The document discusses the concepts of sequences and series in mathematics. It begins by defining an arithmetic sequence as a sequence where the difference between consecutive terms is constant. The general form of an arithmetic sequence is given as U1, U2, U3, ..., Un where Un = a + (n-1)b, with a as the first term and b as the common difference. It further explains that the sum of terms in an arithmetic sequence is called an arithmetic series. An example is worked through to find the formula for the n-th term and a specific term in a given arithmetic sequence. Sigma notation for writing sequences and series is also introduced.
Dokumen tersebut membahas relasi rekursif dan cara menyelesaikannya dengan menggunakan persamaan karakteristik dan teorema-teorema yang terkait. Secara singkat, relasi rekursif adalah persamaan yang menyatakan suatu deret bilangan dalam bentuk deret sebelumnya, dan dapat diselesaikan dengan menentukan akar-akar persamaan karakteristiknya.
1. Barisan (xn) terbatas dan monoton turun. Limitnya adalah 2.
2. Barisan (xn) terbatas antara 0 dan 1/2 dan monoton naik. Limitnya adalah 1/2.
3. Barisan (xn) terbatas dibawah oleh √a dan monoton turun. Limitnya adalah √a.
Dokumen tersebut membahas relasi rekurensi, yang merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi numerik dengan dirinya sendiri atau fungsi sebelumnya. Relasi rekurensi dapat berupa linier atau non-linier, homogen atau non-homogen, dan metode penyelesaiannya bergantung pada akar karakteristik dari persamaan terkait. Contoh relasi rekurensi dan cara penyelesaiannya juga diberikan.
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
(1) Dokumen tersebut membahas tentang teori bilangan dan konsep pembagian bilangan bulat;
(2) Terdapat definisi dan teorema-teorema yang menjelaskan relasi antara bilangan yang membagi bilangan lain;
(3) Beberapa contoh soal dan pembahasan juga disajikan untuk membuktikan teorema-teorema tersebut.
Dokumen tersebut membahas relasi rekursif dan cara menyelesaikannya dengan menggunakan persamaan karakteristik dan teorema-teorema yang terkait. Secara singkat, relasi rekursif adalah persamaan yang menyatakan suatu deret bilangan dalam bentuk deret sebelumnya, dan dapat diselesaikan dengan menentukan akar-akar persamaan karakteristiknya.
1. Barisan (xn) terbatas dan monoton turun. Limitnya adalah 2.
2. Barisan (xn) terbatas antara 0 dan 1/2 dan monoton naik. Limitnya adalah 1/2.
3. Barisan (xn) terbatas dibawah oleh √a dan monoton turun. Limitnya adalah √a.
Dokumen tersebut membahas relasi rekurensi, yang merupakan persamaan yang menghubungkan suatu fungsi numerik dengan dirinya sendiri atau fungsi sebelumnya. Relasi rekurensi dapat berupa linier atau non-linier, homogen atau non-homogen, dan metode penyelesaiannya bergantung pada akar karakteristik dari persamaan terkait. Contoh relasi rekurensi dan cara penyelesaiannya juga diberikan.
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
(1) Dokumen tersebut membahas tentang teori bilangan dan konsep pembagian bilangan bulat;
(2) Terdapat definisi dan teorema-teorema yang menjelaskan relasi antara bilangan yang membagi bilangan lain;
(3) Beberapa contoh soal dan pembahasan juga disajikan untuk membuktikan teorema-teorema tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang grup siklik, termasuk definisi, contoh, teorema, dan latihan soalnya. Grup siklik dijelaskan sebagai grup yang dibangun oleh satu generator, dan subgrup siklik adalah subgrup yang dibangun oleh satu unsur. Beberapa contoh grup siklik dan subgrup siklik diberikan beserta buktinya.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan kuadrat dan cara-cara penyelesaiannya, termasuk menggunakan rumus, diskriminan, dan jenis-jenis akar. Juga dibahas tentang menyusun persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat.
Sistem Persamaan Linear (SPL) Aljabar Linear ElementerKelinci Coklat
Sistem persamaan linear dibahas meliputi solusi dengan operasi baris elemen, matriks invers, dan aplikasinya dalam berbagai bidang seperti rangkaian listrik dan model ekonomi."
