Silabus mata kuliah Barisan dan Deret membahas tentang tujuan pembelajaran matematika, standar kompetensi dan kompetensi dasar, indikator pencapaian tujuan, pengalaman belajar, barisan aritmatika, deret aritmetika, barisan geometri, dan deret geometri.
Barisan dan Deret
Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan) tertentu.
Misalnya : 1, 3, 5, 7, 9, …
Berdasarkan pola barisan tersebut, diperoleh penjumlahan berikut: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …
Penjumlahan suku-suku dari barisan-barisan tersebut dinamakan deret bilangan.
Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b.
Suku ke-n barisan aritmetika
Jika suku pertama = = a dan beda = b, maka :
: suku ke-n barisan aritmetika
a : suku pertama
n : banyak suku
b : beda/selisih
Deret Aritmatika
Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.
Kompetensi Dasar :
1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berfikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.2. Mendeskipsikan konsep barisan dan deret tak hingga sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli.3. Menerapkan konsep barisan dan deret tak hingga dalam penyelesaian masalah sederhana.
Barisan dan Deret
Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan yang diurutkan dengan pola (aturan) tertentu.
Misalnya : 1, 3, 5, 7, 9, …
Berdasarkan pola barisan tersebut, diperoleh penjumlahan berikut: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + …
Penjumlahan suku-suku dari barisan-barisan tersebut dinamakan deret bilangan.
Barisan Aritmatika
Barisan Aritmatika yaitu barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambahkan suatu bilangan tetap ke suku sebelumnya. Bilangan tetap itu disebut beda atau selisih dan dilambangkan dengan b.
Suku ke-n barisan aritmetika
Jika suku pertama = = a dan beda = b, maka :
: suku ke-n barisan aritmetika
a : suku pertama
n : banyak suku
b : beda/selisih
Deret Aritmatika
Jika pada barisan aritmetika tanda “,” diganti dengan tanda “+” maka didapat deret aritmetika. Jadi pada deret berhubungan dengan jumlah barisan.
Kompetensi Dasar :
1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berfikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.2. Mendeskipsikan konsep barisan dan deret tak hingga sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli.3. Menerapkan konsep barisan dan deret tak hingga dalam penyelesaian masalah sederhana.
Today’s buyers control the buying process far more than today’s vendors control the selling process — a phenomenon that affects both business-to-business and business-to-consumer marketers. Buyers seek the information they want online, on the Web and in social channels, as well as in that persistent nondigital venue commonly known as the real world. Today’s buyers are demanding. They expect sellers to know where they’ve been, what they’ve seen, what they’ve accepted or rejected — whether that behavior happened on their tablet, via their smartphone, or at the local branch office. Frankly, today’s marketers are struggling to keep up.
Despite having the best solar thermal resource in North America for direct heating use, Colorado has no policies that encourage the deployment of this technology. This strategic plan outlines how Colorado could leverage its already robust solar thermal industry and benefit in terms of dollars in the state economy, job creation, and reduced public and environmental impacts—all while re-establishing the state's role as an innovating and cutting-edge leader in this renewable resource
La Direction générale des Entreprises et l’UMIH ont réalisé un guide pratique « En avant vers le numérique ».
Restaurateurs, c’est le moment de vous différencier, d’innover, de se moderniser et d’anticiper les marchés du futur.
2012 prius vs. 2012 nissan leaf - north hollywood toyota, los angeles new use...North Hollywood Toyota
Shop Used Cars:
http://www.northhollywoodtoyota.com/used-cars/
https://www.facebook.com/northhollywoodtoyota
North Hollywood Toyota
Address: 4606 Lankershim Blvd,
North Hollywood, California 91602
Phone: (818) 508-2967
http://instagram.com/nohotoyota#
https://twitter.com/NoHoToyota
https://plus.google.com/112791067755794874834/posts?hl=en
North Hollywood Toyota dealer serves:
Montrose
Universal City
Sherman Oaks
Burbank
La Crescenta
Beverly Hills
Studio City
West Hollywood
Encino
North hills
Pacoima
Panorama City
Sun Valley
Sunland
Toluca Lake
Tujunga
Valley Village
Verdugo City
Los Angeles
Southern California
media pembalajaran interaktif dengan materi relasi & fungsi ini merupakan suatu materi yang akan dikemas dalam sebuah cd interaktif untuk materi siswa kelas VIII.
2. Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
Tujuan Pembelajaran
Matematika
Standart Kompetensi dan
Kompetensi Dasar
Indikator Pencapaian Tujuan
Pengalaman Belajar
Pada Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan dinyatakan bahwa tujuan
pembelajaran matematika adalah sebagai berikut:
• Melatih cara berpikir dan bernalar dalam menarik kesimpulan, misalanya
melalui kegiatan penyelidikan, eksplorasi, eksperimen, menunjukkan
kesamaan, perbedaan, konsistensi, dan inkonsistensi
• Mengembangkan aktivitas kreatif yang melibatkan imajinasi, intuisi, dan
penemuan dengan mengembangkan pemikiran divergen, orisinil, rasa ingin
tahu, membuat prediksi dan dugaan, serta mencoba-coba.
• Mengembangkan kemampuan memecahkan masalah
• Mengembangkan kemampuan menyampiakan informasi atau
mengkomunikasikan gagasan antara lain melalui pembicaraan
lisan, grafik, peta, diagram dalam menjelaskan gagasan.
Silabus Tujuan Pembelajaran Matematika di SMP
3. B a r i s a n d a n D e r e t
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Standart Kompetensi dan
Kompetensi Dasar
Tujuan Pembelajaran
Matematika
Indikator Pencapaian Tujuan
Pengalaman Belajar
Silabus Standart Kompetensi dan Kompetensi Dasar
Standart Kompetensi
Memahami barisan dan deret bilangan serta penggunaannya dalam pemecahan
masalah
Kompetensi Dasar
Menentukan pola barisan bilangan sederhana
Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri
Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret
geometri
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
4. B a r i s a n d a n D e r e t
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Indikator Pencapaian Tujuan
Tujuan Pembelajaran
Matematika
Standart Kompetensi dan
Kompetensi Dasar
Pengalaman Belajar
Silabus Indikator Pencapaian Tujuan
Indikator pencapaian tujuan pembelajaran Pola barisan bilangan
sederhana, barisan aritmatika dan barisan geometri adalah sebagai berikut:
Menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan barisan
bilangan
Mengenal unsur-unsur barisan dan deret, misalnya; suku
pertama, suku berikutnya, suku ke–n, beda, rasio.
Menentukan pola barisan bilangan.
Deret aritmatika dan geometri, meliputi rumus suku ke-n dan
jumlah n suku pertama
Deret tak hingga
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
5. B a r i s a n d a n D e r e t
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Pengalaman Belajar
Tujuan Pembelajaran
Matematika
Standart Kompetensi dan
Kompetensi Dasar
Indikator Pencapaian Tujuan
Silabus Pengalaman Belajar
Pengalaman belajar yang dapat diperoleh dari pembelajaran materi sub pokok
Barisan dan Deret adalah siswa diajak untuk :
Menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan barisan
bilangan
Mengenal unsur-unsur barisan dan deret, misalnya; suku
pertama, suku berikutnya, suku ke–n, beda, rasio.
Menentukan pola barisan bilangan.
Deret aritmatika dan geometri, meliputi rumus suku ke-n dan
umlah n suku pertama
Deret tak hingga
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
6. B a r i s a n d a n D e r e t
Barisan Aritmetika
Deret Aritmetika
Materi Barisan Aritmetika 1/6
Ada seorang anak yang sedang mengamati bilangan-bilangan pada sebuah
penggaris yang berukuran 20 cm. Bilangan-bilangan tersebut berurutan yaitu
dari 0, 1, 2, 3, …, 20. Setiap bilangan berurutan pada penggaris ini mempunyai
jarak yang sama, yaitu 1 cm. Jarak antarbilangan berurutan ini menunjukkan
selisih antarbilangan.
