bagus

1. SISTEM PERSAMAAN
LINEAR DUA VARIABEL
(SPLV)

2. Persamaan Linear Dua
Variabel
 Persamaan linear dengan dua
variabel mempunyai bentuk umum:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
Dengan a, b, dan c adalah bilangan
Real dan a > 0; b > 0
 Penyelesaian dari persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
= 𝑐 dapat kita peroleh dengan
memberi nilai secara sembarang
terhadap salah satu variabelnya
kemudian menentukan nilai variabel
lainnya.

3. Sistem persamaan linear dua variabel adalah sistem
persamaan yang mengandung dua variable atau lebih yang
disajikan secara bersamaan dan tidak diketahui.
Bentuk Umumnya :
ax + by = c … persamaan (1)
px + qy = r … persamaan (2)
Dengan a, b, c, p, q & r ϵ R (bilangan real)
a, p = koefisien dari x
b, q = koefisien dari y

4. Himpunan penyelesaian dari suatu sistem
persamaan dua variabel dapat ditentukan
dengan beberapa cara, yaitu :
1. Metode grafik
2. Metode substitusi
3. Metode eliminasi
4. Metode eliminasi substitusi

5. 1. Metode Eliminasi
Metode ini digunakan dengan cara
mengeliminasi (menghilangkan) salah satu
variabelnya, sehingga diperoleh sebuah persamaan
dengan satu variabel.
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian (HP) dari
persamaan linear berikut dengan metode eliminasi !
2x + 3y = 1 … pers.(1)
3x + y = 5 … pers.(2)
Jawab :
Mengeliminasi x untuk mendapatkan nilai y
2x + 3y = 1 x3 6x + 9y = 3
3x + y = 5 x2 6x + 2y = 10 –
7y = - 7

6. Mengeliminasi y untuk mendapatkan nilai x
2x + 3y = 1 x1 2x + 3y = 1
3x + y = 5 x3 9x + 3y = 15 –
- 7x = - 14
x = 2
Jd, HP = { 2, -1 }
Catatan :
“Jika kita mengeliminasi (menghilangkan) variabel x maka yg
akan kita dapatkan nantinya adalah nilai dari variabel y dan
sebaliknya, jika kita mengeliminasi variabel y maka yang akan
kita dapatkan nantinya adalah nilai dari variabel x “

7. LATIHAN SOAL
Tentukan HP dari SPL berikut ini dengan menggunakan metode eliminasi !
1) 2x – y = 2
3x – 2y = 1
2) 3x + 5y = 4
3x – y = 10
3) 5x + y = 5
17x + y = - 5
4) 2p – 3q = 4
7p + 2q = 39

8. Jawab
1) * Mengeliminasi variabel y
2x – y = 2 x 2 4x – 2y = 4
3x – 2y = 1 x 1 3x – 2y = 1 -
x = 3
* Mengeliminasi variabel x
2x – y = 2 x 3 6x – 3y = 6
3x – 2y = 1 x 2 6x – 4y = 2 -
y = 4
Jadi, HP = { 3, 4}

9. Jawab
2) * Mengeliminasi variabel x
3x + 5y = 4
3x – y = 10 -
6y = - 6
y = - 1
* Mengeliminasi variabel y
3x + 5y = 4 x 1 3x + 5y = 4
3x – y = 10 x 5 15x – 5y = 50 +
18x = 54
x = 3
Jadi, HP = { 3, - 1}

10. Jawab
3) * Mengeliminasi variabel y
5x + y = 5
17x + y = - 5 -
- 12x = 10
* Mengeliminasi variabel x
5x + y = 5 x 17 85x + 17y = 85
17x + y = - 5 x 5 85x + 5y = - 25 -
12y = 110
6
5
12
10




x
6
1
9
12
2
9
12
110



y
}
{
6
1
9
,
6
5


HP

11. Jawab
4) * Mengeliminasi variabel p
2p – 3q = 4 x 7 14p – 21q = 28
7p + 2q = 39 x 2 14p + 4q = 78 -
- 25q = - 50
* Mengeliminasi variabel q
2p – 3q = 4 x 2 4p – 6q = 8
7p + 2q = 39 x 3 21p + 6q = 117 +
25p = 125
Jd, HP = { 5, 2}
2
25
50