Dokumen ini membahas integral lipat tiga pada koordinat tabung dan koordinat bola. Koordinat tabung dan bola digunakan untuk mempermudah perhitungan integral lipat tiga pada benda pejal dengan sumbu simetri. Metode partisi dengan elemen volume tabung atau bola digunakan untuk mendekati integral menjadi rumus baru yang bergantung pada koordinat tabung atau bola. Contoh soal integral lipat tiga pada tabung lingkaran dan benda pejal homogen di batasi oleh
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Dokumen tersebut membahas tentang garis singgung lingkaran, termasuk rumus untuk menentukan panjang garis singgung dari titik di luar lingkaran, persamaan garis singgung jika titik singgung diketahui, dan persamaan garis singgung jika gradiennya diketahui. Juga dijelaskan contoh penerapan rumus-rumus tersebut.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai beberapa jenis transformasi geometri bidang, yaitu refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi. Refleksi dibahas terkait sumbu koordinat, garis, dan titik pusat. Translasi dijelaskan dengan matriks transformasi. Rotasi dan dilatasi juga dijelaskan dengan menggunakan matriks transformasi. Beberapa contoh soal diberikan untuk memperjelas penjelasan setiap jenis transform
Makalah Persamaan Deferensial NON EKSAKRaden Ilyas
Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial tidak eksak dengan metode faktor integral. Metode ini melibatkan pengalian persamaan diferensial dengan suatu fungsi u yang disebut faktor integral untuk mengubahnya menjadi persamaan diferensial eksak yang dapat diselesaikan dengan metode integral. Faktor integral dapat berupa fungsi x saja, y saja, atau fungsi x dan y. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta penye
Terdapat tiga lingkaran yang berpotongan di dua titik. Berkas lingkaran adalah himpunan semua lingkaran yang melalui titik-titik potong tersebut, yang ditentukan oleh persamaan L1+λL2=0 dimana λ adalah konstanta. Kuasa suatu titik terhadap lingkaran menunjukkan letak titik tersebut relatif terhadap lingkaran.
Dokumen tersebut membahas tentang metode numerik dan teknik komputasi. Ia menjelaskan tujuan pembelajaran untuk memberikan pengetahuan tentang pendekatan numerik dan algoritma untuk menyelesaikan berbagai masalah rekayasa serta pokok bahasan seperti deret Taylor, analisis galat, dan penyelesaian persamaan linier dan nonlinier.
Dokumen tersebut membahas tentang grup siklik, termasuk definisi, contoh, teorema, dan latihan soalnya. Grup siklik dijelaskan sebagai grup yang dibangun oleh satu generator, dan subgrup siklik adalah subgrup yang dibangun oleh satu unsur. Beberapa contoh grup siklik dan subgrup siklik diberikan beserta buktinya.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan kuadrat dan cara-cara penyelesaiannya, termasuk menggunakan rumus, diskriminan, dan jenis-jenis akar. Juga dibahas tentang menyusun persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat.
Sistem Persamaan Linear (SPL) Aljabar Linear ElementerKelinci Coklat
Sistem persamaan linear dibahas meliputi solusi dengan operasi baris elemen, matriks invers, dan aplikasinya dalam berbagai bidang seperti rangkaian listrik dan model ekonomi."
Dokumen ini membahas integral lipat tiga pada koordinat tabung dan koordinat bola. Koordinat tabung dan bola digunakan untuk mempermudah perhitungan integral lipat tiga pada benda pejal dengan sumbu simetri. Metode partisi dengan elemen volume tabung atau bola digunakan untuk mendekati integral menjadi rumus baru yang bergantung pada koordinat tabung atau bola. Contoh soal integral lipat tiga pada tabung lingkaran dan benda pejal homogen di batasi oleh
Jawaban latihan soal bagian 2.2 pada buku Analisis Real karangan Drs. Sutrima, M.SI
cetakan : pertama, Juni 2010
penerbit : Javatechno Publisher (Jln. Ahmad Yani 365A, Kartasura, Sukoharjo, Jawa Tengah, Indonesia - 57162
Dokumen tersebut membahas tentang garis singgung lingkaran, termasuk rumus untuk menentukan panjang garis singgung dari titik di luar lingkaran, persamaan garis singgung jika titik singgung diketahui, dan persamaan garis singgung jika gradiennya diketahui. Juga dijelaskan contoh penerapan rumus-rumus tersebut.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai beberapa jenis transformasi geometri bidang, yaitu refleksi, translasi, rotasi, dan dilatasi. Refleksi dibahas terkait sumbu koordinat, garis, dan titik pusat. Translasi dijelaskan dengan matriks transformasi. Rotasi dan dilatasi juga dijelaskan dengan menggunakan matriks transformasi. Beberapa contoh soal diberikan untuk memperjelas penjelasan setiap jenis transform
Makalah Persamaan Deferensial NON EKSAKRaden Ilyas
Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian persamaan diferensial tidak eksak dengan metode faktor integral. Metode ini melibatkan pengalian persamaan diferensial dengan suatu fungsi u yang disebut faktor integral untuk mengubahnya menjadi persamaan diferensial eksak yang dapat diselesaikan dengan metode integral. Faktor integral dapat berupa fungsi x saja, y saja, atau fungsi x dan y. Beberapa contoh soal juga diberikan beserta penye
Terdapat tiga lingkaran yang berpotongan di dua titik. Berkas lingkaran adalah himpunan semua lingkaran yang melalui titik-titik potong tersebut, yang ditentukan oleh persamaan L1+λL2=0 dimana λ adalah konstanta. Kuasa suatu titik terhadap lingkaran menunjukkan letak titik tersebut relatif terhadap lingkaran.
Dokumen tersebut membahas tentang metode numerik dan teknik komputasi. Ia menjelaskan tujuan pembelajaran untuk memberikan pengetahuan tentang pendekatan numerik dan algoritma untuk menyelesaikan berbagai masalah rekayasa serta pokok bahasan seperti deret Taylor, analisis galat, dan penyelesaian persamaan linier dan nonlinier.
