensi dari q − ary BCH code dengan panjang qm
− 1 yang dibangun oleh
g(x) := lcm(M(α)
(x), M(α+1)
(x), ..., M(α+δ−2)
(x)
tidak tergantung dari pemilihan elemen primitif α

Parameter BCH Code
Teorema 3.9
Diketahui panjang dari BCH code adalah qm
− 1.
Dimensi dari q − ary BCH code dengan panjang qm
− 1 yang dibangun oleh
g(x) := lcm(M(α)
(x), M(α+1)
(x), ..., M(α+δ−2)
(x)
tidak tergantung dari pemilihan elemen primitif α
q − ary BCH code dengan panjang qm
− 1 yang didesain dengan distance
δ memiliki dimensi setidaknya qm
− 1 − m(δ − 1)

Contoh dari Teorema 3.9
Contoh 3.10

Contoh 3.10
(i) Diberikan cyclotomic cosets 2 modulo 15 dibawah ini :
C2 = {1, 2, 4, 8} C3 = {3, 6, 12, 9}.
Maka dimensi dari binary BCH Codes dengan panjang 15 dan didesign
dengan distance 3 yang dibangun oleh g(x) :=lcm(M(2)
, M(3)
(x)) adalah
15− | C2 ∪ C3 |= 15 − 8 = 7

Contoh 3.10
(i) Diberikan cyclotomic cosets 2 modulo 15 dibawah ini :
C2 = {1, 2, 4, 8} C3 = {3, 6, 12, 9}.
Maka dimensi dari binary BCH Codes dengan panjang 15 dan didesign
dengan distance 3 yang dibangun oleh g(x) :=lcm(M(2)
, M(3)
(x)) adalah
15− | C2 ∪ C3 |= 15 − 8 = 7
(ii) Cyclotomic cosets dari 3 modulo 26 yaitu,
C1 = C3 = {1, 3, 9}
C2 = {2, 6, 18}
C4 = {4, 10, 12}

Lanjutan Contoh 4.11 dan Proposisi 3.11

Lanjutan Contoh 4.11 dan Proposisi 3.11
Kemudian dimensi dari ternary BCH codes dengan panjang 26 dan didesain
dengan distance 5 yang dibangun oleh
g(x) := lcm(M(1)
(x), M(2)
(x), M(3)
(x), M(4)
(x)) adalah
26 − |C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4| = 26 − 9 = 17
Proposisi 3.11
Narrow sense binary BCH code dengan panjang n = 2m
− 1 dan didesain
dengan distance δ = 2t + 1 mempunyai dimensi sedikitnya n − m(δ − 1)/2.

Contoh 3.12
Narrow sense binary BCH code dengan panjang 63 didesain dengan distance
δ = 5 mempunyai dimensi 51 = 63 − 6(5 − 1)/2. Bagiamanapun, narrow sense
binary BCH code dengan panjang 31 didesain dengan distance δ = 11
mempunyai dimensi 11 yang lebih besar daripada 31 − 5(11 − 2)/2.

Lemma 3.13
Misalkan C q-ary cyclic code dengan panjang n dan generator polynomial g(x).
Andaikan α1, . . . , αr akar -akar dari g(x) dan polynomial g(x) tidak mempunyai
akar ganda. Maka elemen c(x) ∈ Fq[x]/(xn
− 1) adalah codeword C jika hanya
jika c(αi) = 0, untuk setiap i = 1, . . . , r.

Lemma 3.13
Misalkan C q-ary cyclic code dengan panjang n dan generator polynomial g(x).
Andaikan α1, . . . , αr akar -akar dari g(x) dan polynomial g(x) tidak mempunyai
akar ganda. Maka elemen c(x) ∈ Fq[x]/(xn
− 1) adalah codeword C jika hanya
jika c(αi) = 0, untuk setiap i = 1, . . . , r.
Beweis.
Jika c(x) codeword C, maka ada polynomial f(x) dengan demikian
c(x) = g(x)f(x). Jadi kita mempunyai c(αi) = g(αi)f(αi) = 0 untuk semua
i = 1, . . . , r. Secara konvers, jika c(αi) = 0 untuk i = 1, . . . , r maka c(x) habis
dibagi oleh g(x) ketika g(x) tidak mempunyai akar ganda. Ini mengartikan
bahwa c(x) adalah codeword C.

