Lezione di presentazione degli insiemi. La Lezione è indicata per gli alunni della 1° classe di un Istituto Tecnico.

1. Indice della lezione
Gli insiemi
Concetti fondamentali della teoria degli insiemi
Storia della teoria matematica degli
insiemi
Insiemi: termini, simboli e linguaggio
Sottoinsiemi Insieme delle parti e partizioni
Lavorare con gli insiemi
Operazione fra insiemi Proprietà delle operazioni fra insiemi
Numero degli elementi di un insieme Insiemi finiti ed infiniti

2. Gli insiemi
Concetti fondamentali della teoria degli insiemi

3. Storia della teoria matematica degli insiemi
La teoria matematica degli insiemi nasce negli untimi anni
del XIX secolo con George Cantor (1845-1918),
matematico tedesco di origine russa, mentre affrontava lo
studio delle quantità infinite, volendo rispondere a
domande del tipo:
La teoria agli inizi non ebbe molto successo, ma solamente dal 1920 venne
presa in considerazione dai matematici e successivamente giustamente
applicata in molti ambiti.
“Quanti sono i numeri interi?”
“Sono di più i numeri interi o i numeri pari o dispari?”

4. Insiemi: termini, simboli e linguaggio
Concetto di insieme
In matematica l’insieme è considerato un concetto primitivo, che non ha bisogno di
ulteriori definizioni, quindi per comprenderne il significato si usa considerare le sue
proprietà.
Esempi
• Le città italiane sono un insieme.
• Le grandi città italiane non sono un insieme, perché avendo indicato l’aggettivo “grande”,
queste sono di difficile individuazione.
• I monumenti più belli della città non sono un insieme, in quanto, avendo indicato l’aggettivo
“belli”, non è sufficientemente chiaro cosa si intende per “belli”. Un monumento può essere
bello per alcuni e non per altri.
• I fiumi d’Italia sono un insieme.
• Le persone alte 1,98 sono un insieme.
• N indica l’insieme dei numeri naturali: 0,1,2,3,4,5,6 …….
• Z indica l’insieme dei numeri interi : ….., -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ……
• Le lettere dell’alfabeto internazionale sono un insieme.
• Le ragazze simpatiche della scuola non sono un insieme, perché il concetto di simpatia varia
da persona e persona.

5. Insiemi: termini, simboli e linguaggio
Il criterio oggettivo, in base al quale si costruisce un insieme, rappresenta la
proprietà caratteristica degli elementi di un insieme.
Si può affermare che:
un insieme è un
raggruppamento di
oggetti, di natura
qualsiasi, individuabile
tramite un criterio
oggettivo
un insieme è
correttamente definito
quando con esattezza si
può decidere se un
elemento qualsiasi
appartiene o no
all’insieme
oppure

6. Insiemi: termini, simboli e linguaggio
Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell'alfabeto (A, B, C, …X,Y, Z) mentre gli
oggetti appartenente all’insieme, detti elementi, si indicano con le lettere minuscole
dell’alfabeto (a, b, c, …x, y, z).
Am ∈
Ab∉
Inoltre due insiemi si dicono uguali se sono formati dagli stessi elementi.
Per indicare che l’elemento m appartiene all’insieme A delle lettere dell’alfabeto che
costituiscono la parola matematica si scrive:
mentre per indicare che l’elemento b non appartiene all’insieme A si scrive:
Elementi di un insieme

7. Insiemi: termini, simboli e linguaggio
Sono insieme universo i seguenti insiemi:
• N per l’insieme dei numeri pari
• Z per l’insieme dei numeri negativi
• L’alfabeto italiano per l’insieme A così individuato
}'/{ matematicaparoladellaalfabetodellletteraunaèaaA =
φ
Un insieme che non ha elementi viene detto insieme vuoto e si indica con il simbolo ∅
oppure con il simbolo { }.
Sono vuoti gli insiemi:
• degli alunni delle scuole superiori aventi meno di 4 anni
• le persone che abitano il pianeta Venere
• l’insieme dei numeri negativi compresi tra 7 e 100
Un qualunque insieme si può sempre considerare contenuto in un insieme più ampio
detto insieme ambiente o anche insieme universo ed a volte si indica con U.
Insieme vuoto e insieme universo

8. Insiemi: termini, simboli e linguaggio
• per elencazione o rappresentazione tabulare
• mediante rappresentazione caratteristica
• tramite i diagrammi di Eulero-Ven
Gli insiemi si possono rappresentare principalmente in tre diversi modi:
Rappresentazione degli insiemi

9. Insiemi: termini, simboli e linguaggio
Nel rappresentare gli insiemi per elencazione si usa scrivere fra parentesi graffe tutti gli
elementi dell’insieme ricordando che:
};;;;;{ cietamA =
• l'ordine con il quale si elencano gli elementi non è importante
• ciascun elemento va indicato una sola volta.
L’insieme A delle lettere dell’alfabeto che formano la parola matematica, nella
rappresentazione per elencazione, si scrive:
Elencazione

10. Insiemi: termini, simboli e linguaggio
• il nome generico degli elementi dell’insieme
• una barra verticale che si legge “tali che”
• la proprietà caratteristica
}'/{ matematicaparoladellaalfabetodellletteraunaèaaA =
L’insieme A delle lettere dell’alfabeto che formano la parola matematica, nella
rappresentazione mediante caratteristica, si scrive:
Nel rappresentare gli insiemi tramite caratteristica, fra parentesi graffe, si usa scrivere:
Caratteristica