Dokumen tersebut membahas tentang pembelajaran matematika mengenai barisan dan deret aritmatika serta geometri untuk siswa kelas XI SMA semester I yang mencakup kompetensi inti, kompetensi dasar, tujuan pembelajaran, dan karakter yang dikembangkan."
Baris dan Deret Contoh Soal dan PembahasanBhetari Widya
Dokumen berisi soal-soal matematika tentang barisan dan deret serta pembahasannya. Soal pertama mengenai hitungan panjang lintasan bola yang dijatuhkan dari ketinggian 10 meter dan memantul 3/4 dari ketinggian sebelumnya. Soal kedua mengenai penentuan besar barisan geometri berdasarkan hasil kali dan penjumlahannya. Soal ketiga mengenai penentuan jumlah dua suku pertama deret geometri tak hingga berdasarkan jumlah suku
Dokumen ini membahas tentang barisan dan deret aritmatika. Ia menjelaskan pengertian barisan aritmatika, rumus umum untuk mencari suku ke-n pada barisan, dan contoh soal. Dokumen juga menjelaskan pengertian deret aritmatika, rumus untuk mencari jumlah n suku pertama pada deret, dan contoh soal.
Dokumen tersebut membahas tentang barisan dan deret aritmatika serta geometri. Terdapat rumus-rumus untuk menentukan suku ke-n, jumlah suku, dan suku tengah pada barisan dan deret tersebut. Juga contoh soal untuk menerapkan rumus-rumus tersebut.
Teks tersebut membahas tentang pola bilangan, barisan aritmatika, dan deret aritmatika. Ia menjelaskan definisi dan rumus-rumus dasar untuk menghitung suku ke-n pada barisan aritmatika dan jumlah n suku pertama pada deret aritmatika. Contoh soal juga diberikan beserta penyelesaiannya untuk menerapkan konsep tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang barisan dan deret geometri. Barisan geometri didefinisikan sebagai barisan bilangan dengan rasio antara dua suku berurutan yang tetap. Rumus suku ke-n barisan geometri adalah Un = arn-1, dimana a adalah suku pertama dan r adalah rasio. Deret geometri didefinisikan sebagai penjumlahan masing-masing suku barisan geometri, dengan rumus jumlah n suku deret geometri S_n = (a(1-r
Dokumen tersebut membahas tentang barisan dan deret bilangan. Secara singkat, dibahas tentang (1) pengertian pola bilangan seperti bilangan ganjil, genap, segitiga, persegi, dan persegi panjang, (2) pola bilangan pada segitiga Pascal beserta rumusnya, dan (3) pengertian barisan aritmatika dan deret aritmatika serta rumus untuk menentukan suku ke-n dan jumlah n suku pertama.
The document discusses matrices and determinants. It defines different types of matrices like rectangular, square, diagonal, scalar, row, column, identity and zero matrices. It explains how to find the determinant of matrices of order 1, 2 and 3 by expansion along the first row. It also defines minors, cofactors and properties of determinants. It describes how to perform row and column operations to evaluate determinants.
1. The document discusses matrices and determinants, including types of matrices like rectangular, square, diagonal, and scalar matrices.
2. It defines determinants and provides rules for computing determinants of matrices of order 2 and 3 by expanding along rows or columns.
3. Key concepts covered include minors, cofactors, properties of determinants like how row operations affect the determinant value, and examples of computing determinants.
The document discusses matrices and determinants. It defines different types of matrices like rectangular, square, diagonal, scalar, row, column, identity and zero matrices. It explains how to find the determinant of matrices of order 1, 2 and 3 by expansion along the first row. It also defines minors, cofactors and properties of determinants. It describes how to perform row and column operations to evaluate determinants. Finally, it provides examples to calculate determinants.
1. The document discusses matrices and determinants. It defines different types of matrices such as rectangular, square, diagonal, scalar, row, column, identity, zero, upper triangular, and lower triangular matrices.
2. It explains how to calculate determinants of matrices. The determinant of a 1x1 matrix is the single element. The determinant of a 2x2 matrix is calculated using a formula. Determinants of higher order matrices are calculated by expanding along rows or columns.
3. It introduces concepts of minors, cofactors, and explains how the value of a determinant can be written in terms of its minors and cofactors. It also lists some properties and operations for determinants.
This document discusses arithmetic and geometric sequences and series. It provides examples of finding terms in sequences, determining common differences or ratios, and calculating partial sums and infinite sums. Key concepts covered include using formulas to find the nth term, the sum of the first n terms, and determining whether an infinite series has a sum based on the common ratio. Examples demonstrate applying these concepts to problems involving sales projections, seating in an auditorium, and calculating partial sums of sequences.
The document is a maths project report for class 12th student Tabrez Khan on the topic of determinants. It contains definitions and properties of determinants of order 1, 2 and 3 matrices. It discusses minors, cofactors and applications of determinants like solving systems of linear equations using Cramer's rule. It also contains examples of evaluating determinants and applying properties of determinants to simplify expressions.
