Materi pertemuan ke 4

1. Metode iterasi titik tetap
Metode newton-raphson
Metode scan
METODE TERBUKA

2. Mahasiswa menjelaskan mengenai
penyelesaian masalah persamaan tak
linear

3. METODE TERBUKA
 Metode ini tidak memerlukan selang yang mengurung akar.
 Yang diperlukan hanya tebakan awal akar atau dua buah
tebakan yang tidak perlu mengurung akar.
 Hampiran akar sekarang didasarkan pada hampiran
sebelumnya melalui prosedur iterasi menuju konvergen ke
akar sejati atau divergen.

4. Fixed Point Iteration
 Susunlah persamaan f(x)=0 menjdi bentuk x = g(x) lalu
bentuklah menjadi prosedur iterasi
 Terkalah sebuah nilai awal x0, lalu hitung x1,x2,…yang konvergen
ke akar sejati s sedemikian sehingga f(s)=0 dan s=g(s)
 Kondisi berhenti iterasi dinyatakan bila :
 
r
r x
g
x 
1









1
1
1
r
r
r
r
r
x
x
x
x
x

5. Example 1
 Carilah akar persamaan f(x) = x2
-2x-3=0 dengan metode
fixed point iteration. Gunakan  = 0.000001
 
4
awal
terkaan
Ambil
3
2
iterasinya
Prosedur
3
2
3
2
3
2
0
3
2
0
1
2
2














x
x
x
x
x
g
x
x
x
x
x
x
r
r

6. kurva

7. Hampiran akar konvergen monoton
Iterasi xr Abs(xr+1-xr) Ket
0 4.000000
1 3.316625 0.683375 Lanjut
2 3.103748 0.212877 Lanjut
3 3.034385 0.069362 Lanjut
4 3.011440 0.022945 Lanjut
5 3.003811 0.007629 Lanjut
6 3.001270 0.002541 Lanjut
7 3.000423 0.000847 Lanjut
8 3.000141 0.000282 Lanjut
9 3.000047 0.000094 Lanjut
10 3.000016 0.000031 Lanjut
11 3.000005 0.000010 Lanjut
12 3.000002 0.000003 Lanjut
13 3.000001 0.000001 Lanjut
14 3.000000 0.000000 Stop

8. Example
 Carilah akar persamaan f(x) = x2
-2x-3=0 dengan metode
fixed point. Gunakan  = 0.000001
 
 
2
3
3
2
0
3
2
2







x
x
x
x
x
x

9. Hampiran akar konvergen berosilasi
Iterasi xr Abs(xr+1-xr) Ket
0 4.000000
1 1.500000 2.500000 Lanjut
2 -6.000000 7.500000 Lanjut
3 -0.375000 5.625000 Lanjut
4 -1.263158 0.888158 Lanjut
5 -0.919355 0.343803 Lanjut
6 -1.027624 0.108269 Lanjut
7 -0.990876 0.036748 Lanjut
8 -1.003051 0.012175 Lanjut
9 -0.998984 0.004066 Lanjut
10 -1.000339 0.001355 Lanjut
11 -0.999887 0.000452 Lanjut
12 -1.000038 0.000151 Lanjut
13 -0.999987 0.000050 Lanjut
14 -1.000004 0.000017 Lanjut
15 -0.999999 0.000006 Lanjut
16 -1.000000 0.000002 Lanjut
17 -1.000000 0.000001 Stop

10. Example
 Carilah akar persamaan f(x) = x2
-2x-3=0 dengan metode
fixed point. Gunakan  = 0.000001
 
2
3
0
3
2
2
2





x
x
x
x

11. Hampiran akar divergen
Iterasi xr Abs(xr+1-xr) Ket
0 4.000000
1 6.500000 2.500000 Lanjut
2 19.625000 13.125000 Lanjut
3 191.070313 171.445313 Lanjut
4 18,252.432159 18,061.361847 Lanjut

12. Example 2
 Hitunglah akar f(x) = ex
-5x2
di dalam selang [0,1] dan  =
0.000001 dengan terkaan awal xo = 0.5
5
5
0
5
1
2
r
x
r
x
x
e
x
e
x
x
e