11. Insiemi: termini, simboli e linguaggio
Nel rappresentare gli insiemi tramite Eulero-Venn, si traccia una linea chiusa e non
intrecciata che evidenzi una regione di piano in cui sono contenuti tutti gli elementi
dell'insieme.
Per l’insieme A delle lettere
dell’alfabeto che formano la
parola matematica, nella
rappresentazione di Eulero-
Venn, si ha:
In prossimità della figura viene indicato il nome dell’insieme, all’interno della linea si
esplicitano gli elementi; a volte questi possono essere sottintesi.
Eulero-Venn

12. Sottoinsiemi
Dati due insiemi A e B, si dice che B è un sottoinsieme di A se tutti gli elementi di B
appartengono anche ad A e si scrive:
AB ⊆
AC ⊄
BAoppureAB ⊃⊂
Definizione di sottoinsieme
Ogni insieme è sottoinsieme di se stesso e l'insieme
vuoto è sottoinsieme di qualunque insieme.
Quindi ogni insieme ha almeno due sottoinsiemi:
l’insieme vuoto e se stesso, detti anche
sottoinsiemi impropri di A.
Qualsiasi altro sottoinsieme di A viene detto
sottoinsieme proprio, per evidenziare che B è
un sottoinsieme proprio di A si scrive:
Se un insieme C non è sottoinsieme di A si scrive:

13. Sottoinsiemi
Insieme complementare
}{ BxeAxxBABC A ∉∈=−== /
Esempio
L’insieme complementare di B rispetto ad A è l’insieme C di tutti gli elementi x che
appartengono ad A e non appartengono ad B. In simboli si scrive:
{ }100/ ≤≤∈= xeNxxA
{ }50,2/ ≤≤∈== neNnnxxB
{ } AneNnnxxBAC ⊆≤≤∈+==−= 50,12/

14. Sottoinsiemi
ATTENZIONE
∉ simbolo di non
appartenenza
∈ simbolo di appartenenza
a∈A b∉
A
⊂ simbolo di inclusione propria ⊆ simbolo di inclusione impropria
I simboli di inclusione esprimono sempre un legame tra insiemi mai tra l’insieme ed i suoi
elementi. Il nome del sottoinsieme è scritto a sinistra e quello dell'insieme a destra.
B⊂A B⊆
A
I simboli di appartenenza esprimono sempre un legame tra un elemento ed un insieme,
mai tra due insiemi o tra due elementi. Il nome dell'elemento è scritto a sinistra, quello
dell'insieme a destra.

15. Insieme delle parti e partizione
Insieme delle parti
Dato un insieme A si chiama insieme delle parti, e si indica con P(A), l’insieme che ha
per elementi tutti i sottoinsiemi di A, propri ed impropri.
Esempi
{ }nottegiornoA ;= { } { } { }{ }nottegiornonottegiornoAP ,;;;)( φ=
{ }cbaB ;;= { } { } { } { } { } { } { }{ }cbacbcabacbaBP ;;;;;;;;;;;;)( φ=
L’insieme vuoto ha come unico sottoinsieme se stesso, P(A)={∅}.
Il numero degli elementi dell’insieme delle parti di un insieme A dipende dal numero di
elementi di A. Vale la regola che se il numero degli elementi di A è n, il numero degli
elementi di P(A) è 2
n
.
Elementi di A Elementi di P(A)
n 2
n
Nel primo esempio l’insieme A è costituito da 2 elementi, P(A) quindi da 2
2
=4 elementi.
Nel secondo esempio l’insieme B è costituito da 3 elementi, P(A) quindi da 2
3
=8 elementi.

16. Insieme delle parti e partizione
Nelle due ore di Educazione Fisica, gli alunni della classe 1°A possono scegliere se frequentare il corso di nuoto o di pallavolo o di
tennis.
Al momento della lezione gli studenti vengono divisi in gruppi e successivamente ciascuno si reca nella propria palestra.
Indicato con A l’insieme degli alunni della classe, i vari corsi vengono così indicati:
,, ABeABAB TPN ⊂⊂⊂
Se per l’insieme A e i sottoinsiemi BN
, BP
e BT
valgono le proprietà sopra elencate,
si dice che BN
, BP
e BT
costituiscono una partizione di A.
Partizione di un insieme
• BN, gruppo di alunni che frequentano il corso di nuoto;
• BP, gruppo di alunni che frequentano il corso di pallavolo;
• BT, gruppo di alunni che frequentano il corso di tennis.
Le proprietà dei vari sottogruppi sono:
• BN, BP e BT sono diversi dall’insieme vuoto, cioè contengono
almeno un alunno, altrimenti il corso non sarebbe stato
attivato;
• BN, BP e BT sono sottoinsieme dell’insieme A, alunni della
classe 1°;
• ogni alunno della classe 1° frequenta un solo corso, quindi
un alunno che frequenta il corso di nuoto non può
frequentare né quello di pallavolo, né quello di tennis;
• mettendo insieme gli alunni che frequentano nuoto, con
quelli di pallavolo e tenni, si ottiene l’intera classe 1° A e
quindi si può ricostruire l’insieme A di partenza.

17. Insieme delle parti e partizione
Generalizzando si può affermare che:
• ogni sottoinsieme Bi per i=1,…, n è diverso dall’insieme ∅;
• ogni elemento di A appartiene ad un solo Bi per i=1,…, n, cioè non esistono elementi
che appartengono a più Bi;
• prendendo tutti gli elementi di ciascun Bi per i=1,…, n, si ottiene tutto l’insieme A di
partenza.
dato un insieme A e considerati n sottoinsiemi Bi di A, si dice che i Bi costituiscono una
partizione di A se si verificano le seguenti condizioni:
,.......}6,5,4,3,2,1,0{=N
costituiscono una partizione di
Esempio
,.......}5,3,1{,.......}6,4,2,0{ == DP NeN