Metode Iterasi dan Metode Newton Raphson

1. PERSAMAAN NON
LINIER
METODE NEWTON-RAPHSON, DAN METODE ITERASI

2. Metode Newton Raphson
Metode Newton-Raphson adalah metode
pencarian akar suatu fungsi f(x) dengan pendekatan
satu titik, dimana fungsi f(x) mempunyai turunan.
Metode ini dianggap lebih mudah dari
Metode Bagi-Dua (Bisection Method) karena
metode ini menggunakan pendekatan satu titik
sebagai titik awal. Semakin dekat titik awal yang kita
pilih dengan akar sebenarnya, maka semakin cepat
konvergen ke akarnya.

3. Metode Newton Raphson

4. Metode Newton Raphson
Dimana xn adalah Initial Value
Langkah Penyelesaian Metode Newton Raphson
1. Menentukan nilai awal x0  Initial Value dan
turunan f(x) yaitu f`(x)

5. Metode Newton Raphson
Langkah Penyelesaian Metode Newton-Raphson
2. Hitung Nilai X1 dengan rumusan diatas
 Iterasi 1
3. Hitung Nilai X2 dengan rumusan diatas
 Iterasi 2

6. Metode Newton Raphson
Langkah Penyelesaian Metode Newton-Raphson
4. Hitung Nilai X3 dengan rumusan diatas
 Iterasi 3
Langkah dilanjutkan sampai didapatkan errornya
relative kecil dan biasanya lebih kecil dari 10-7

7. Contoh
Tentukan akar dari persamaan 4x3
– 15x2
+ 17x – 6 = 0
menggunakan Metode Newton-Raphson.
Penyelesaian :
 f(x) = 4x3
– 15x2
+ 17x – 6
 f’(x) = 12x2
– 30x + 17
iterasi 1 :
 ambil titik awal x0 = 3
 f(3) = 4(3)3
– 15(3)2
+ 17(3) – 6 = 18
 f’(3) = 12(3)2
– 30(3) + 17 = 35
 x1 = 3 –(18/35) = 2.48571
 Err=| x1–x0|=|2.48571-3| = 0.51429

8. Contoh
iterasi 2 :
 x1 = 2.48571
 f(2.48571) = 4(2.48571)3
– 15(2.48571)2
+
17(2.48571) – 6 = 5.01019
 f’(2.48571) = 12(2.48571)2
– 30(2.48571) + 17 =
16.57388
 x2 = 2.48571 – (5.01019 / 16.57388 ) = 2.18342
Err=| x2–x1|=|2.18342-2.48571| = 0.30229
 dst

9. Tugas
Gunakan Metode Newton-Raphson dan
metode Iterasi dengan =0.01 atau Iterasi
= 3
1. f(x) = x³ + x² – 3x – 3 = 0, dengan x0 = 1
2. f(x) = x³ – 2x – 5, dengan x0 = 2
3. x - e-x
= 0, dengan x0 = 0
4. f(x) = x2
-2x-3, dengan x0 = 4

10. Metode Iterasi
Metode Iterasi Titik tetap kadang-kadang
dinamakan metode iterasi sederhana atau metode
langsung atau metode substitusi beruntun.
Kesederhanaan metode ini karena pembentukan
prosedur iterasinya yang mudah dibentuk, yaitu kita
ubah persamaan f (x) = 0 menjadi bentuk x = g(x),
kemudian dibentuk menjadi prosedur iterasi

11. Metode Iterasi

12. Metode Iterasi

13. Metode Iterasi
Langkah Penyelesaian Metode Iterasi
1. Ubah persamaan f(x)=0 menjadi x=g(x)
2. Ambil nilai awal x0 sedemikian hingga |g’(x)|<1
3. Hitung Nilai x1 dengan rumusan diatas
 Iterasi 1
4. Hitung Nilai x2 dengan rumusan diatas
 Iterasi 2
Langkah dilanjutkan sampai didapatkan errornya
relative kecil dan biasanya lebih kecil dari 10-7

14. Metode Iterasi
Langkah Penyelesaian Metode Iterasi
f(x) = 0
x = g(x)
Xi+1 =g(xi)

15. Contoh
Tentukan akar dari persamaan x2
– 3x + 1 = 0
menggunakan Metode Iterasi.
Penyelesaian :
 f(x) = x2
– 3x + 1 = 0  x = g(x) = (x2
+ 1)/3
Iterasi :
 ambil titik awal x0 = 1
 x1 = (12
+ 1)/3 = 2/3 = 0,6667
-> Err = |0.6667-1|=0.3333
 x2 = (0,66672
+ 1)/3 = 0,481481
-> Err = |0.481481-0.6667|=0.185216
 x3 = (0,481481 2
+ 1)/3 = 0,410608
-> Err = | 0,410608 -0.481481|=0.070873
 dst

16. Metode Iterasi (Syarat Konvergen)
 F(x)=0
 f1(x)=x;
 f2(x)=g(x); => |g’(x)<1|

17. Metode Iterasi (Syarat Konvergen)
 F(x)=0
 f1(x)=x;
 f2(x)=g(x); => |g’(x)>=1|

18. Latihan (Tugas)
 Tentukan akar persamaan dengan metode iterasi
satu titik
1.f(x) = x3
-3x2
- 7x + 5 = 0; harga awal x0 =0,1
2. f(x) = ex
- 5x + 1 = 0; harga awal x0 =1,2
3. f(x) = 2cos x - 1= 0 ; harga awal x0 =1
4. f(x) = ex
- 7sin(0,5x) =0 ; harga awal x0 = tentukan
sendiri

19. Latihan (Tugas)
 Tentukan akar persamaan dengan metode iterasi
satu titik
5. Jika suatu redaman tegangan dalam rangkain listrik
dinyatakan dalam persamaan:
V=5e-t sin(0.4 π t +1)
Tentukan nilai t pada selang 1-3 detik pertama
sebagaimana jika nilai tegangannya adalah 0 volt
Catatan: er = 1%