This document provides information about arithmetic sequences and circles. It defines arithmetic sequences as sequences where each term is found by adding a common difference to the previous term. It gives examples and discusses finding the general term and sum of an arithmetic sequence. The document also defines circles terms like diameter, chord, arc, segment, and discusses properties of angles related to circles and cyclic quadrilaterals. It provides examples applying the circle concepts.
S&S Game is an Mathematics Game for Junior High School Students in year 8. It created in order to help teachers do an interactive learning, especially in sequences and series topic for grade 8. In this platform, it's only as a file review and uploaded in pdf format, so the macro designed in this game was unabled to show. If you mind to use the game, it's free to ask the creator for the pptm format of the game, so you can use the game perfectly.
Arithmetic progressions - Poblem based Arithmetic progressionsLet's Tute
Arithmetic progressions - problem based Arithmetic progressions.
Lets tute is an online learning centre. We provide quality education for all learners and 24/7 academic guidance through E-tutoring.
Our Mission- Our aspiration is to be a renowned unpaid school on Web-World.
Contact Us -
Website - www.letstute.com
YouTube - www.youtube.com/letstute
This document discusses geometric sequences and series. It begins by defining key terms like geometric sequence, common ratio, and geometric mean. Examples are provided to show how to determine if a sequence is geometric, find subsequent terms using the common ratio, and calculate geometric means and sums of geometric series. The document aims to teach students how to work with geometric sequences and series.
1. The document discusses quadratic functions and their graphical representations. It covers topics like the coordinate plane, locating points, and evaluating quadratic functions.
2. Several examples are provided of locating points in the coordinate plane and plotting quadratic functions based on their equations.
3. Practice problems are included at the end for evaluating expressions related to quadratic functions.
Review of Trigonometry for Calculus “Trigon” =triangle +“metry”=measurement =...KyungKoh2
Review of Trigonometry for Calculus “Trigon” =triangle +“metry”=measurement =Trigonometry so Trigonometry got its name as the science of measuring triangles.
This document discusses geometric sequences and series. It defines geometric sequences as sequences where each term is the previous term multiplied by a constant ratio. It provides the formula to find the nth term of a geometric sequence. Geometric series are the sums of finite geometric sequences. The formula for the nth partial sum of a geometric series is presented. The document discusses when a geometric series converges to a limit based on the common ratio. Examples are provided to demonstrate calculating terms and sums of geometric sequences and series.
This PowerPoint was created to help out graduating seniors who are taking the TAKS Mathematics Exit-Level test. It includes formulas, rules & things that they need to remember to pass the test.
This document provides information about geometric and arithmetic sequences. It defines geometric sequences as sequences where the ratio of successive terms is always the same number, called the common ratio. Arithmetic sequences are defined as sequences where each term is calculated by adding the same number, called the common difference, to the previous term. Several examples of determining common ratios and differences are provided, as well as formulas for calculating terms in geometric and arithmetic sequences.
The document contains 18 math word problems with their step-by-step solutions. The problems cover a range of topics including arithmetic sequences, geometric sequences, percentages, factorials, trigonometry, and more. The final problem asks to find the 12th term of a sequence where the first two terms are 3 and 2, and subsequent terms are the sum of all preceding terms. The solution shows this forms a geometric sequence and calculates the 12th term as 2,560.
- The document discusses determinants of square matrices, including how to calculate the determinant of matrices of various orders, properties of determinants, and some applications of determinants.
- Key concepts covered include minors, cofactors, expanding determinants in terms of minors and cofactors, properties such as how determinants change with row/column operations, and using determinants to solve systems of linear equations.
- Examples are provided to demonstrate calculating determinants and using properties to simplify or prove identities about determinants.
This document provides formulas and examples for various topics in mathematics including algebra, geometry, calculus, trigonometry, and statistics. It lists formulas for quadratic equations, indices, logarithms, arithmetic and geometric progressions, coordinate geometry concepts like distance between points and midpoint, differentiation, integration, vectors, and trigonometric functions. Examples are given for solving simultaneous equations using a calculator, finding the area of a triangle, calculating mean and standard deviation, and solving trigonometric equations. The document is intended as a quick reference guide for mathematical formulas and calculations.
1. The document discusses coordinate planes and ordered pairs. It provides examples of locating points in the coordinate plane using ordered pairs like (3, -5).
2. Several examples of linear and quadratic functions are shown, including plotting points for functions like y=2x+7 and finding outputs for inputs.
3. The last section provides practice problems for identifying properties of quadratic functions, like finding the sum of coefficients a, b, and c.
Presentation of Arithmatic sequence Series Created by Ambreen koondhar.pptxsadafkoondhar
The document presents on the topic of arithmetic sequences and series. It defines an arithmetic sequence as a sequence where the differences between successive terms are the same. An arithmetic series is defined as the sum of terms in an arithmetic sequence. It provides an example of an arithmetic sequence where each term is obtained by adding 3 to the previous term. The document also presents the formulas for finding the nth term and the sum of the first n terms (arithmetic series) of a sequence where the first term is a and the common difference is d. It provides an example problem demonstrating how to use the formula to calculate the sum of earnings over the first 5 years given the initial earning and yearly increase amounts.
