Dokumen tersebut membahas tentang kode linear self-dual dan kode Golay binary extended. Terdapat definisi ruang vektor, kode linear, jarak dan berat Hamming, serta kode self-dual. Kode Golay binary extended dijelaskan sebagai contoh kode self-dual.

1. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Subroto(12164) 1 Ika Susanti(12321)1
Agus Fajar Nugroho(12018)1
1Gadjah Mada University, Yogyakarta, Indonesia
Presentasi Paper Coding Theory, 2013
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

2. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Daftar Isi
1 Dasar Teori
Ruang Vektor atas Field Berhingga
Linear Code
Hamming Distance dan Hamming Weight
2 Pembahasan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
3 Kesimpulan
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

3. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Ruang Vektor atas Field Berhingga
Linear Code
Hamming Distance dan Hamming Weight
Definisi Field
Himpunan Fq merupakan field berhingga dengan order q.
Himpunan tak kosong V dengan operasi jumlahan (+) dan
perkalian skalar dengan anggota Fq merupakan ruang vektor
(ruang linear) atas Fq jika memenuhi kondisi di bawah ini.
∀u, v, w ∈ V dan ∀α, β ∈ Fq maka;
u + v ∈ V
(u + v) + w = u + (v + w)
Terdapat elemen 0 ∈ V sehingga 0 + v = v + 0, untuk
setiap v ∈ V
Untuk setiap u ∈ V, ∃(−u) ∈ V sehingga
u + (−u) = 0 = (−u) + u
u + v = v + u
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

4. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Ruang Vektor atas Field Berhingga
Linear Code
Hamming Distance dan Hamming Weight
Lanjutan Definisi dan Contoh
αv ∈ V
α(u + v) = αu + αv dan (α + β)u = αu + βu
(αβ)u = α(βu)
Jika 1 merupakan identitas penjumlahan di Fq maka
1u = u
Di bawah ini merupakan beberapa contoh dari ruang vektor:
Fn
q merupakan koleksi semua vektor dengan panjang n
Fn
q = {(v1, v2, . . . , vn) : vi ∈ Fq}
merupakan ruang vektor atas Fq Dengan definisi
penjumlahan dalam Fn
q yaitu penjumlahan masing-masing
elemen, dengan definisi penjumlahan pada Fq, jika
v = (v1, v2, . . . , vn) ∈ Fn
q dan w = (w1, w2, . . . , wn) ∈ Fn
q
maka
v + w = (v1 + w1, v2 + w2, . . . , vn + wn) ∈ Fn
q
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

5. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Ruang Vektor atas Field Berhingga
Linear Code
Hamming Distance dan Hamming Weight
serta definisi perkalian skalar untuk Fn
q yaitu:
v = (v1, v2, . . . , vn) ∈ Fn
q dan α ∈ Fq
maka
αv = (αv1, αv2, . . . , αvn) ∈ Fn
q
serta vektor nol (0, 0, . . . , 0) ∈ Fn
q .
Z5
2 merupakan ruang vektor atas field Z2
Definisi 1.1
Jika V merupakan ruang vektor. Himpunan tidak kosong C ⊆ V
merupakan subruang jika C merupakan ruang vektor atas
penjumlahn vektor dan perkalian yang sama dengan V.
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

6. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Ruang Vektor atas Field Berhingga
Linear Code
Hamming Distance dan Hamming Weight
Akibat 1.2
Jika V merupakan ruang vektor. Himpunan tidak kosong C ⊆ V
merupakan subruang jika dan hanya jika memenuhi kondisi
dibawah ini:
∀x, y ∈ C dan α, β ∈ Fq, maka αx + βy ∈ Fn
q
Definisi 1.3
Jika V merupakan ruang vektor atas Fq. Kombinasi linear dari
v1, v2, . . . , vr ∈ V yaitu vektor α1v1 + α2v2 + · · · + αr vr untuk
sembarang α1, . . . , αr ∈ Fq
Definisi 1.4
Jika V merupakan ruang vektor atas Fq, maka himpunan vektor
{v1, v2, . . . , vr } bebas linear jika
α1v1 + α2v2 + · · · + αr vr = 0 ⇔ α1 = α2 = · · · = αr = 0
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

7. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Ruang Vektor atas Field Berhingga
Linear Code
Hamming Distance dan Hamming Weight
Definisi 1.5
Jika V merupakan ruang vektor atas Fq dan S = {v1, v2, . . . , vk }
himpunan tidak kosong subset dari V. Maka span dari S yaitu:
S = {α1v1 + α2v2 + · · · + αk vk : αi ∈ Fq}
Jika S = ∅, maka S = {0}. Cukup jelas bahwa S
merupakan sub ruang dari V, dan disebut subruang yang
dibangun oleh S. Jika diberikan subruang C dari V, himpunan
bagian S dari C dikatakan membangun C jika C = S
Definisi 1.6
Jika V ruang vektor atas Fq, dan himpunan bagian tidak kosong
B = {v1, v2, . . . , vk } dari V dikatakan basis untuk V jika V = B
dan bebas linear.
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

8. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Ruang Vektor atas Field Berhingga
Linear Code
Hamming Distance dan Hamming Weight
Linear Code
Definisi 1.7
Linear code C dengan panjang n atas field Fq yaitu subruang
dari ruang vektor Fn
q
Contoh 1.8
Di bawah ini beberapa contoh linear code:
1 {(λ, λ, . . . , λ) : λ ∈ Fq}. Selanjutnya code ini sering disebut
repetition code
2 C = {000, 001, 010, 011}
3 C =
{0000, 1100, 2200, 0001, 0002, 1101, 1102, 2201, 2202}
Selanjutnya anggota dari linear code C disebut dengan
codeword
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

9. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Ruang Vektor atas Field Berhingga
Linear Code
Hamming Distance dan Hamming Weight
Definisi 1.9
C merupakan linear code atas ruang vektor Fn
q , maka
1 Dual code C yaitu C⊥ dengan
C⊥ = {v ∈ Fn
q : v.c = o, ∀c ∈ C}
2 Dimensi dari linear code C yaitu dimensi C atas ruang
vektor Fq
Linear code C dengan panjang n dan mempunyai dimensi k
atas Fq sering disebut juga q-ary [n, k]-code atau [n, k]-code.
Jika distance dari C diketahui maka biasanya ditulis dengan
[n, k, d]
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

10. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Ruang Vektor atas Field Berhingga
Linear Code
Hamming Distance dan Hamming Weight
Kita tahu berdasar Definisi 1.7 linear code C merupakan
subruang maka secara eksplisit linear code C memiliki basis
yang membangun C. Dalam koding teori, basis dari linear code
C disajikan dalam bentuk matrik, dan disebut matrik generator.
Selain itu, matrik yang menyajikan basis untuk dual code C
atau C⊥ disebut parity-check matrik untuk linear code C.
Definisi ini cukup penting dalam memahami materi selanjutnya.
Definisi 1.10
1 Matrik generator untuk linear code C yaitu matrik G
dengan vektor barisnya merupakan basis dari C.
2 Parity-check matrik H untuk linear code C yaitu matrik
generator untuk dual code C⊥
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

11. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Ruang Vektor atas Field Berhingga
Linear Code
Hamming Distance dan Hamming Weight
Teorema 1.11
C merupakan [n,k]-linear code atas Fq dengan matrik generator
G. Maka untuk v ∈ Fn
q berada dalam C⊥ jika dan hanya jika v
orthogonal dengan setiap vektor baris dari G dengan kata lain
v ∈ C⊥
⇔ vGT
= 0
Akibat 1.12
Linear code C dengan matrik generator G serta Dual-code C⊥
dengan matrik generator H maka HGT = 0
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

12. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Ruang Vektor atas Field Berhingga
Linear Code
Hamming Distance dan Hamming Weight
Bukti Teorema 1.11
Katakan ri merupakan vektor ke-i dari G.
Jelas bahwa ri ∈ C untuk setiap 1 ≤ i ≤ k
Maka untuk setiap c ∈ C maka berdasarkan Definisi 1.10 maka
c dapat ditulis sebagai c = α1r1 + α2r2 + · · · + αk rk dengan
α1, . . . , αr ∈ Fq
Jadi untuk sebarang v ∈ C⊥ maka v.c = 0 untuk setiap c ∈ C.
Maka jelas bahwa v orthogonal dengan ri untuk setiap
1 ≤ i ≤ k, dengan kata lain vGT = 0
Jika diketahui v.ri = 0 untuk setiap 1 ≤ i ≤ k maka jelas bahwa
untuk setiap
c = α1r1 + α2r2 + · · · + αk rk ∈ C
v.c = α1(v.r1) + α2(v.r2) + · · · + αk (v.rk ) = 0
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

13. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Ruang Vektor atas Field Berhingga
Linear Code
Hamming Distance dan Hamming Weight
Linear code C mempunyai matrik generator G. Jika matrik
generator dari linear code C mempunyai bentuk G = [Ik |X]
maka generator matrik ini disebut bentuk standar.
Teorema 1.13
Jika G = [Ik |X] yaitu bentuk standar matrik generator untuk
[n,k]-code C, maka parity-check matrik untuk C yaitu
H = [−XT |In−k ]
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

14. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Ruang Vektor atas Field Berhingga
Linear Code
Hamming Distance dan Hamming Weight
Hamming Distance dan Hamming Weight
Definisi 1.14
Jika x dan y merupakan codeword dari linear code C.
(Hamming)distance dari x ke ydinotasikan dengan d(x, y)
dengan definisi jumlah elemen yang berbeda tiap koordinatnya.
Jika x = x1, x2, . . . , xn dan y = x1, y2, . . . , yn maka,
d(x, y) = d(x1, y1) + d(x2, y2) + · · · + d(xn, yn)
dengan
d(xi, yi) =
1, jika xi = yi
0, jika xi = yi
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

15. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Ruang Vektor atas Field Berhingga
Linear Code
Hamming Distance dan Hamming Weight
Definisi 1.15
Jika C merupakan [n,k]-code. Maka Hamming distance dari
code C yaitu:
d(C) = min{d(x, y) : x, y ∈ C, x = y}
Definisi 1.16
Untuk sembarang x codeword di Fn
q . (Hamming) weight dari x
dinotasikan dengan wt(x) dengan definisi,
wt(x) = d(x, 0)
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

16. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Ruang Vektor atas Field Berhingga
Linear Code
Hamming Distance dan Hamming Weight
Lemma 1.17
Jika x, y ∈ Fn
q maka
wt(x + y) = wt(x) + wt(y) − 2wt(x ∗ y)
dengan
x ∗ y = (x1y1, x2y2, . . . , xnyn)
Teorema 1.18
Code C dengan v-error correcting jika dan hanya jika
d(C) ≥ 2v + 1;
ekuivalen mengatakan suatu code dengan distance d
mempunyai d−1
2 -error correcting code.
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

17. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Definisi 2.1
Linear code C dikatakan self-orthogonal jika C ⊆ C⊥
Lemma 2.2
Linear code C dengan matrik generator G self-orthogonal jika
dan hanya jika GGT = 0
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

18. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Bukti Lemma 2.2
Karena C self-orthogonal maka C ⊆ C⊥, dengan matrik
generator G.
Ambil sebarang vektor baris dari G katakan ri dengan
1 ≤ i ≤ k, maka ri ∈ C dan ri ∈ C⊥.
karena G merupakan parity-check matrik untuk C⊥ maka
GrT
i = 0
Karena berlaku untuk sembarang vektor baris maka diperoleh
GGT = 0. Jika diketahui bahwa GGT = 0. Katakan G
mempunyai k baris, katakan ri dengan 1 ≤ i ≤ k. Berdasarkan
definisi maka ri ∈ C. Karena GGT = 0, maka rirj = 0, 1 ≤ i ≤ k.
Ambil sebarang ck , cp ∈ C. Maka ck , cp merupakan kombinasi
linear dari ri. Bentuk ck .cp, berdasarkan definisi inner product
dan berdasarkan rirj = 0 maka jelas bahwa ck .cp = 0.
Sehingga jelas bahwa C ⊆ C⊥.
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

19. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Definisi 2.3
Linear code C self-dual jika C = C⊥
Contoh 2.4
Diperhatikan beberapa contoh matrik generator di bawah ini,
Matrik
G =
1 0 0 1 0
1 0 1 1 1
merupakan matrik generator untuk self-orthogonal code C,
karena GGT = 0. G tidak membangun self-dual code karena C
merupakan subruang berdimensi 2, dan C⊥ merupakan
subruang berdimensi 3 jadi C = C⊥.
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

20. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Diketahui Matrik
G =




1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 0 1 0
0 1 0 0 1 1 1 0
0 0 1 1 0 1 1 0




merupakan matrik generator untuk self-dual (8,4)-code C.
G = [I6|A] merupakan matrik generator untuk self-dual
(12,6)-code C atas F3, dengan
A =








2 2 1 2 0 1
0 2 2 1 2 1
2 2 0 1 1 2
1 0 1 1 1 1
1 2 2 2 1 0
1 2 1 0 2 2








Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

21. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Lemma 2.5
Jika G = [Ik |X] merupakan matrik generator untuk self-dual
[n, k]-code atas field Fq maka XXT = −Ik
Proof.
Karena G merupakan self-dual, GGT = 0 dan
0 = [Ik |X][Ik |X]T
= Ik + XXT
maka BBT = −Ik
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

22. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Salah satu self-dual code yang penting yaitu binary (24,12,8)
extended Golay code atau lebih dikenal dengan G24. Code
tersebut dengan matrik generator G = [Ik |B] dengan,
B =





















0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0
1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1
1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1
1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0
1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1
1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1
1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0
1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0
1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0
1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1





















Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

23. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Proposisi 2.6
(Properties of the extended binary Golay Code)
1. Panjang dari G24 yaitu 24 dan mempunyai dimensi 12
2. Parity-check matrik untuk G24 yaitu
H = [B|I12]
3. Code G24 mrupakan self-dual, sehingga G24 = G⊥
24
4. Parity-check matrik yang lain untuk G24 yaitu
H = [I12|B] = G
5. Matrik generator yang lain untuk G24 yaitu
G = [B|I12] = H
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

24. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Lanjutan Properties of the extended binary Golay Code
6. Weight untuk setiap codeword di G24 merupakan kelipatan
4
7. Code G24 tidak mempunyai codeword dengan weight 4,
jadi distance dari G24 yaitu d=8
8. Code G24 mempunyai 3-error correcting code
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

25. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Bukti Proposisi 2.6
Kali ini akan dibuktikan proposisi 2.6. Untuk bukti 1-5 cukup
jelas.
Akan dibuktikan untuk proposisi 6-8.
Ambil sebarang v ∈ G24. Maka v merupakan kombinasi linear
dari vektor baris G.
Jika v merupakan vektor baris dari G maka v mempunyai
weight 8 atau 12, sehingga weight dari v kelipatan dari 4.
Andaikan v = ri + rj yaitu jumlahan sebarang vektor baris dari
G. Maka berdasarkan lemma 1.17 dan karena G24 merupakan
self-dual maka wt(v) kelipatan dari 4. Jika v merupakan
kombinasi linear dari vektor baris dari G maka dengan induksi
matematika diperoleh wt(v) kelipatan dari 4. Berdasarkan
proposisi bagian 6 maka distance dari G24 yaitu 4 atau 8.
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

26. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Lanjutan Bukti Proposisi 2.7
Andaikan G24 memuat codeword non-zero v dengan wt(v) = 4.
Kita dapat tulis v sebagai v = (v1, v2) dengan v1, v2 merupakan
vektor dengan panjang 12.
Jika wt(v1) = 0 dan wt(v2) = 4.
Maka hal ini tidak mungkin terjadi, diperhatikan matrik
generator G. wt(v1) = 0 jika dan hanya jika v merupakan
vektor nol.
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

27. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Lanjutan Bukti Proposisi 2.7
Andaikan G24 memuat codeword non-zero v dengan wt(v) = 4.
Kita dapat tulis v sebagai v = (v1, v2) dengan v1, v2 merupakan
vektor dengan panjang 12.
Jika wt(v1) = 0 dan wt(v2) = 4.
Maka hal ini tidak mungkin terjadi, diperhatikan matrik
generator G. wt(v1) = 0 jika dan hanya jika v merupakan
vektor nol.
Jika wt(v1) = 1 dan wt(v2) = 3.
Pada kasus ini kembali diperhatikan matrik generator G v
merupakan salah satu dari vektor baris dari G. Maka
kontradiksi bahwa vektor baris dari G memiliki weight 12
atau 8.
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

28. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Lanjutan Bukti Proposisi 2.7
Andaikan G24 memuat codeword non-zero v dengan wt(v) = 4.
Kita dapat tulis v sebagai v = (v1, v2) dengan v1, v2 merupakan
vektor dengan panjang 12.
Jika wt(v1) = 0 dan wt(v2) = 4.
Maka hal ini tidak mungkin terjadi, diperhatikan matrik
generator G. wt(v1) = 0 jika dan hanya jika v merupakan
vektor nol.
Jika wt(v1) = 1 dan wt(v2) = 3.
Pada kasus ini kembali diperhatikan matrik generator G v
merupakan salah satu dari vektor baris dari G. Maka
kontradiksi bahwa vektor baris dari G memiliki weight 12
atau 8.
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

29. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Lanjutan Bukti Proposisi 2.6
Jika wt(v1) = 2 dan wt(v2) = 2.
Maka v merupakan jumlahan dari dua vektor baris. Mudah
untuk ditunjukan bahwa tidak ada vektor baris yang
memenuhi sehingga wt(v2) = 2
Jika wt(v1) = 3 dan wt(v2) = 1.
Diperhatikan bahwa G’ merupakan generator matrik untuk
G24. Maka v haruslah merupakan salah satu dari vektor
baris dari G’. Jelas bahwa terjadi kontradiksi.
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

30. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Lanjutan Bukti Proposisi 2.6
Jika wt(v1) = 2 dan wt(v2) = 2.
Maka v merupakan jumlahan dari dua vektor baris. Mudah
untuk ditunjukan bahwa tidak ada vektor baris yang
memenuhi sehingga wt(v2) = 2
Jika wt(v1) = 3 dan wt(v2) = 1.
Diperhatikan bahwa G’ merupakan generator matrik untuk
G24. Maka v haruslah merupakan salah satu dari vektor
baris dari G’. Jelas bahwa terjadi kontradiksi.
Jika wt(v1) = 4 dan wt(v2) = 0.
Pada kasus ini sama dengan kasus pertama. Jadi terjadi
kontradiksi.Maka jelas bahwa G24 tidak mempunyai
codeword dengan weight 4. Maka distance dari G24 yaitu
d=8. Berdasarkan proporsisi bagian 7 dan teorema 1.18
maka G24 mempunyai 3-error correcting.
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

31. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Binary Golay Code
Definisi 2.7
(Binary Golay Code) ˆG merupakan matrik 12 × 13
ˆG = [I12|ˆB]
dengan ˆB matrik 12 × 11 yang dibentuk dari matrik B dengan
menghilangkan kolom terakhir. Binary linear code dengan
matrik generator ˆG disebut binary Golay code dan dinotasikan
dengan G23.
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

32. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Definisi 2.8
(Extended Ternary Golay Code) Extended ternary Golay code
dinotasikan dengan G12, yaitu ternary linear code dengan
matrik generator G = [I6|A] degan
A =








