Quesiti in preparazione di Giochi Matematici, sui numeri

1. PON C4: “Matematica ... mente”
IISS “Vanoni” - NARDO’ - prof. Sergio Spirito - tutor prof. Salvatore Alligri
Numeri, divisibilità, somme
notevoli ed equazioni
3 - 5 febbraio 2010
1

2. 2
l’autostrada
Ieri sull’autostrada, ho visto delle vetture Peugeot di diversi modelli:
una 106, una 203 e una 309.
Ho allora pensato ad altri modelli della stessa marca: 204, 304, 404, 504,
604.
Tra tutti i numeri finora citati, se ne possono trovare quattro la cui somma
sia uguale a quella di altri tre.
Qual è il numero che rimane da solo (non “partecipando” alla
somma)?
Se sommiamo i numeri del testo otteniamo
2638
Indichiamo con S3 la somma di tre degli otto numeri e con S4 la somma di
quattro di questi. Deve succedere che S3 + S4 + n = 2638, dove n è il
numero che non “partecipa” alla somma.
Poiché S3 = S4 avremo (posto S = S3
= S4):

3. 3
l’autostrada
deve essere
pari.
Quindi n deve essere pari, ossia può essere 106, 204, 304, 404, 504 o
604, ma non 203 o 309.
๏n
=106
106, 203, 204, 304, 309, 404, 504,
604
NO
NO
NO

4. 4
http://www.psicologi-psicoterapeuti.it/
Dato un numero di due cifre, come sappiamo, si può
scrivere:
Effettuando la sottrazione della cifra delle decine e di quella delle unità
otterremo:
Ossia
:
Quindi, indipendentemente da numero pensato, dopo la sottrazione
otterremo comunque un numero multiplo di 9, sino a 81: 0, 9, 18, 27, ... ,
81.

5. 5
le parentesi
Desiderio deve effettuare il calcolo (a+b)/c. Sa che la risposta esatta è 15.
Si dimentica però, distratto com’è, delle parentesi e ottiene 21.
Allora ci riprova, commutando a con b e calcolando (b+a)/c.
Dimentica però ancora le parentesi e ottiene 24.
Quali sono i valori dei numeri interi positivi a, b, c?
Il problema si risolve impostando e risolvendo il sistema di tre equazioni in
tre incognite:
Desiderio deve effettuare il calcolo (a+b)/c. Sa che la risposta esatta è 15.
Si dimentica però, distratto com’è, delle parentesi e ottiene 21.
Allora ci riprova, commutando a con b e calcolando (b+a)/c.
Dimentica però ancora le parentesi e ottiene 24.
Quali sono i valori dei numeri interi positivi a, b, c?

6. 6
Quasi cento
Un numero compreso da due cifre uguali viene moltiplicato per 99.
Che risultato di quattro cifre si ottiene sapendo che la terza cifra (da
sinistra) del risultato è un “3”?
Indichiamo con x la cifra sconosciuta (che può assumere le cifre da 1 a
9), il numero di partenza lo scriveremo:
Moltiplicando per 99
otteniamo:
Per fare prima, visto che ci interessa solo la 3° cifra, effettuiamo
solo 89⋅x :
Con x = 6 la condizione è soddisfatta.
Allora il numero di partenza è 66 e il prodotto
richiesto è

7. Le coppie
(a,b) è una coppia di numeri interi, positivi o negativi, con a < b.
Inoltre il a∙b = -8.
Quante sono le coppie di numeri che possono essere così descritte?
Gli sciatori
Donato è un provetto sciatore e, per fare una certa discesa, ci mette metà
tempo rispetto al suo amico Michele.
Se scende 5 volte, impiega 5 minuti in più del tempo che occorre a Michele
per scendere 2 volte (sempre lungo la stessa discesa).
Quanto tempo ci mette Donato a fare una discesa?
5 minuti

8. Le due botti
Due botti, che hanno la stessa capacità, contengono in totale 350 litri di
brunello di Montalcino. Dopo aver spillato 20 litri del famoso vino toscano
dalla prima botte e 80 litri dalla seconda, si nota che il vino rimasto è
esattamente allo stesso livello delle due botti.
Qual è la capacità di ciascuna botte, al minimo?
Le cartellette
Carla afferma che, quando sistema le cartellette in pile di dodici, gliene
avanzano cinque; quando sistema le stesse cartellette in pile di quindici,
gliene restano quattro.
Quante sono, al minimo, le cartellette che Carla deve mettere in
ordine?
205 litri
Carla si sarà sbagliata

9. cin cin
La vittoria ai Campionati Internazionali di Giochi
Matematici a Parigi ci ha dato un po’ alla testa. Per
festeggiarla, abbiamo organizzato un grande brindisi con
la “squadra” e abbiamo comprato 240 € di ottimo vino
francese.
15 litri a 16€ al litro
Forse l’abbiamo pagato un po’ caro, ma ci hanno assicurato che è
particolarmente buono.
D’altra parte, un secondo fornitore, al quale ci eravamo rivolti, ci chiedeva
4 € in più al litro e così avremmo avuto (con la stessa cifra totale) 3 litri i
meno.
Quanti litri di vino francese abbiamo comprato e ... bevuto?