3. Hal.: 3 BARISAN DAN DERET AdaptifHal.: 3
Pola Barisan dan Deret Bilangan
Kompetensi Dasar :
Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika
Indikator :
1. Nilai suku ke- n suatu barisan aritmatika ditentukan
menggunakan rumus
2. Jumlah n suku suatu deret aritmatika ditentukan dengan
menggunakan rumus
4. Hal.: 4 BARISAN DAN DERET AdaptifHal.: 4
The Pattern of Sequence and Series Number
Basic Competence:
Applying the concept of arithmetic sequence and
series
Indicator :
1. The value of n-th term in an arithmetic sequence is defined
by formula
2. The sum of n in term of arithmetic sequence is defined by
formula
5. Hal.: 5 BARISAN DAN DERET AdaptifHal.: 5
Saat mengendarai motor, pernahkah kalian mengamati
speedometer pada motor tersebut?
Pada speedometer terdapat angka-angka 0,20, 40, 60, 80, 100,
dan 120 yang menunjukkan kecepatan motor saat kalian
mengendarainya. Angka-angka ini berurutan mulai dari
yang terkecil ke yang terbesar dengan pola tertentu sehingga
membentuk sebuah pola barisan
Pola Barisan dan Deret Bilangan
6. Hal.: 6 BARISAN DAN DERET AdaptifHal.: 6
When you ride a motor cycle, have you ever look at the
speeedometer?
In speedometer,there are numbers of 0,20, 40, 60, 80, 100, and
120 which show the speed of your motor cycle. These numbers
are un order, starts from the smallest to the biggest with certain
pattern, so that it forms a pattern of sequence
The Pattern of Sequence and Series Number
7. Hal.: 7 BARISAN DAN DERET AdaptifHal.: 7
Bayangkan anda seorang penumpang taksi. Dia harus membayar biaya buka pintu
Rp 15.000 dan argo Rp 2.500 /km.
15.000 17.500 20.000 22.500 …….
Buka pintu 1 km 2 km 3 km 4 km
Pola Barisan dan Deret Bilangan
8. Hal.: 8 BARISAN DAN DERET Adaptif
Imagine that you are a taxi passenger. You have to pay the starting fee Rp 15.000
and it charge Rp 2.500 /km.
15.000 17.500 20.000 22.500 …….
Starting fee 1 km 2 km 3 km 4 km
The Pattern of Sequence and Series Number
9. Hal.: 9 BARISAN DAN DERET Adaptif
NOTASI SIGMA
Konsep Notasi Sigma
Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ……….. (1)
Pada bentuk (1)
Suku ke-1 = 1 = 2.1 – 1
Suku ke-2 = 3 = 2.2 – 1
Suku ke-3 = 5 = 2.3 – 1
Suku ke-4 = 7 = 2.4 – 1
Suku ke-5 = 9 = 2.5 – 1
Suku ke-6 = 11 = 2.6 – 1
Secara umum suku ke-k pada (1) dapat dinyatakan
dalam bentuk 2k – 1, k ∈ { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
10. Hal.: 10 BARISAN DAN DERET Adaptif
SIGMA NOTATION
The Concept of Sigma Notation
Look at the sum of the first sixth odd number below:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 ……….. (1)
In the form(1)
The 1st
term = 1 = 2.1 – 1
The 2nd
term= 3 = 2.2 – 1
The 3rd
term = 5 = 2.3 – 1
The 4th
term = 7 = 2.4 – 1
The 5th
term = 9 = 2.5 – 1
The 6th
term = 11 = 2.6 – 1
Generally, the k-th term in (1) can be stated in the form of
2k – 1, k ∈ { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
11. Hal.: 11 BARISAN DAN DERET Adaptif
NOTASI SIGMA
Dengan notasi sigma bentuk penjumlahan (1) dapat
ditulis :
∑=
=+++++
6
1k
1)-(2k1197531
12. Hal.: 12 BARISAN DAN DERET Adaptif
SIGMA NOTATION
In Sigma notation, the addition form (1) can be
written as:
∑=
=+++++
6
1k
1)-(2k1197531
13. Hal.: 13 BARISAN DAN DERET Adaptif
Bentuk ∑
=
−
6
1
)12(
k
k
dibaca “sigma 2k – 1 dari k =1 sampai dengan 6”
atau “jumlah 2k – 1 untuk k = 1 sd k = 6”
1 disebut batas bawah dan
6 disebut batas atas,
k dinamakan indeks
(ada yang menyebut variabel)
∑
=
−−
9
4
)1)3(2(
k
k ∑
=
−
9
4
)72(
k
k
NOTASI SIGMA
14. Hal.: 14 BARISAN DAN DERET Adaptif
In the form
of
∑
=
−
6
1
)12(
k
k
It is read “sigma 2k – 1 from k =1 to 6” or “the sum
of 2k – 1 for k = 1 sd k = 6”
1 is called lower limit and
6 is called upper limit,
k is called index (some people