Bilangan-bilangan berurutan seperti pada penggaris ini memiliki selisih yang
sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu baris
bilangan. Barisan bilangan seperti ini disebut barisan aritmetika dengan selisih
setiap dua suku berurutannya disebut beda (b).
Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua
suku yang berurutan selalu tetap.
Bentuk umum :
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
7. B a r i s a n d a n D e r e t
Barisan Aritmetika
Deret Aritmetika
Materi Barisan Aritmetika 2/6
Pada penggaris yang dimiliki anak tersebut, suku pertamanya 0, ditulis U1 = 0.
Adapun suku keduanya, U2 = 1. Beda antara suku pertama dan suku kedua ini
adalah U2 - U1 = 1. Begitu seterusnya, sehingga dapat dikatakan beda suku ke-n
dengan suku sebelumnya adalah Un – Un-1 = 1.
Pada barisan aritmetika, berlaku Un – Un-1 = b sehingga Un = Un-1 + b
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
8. a + 3ba + 2ba + ba
B a r i s a n d a n D e r e t
Barisan Aritmetika
Deret Aritmetika
Materi Barisan Aritmetika 3/6
Jika kalian memulai barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b
maka kalian mendapatkan barisan berikut :
+b +b +b +b
…
U1 U2 U3 U4 Un
Tampak bahwa, Un = a + (n – 1)b
Mulai dengan
suku pertama a
Jumlahkan
dengan beda b
Tuliskan
jumlahnya
a + (n-1)b
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
9. B a r i s a n d a n D e r e t
Barisan Aritmetika
Deret Aritmetika
Materi Barisan Aritmetika 4/6
Jadi, suku ke-n barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b
di mana, Un = suku ke-n
a = suku pertama
b = beda
n = banyaknya suku
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
10. B a r i s a n d a n D e r e t
Barisan Aritmetika
Deret Aritmetika
Materi Barisan Aritmetika Contoh 5/6
Diketahui barisan tentukanlah :
a. Rumus suku ke-n
b. Suku ke-25
Penyelesaian :
Selisih dua suku berurutan pada barisan adalah tetap, yaitu b = -7
sehingga barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika
a. Rumus suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah a + (n-1) b
Un = 5 + (n – 1)(-7)
= 5 – 7n + 7
= 12 – 7n
Bersihkan!!
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
11. B a r i s a n d a n D e r e t
Barisan Aritmetika
Deret Aritmetika
Materi Barisan Aritmetika Contoh 6/6
b. Suku ke-25 barisan aritmetika tersebut adalah
U25 = 12 – 7n
= 12 – 175
= – 163
Bersihkan!!
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
Diketahui barisan tentukanlah :
a. Rumus suku ke-n
b. Suku ke-25
Penyelesaian :
12. B a r i s a n d a n D e r e t
Deret Aritmetika
Barisan Aritmetika
Materi Deret Aritmetika 1/5
Jika setiap suku barisan aritmetika dijumlahkan, maka diperoleh deret
aritmetika :
Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku dari barisan aritmetika.
Bentuk umum :
U1 + U2 + U3 + … + Un atau
a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n – 1)b)
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
13. B a r i s a n d a n D e r e t
Deret Aritmetika
Barisan Aritmetika
Materi Deret Aritmetika 2/5
Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n – 1)b) … Persamaan 1
Persamaan 1 ini dapat pula dituliskan sebagai berikut.
