Φυλλάδιο ερωτήσεων θεωρίας / οι σημαντικότερες προτάσεις με τις αποδείξεις τους. Επιμέλεια: Παύλος Τρύφων

1. http://blogs.sch.gr/pavtryfonΕπιµέλεια: Τρύφων Παύλος / e-τάξη µου
-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝ. ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ-
ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΕΡΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΜΕ ΤΙΣ ΑΠΟ∆ΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥΣ
ΠΡΟΤΑΣΗ 1 Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x)=c είναι f′(x)=0
[Απόδειξη: Έχουµε 0)()( =−=−+ ccxfhxf , και για 0≠h , 0
0)()(
==
−
=
−+
hh
cc
h
xfhxf
Οπότε 0
)()(
lim
0
=
−+
→ h
xfhxf
h
Άρα 0)()( =′=′ cxf ]
ΠΡΟΤΑΣΗ 2 H παράγωγος της ταυτοτικής συνάρτησης f(x)=x είναι f′(x)=1
[Απόδειξη: Έχουµε hxhxxfhxf =−+=−+ )()()( , και έτσι για 0≠h , 1
)()(
==
−+
h
h
h
xfhxf
Εποµένως, 11lim
)()(
lim
00
==
−+
→→ hh h
xfhxf
. Άρα 1)()( =′=′ xxf ]
ΠΡΟΤΑΣΗ 3 H παράγωγος της συνάρτησης f(x)= 2
x είναι f′(x)=2x
[Απόδειξη: Έχουµε )2(2)2()()()( 222222
hxhhxhxhxhxxhxxfhxf +=+=−++=−+=−+ ,
και για 0≠h , hx
h
hxh
h
xfhxf
+=
+
=
−+
2
)2()()(
. Εποµένως, xhx
h
xfhxf
hh
2)2(lim
)()(
lim
00
=+=
−+
→→
.
Άρα xxxf 2)()( 2
=′=′ ]
ΠΡΟΤΑΣΗ 4 H παράγωγος της συνάρτησης F(x)=cf(x) είναι F′(x)=cf′(x)
[Απόδειξη: Έχουµε ))()(()()()()( xfhxfcxcfhxcfxFhxF −+=−+=−+ , και για 0≠h ,
h
xfhxf
c
h
xfhxfc
h
xFhxF )()())()(()()( −+
⋅=
−+
=
−+
. Εποµένως,
)(
)()(
limlim
)()(
lim
)()(
lim
000
xfc
h
xfhxf
c
h
xfhxf
c
h
xFhxF
hohhh
′⋅=
−+
⋅=




 −+
⋅=
−+
→→→→
Άρα )())(()( xfcxfcxF ′⋅=′⋅=′ ]
ΠΡΟΤΑΣΗ 5 Η παράγωγος της συνάρτησης F(x)=f(x)+g(x) είναι F′(x)=f′(x)+g′(x)
[Απόδειξη: Έχουµε :
)),()(())()(()()()()(
))()(())()(()()(
xghxgxfhxfxgxfhxghxf
xgxfhxghxfxFhxF
−++−+=−−+++=
=+−+++=−+
και για 0≠h ,
h
xghxg
h
xfhxf
h
xghxgxfhxf
h
xFhxF
)()()()(
))()(())()(()()(
−+
+
−+
=
=
−+−−+
=
−+
,
Εποµένως,
)()(
)()(
lim
)()(
lim
)()()()(
lim
)()(
lim
0
00
xgxf
h
xghxg
h
xfhxf
h
xghxg
h
xfhxf
h
xFhxF
hoh
hh
′+′=
−+
+
−+
=


 −+
+
−+
=
−+
→→
→→
Άρα )()())()(()( xgxfxgxfxF ′+′=′+=′ ]