called it variable)
∑
=
−−
9
4
)1)3(2(
k
k ∑
=
−
9
4
)72(
k
k
SIGMA NOTATION
17. Hal.: 17 BARISAN DAN DERET Adaptif
Nyatakan dalam bentuk sigma
1. a + a2
b + a3
b2
+ a4
b3
+ … + a10
b9
∑ −
=
10
1k
)1kbk(a
)142()132()122()112()12(
4
1
+⋅++⋅++⋅++⋅=+∑=k
k
Contoh:
249753 =+++=
Hitung nilai dari:
NOTASI SIGMA
18. Hal.: 18 BARISAN DAN DERET Adaptif
Stated into sigma form
1. a + a2
b + a3
b2
+ a4
b3
+ … + a10
b9
∑ −
=
10
1k
)1kbk(a
)142()132()122()112()12(
4
1
+⋅++⋅++⋅++⋅=+∑=k
k
Example:
249753 =+++=
Define the value of
SIGMA NOTATION
19. Hal.: 19 BARISAN DAN DERET Adaptif
NOTASI SIGMA
nn
n
1n
bCabC...baCbaCbaCa n
1n
33nn
3
22nn
2
1nn
1
n
++++++ −
−
−−−
∑
=
−
n
0r
rrnn
r
baC
2. (a + b)n
=
20. Hal.: 20 BARISAN DAN DERET Adaptif
SIGMA NOTATION
nn
n
1n
bCabC...baCbaCbaCa n
1n
33nn
3
22nn
2
1nn
1
n
++++++ −
−
−−−
∑
=
−
n
0r
rrnn
r
baC
2. (a + b)n
=
21. Hal.: 21 BARISAN DAN DERET Adaptif
Sifat-sifat Notasi Sigma :
, Untuk setiap bilangan bulat a, b dan n
.....1 321
1
n
n
k
aaaaak +++=∑=
∑∑ ==
=
n
mk
n
mk
akCCak.2
∑∑∑ ===
+=+
n
mk
n
mk
n
mk
bkakbkak )(.3
∑∑
+
+==
−
pn
pmk
n
mk
pakak.4
CmnC
n
mk
)1(.5 +−=∑=
∑∑∑ ==
−
=
=+
n
mk
n
pk
p
mk
akakak
1
.6
0.7
1
=∑
=
=
m
mk
ak
NOTASI SIGMA
22. Hal.: 22 BARISAN DAN DERET Adaptif
The properties of sigma notation :
, For every integer a, b and n
.....1 321
1
n
n
k
aaaaak +++=∑=
∑∑ ==
=
n
mk
n
mk
akCCak.2
∑∑∑ ===
+=+
n
mk
n
mk
n
mk
bkakbkak )(.3
∑∑
+
+==
−
pn
pmk
n
mk
pakak.4
CmnC
n
mk
)1(.5 +−=∑=
∑∑∑ ==
−
=
=+
n
mk
n
pk
p
mk
akakak
1
.6
0.7
1
=∑
=
=
m
mk
ak
SIGMA NOTATION
23. Hal.: 23 BARISAN DAN DERET Adaptif
NOTASI SIGMA
Contoh1:
Tunjukkan bahwa
Jawab :
∑∑ ==
+=+
3
1
3
1
)24()24(
jk
ji
30)33.4()22.4()21.4()24(
3
1
=+++++=+∑=i
i
30)23.4()22.4()21.4()24(
3
1
=+++++=+∑=j
j
24. Hal.: 24 BARISAN DAN DERET Adaptif
SIGMA NOTATION
Example 1:
Show that
Answer :
∑∑ ==
+=+
3
1
3
1
)24()24(
jk
ji
30)33.4()22.4()21.4()24(
3
1
=+++++=+∑=i
i
30)23.4()22.4()21.4()24(
3
1
=+++++=+∑=j
j
26. Hal.: 26 BARISAN DAN DERET Adaptif
SIGMA NOTATION
∑∑ ==
+
6
4
2
3
1
2
66
kk
kk
∑∑∑∑ ====
==+
6
1
2
6
1
2
6
4
2
3
1
2
6666
kkkk
kkkk
Define the value of
Example 2 :
Answer:
= 6 (12
+22
+ 32
+ 42
+ 52
+ 62
)
= 6 (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)
= 6.91 = 546
27. Hal.: 27 BARISAN DAN DERET Adaptif
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
Bilangan-bilangan berurutan seperti pada speedometer memiliki selisih yang
sama untuk setiap dua suku berurutannya sehingga membentuk suatu barisan
bilangan
Barisan Aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda)
dua suku yang berurutan selalu tetap
Bentuk Umum :
U1, U2, U3, …., Un
a, a + b, a + 2b,…., a + (n-1)b
Pada barisan aritmatika,berlaku Un – Un-1 = b sehingga Un= Un-1 + b
28. Hal.: 28 BARISAN DAN DERET Adaptif
ARITHMETIC SEQUENCE AND SERIES
The orderly numbers like in speedometer have the same difference for
every two orderly term, so it forms a sequence
Arithmetic sequence is sequence with difference two orderly term
constant
The general form is :
U1, U2, U3, …., Un
a, a + b, a + 2b,…., a + (n-1)b
In arithmetic sequence, we have Un – Un-1 = b, so Un= Un-1 + b
30. Hal.: 30 BARISAN DAN DERET Adaptif
If you start arithmetic sequence with the first term a and difference b, then
you will get this following sequence
The n-th term of arithmetic sequence is Un = a + ( n – 1 )b
Where Un = n-th term
a = the first term
b = difference
n = the term’s quantity
ARITHMETIC SEQUENCE AND SERIES
a a + b a + 2b a + 3b …. a + (n-1)b
31. Hal.: 31 BARISAN DAN DERET AdaptifHl.: 31
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA
32. Hal.: 32 BARISAN DAN DERET Adaptif
If every term of arithmetic sequence is added, then we will get arithmetic
series.