0 1 1 1 1 1
1 0 1 2 2 2
1 1 0 1 2 2
1 2 1 0 1 2
1 2 2 1 0 1
1 1 2 2 1 0








Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

33. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Jika G = [I12|B] matrik generator didefinisikan l1, l2, . . . , l12
merupakan vektor kolom dan r1, r2, . . . , l12. Serta x(i), y(i)
merupakan binary 12-tupel dengan komponen ke-i adalah
non-zero serta 0 merupakan 12-tupel zero.
Jika r merupakan codeword yang diterima,
Tentukan s = GrT
Jika wt(s) ≤ 3 maka bentuk e = (sT , 0) dan lanjutkan ke
30
Jika wt(s + li) ≤ untuk suatu li, 1 ≤ i ≤ 12 lalu bentuk
e = ((s + li)T , y(i)) lanjut ke 30
Bentuk BT s
Jika wt(BT s) ≤ 3 maka bentuk e = (0, (BT s)T ) lanjut ke 30
Jika wt(BT s + rT
i ) ≤ 2 untuk suatu ri, 1 ≤ i ≤ 12 lalu
bentuk e = (x(i), (BT s)T + ri) lanjut ke 30
Jika sedikitnya ada 4 error yang terjadi. Retransmit dan
mulai kembali 30
Decode r ke r − e = c
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

34. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Contoh 2.9
Jika kita mendapat codeword sebagai berikut:
r1 = 100010000000100100011101
Kita akan kodekan codeword r1. Kita cari
GrT
= (010010000000)T
= s
Karena wt(s) ≤ 3 maka kita bentuk e = (sT , 0) dan kodekan r1
ke
r1 − (sT
, 0) = 110000000000100100011101
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

35. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Contoh 2.10
Jika kita mendapat codeword sebagai berikut:
r2 = 100000100000100011010010
Kita akan kodekan codeword r2. Kita cari
GrT
= (101111101011)T
= s
Karena wt(s) > 3 maka kita cari li sehingga wt(s + li) ≤ 2.
Kita lihat kolom ke-4 dari matrik B
s + l4 = (000001100000)T
Jelas bahwa vektor di atas mempunyai weight 2, maka
e = (s + l4, y(4)) dengan y(4) = 000100000000. Maka kita
kodekan r2 ke
r2 − e = 100001000000100111010010
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

36. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Self-Dual Code
Extended Binary Golay Code
Decoding Extended Binary Golay Code
Contoh 2.11
Jika kita mendapat codeword sebagai berikut:
r3 = 101100010000110011110001
Kita akan kodekan codeword r3. Kita cari
GrT = (110010101011)T = s Karena wt(s) > 3 maka kita cari
li sehingga wt(s + li) ≤ 2.Karena tidak ada kolom yang
memenuhi kondisi di atas maka kita bentuk
BT s = 010111110111. Karena wt(BT s) > 3 maka kita harus
mencari vektor baris dari B dengan BT s untuk suatu ri
sehingga wt(BT s + ri) ≤ 2.Kita lihat untuk i = 1
diperoleh,BT s + r1 = (001000001000)T = yT , sehingga kita
peroleh e = (x(1), y) dengan x(1) = 100000000000 .Jadi,
e = 1000000000000000001000001000. Jadi kita kodekan r3 ke
r3 − e = 001100010000111011111001
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

37. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Kesimpulan
Demikian beberapa hal yang dikenalkan dari Binary Golay
Code (24,12,8) self-dual code yang digunakan pada misi luar
angkasa Voyage dalam transmisi gambar dari Jupiter dan
Saturnus. Kode ini memuat sampai 212 = 4096 codeword yang
digunakan untuk transmisi warna. Code ini dapat mengoreksi
sampai 3 error, relatif lebih baik dibandingkan Red-Muller code
order satu.
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

38. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Thank you for your
attention
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

39. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Thank you for your
attention
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

40. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Thank you for your
attention
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

41. Dasar Teori
Pembahasan
Kesimpulan
Thank you for your
attention
Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code