Sn = (a + (n – 1)b) + … + (a + 2b) + (a + b) + a … Persamaan 2
Dengan menjumlahkan Persamaan 1 dan Persamaan 2, kalian mendapatkan
Sn = a + (a + b) + … + (a + (n – 1)b)
Sn = (a + (n – 1)b) + (a + (n – 1)b) + … + a
2 Sn = 2a + (n – 1)b + 2a + (n – 1)b + … + 2a + (n – 1)b
n suku
Oleh karena , maka dapat juga dinyatakan sebagai berikut :
Un
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
14. B a r i s a n d a n D e r e t
Deret Aritmetika
Barisan Aritmetika
Materi Deret Aritmetika 3/5
Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah
atau
di mana, Sn = jumlah suku ke-n
n = banyaknya suku
a = suku pertama
b = beda
Un = suku ke-n
Catatan :
1. Barisan dituliskan
sebagai berikut
a1, a2, a3, …, an
2. Deret dituliskan
sebagai berikut
a1 + a2 + a3 + … + an
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
15. B a r i s a n d a n D e r e t
Deret Aritmetika
Barisan Aritmetika
Materi Deret Aritmetika Contoh 4/5
1. Suku kedua suatu deret aritmetika adalah 5. Jumlah suku keempat dan
suku keenam adalah 28. Tentukan suku kesembilannya.
Penyelesaian :
Dengan mensubtitusikan b = 3, ke a + b = 5 dapat a + 3 = 5
Jadi, suku kesembilan deret aritmetika tersebut adalah
sehingga a = 2
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
Bersihkan!!
16. B a r i s a n d a n D e r e t
Deret Aritmetika
Barisan Aritmetika
Materi Deret Aritmetika Contoh 5/5
2. Saat diterima bekerja di penerbit Literatur, Meylin membuat kesepakatan
dengan pimpinan perusahaan, yaitu ia akan mendapat gaji pertama
Rp 1.800.000,00 dan akan mengalami kenaikan Rp 50.000,00 setiap bulan.
Jika ia mulai bekerja pada bulan Juli 2004,
berapakah gaji yang diterimanya pada bulan Desember 2005?
Penyelesaian :
Gaji Meylin mengikuti pola barisan aritmetika
dengan suku pertama a = Rp 1.800.000,00 dan beda b = Rp 50.000,00
Juli – Agustus
2004
November – Desember
2005
November – Desember
2004
September – Oktober
2004
Jadi, gaji yang diterima pada bulan Desember 2005
adalah Rp 2.200.000,00
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 /2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
…
Bersihkan!!
17. B a r i s a n d a n D e r e t
Barisan Geometri
Deret Geometri
Materi Barisan Geometri 1/6
Deret Geometri Tak
Terhingga
Niko mempunyai selembar kertas.
1 bagian kertas
Ia melipat kertas ini menjadi 2 bagian yang sama besar.
Kertas terbagi menjadi 2 bagian
yang sama besar
Kertas yang sedang terlipat ini, kemudian dilipat dua kembali olehnya.
Kertas terbagi menjadi 4 bagian yang sama
besar
Niko Sentera terus melipat dua kertas yang sedang terlipat sebelumnya. Setelah
melipat ini, ia selalu membuka hasil lipatan dan mendapatkan kertas tersebut
terbagi menjadi 2 bagian sebelumnya.
Sekarang, perhatikan bagian kertas tersebut yang membentuk sebuah barisan
bilangan.
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
18. B a r i s a n d a n D e r e t
Barisan Geometri
Deret Geometri
Materi Barisan Geometri 2/6
Deret Geometri Tak
Terhingga
…
Setiap dua suku berurutan dari barisan bilangan tersebut memiliki
perbandingan yang sama, yaitu
Tampak bahwa, perbandingan setiap dua suku berurutan pada barisan tersebut
selalu tetap. Barisan bilangan seperti ini disebut barisan geometri dengan
perbandingan setiap dua suku berurutannya dinamakan rasio (r).
1 42
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
19. B a r i s a n d a n D e r e t
Barisan Geometri
Deret Geometri
Materi Barisan Geometri 3/6
Deret Geometri Tak
Terhingga
Barisan geometri adalah suatu barisan dengan perbandingan (rasio)
antara dua suku yang berurutan selalu tetap.