Arithmetic series is the sum of terms of arithmetic sequence
General form :
U1 + U2 + U3 + … + Un atau
a + (a +b) + (a+2b) +… + (a+(n-1)b)
The formula of the sum of the first term in arithmetic series is
Where S = the sum of n-th term
n = the quantity of term
a = the first term
b = difference
= n-th term
ARITHMETIC SEQUENCE AND SERIES
( )bna
n
Sn )1(2
2
−+=
34. Hal.: 34 BARISAN DAN DERET Adaptif
Known: the sequence of 5, -2, -9, -16,…., find:
a.The formula of n-th term
b.The 25th
term
Answer:
The difference of two orderly terms in sequence 5,-2, -9,-16 ,…is constant, b= -7,
so that the sequence is an arithmetic sequence
a.The formula of the n-th term in arithmetic sequence is
Un = 5 + ( n – 1 ). -7
Un = 5 + - 7n + 7
Un = -7n + 12
b. The 25th
term of arithmetic sequence is : U12 = - 7.12 + 12
= - 163
ARITHMETIC SEQUENCE AND SERIES
35. Hal.: 35 BARISAN DAN DERET Adaptif
Barisan geometri adalah suatu barisan dengan
pembanding (rasio) antara dua suku yang
berurutan selalu tetap.
Ada selembar kertas biru, akan dipotong-potong menjadi dua bagian.
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
36. Hal.: 36 BARISAN DAN DERET Adaptif
Geometric sequence is a sequence which has
the constant ratio between two orderly term
There is blue paper. It will cut into two pieces
GEOMETRIC SEQUENCE AND SERIES
38. Hal.: 38 BARISAN DAN DERET Adaptif
Look at the paper part that form a sequence
Every two orderly terms of the sequence have the same ratio
It seems that the ratio of every two orderly terms in the sequence is
always constant. The sequence like this is called geometric
sequence and the comparison of every two orderly term is called
ratio (r)
1 2 4
U1 U2 U3
2....
12
3
1
2
====
−n
n
U
U
U
U
U
U
GEOMETRIC SEQUENCE AND SERIES
39. Hal.: 39 BARISAN DAN DERET AdaptifHal.: 39
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
40. Hal.: 40 BARISAN DAN DERET Adaptif
Geometric sequence is a sequence which have constant
ratio for two orderly term
General form: U1, U2, U3, …., Un atau
a, ar, ar2
, …., arn-1
In geometric sequence
If you start the geometric sequence with the first term a
and the ratio is r, then you get the following sequence
GEOMETRIC SEQUENCE AND SERIES
r
U
U
n
n
=
−1
1. −= nn UrsehinggaU
41. Hal.: 41 BARISAN DAN DERET Adaptif
Suku ke-n barisan Geometri adalah :
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
42. Hal.: 42 BARISAN DAN DERET Adaptif
The n-th term of geometric sequence is :
GEOMETRIC SEQUENCE AND SERIES
Start With the
first term a
Multiply with
ratio r
Write the
multiplication
result
43. Hal.: 43 BARISAN DAN DERET Adaptif
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Hubungan suku-suku barisan geometri
Seperti dalam barisan Aritmatika hubungan antara suku
yang satu dan suku yang lain dalam barisan geometri dapat
dijelaskan sebagai berikut:
Ambil U12 sebagai contoh :
U12 = a.r11
U12 = a.r9
.r2
= U10. r2
U12 = a.r8
.r3
= U9. r3
U12 = a.r4
.r7
= U5. r7
U12 = a.r3
.r8
= U4.r8
Secara umum dapat dirumuskan bahwa :
Un = Uk. rn-k
44. Hal.: 44 BARISAN DAN DERET Adaptif
GEOMETRIC SEQUENCE AND SERIES
The relation of terms in geometric sequence
Like in arithmetic sequence, the relation between terms in
geometric sequence can be explained as follows:
Take U12 as example :
U12 = a.r11
U12 = a.r9
.r2
= U10. r2
U12 = a.r8
.r3
= U9. r3
U12 = a.r4
.r7
= U5. r7
U12 = a.r3
.r8
= U4.r8
Generally, it can be formulated
Un = Uk. rn-k
46. Hal.: 46 BARISAN DAN DERET Adaptif
GEOMETRIC SEQUENCE AND SERIES