q
5
25
125


p

12. 2. Metode Substitusi
Pada metode ini, salah satu variabel dari salah satu
persamaan disubstitusikan sehingga diperoleh sebuah
persamaan dengan satu variabel saja.
Contoh :
a) Tentukan HP dari persamaan linear berikut dengan metode
substitusi !
3x + 4y = 11 … pers.(1)
x + 7y = 15 … pers.(2)
Jawab :
Dari pers.(2) didapat : x = 15 – 7y … pers.(3)
Kemudian substitusikan persamaan (3) ke
persamaan (1) :
3x + 4y = 11 Harga y = 2 kemudian
⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11 substitusikan ke pers (3) :
⇔ 45 – 21y + 4y = 11 x = 15 – 7y
⇔ - 21y + 4y = 11 – 45 x = 15 – 7(2)
⇔ - 17y = - 34 x = 15 – 14
⇔ x = 1
2
17
34




y

13. b) Tentukan HP dari persamaan linear berikut dg
metode substitusi !
2x + 3y = 1 … pers.(1)
3x + y = 5 … pers.(2)
Jawab :
Dari pers.(2) didapat : y = 5 – 3x … pers.(3). Harga x = 2 kemudian
Kemudian substitusikan pers.(3) ke pers.(1) : disubstitusikan ke
pers.(3) :
2x + 3y = 1 y = 5 – 3x
2x + 3(5 – 3x) = 1 y = 5 – 3(2)
2x + 15 – 9x = 1 y = 5 – 6
2x – 9x = 1 – 15 y = - 1
- 7x = - 14
x = 2 Jd, HP = { 2, - 1}

14. 1) 2x – y = 2
3x – 2y = 1
2) 3x + 5y = 4
3x – y = 10
3) 5x + y = 5
17x + y = - 5
4) 2p – 3q = 4
7p + 2q = 39

15. Jawab
1) 2x – y = 2 … pers.(1)
3x – 2y = 1 … pers.(2)
Dari pers.(1) didapat : Harga x = 3 kmd disubstitusikan
- y = 2 – 2x ⇔ y = - 2 + 2x … pers.(3) ke pers.(1) :
Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(2) : 2x – y = 2
⇔ 3x – 2y = 1 ⇔ 2(3) – y = 2
⇔ 3x – 2(-2 + 2x) = 1 ⇔ 6 – y = 2
⇔ 3x + 4 – 4x = 1 ⇔ - y = 2 – 6
⇔ 3x – 4x = 1 – 4 ⇔ - y = - 4
⇔ - x = - 3 ⇔ y = 4
⇔ x = 3
Jd, HP = { 3, 4}

16. Jawab
2) 3x + 5y = 4 … pers.(1)
3x – y = 10 … pers.(2)
Dari pers.(2) didapat : Harga x = 3 kmd disubstitusikan
- y = 10 – 3x ⇔ y = - 10 + 3x … pers.(3) ke pers.(2) :
Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(1) : 3x – y = 10
⇔ 3x + 5y = 4 ⇔ 3(3) – y = 10
⇔ 3x + 5(-10 + 3x) = 4 ⇔ 9 – y = 10
⇔ 3x – 50 + 15x = 4 ⇔ - y = 10 – 9
⇔ 3x + 15x = 4 + 50 ⇔ - y = 1
⇔ 18x = 54 ⇔ y = - 1
⇔ x = 3
Jd, HP = { 3, - 1 }

17. Jawab
3) 5x + y = 5 … pers.(1)
17x + y = - 5 … pers.(2)
Dari pers.(1) didapat : Harga
y = 5 – 5x … pers.(3) kmd disubstitusikan ke pers.(1) :
Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(2) : 5x + y = 5
17x + y = - 5
⇔ 17x + 5 – 5x = - 5
⇔ 17x – 5x = - 5 – 5 ( x 6 )
⇔ 12x = - 10 ⇔ - 25 + 6y = 30
⇔ 6y = 30 + 25
⇔ 6y = 55
6
5
12
10




 x
6
5


x
5
6
5
5 )
( 


 y
5
6
25
)
( 


 y
6
1
9
6
55


 y
}
{
6
1
9
,
6
5


HP

18. Jawab
4) 2p – 3q = 4 … pers.(1)
7p + 2q = 39 … pers.(2)
Dari pers.(1) didapat : Harga q = 2 kmd disubstitusikan
2p – 3q = 4 ⇔ 2p = 4 + 3q ke pers.(1) :
2p – 3q = 4
Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(2) : ⇔ 2p – 3(2) = 4
⇔ 7p + 2q = 39 ⇔ 2p – 6 = 4
⇔ 2p = 4 + 6
⇔ 2p = 10
⇔ p = 5
(x 2)
⇔ 28 + 21q + 4q = 78 Jd, HP = { 5, 2 }
⇔ 21q + 4q = 78 – 28
⇔ 25q = 50 ⇔ q = 2
)
3
.(
...
2
3
4
pers
q
p