Bentuk umum :
U1, U2, U3, … , Un atau
a, ar, ar2, … , arn-1
Pada barisan geometri, berlaku sehingga
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
20. B a r i s a n d a n D e r e t
Barisan Geometri
Deret Geometri
Materi Barisan Geometri 4/6
Deret Geometri Tak
Terhingga
Jika kalian memulai barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r maka
kalian mendapatkan barisan berikut :
x r x r x r x r
…
Mulai dengan
suku pertama a
Kalikan
dengan rasio r
Tuliskan hasil
kalinya
a ar ar2 ar3 arn-1
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
21. B a r i s a n d a n D e r e t
Barisan Geometri
Deret Geometri
Materi
Deret Geometri Tak
Terhingga
Barisan Geometri Contoh 5/6
Diketahui barisan tentukanlah :
a. Rumus suku ke-n
b. Suku ke-8
Penyelesaian :
Rasio dua suku berurutan pada barisan adalah tetap, yaitu r = 1/3
sehingga barisan bilangan tersebut merupakan barisan geometri
a. Rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
Bersihkan!!
22. B a r i s a n d a n D e r e t
Barisan Geometri
Deret Geometri
Materi
Deret Geometri Tak
Terhingga
Barisan Geometri Contoh 6/6
b. Suku ke-8 barisan geometri tersebut adalah
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
Diketahui barisan tentukanlah :
a. Rumus suku ke-n
b. Suku ke-8
Penyelesaian :
Bersihkan!!
23. B a r i s a n d a n D e r e t
Deret Geometri
Barisan Geometri
Materi
Deret Geometri Tak
Terhingga
Deret Geometri 1/2
Jika setiap suku barisan geometri tersebut dijumlahkan, maka diperoleh deret
geometri.
Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri.
Bentuk umum :
U1 + U2 + U3 + … + Un atau
a + ar + ar2 + … + arn-1
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
24. B a r i s a n d a n D e r e t
Deret Geometri
Barisan Geometri
Materi
Deret Geometri Tak
Terhingga
Deret Geometri 2/2
Sn = a + ar + ar2 + … + arn-1 … Persamaan 1
Dengan mengalikan kedua ruas persamaan 1 dengan r, didapatkan persamaan
2 berikut :
rSn = ar + ar2 + ar3 + … + arn … Persamaan 2
Sekarang, kurangkan persamaan 1 dengan persamaan 2
Sn – rSn = (a + ar + ar2 + … + arn-1) – (ar + ar2 + ar3 + … + arn)
Sn (1 – r) = a – arn
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri
adalah
Catatan :
Rumus jumlah n
suku pertama
deret geometri :
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
25. B a r i s a n d a n D e r e t
Deret Geometri Tak
Terhingga
Barisan Geometri
Materi
Deret Geometri
Deret Geometri Tak Terhingga 1/6
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan |r| < 1.
Jumlah S dari deret geometri tak hingga adalah
Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga.
Adapun untuk n tak terhingga terdapat dua kasus yang harus kalian
perhatikan, yaitu :
Kasus I
Jika –1 < r < 1, maka rn menuju 0.
Akibatnya,
Deret geometri dengan –1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen
(memusat).
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
26. B a r i s a n d a n D e r e t
Deret Geometri Tak
Terhingga
Barisan Geometri
Materi
Deret Geometri
Deret Geometri Tak Terhingga 2/6
Kasus II
Jika , maka untuk , nilai makin besar.
Untuk dengan n ganjil didapat
Untuk dengan n genap didapat
Untuk didapat
Akibatnya,
Deret geometri dengan ini disebut deret geometri divergen
(memancar).
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
27. B a r i s a n d a n D e r e t
Deret Geometri Tak
Terhingga
Barisan Geometri
Materi
Deret Geometri
Deret Geometri Tak Terhingga Contoh 3/6
1. Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku
ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n
suku pertama deret geometri tersebut!