Geometric series is the sum of terms in geometric sequence
General form
U1 + U2 + U3 + …. + Un
a + ar + ar2
+ ….+ arn-1
The formula of the n sum of the first term in geometric series is
1,
1
)1(
<
−
−
= r
r
ra
S
n
n
48. Hal.: 48 BARISAN DAN DERET Adaptif
GEOMETRIC SEQUENCE AND SERIES
Known sequence 27, 9, 3, 1, …..find
a.The formula of the n-th term
b. The 8th
term
Answer:
The ratio of two orderly terms in sequence 27,9,3, 1, …is constant,
so that the sequence is a geometric sequence
a. The formula of the n-th term in geometric sequence is
3
1
=r
1
3
1
27
−
=
n
nU
113
)3.(3 −−
= n
13
3.3 +−
= n
n−
= 4
3
49. Hal.: 49 BARISAN DAN DERET Adaptif
GEOMETRIC SEQUENCE AND SERIES
b. The 8th term of geometric sequence is
84
8 3 −
=U
4
3−
=
81
1
=
n
nU −
= 4
3
50. Hal.: 50 BARISAN DAN DERET Adaptif
Deret geometi tak hingga adalah deret geometri yang banyak suku-
sukunya tak hingga.
Jika deret geometri tak hingga dengan -1 < r < 1 , maka jumlah deret
geometri tak hingga tersebut mempunyai limit jumlah (konvergen).
Untuk n = ∞ , rn
mendekati 0
Sehingga S∞ =
Dengan S∞ = Jumlah deret geometri tak hingga
a = Suku pertama
r = rasio
Jika r < -1 atau r > 1 , maka deret geometri tak hingganya akan divergen,
yaitu jumlah suku-sukunya tidak terbatas
Deret Geometri tak hingga
r
a
−1
r
ra
Sn
n
−
−
=
1
)1(
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
51. Hal.: 51 BARISAN DAN DERET Adaptif
Infinite geometric series is a geometric series which has infinite terms.
If infinite geometric series is -1 < r < 1 , then the sum of geometric series
has sum limit (convergent).
For n = ∞ , rn
is close to 0
So S∞ =
With S∞ = the sum of infinite geometric series
a = the first term
r = ratio
If r < -1 or r > 1 , then the infinite geometric series will be divergent,
means the sum of terms is not limited
Infinite Geometric Series
r
a
−1
r
ra
Sn
n
−
−
=
1
)1(
GEOMETRIC SEQUENCE AND SERIES
52. Hal.: 52 BARISAN DAN DERET Adaptif
1. Hitung jumlah deret geometri tak hingga : 18 + 6 + 2 + … . .
Contoh :
3
1
2
3
1
2
===
u
u
u
u
r
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
27
3
2
18
3
1
1
18
1
==
−
=
−
=∞
r
a
s
Jawab :
a = 18 ;
53. Hal.: 53 BARISAN DAN DERET Adaptif
1. Find the sum of infinite geometric series : 18 + 6 + 2 + … . .
Example :
3
1
2
3
1
2
===
u
u
u
u
r
GEOMETRIC SEQUENCE AND SERIES
27
3
2
18
3
1
1
18
1
==
−
=
−
=∞
r
a
s
Answer :
a = 18 ;
54. Hal.: 54 BARISAN DAN DERET Adaptif
2. Sebuah bola elastis dijatuhkan dari ketinggian 2m. Setiap kali memantul dari
lantai, bola mencapai ketinggian ¾ dari ketinggian sebelumnya. Berapakah
panjang lintasan yang dilalui bola hingga berhenti ?
BARISAN DAN DERET GEOMETRI
Lihat gambar di samping!
Bola dijatuhkan dari A, maka AB dilalui satu kali,
selanjutnya CD, EF dan seterusnya dilalui dua
kali. Lintasannya membentuk deret geometri
dengan a = 3 dan r = ¾
Panjang lintasan = 2 S∞ - a
2
4
1
2
2
2
4
3
1
2
2
1
2
−
=
−
−
=
−
−
= a
r
a
= 14
Jadi panjang lintasan yang dilalui bola adalah14 m
55. Hal.: 55 BARISAN DAN DERET Adaptif
2. An elastic ball is drop from the height of 2m. Every time it bounce from the
floor, it has ¾ of the previous height. How long is the route that will be passed
by the ball until it stop?
GEOMETRIC SEQUENCE AND SERIES
Look at the picture!
The ball is drop from A, so AB is passed only
once. Then CD, EF, etc is passed twice. The
route is in geometric series with a = 3 and r = ¾
the length of the route is= 2 S∞ - a
2
4
1
2
2
2
4
3
1
2
2
1
2
−
=
−
−
=
−
−
= a
r
a
= 14
So, the route length that pass by the ball is 14 m