2. http://blogs.sch.gr/pavtryfonΕπιµέλεια: Τρύφων Παύλος / e-τάξη µου
ΠΡΟΤΑΣΗ 6 Για τις σχετικές συχνότητες ισχύουν οι ιδιότητες:
1...)
,...,2,110)
21 =+++
=≤≤
κβ
κγια
fff
ifa i
[Απόδειξη: α) Αφού για οποιαδήποτε συχνότητα iν ισχύει νν ≤≤ i0 τότε 1010 ≤≤⇔≤≤ i
i
f
ν
ν
, για
κ,...,2,1=i β) 1
...
...... 2121
21 ==
+++
=+++=+++
ν
ν
ν
ννν
ν
ν
ν
ν
ν
ν κκ
κfff ]
ΠΡΟΤΑΣΗ 7 Για οποιαδήποτε ασυµβίβαστα µεταξύ τους ενδεχόµενα Α και Β ισχύει :
Ρ(Α∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) (Απλός προσθετικός νόµος)
[Απόδειξη: Αν Ν(Α)=κ και Ν(Β)=λ , τότε το Β∪Α έχει κ+λ στοιχεία, γιατί αλλιώς τα Α,Β δεν θα ήταν
ασυµβίβαστα. ∆ηλαδή, έχουµε Ν( Β∪Α ) = κ+λ = Ν(Α)+Ν(Β).
Εποµένως:
)(
)(
)(
ΩΝ
Β∪ΑΝ
=Β∪ΑΡ
)(
)()(
ΩΝ
ΒΝ+ΑΝ
=
)(
)(
)(
)(
ΩΝ
ΒΝ
+
ΩΝ
ΑΝ
= )()( ΒΡ+ΑΡ= ]
ΠΡΟΤΑΣΗ 8 Για δύο συµπληρωµατικά ενδεχόµενα Α και Α′ ισχύει Ρ(Α′) = 1 – Ρ(Α)
[Απόδειξη: Επειδή Α∩Α′= Ø, δηλαδή τα Α και Α′ είναι ασυµβίβαστα, και αφού Ω=Α′∪Α (τα Α, Α′ είναι
συµπληρωµατικά) τότε έχουµε διαδοχικά, σύµφωνα µε τον απλό προσθετικό νόµο:
)](1)(
)()(1
)()()(
)()()(
ΑΡ−=Α′Ρ
⇒Α′Ρ+ΑΡ=
⇒Α′Ρ+ΑΡ=ΩΡ
⇒Α′Ρ+ΑΡ=Α′∪ΑΡ
ΠΡΟΤΑΣΗ 9 Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου ισχύει:
Ρ(Α∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) – Ρ(Α∩Β) (Προσθετικός νόµος)
[Απόδειξη: Για δύο ενδεχόµενα Α και Β έχουµε:
)()()()( Β∩ΑΝ−ΒΝ+ΑΝ=Β∪ΑΝ , (1)
αφού στο άθροισµα Ν(Α)+Ν(Β) το πλήθος των
στοιχείων του Α∩Β υπολογίζεται δύο φορές.
Αν διαιρέσουµε τα µέλη της σχέσης (1) µε Ν( )
έχουµε:
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
ΩΝ
Β∩ΑΝ
−
ΩΝ
ΒΝ
+
ΩΝ
ΑΝ
=
ΩΝ
Β∪ΑΝ
και εποµένως
)()()()( Β∩ΑΡ−ΒΡ+ΑΡ=Β∪ΑΡ ]
Α Β
Α
Α′
Α Α∩Β Β