Penyelesaian :
Didapat r = 2
kengan mensubtitusikan ar = 2 ke persamaan ar = 8
kalian mendapatkan a.2 = 8 sehingga a = 4
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
28. B a r i s a n d a n D e r e t
Deret Geometri Tak
Terhingga
Barisan Geometri
Materi
Deret Geometri
Deret Geometri Tak Terhingga Contoh 4/6
Penyelesaian :
Jumlah n suku pertama deret ini adalah
Jumlah 10 suku pertama deret ini adalah
Catatan :
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
29. B a r i s a n d a n D e r e t
Deret Geometri Tak
Terhingga
Barisan Geometri
Materi
Deret Geometri
Deret Geometri Tak Terhingga Contoh 5/6
2. Tentukanlah nilai x agar deret geometri 1 + x + x2 + x3 + … konvergen
Penyelesaian :
Terlebih dahulu, kalian harus menentukan rasio dari deret tersebut
Agar deret geometri tersebut konvergen, haruslah -1 < r < 1
Sehingga -1 < x < 1
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
Bersihkan!!
30. B a r i s a n d a n D e r e t
Deret Geometri Tak
Terhingga
Barisan Geometri
Materi
Deret Geometri
Deret Geometri Tak Terhingga Contoh 6/6
3. Niko Sentera memotong seutas tali menjadi 5 potong. Panjang kelima
potong tali ini membentuk barisan geometri. Jika potongan yang paling
pendek 2 cm dan potongan yang paling panjang 162 cm,
berapakah panjang tali semua?
Penyelesaian :
Panjang potongan yang paling pendek merupakan U1
sedangkan panjang potongan yang paling panjang merupakan U5
Jadi, U1 = 2 cm dan U5 = 162 cm
Dari U1 = 2 cm, didapat a = 2 cm
Dari U5 = 162 cm, didapat ar4 = 162 cm
Oleh karena a = 2 cm, maka ar4 = 162 cm
Didapat r4 = 81 cm, jadi r = 3
Panjang tali semula merupakan jumlah lima suku pertama deret
geometri tersebut, yaitu
Jadi, panjang tali semula adalah 242 cm
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 /2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
Bersihkan!!
31. B a r i s a n d a n D e r e t
Aplikasi Barisan dan Deret
Barisan dan deret
banyak digunakan
dalam bidang
ekonomi seperti
perbankan, perdagan
gan, dan lain
sebagainya.
Contoh :
Rina menanam modal sebesar Rp 20.000.000,00 dengan bunga majemuk 5%.
Berapakah besar modal setelah dua tahun?
Penyelesaian :
Misalkan :
M = modal awal, M = Rp 20.000.000,00
b = bunga setiap tahun = 5% = 0,05
n = periode, n = 2
Mn = modal setelah ditambah bunga majemuk
Jadi, setelah 2 tahun modalnya menjadi Rp 22.050.000,00
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 /2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
Bersihkan!!
32. B a r i s a n d a n D e r e t
Evaluasi
Pada evaluasi ini, diharapkan Anda untuk menghitung
atau mengerjakan soal-soal secara sungguh-sungguh.
Pilih salah satu opsi jawaban yaitu A, B, C, D, atau E
yang sesuai dengan hasil hitunganmu.
Apabila hasil hitunganmu dinyatakan BENAR, maka
Anda mendapatkan nilai 10
Apabila hasil hitunganmu dinyatakan SALAH, maka
Anda mendapatkan nilai 0
Ready??
Go!!
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
33. B a r i s a n d a n D e r e t
1. Jumlah bilangan-bilangan bulat antara 250 dan
1.000 yang habis dibagi 7 adalah ….
A 66.661
45.692
73.775
54.396
36.456
Jawaban Anda :
Nilai :
Waiting Your Answer
0
S A L A H
0
B E N A R
10
Evaluasi 1 dari 10 soal
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
B
C
D
E
34. B a r i s a n d a n D e r e t
Jawaban Anda :
Nilai :
Waiting Your Answer
0
S A L A H
0
B E N A R
10
2. Jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah
8, dan jumlah semua suku pada urutan genap adalah
. Suku kelima deret tersebut adalah ….
1
Evaluasi 2 dari 10 soal
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
A
B
C
D
E
35. B a r i s a n d a n D e r e t
Jawaban Anda :
Nilai :
Waiting Your Answer
0
S A L A H
0
B E N A R
10
3. Jumlah suku-suku nomor ganjil suatu deret geometri
tak terhingga adalah 4. Rasio deret tersebut adalah .
maka deret tersebut adalah ….