Contoh 3.14
Diberikan binary [7, 4]−Hamming code dengan generator polynomial
g(x) = 1 + +x + x3
. Semua elemen dari F8{0, 1} adalah akar-akar
c(x) = 1 + x + x2
+ x3
+ x4
+ x5
+ x6
= (x7
− 1)/(x − 1), semua akar dari
g(x) adalah akar-akar c(x). Jadi, 1111111 adalah codeword.

Contoh 3.14
Diberikan binary [7, 4]−Hamming code dengan generator polynomial
g(x) = 1 + +x + x3
. Semua elemen dari F8{0, 1} adalah akar-akar
c(x) = 1 + x + x2
+ x3
+ x4
+ x5
+ x6
= (x7
− 1)/(x − 1), semua akar dari
g(x) adalah akar-akar c(x). Jadi, 1111111 adalah codeword.
Teorema 3.15
BCH code didesain dengan distance(designed distance) δ mempunyai minimum
distance sedikitnya δ.

Bukti Teorema 3.15
Misalkan α merupakan elemen primitif dari Fqm dan misalkan C adalah BCH
code yang dibangun oleh g(x) :=lcm(M(a)
(x), M(a+1)
(x), . . . , M(a+δ−2)
(x)).
Dengan jelas bahwa elemen αa
, . . . , αa+δ−2
adalah akar-akarnya g(x).
Andaikan bahwa minimum distance d dari C lebih kecil daripada δ. Maka ada
codeword tak nol c(x) = c0 + c1x + · · · + cn−1xn−1
dengan demikian
wt(c(x)) = d < δ. Menggunakan Lemma 3.13, kita mempunyai c(αi
) = 0
untuk semua i = a, . . . , a + δ − 2;

Lanjutan Bukti Teorema 3.15
dengan demikian
) = 0
untuk semua i = a, . . . , a + δ − 2;

dengan demikian
) = 0
untuk semua i = a, . . . , a + δ − 2;







1 αa
(αa
)2
. . . (αa
)n−1
1 αa+1
(αa+1
)2
. . . (αa+1
)n−1
1 αa+2
(αa+2
)2
. . . (αa+2
)n−1
...
...
... . . .
...
1 αa+δ−2
(αa+δ−2
)2
. . . (αa+δ−2
)n−1














c0
c1
c2
...
cn−1







= 0. (1)

Asumsikan bahwa c(x) adalah R = {i1, . . . , id}, cj = 0 jika hanya jika j ∈ R.
Maka persamaan (1) menjadi

Asumsikan bahwa c(x) adalah R = {i1, . . . , id}, cj = 0 jika hanya jika j ∈ R.
Maka persamaan (1) menjadi







(αa
)i1
(αa
)i2
(αa
)i3
. . . (αa
)id
(αa+1
)i1
(αa+1
)i2
(αa+1
)i3
. . . (αa+1
)id
(αa+2
)i1
(αa+2
)i2
(αa+2
)i3
. . . (αa+2
)id
...
...
...
...
...
(αa+δ−2
)i1
(αa+δ−2
)i2
(αa+δ−2
)i3
. . . (αa+δ−2
)id














ci1
ci2
ci3
...
cid







= 0. (2)

Ketika d ≤ δ − 1, kita mendapatkan sistem persamaan dibawah ini dengan
memilih persamaan d yang pertama sistem persamaan diatas sehingga
didapatkan :

Ketika d ≤ δ − 1, kita mendapatkan sistem persamaan dibawah ini dengan
memilih persamaan d yang pertama sistem persamaan diatas sehingga
didapatkan :







(αa
)i1
(αa
)i2
(αa
)i3
. . . (αa
)id
(αa+1
)i1
(αa+1
)i2
(αa+1
)i3
. . . (αa+1
)id
(αa+2
)i1
(αa+2
)i2
(αa+2
)i3
. . . (αa+2
)id
...
...
... . . .
...
(αa+d−1
)i1
(αa+d−1
)i2
(αa+d−1
)i3
. . . (αa+d−1
)id














ci1
ci2
ci3
...
cid







= 0. (3)