14. N-R secara Geometri
 Garis singgung di xr adalah :
   
 
 
r
r
r
r
r
r
r
r
x
f
x
f
x
x
x
x
x
f
x
y
x
f
'
0
'
1
1











15. Iterasi berhenti
 Jika









1
1
1 atau
r
r
r
r
r
x
x
x
x
x

16. Example
 Hitunglah akar f(x) = ex
-5x2
di dalam selang [0,1] dan  =
0.000001 dengan terkaan awal akar xo = 0,5.
 
  x
e
x
e
x
x
f
x
f
x
x x
x
r
r
r
r
r
10
5
'
2
1








17. Tabel Iterasi
 Hampiran akar x adalah 0.605267

18. Metode Secant
 Modifikasi dari metode N-R dengan menggantikan f’ oleh f
yang lain
 
 
     
  
   
1
1
1
1
1
1
'
'


















r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
x
f
x
f
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
f
x
y
x
f
x
f
x
f
x
x

19. Metode Secant
 Diperlukan 2 tebakan awal yaitu xo dan x1. Kondisi iterasi
akan berhenti jika :









1
1
1 atau
r
r
r
r
r
x
x
x
x
x

20. Example
 Hitunglah akar f(x) = ex
-5x2
di dalam selang [0,1] dan  =
0.000001 dengan terkaan awal akar xo = 0.5 dan x1 = 1
  
   
1
2
1
2
1
5
5









r
x
r
r
x
r
r
x
f
x
e
x
x
x
e
x
x
  
   
2
5
,
0
2
1
0
1
2
1
1
2
1
0
5
,
0
.
5
1
.
5
1
.
5
0
.
1
5
.
0









e
e
x
x
e
x
x
x
x

21. Hasil Iterasi
 Hampiran akar adalah 0.605267

22. Exercise
1. Persamaan 1/6x3
-2x = 0 dalam I=[3,4]. Carilah akarnya dengan
metode fixed point dan  = 0.00001
2. Persamaan x3
-12x = 0 dalam I=[3,4]. Carilah akarnya dengan metode
fixed point dan  = 0.00001
3. Persamaan (1/2)x-cosx = 0 dalam I=[0.5,2]. Carilah akarnya dengan
metode fixed point dan  = 0.00001
4. Persamaan (1/4)x3
-3x-1 = 0 dalam I=[3,4]. Carilah akarnya dengan
metode fixed point dan  = 0.00001
5. Persamaan x3
-4x+2 = 0 dalam I=[1,2]. Carilah akarnya dengan
metode fixed point dan  = 0.00001
6. Persamaan (1/2)x-sinx = 0 dalam I=[1,2]. Carilah akarnya dengan
metode fixed point dan  = 0.00001
7. Persamaan (1/2)x2
-sinx = 0 dalam I=[1,2]. Carilah akarnya dengan
metode fixed point dan  = 0.00001

23. TUGAS 2 MANDIRI
1. Carilah hampiran akar x dengan menggunakan metode N-R dari persamaan f(x)
= x3
+2x2
+10x-20 = 0 dalam selang [1,1.5] untuk xo = 1 dan  = 0.00001.
2. Carilah hampiran akar x dengan menggunakan metode Scant dari persamaan
f(x) = x3
+2x2
+10x-20 = 0 dalam selang [1,1.5] untuk xo = 1, x1 = 1.5 dan 
= 0.00001.
3. Persamaan (1/2)x2
-sinx = 0 dalam I=[1,2]. Carilah akarnya dengan metode N-
R untuk xo = 1 dan  = 0.00001
4. Persamaan (1/2)x2
-sinx = 0 dalam I=[1,2]. Carilah akarnya dengan metode
Scant untuk xo = 1, x1 = 2 dan  = 0.00001
5. Persamaan (1/2)x-cosx = 0 dalam I=[0.5,2]. Carilah akarnya dengan metode
N-R untuk xo = 0.5 dan  = 0.00001
6. Persamaan (1/2)x-cosx = 0 dalam I=[0.5,2]. Carilah akarnya dengan metode
Scant untuk xo = 0.5, x1 = 2 dan  = 0.00001