10. 10
I regali di Jacob
Con i suoi risparmi, inferiori comunque a 250€, Jacob
vuole regalare dei CD e dei libri ai suoi amici.
I CD costano 15€ ognuno; i libri 8€ ciascuno.
Se Jacob comprasse solo CD, gli mancherebbero 11€ per
comprarne uno in più; se invece comprasse solo libri, gli
avanzerebbero 5€.
A quanto ammontano i risparmi di Jacob?
Indicando con C il numero di CD acquistati, con L il numero di libri e
con R l’importo di risparmi:
Si tratta di trovare (con R < 250) i multipli di 15 e di 8 che soddisfano
questa uguaglianza.109€ (7 CD o 13 libri) e 229€ (15 CD o 28 libri)

11. 11
Sano e lontano
Guido Piano compie dei lunghi viaggi. Nell’organizzare i
suoi itinerari è molto prudente e molto meticoloso.
Adesso deve percorrere 1695 km in tre tappe che
effettua a velocità costanti rispettivamente di 50, 60 e
70 km all’ora.
La seconda tappa dura i cinque quarti della prima e la terza dura quanto le
due prime tappe insieme.
Qual è, in ore e minuti, la durata della seconda tappa?
Indicando con S1, S2 e S3 gli
spazi percorsi nelle tre tappe e
con T1, T2 e T3 i tempi impiegati a
percorrerle.
Abbiamo:
T1 = 6 (ore)
T2 = 30/4 (di ora)
quindi 7 ore e 30
minuti.

12. 12
Un numero misterioso
Un numero di sei cifre termina con un “4” e
diventa quattro volte più grande se il “4” è
spostato all’inizio (come prima cifra).
Qual è il numero? a b c d e 44 a b c d e = 4⋅
ossia:
indichiamo con N la parte
evidenziata
N
Si potrà allora
scrivere:
ossia: Il numero richiesto è:

13. 13
Mezzo quadrato mezzo cubo
Il 1000 è “mezzo quadrato” e “mezzo cubo”, nel senso che si può scrivere
come somma di un quadrato e di un cubo:
Qual è il massimo numero, minore di 1000, che risulta ancora “mezzo
quadrato” e “mezzo cubo”?

14. 14
Quanti zeri
Si moltiplicano tra loro tutti i numeri interi compresi tra 50 e 100 (inclusi
questi due numeri).
Con quanti zeri termina il numero che esprime questo prodotto?
Quando, moltiplicando due numeri, il risultato conterrà degli zeri
finali?Per
esempio
contiene due zeri
finali,
solo
unomentr
e
,
nessuno
.Come al solito, per capire meglio la risposta, scomponiamo i numeri in
fattori primi:

15. 15
Quanti zeri
Quindi ci saranno tanti zeri finali per ogni fattore
10.
Nel prodotto di tutti i numeri da 50 a 100, quante volte
si trova il fattore 5?
Il fattore 5 si trova 14 volte. Il fattore 2 molte volte di più, quindi il fattore
10 si trova 14 volte.
Deduciamo che il risultato finale conterrà 14
zeri.

16. 16
2010 - 2001
Provate a scrivere il numero 2010, utilizzando solo le
cifre 2, 3, 5 e 7 e le operazioni elementari di somma,
sottrazione, moltiplicazione, divisione e potenza.
Provate a scrivere il numero 2001, utilizzando solo le cifre 1, 2, 3, 4 e 5 e
le operazioni elementari di somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione
e potenza.

17. 17
Criteri di divisibilità
per 2
un numero è divisibile per 2 se termina con zero o una cifra pari.
per 3
un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3.
per 4
un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un
numero multiplo di 4.

18. 18
Criteri di divisibilità
per 5
un numero è divisibile per 5 se termina con zero o con 5.
per 6
un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3.
per 7
un numero con più di due cifre è divisibile per 7 se la differenza del numero
ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o
un multiplo di 7.