Determinan D koeﬁsien matriks persamaan diatas adalah sama dengan
D =
d
j=1
(αa
)ij
det







1 1 1 . . . 1
αi1
αi2
αi3
. . . αid
(α2
)i1
(α2
)i2
(α2
)i3
. . . (α2
)id
...
...
... . . .
...
(αd−1
)i1
(αd−1
)i2
(αd−1
)i3
. . . (αd−1
)id







(4)
=
d
j=1
(αa
)ij
k>l
(αik
− αil
) = 0.
Dengan mengkombinasikan persamaan (43) dan (4), kita mendapatkan
(ci1
, . . . , cid
) = 0 sehingga kontradiksi. Jadi terbukti

Contoh
Contoh 3.16
Misalkan α akar dari 1 + x + x3
∈ F2[x], dan misalkan C binary BCH code
dengan panjang 7 didesain dengan distance 4 yang dibangun oleh
g(x) = lcm(M(0)
(x), M(1)
(x), M(2)
(x)) = 1 + x2
+ x3
+ x4
Maka d(C) ≤ wt(g(x)) = 4. Disisi lain dengan menggunakan teorema 3.15
didapat d(C) ≥ 4. Jadi, d(C) = 4.

Decoding BCH Codes
Pada bagian akan diberikan algoritma dalam decoding BCH code yang dibagi
menjadi 3 yaitu :
Menghitung syndrome
Untuk menyederhanakannya, kita hanya akan mendiskusikan decoding narrow
sense binary BCH codes.

Decoding BCH Codes
menjadi 3 yaitu :
Menghitung syndrome
Menemukan error locator polynomial

Decoding BCH Codes
menjadi 3 yaitu :
Menghitung syndrome
Menemukan error locator polynomial
Menemukan semua akar dari error locator polynomial

Decoding BCH Codes
Misalkan C narrow sense binary BCH codes dengan panjang n = 2m
− 1 dan
design distance δ = 2t + 1 yang dibangun oleh g(x) :=
lcm(M(1)
(x), M(2)
(x), . . . , M(δ−1)
(x)), dimana M(i)
(x) adalah polynomial
minimal dari αi
terhadap F2 untuk elemen primitif α ∈ F2m . Ambil
H =







1 α (α)2
. . . (α)n−1
1 α2
(α2
)2
. . . (α2
)n−1
1 α3
(α3
)2
. . . (α3
)n−1
...
...
... . . .
...
1 αδ−1
(αδ−1
)2
. . . (αδ−1
)n−1







(5)

Lanjutan Decoding BCH codes
Maka bisa ditunjukkan bahwa word c ∈ Fn
2 adalah codeword C jika hanya jika
cHT
= 0. Selanjutnya, kita bisa mendeﬁnisikan sindrome SH(w) dari w ∈ Fn
2
terhadap H adalah wHT
.

Lanjutan Decoding BCH codes
Maka bisa ditunjukkan bahwa word c ∈ Fn
2 adalah codeword C jika hanya jika
cHT
= 0. Selanjutnya, kita bisa mendeﬁnisikan sindrome SH(w) dari w ∈ Fn
2
terhadap H adalah wHT
.
Andaikan bahwa w(x) = w0 + w1x + . . . + wn−1xn−1
word yang diterima
dengan error polynomial e(x) memenuhi wt(e(x)) ≤ t. Ambil
c(x) = w(x) − e(x) maka c(x) adalah codeword.

Tahap 1. Menghitung Sindrome
Sindrome w(x) adalah
(s0, s1, . . . , sδ−2) := (w0, w1, . . . , wn−1)HT
sehingga si = w(αi+1
) = e(αi+1
) untuk setiap i = 0, 1, . . . , δ − 2, ketika αi+1
adalah akar-akar dari g(x). Asumsikan bahwa error diambil di posisi
i0, i1, . . . , il−1 dengan l ≤ t didapat
e(x) = xi0
+ xi1
+ · · · + xil−1
(6)

Lanjutan Tahap 1.Menghitung Sindrome
Maka kita mendapatkan sistem persamaan
αi0
+ αi1
+ · · · + αil−1
= s0=w(α),
(αi0
)2
+ (αi1
)2
+ · · · + (αil−1
)2
= s1 =w(α2
),
...
...
...
(αi0
)δ−1
+ (αi1
)δ−1
+ · · · + (αil−1
)δ−1
= sδ−2=w(αδ−1
).
(7)
sebarang metode diatas untuk menyelesaikan sistem persamaan diatas
merupakan algoritma decoding untuk BCH codes.