Evaluasi 3 dari 10 soal
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
A
B
C
D
E
36. B a r i s a n d a n D e r e t
Jawaban Anda :
Nilai :
Waiting Your Answer
0
S A L A H
0
B E N A R
10
4. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika adalah
. Suku ke-100 adalah ….
-1
-94
12
6
3
Evaluasi 4 dari 10 soal
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
A
B
C
D
E
37. B a r i s a n d a n D e r e t
Jawaban Anda :
Nilai :
Waiting Your Answer
0
S A L A H
0
B E N A R
10
5. Diketahui deret bilangan 10 + 12 + 14 + 16 + … + 98.
Jumlah bilangan dari deret bilangan yang habis dibagi
2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah ….
Evaluasi 5 dari 10 soal
1.380
1.500
1.980
3.300
4.400
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
A
B
C
D
E
38. B a r i s a n d a n D e r e t
Jawaban Anda :
Nilai :
Waiting Your Answer
0
S A L A H
0
B E N A R
10
Evaluasi 6 dari 10 soal
6. Jumlah 10 suku pertama deret a + a + a + ….
adalah ….
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
A
B
C
E
D
39. B a r i s a n d a n D e r e t
Jawaban Anda :
Nilai :
Waiting Your Answer
0
S A L A H
0
B E N A R
10
Evaluasi 7 dari 10 soal
7. Un adalah suku ke-n suatu deret. Jika suku pertama deret itu
100 dan Un-1 – Un = -6 untuk setiap n, maka jumlah semua
suku deret itu yang positif adalah ….
888
886
884
864
846
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
A D
B
C
E
40. B a r i s a n d a n D e r e t
Jawaban Anda :
Nilai :
Waiting Your Answer
0
S A L A H
0
B E N A R
10
Evaluasi 8 dari 10 soal
8. Hasil kali suku kedua dan suku keempat dari suatu barisan
geometri yang semua sukunya positif adalah 16. jika jumlah
tiga suku pertama adalah 7, maka suku pertamanya adalah ….
4
2
1
0
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
A
B
C
D
E
41. B a r i s a n d a n D e r e t
Jawaban Anda :
Nilai :
Waiting Your Answer
0
S A L A H
0
B E N A R
10
Evaluasi 9 dari 10 soal
9. Tiga bilangan memberikan suatu deret geometri. Jika hasil
kalinya adalah 216 dan jumlahnya adalah 26, maka rasio deret
tersebut adalah ….
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
A
B
C
D
E
42. B a r i s a n d a n D e r e t
Jawaban Anda :
Nilai :
Waiting Your Answer
0
S A L A H
0
B E N A R
10
Evaluasi 10 dari 10 soal
10. Diketahui barisan sepuluh bilangan a1, a2, a3, … , a10. Jika
a1 = 2p + 25, a2 = -p + q, a3 = 3p + 7, dan an+1 – an untuk n =
1, 2, 3, … , 9, maka jumlah semua bilangan itu adalah ….
-240
-220
-200
-180
-160
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
A
B
C
D
E
43. B a r i s a n d a n D e r e t
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
Biografi Fibonacci
Fibonacci adalah seorang
matematikawan Italia yang
dikenal sebagai penemu
bilangan Fibonacci dan
perannya dalam
mengenalkan sistem
penulisan dan perhitungan bilangan
Arab ke dunia Eropa.
Silabus
SK yang akan di capai pada
materi ini yaitu dapat
memahami barisan dan
Deret bilangan serta peng-
gunaannya dalam pemecah-
an masalah.
Selain itu dapat memperhatikan KD
dan Indikator Pencapaian Tujuan serta
Pengalaman belajar untuk barisan dan
deret.
Barisan dan Deret Aritmetika
Barisan aritmetika
adalah suatu barisan
dengan selisih
(beda) antara dua
suku yang berurutan
selalu tetap.