19. 19
Criteri di divisibilità
per 8
un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se è
divisibile per 8 il numero formato dalle sue ultime tre cifre.
per 9
un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9.
per 10
un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0.

20. 20
Criteri di divisibilità
per 11
un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa in valore
assoluto), fra la somma delle cifre di posto pari e la somma
delle cifre di posto dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11.
per 12
un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4.
per 13
un numero con più di due cifre è divisibile per 13 se la somma del quadruplo
della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13 o un
multiplo di 13.

21. 21
Criteri di divisibilità
per 17
un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza (presa in
valore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il
quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17.
per 25
un numero è divisibile per 25 se le sue ultime cifre sono 00, 25, 50 o 75.
per 100
un numero è divisibile per 100 se le sue ultime due cifre sono 00.

22. 22
Divisibilissimi
Trovate quanti più numeri di quattro cifre che hanno la
seguente proprietà:
✴ il numero formato dalle sue prime due cifre è
divisibile per 2;
✴ il numero formato dalle sue prime tre cifre è
divisibile per 3;
✴ il numero stesso (di quattro cifre) è divisibile per 4.

23. 23
Le donne sempre in mezzo
C’è un gruppo composto da 4 uomini e da 5 donne.
In quanti modi diversi le persone del gruppo possono mettersi in fila,
sapendo che una regola interna al gruppo costringe gli uomini di
occupare la prima e l’ultima posizione?
U U
possiamo inserire 7 elementi a
piacere quindi abbiamo 7! (=7∙6∙5∙4∙3∙2∙1)
scelteai lati, dovendo scegliere 2 uomini tra i 4, abbiamo 4∙3
scelte

24. 24
I quadrati magici sono quelli in cui tutte le
righe, tutte le colonne e le diagonali hanno la
stessa somma.
Scambiate due coppie di numeri del
quadrato a fianco, in modo che questi
diventi magico.
Due scambi ... e diventa magico
63
75
67
55
65
63 55 65 75 67
In un quadrato magico n x n, la costante magica (la somma
costante per tutte le righe, tutte le colonne e le due diagonali) è
data da:
Nel nostro
caso:
18
8
65
65
65
65
9
11
65
65
65
65

25. 25
Ognuno si diverte come può
Sullo schermo del suo computer, Desiderio ha scritto le cifre 1 2
3 4 5.
Si diverte poi a inserire tre due cifre consecutive presenti sul suo
schermo (cioè tra l’1 e il 2, tra il 2 e il 3, tra il 3 e il 4 tra il 4 e il 5)
un segno “+”, un segno “-” oppure ... niente.
Può così ottenere, per esempio la scrittura 1 + 2 - 3 4 + 5 oppure 1 2
3 - 4 5.
Quante sono tutte le scritture possibili?
1 2 3 4 5
3 possibilità 3 possibilità 3 possibilità 3 possibilità
“+” “-” “ ”

26. 26
Frazioni semplificate
Mattia ha appena inventato un nuovo metodo per
semplificare le frazioni. Per semplificare la frazione
“49/98”, si accontenta di cancellare la cifra che appare
tanto nel numeratore quanto nel denominatore, ovvero
“9”: ottiene così 4/8, che è proprio uguale a 49/98.Quali altre frazioni della forma a/b (dove a e b sono numeri a due
cifre con una cifra diversa da “0” in comune e tali che a<b) Mattia
può semplificare con il suo metodo?
Le frazioni potranno essere del
tipo
oppur
e
ma
anche
o

27. 27
Frazioni semplificate
nessuna soluzione
nessuna soluzione
a c b

28. 28
Frazioni semplificate
a c b
“c” può essere uguale a 2, 4, 5, 6 e 8
c =
2
≠ No
c =
4
= Si
≠ No
c =
5
≠ No
≠
= Si

29. Frazioni semplificate
a c b
“c” può essere uguale a 2, 4, 5, 6 e 8
c =
5
c =
6
c =
8
≠ No
≠ No
≠ No
≠ No
= Si
Farlo per esercizio e
scoprire che non ci
sono soluzioni

30. Frazioni semplificate
a b c
“b” può essere uguale a 2, 4, 5, 6 e 8
b =
8
No
No
No
b =
6
No
No
b =
5
No
No
No
No

31. Frazioni semplificate
a b c
“b” può essere uguale a 2, 4, 5, 6 e 8
b =
4
b =
2
Questi casi possono essere
svolti per esercizio
procedendo nello stesso
modo.
Si vedrà che non ci sono
altre soluzioni oltre a quelle
sin qui trovate.