Tahap 2. Menemukan error locator polynomial
Untuk e(x) = xi0
+ xi1
+ · · · + xil−1
, dideﬁnisikan error locator polynomial oleh
σ(z) :=
l−1
j=0
(1 − αij
z).
Ini dapat ditemukan bahwa posisi error ij sejauh semua akar-akar σ(z) yang
diketahui. Untuk tahap ini, kita harus menentukan error locator polynomial
σ(z).

Teorema
Teorema 3.17
Andaikan polynomial sindrome s(z) =
δ−2
j=0 sjzj
adalah bukan polynomial nol.
Maka terdapat polynomial tak nol r(z) ∈ F2m [z] dengan demikian
deg(r(z)) ≤ t − 1, gcd(r(z), σ(z)) = 1 dan
r(z) ≡ s(z)σ(z) (mod zδ−1
) (8)

Lanjutan Teorema 3.17
Lebih jauh, untuk sebarang pasangan (u(z), v(z)) polynomial tak nol atas F2m
memenuhi deg(u(z)) ≤ t − 1, deg(v(z)) ≤ t dan
u(z) ≡ s(z)v(z) (mod zδ−1
) (9)
Kita mempunyai
σ(z) = βv(z), r(z) = βu(z), (10)
untuk elemen tak nol β ∈ F2m .

Tahap 3. Menemukan akar -akar error locator polynomial
Untuk melakukannya, kita bisa mencari semua kemungkinan akar -akar dengan
menggunakan σ(z) di αi
, untuk semua i = 1, 2, . . . . . Setelah semua akar
-akarnya αi1
, . . . , αil
dari σ(z) ditemukan, kita mendapatkan error polynomial
persamaan

Contoh 4.18
Contoh 3.18
Misalkan α akar dari g(x) = 1 + x + x3
∈ F2[x]. Maka Hamming code yang
dibangun oleh g(x) =lcm(M(1)
(x), M(2)
(x)) mempunyai design distance δ = 3.
Andaikan bahwa w(x) = 1 + x + x2
+ x3
word yang diterima.

Contoh 4.18
Menghitung sindrome :
(s0, s1) = (w(α), w(α2
)) = (α2
, α4
)

Contoh 4.18
(s0, s1) = (w(α), w(α2
)) = (α2
, α4
)
Menemukan error locator polynomial :
Selesaikan kongruensi polynomial

Contoh 4.18
(s0, s1) = (w(α), w(α2
)) = (α2
, α4
)
Menemukan error locator polynomial :
Selesaikan kongruensi polynomial
r(z) ≡ s(z)σ(z) (mod z2
)
dengan deg(r(z)) = 0 dan deg(σ(z)) ≤ 1, dan
s(z) = α2
+ α4
z.
Kita mempunyai σ(z) = 1 + α2
z dan r(z) = α2
. Selanjutnya didapat error
di tempat ketiga. Jadi, kita bisa memperbaiki(decode) w(x) ke
w(x) − x2
= 1 + x + x3
= 1101000.

Kesimpulan
BCH Code merupakan generalisasi dari Hamming code dan dideﬁnisikan dari
kelipatan persekutuaan terkecil dari suku banyak monic dengan derajat terkecil
atau
lcm(f1(x), f2(x), . . . , ft(x))
Didalam pembahasan paper ini hanya dibahas BCH code sebagai suku banyak.
Adapun penerapan dari BCH codes sendiri adalah sistem komunikasi via satelit,
pemutar CD(compact disk), DVD, disk drivers, dan barcode dua dimensi.

Thank you for your
attention

A Beautiful Beamer LaTeX

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

More from Hirwanto Iwan

Recently uploaded

A Beautiful Beamer LaTeX