3. http://blogs.sch.gr/pavtryfonΕπιµέλεια: Τρύφων Παύλος / e-τάξη µου
ΠΡΟΤΑΣΗ 10 Αν Α⊆Β, τότε Ρ(Α) ≤ Ρ(Β)
[Απόδειξη: Επειδή Α⊆Β έχουµε διαδοχικά:
)]()(
)(
)(
)(
)(
))(()()(
ΒΡ≤ΑΡ
⇒
ΩΝ
ΒΝ
≤
ΩΝ
ΑΝ
ΩΝ⇒ΒΝ≤ΑΝ µεδιαιρώ
ΠΡΟΤΑΣΗ 11 Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου ισχύει:
Ρ(Α – Β)=Ρ(Α∩Β′)=Ρ(Α) – Ρ(Α∩Β)
[Απόδειξη: Επειδή τα ενδεχόµενα Α – Β, Α∩Β′ και Α∩Β είναι
ασυµβίβαστα και (Α – Β)∪ (Α∩Β)=Α έχουµε:
Ρ(Α) = Ρ[(Α – Β)∪ (Α∩Β)] ⇒
Ρ(Α) = Ρ(Α – Β) + Ρ(Α∩Β)
Άρα Ρ(Α – Β) = Ρ(Α) – Ρ(Α∩Β) ]
Α – Β = Α∩Β′
Ερωτήσεις θεωρίας
1) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) σε ένα διάστηµα ∆ του πεδίου ορισµού
της;
2) Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό µέγιστο (ελάχιστο)στο
χο∈Α;
3) Πότε µια συνάρτηση λέγεται γνησίως µονότονη; Τι λέγονται ακρότατα µιας συνάρτησης;
4) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα σηµείο χο του πεδίου ορισµού της;
Πότε λέγεται συνεχής στο πεδίο ορισµού της;
5) Πότε µια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο χο του πεδίου ορισµού της;
Τι ονοµάζεται παράγωγος της f στο χο;
6) Τι εκφράζει η παράγωγος της f στο χο;
7) Τι ονοµάζουµε πληθυσµό , δείγµα και τι µεταβλητή σε µια στατιστική έρευνα; Ποια η διάκριση των
µεταβλητών;
8) Τι είναι η (απόλυτη) συχνότητα µια τιµής χi και τι η σχετική συχνότητα αυτής;
9) Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται;
10) Τι είναι το διάγραµµα συχνοτήτων (σχετικών συχνοτήτων) και πότε χρησιµοποιείται;
Β Α
Α
Β

4. http://blogs.sch.gr/pavtryfonΕπιµέλεια: Τρύφων Παύλος / e-τάξη µου
11) Τι λέγεται πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων;
12) Τι είναι το κυκλικό διάγραµµα και πότε χρησιµοποιείται;
13) Τι λέγεται ιστόγραµµα συχνοτήτων και από τι αποτελείται αυτό;
14) Τι ονοµάζεται καµπύλη συχνοτήτων; Ποια η µορφή της καµπύλης συχνοτήτων µιας α) κανονικής
κατανοµής; β) θετικά/αρνητικά ασύµµετρης κατανοµής;
15) Τι καλούµε µέτρα διασποράς µιας κατανοµής;
16) Πώς ορίζονται η µέση τιµή , ο σταθµικός µέσος , η διάµεσος , η διασπορά , η τυπική απόκλιση , το
εύρος και ο συντελεστής µεταβολής ενός συνόλου ν παρατηρήσεων; Πως ορίζεται το εύρος σε µια
οµαδοποιηµένη κατανοµή;
17) Πότε ένα δείγµα ονοµάζεται οµοιογενές; Πότε λέµε ότι ένα δείγµα Α έχει µεγαλύτερη οµοιογένεια
από ένα δείγµα Β;
18) Τι ονοµάζουµε πείραµα τύχης , τι δειγµατικό χώρο και τι ενδεχόµενο αυτού;
19) Πότε ένα ενδεχόµενο λέγεται απλό και πότε σύνθετο; Πότε λέγεται βέβαιο και πότε αδύνατο;
20) Πότε δύο ενδεχόµενα λέγονται ξένα ή ασυµβίβαστα;
21) Τι ονοµάζεται σχετική συχνότητα ενός ενδεχοµένου Α;
22) Ποιος ο κλασικός ορισµός πιθανότητας; Ποιος ο αξιωµατικός ορισµός πιθανότητας;