39
2
2
3
4
7 )
( 


 q
q
39
2
2
21
28
)
( 


 q
q

19. 3. Metode Campuran
Pada metode ini, merupakan gabungan dari cara
eliminasi dan substitusi.
Contoh :
a) Tentukan HP dari persamaan linear berikut dg metode
campuran !
3x + 4y = 11 … pers.(1)
x + 7y = 15 … pers.(2)
Jawab :
3x + 4y = 11 x 1 3x + 4y = 11
x + 7y = 15 x 3 3x + 21y = 45 -
- 17y = - 34
⇔ y = 2
Harga y = 2 kemudian substitusikan ke pers(2) :
x + 7y = 15
⇔ x + 7(2) = 15
⇔ x + 14 = 15

20. 2x + 3y = 1 … pers.(1)
4x – 3y = 11 … pers.(2)
Jawab :
2x + 3y = 1
4x – 3y = 11 +
⇔ 6x = 12
⇔ x = 2
Harga x = 2 kemudian substitusikan ke pers.(1) :
2x + 3y = 1
⇔ 2(2) + 3y = 1
⇔ 4 + 3y = 1
⇔ 3y = 1 – 4
⇔ 3y = - 3
⇔ y = - 1 Jd, HP = { 2, -1 }

21. 1) 5x + y = 5
17x + y = - 5
2) 2p – 3q = 4
7p + 2q = 39

22. JAWAB
1) 5x + y = 5 … pers.(1) Harga kmd
17x + y = - 5 … pers(2)
disubstitusikan ke pers (1) :
5x + y = 5 5x + y = 5
17x + y = - 5 - -
12x = 10
(x 6)
⇔ - 25 + 6y = 30
⇔ 6y = 30 + 25
6
5
12
10




x
6
5


x
5
6
5
5 )
( 


 y
5
6
25
)
( 


 y
6
1
9
6
55


 y
}
{
6
1
9
,
6
5


HP

23. 2) 2p – 3q = 4 … pers.(1)
7p + 2q = 39 … pers(2)
2p – 3q = 4 x 7 14p – 21q = 28
7p + 2q = 39 x 2 14p + 4q = 78 -
- 25q = - 50
2p – 3q = 4
⇔ 2p – 3(2) = 4
⇔ 2p – 6 = 4
⇔ 2p = 4 + 6
⇔ 2p = 10
⇔ p = 5
Jd, HP = { 5, 2 }
2
25
50




q

24. 4. Metode Determinan
Sistem persamaan, misalkan :
ax + by = c
px + qy = r
Menurut aturan determinan diubah mjd :
Artinya dan utk variabel x
dan y
didefinisikan :
,


q
p
b
a
p
b
q
a
q
p
b
a
.
. 



p
b
q
a
r
b
q
c
q
r
b
c
x
.
.
.
.





p
b
q
a
p
c
r
a
r
p
c
a
y
.
.
.
.






25. 4x – 5y = 22
7x + 3y = 15
Kita cari dl determinannya :
Jd, HP = { 3, -2}
3
47
141
47
75
66
47
15
)
5
(
3
.
22
3
15
5
22










x
47
35
12
7
)
5
(
3
.
4
3
7
5
4









2
47
94
47
154
60
47
7
.
22
15
.
4
15
7
22
4










y

27. 1) 2x – y = 2
3x – 2y = 1
Kita cari dl determinannya :
Jd, HP = { 3, 4}
3
1
3
1
1
4
1
1
)
1
(
)
2
(
2
2
1
1
2

















x
1
3
4
3
)
1
(
)
2
(
2
2
3
1
2













4
1
4
1
6
2
1
3
.
2
1
.
2
1
3
2
2












y

28. 2) 3x + 5y = 4
3x – y = 10
Kita cari dl determinannya :
Jd, HP = { 3, -1}
3
18
54
18
50
4
18
10
.
5
)
1
(
4
1
10
5
4















x
18
15
3
3
.
5
)
1
(
3
1
3
5
3











1
18
18
18
12
30
18
3
.
4
10
.
3
10
3
4
3












y