Barisan dan Deret Geometri
Barisan geometri
adalah suatu barisan
dengan perbandingan
(rasio) antara dua suku
yang berurutan selalu
tetap.
Evaluasi Pembelajaran
Untuk memantapkan hasil
pembelajaran, diperlukan
latihan berupa uji kompetensi
yang dikerjakan secara mandiri.
Dengan langkah-langkah
pengerjaan dapat dilihat pada
contoh-contoh yang telah diberikan. Apabila
pemahaman terhadap materi ajar dan
evaluasi sudah dirasa cukup, kegiatan
pembelajaran dapat dilanjutkan ke subpokok
bahasan berikutnya.
Aplikasi Barisan dan Deret
Barisan dan deret banyak digunakan
dalam bidang ekonomi seperti
perbankan, perdagangan, dan lain
sebagainya.
44. B a r i s a n d a n D e r e t
Author
Nama : Dian Pertiwi Sinaga
Tempat/Tgl.Lahir : Tanjungbalai, 18 September 1994
Alamat : Jln.Jend Sudirman Km 2,5
Tanjungbalai
NPM : 120511570
Semester : II - A
E-mail : dianpertiwi_sinaga@yahoo.co.id
Blog : dianmathematics.blogspot.com
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
45. B a r i s a n d a n D e r e t
Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano (1175 - 1250), dikenal juga sebagai
Fibonacci. Fibonacci adalah seorang matematikawan Italia yang dikenal
sebagai penemu bilangan Fibonacci dan perannya dalam mengenalkan
sistem penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dunia Eropa. Fibonacci
Leonardo adalah orang yang memperkenalkan deret. Bapak dari
Leonardo, yaitu Guilielmo (William) mempunyai nama alias Bonacci.
Baliau adalah seseorang yang baik dan sederhana).
Biografi Fibonacci
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
Setelah Leonardo da Pisa meninggal, ia sering disebut sebagai Fibonacci
(dari kata filius Bonacci, yang artinya anak dari Bonacci). William
memimpin sebuah pos perdagangan (pada beberapa catatan disebutkan ia
adalah perwakilan dagang untuk Pisa) di Bugia, Afrika Utara (yang sekarang
sekarang Bejaia, Aljazair). Sebagai anak muda, Leonardo berkelana ke sana
untuk menolong ayahnya. Di sanalah Fibonacci belajar tentang sistem
bilangan Arab.
46. B a r i s a n d a n D e r e t
Melihat sistem bilangan Arab lebih sederhana dan efisien dibandingkan bilangan Romawi, Fibonacci kemudian
berkelana ke penjuru daerah Mediterania untuk belajar kepada matematikawan Arab yang terkenal mada masa
itu, dan baru pulang kembali sekitar tahun 1200-an. Pada 1202, di usia yang ke-27, ia menuliskan apa yang
telah dipelajari dalam buku Liber Abaci (Buku Perhitungan).
Biogarfi Fibonacci
Pendidikan Matematika Universitas Asahan 2012 / 2013
Silabus
Barisan dan Deret
Aritmetika
Barisan dan Deret
Geometri
Aplikasi Barisan
dan Deret
Evaluasi
Dalam buku Liber Abaci, berisi kepraktisan sistem bilangan Arab dengan cara menerapkannya ke dalam
pembukuan dagang, konversi berbagai ukuran dan berat, perhitungan bunga, pertukaran uang dan berbagai
aplikasi lainnya. Buku ini disambut baik oleh kaum terpelajar Eropa, dan menghasilkan dampak yang penting
kepada pemikiran Eropa, meski penggunaannya baru menyebarluas setelah ditemukannya percetakan sekitar
tiga abad berikutnya. (Contohnya, peta dunia Ptolemaus tahun 1482 dicetak oleh Lienhart Holle di Ulm.)
Leonardo pernah menjadi tamu Kaisar Frederick II, yang juga gemar sains dan matematika. Pada tahun
1240, Republik Pisa memberikan penghormatan kepada Leonardo da Pisa, dengan memberikannya gaji.