ลิมิตของฟังก์ชันจากตารางและกราฟ

2. ฟังก์ชัน (function) คือ เซตของคู่อันดับ (x,y)
ซึ่งสำหรับทุก ๆ x ที่มีค่ำเท่ำกัน จะมี y
เพียงตัวเดียว

4. กำหนดให้ f(x) เป็นฟังก์ชัน ถ้ำ x มีค่ำเข้ำใกล้
จำนวนจริง a แล้ว ทำให้ f(x) มีค่ำเข้ำใกล้หรือ
เท่ำกับจำนวนจริง L ขณะที่ x มีค่ำเข้ำใกล้ a
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

5. จำกนิยำม ขณะที่ x มีค่ำเข้ำใกล้ a พิจำรณำบนเส้นจำนวน
เช่น x มีค่ำเข้ำใกล้ 2
1 2 3

 2x
จำกรูป กล่ำวว่ำ x มีค่ำเข้ำใกล้ 2 ทำงซ้ำย เขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์

6. ในทำนองเดียวกัน พิจำรณำบนเส้นจำนวน
1 2 3

 2x
จำกรูป กล่ำวว่ำ x มีค่ำเข้ำใกล้ 2 ทำงขวำ เขียนแทนด้วย
สัญลักษณ์

9. x
y
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหำลิมิตของฟังก์ชัน เมื่อ x เข้ำใกล้ 1y = 2x - 1
วิธีทำ
0.9
0.8
0.99
0.98
0.999
0.998
1.001
1.002
1.01
1.02
1.1
1.2
1.5
2
1
1
เมื่อพิจำรณำค่ำของ y จำกตำรำง จะเห็นว่ำ เมื่อ x มีค่ำเข้ำใกล้ 1
ทำงด้ำนซ้ำยและด้ำนขวำ ค่ำของ y มีค่ำเข้ำใกล้ 1 เพียงค่ำเดียว
กล่ำวว่ำ 1 เป็นลิมิตของฟังก์ชัน

10. x
f(x)
ตัวอย่ำงที่ 2 จงหำลิมิตของฟังก์ชัน เมื่อ x เข้ำใกล้ 2
วิธีทำ
1.9
1.01
1.99
1.0001
1.999
1.000001
2.001
1.000001
2.01
1.0001
2.1
1.01
2
1
เมื่อพิจำรณำค่ำของ f(x) จำกตำรำง จะเห็นว่ำ เมื่อ x มีค่ำเข้ำใกล้ 2
ทำงด้ำนซ้ำยและด้ำนขวำ ค่ำของ f(x) มีค่ำเข้ำใกล้ 1 เพียงค่ำเดียว
กล่ำวว่ำ 1 เป็นลิมิตของฟังก์ชัน

11. ภาระงาน
ให้นักเรียนทำแบบฝึกหัดที่ 4
ข้อ (1.1) – (1.6) หน้ำ 23
ในแบบฝึกหัดคณิตศำสตร์เพิ่มเติม

13. ตัวอย่ำงที่ 3 จงหำลิมิตของฟังก์ชัน เมื่อ x เข้ำใกล้ 0
วิธีทำ
เมื่อพิจำรณำค่ำของ f(x) จำกกรำฟ จะเห็นว่ำ เมื่อ x มีค่ำเข้ำใกล้ 0
ทำงด้ำนซ้ำยและด้ำนขวำ ค่ำของ f(x) มีค่ำเข้ำใกล้ 0 เพียงค่ำเดียว
กล่ำวว่ำ 0 เป็นลิมิตของฟังก์ชัน
x
y
-2 -1 1 2
1
2
-1
0

14. ตัวอย่ำงที่ 4 จงหำลิมิตของฟังก์ชัน
วิธีทำ
เมื่อพิจำรณำค่ำของ f(x) จำกกรำฟ จะเห็นว่ำ เมื่อ x มีค่ำเข้ำใกล้ 4
ทำงด้ำนซ้ำยและด้ำนขวำ ค่ำของ f(x) มีค่ำเข้ำใกล้ 0 เพียงค่ำเดียว
กล่ำวว่ำ 0 เป็นลิมิตของฟังก์ชัน
x
y
1 2
1
2
0 3 4 5 6 7 8
3
4
5

15. ตัวอย่ำงที่ 5 จงหำลิมิตของฟังก์ชัน
วิธีทำ
x
y
1 2
1
2
0 3 4 5 6 7 8
3
4
5
เมื่อพิจำรณำค่ำของ f(x) จำกกรำฟ จะเห็นว่ำเมื่อ x มีค่ำเข้ำใกล้ 1 ทำง
ด้ำนซ้ำย ค่ำของ f(x) มีค่ำเข้ำใกล้ 1 แต่เมื่อ x มีค่ำเข้ำใกล้ 1 ด้ำนขวำ
ค่ำของ f(x) มีค่ำเข้ำใกล้ 0 กล่ำวว่ำ ฟังก์ชันไม่มีลิมิต

16. ถ้ำค่ำของ f(x) เข้ำใกล้จำนวนจริง L เมื่อ x เข้ำใกล้ a
ทำงด้ำนซ้ำย ( x < a ) กล่ำวว่ำ
ลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ x เข้ำใกล้ a ทำงด้ำนซ้ำย มีค่ำ
เท่ำกับ L เขียนแทนด้วย

17. ถ้ำค่ำของ f(x) เข้ำใกล้จำนวนจริง L เมื่อ x เข้ำใกล้ a
ทำงด้ำนขวำ ( x > a ) กล่ำวว่ำ
ลิมิตของฟังก์ชัน f ที่ x เข้ำใกล้ a ทำงด้ำนขวำ มีค่ำ
เท่ำกับ L เขียนแทนด้วย

18. ถ้ำ และ
จะได้ว่ำ
แต่ถ้ำ
จะได้ว่ำ

19. ภาระงาน
ให้นักเรียนทำแบบฝึกหัดที่ 4
ข้อ 2. ถึง ข้อ 7. หน้ำ 24 - 25
ในแบบฝึกหัดคณิตศำสตร์เพิ่มเติม

21. x
y
2 4 6-2
5
y = f(x)
)x(flim)3( -
2-x
)x(flim)4(
2-x 

)x(flim)5(
x 2-
)x(flim)6( -
4x
)2-(f)1(
10
)x(flim)7(
4x 

)x(flim)8(
x 4
)4(f)2(
= 3
= 4
= 5
= 5
= 5
= 6
หำค่ำไม่ได้
= 20

22. x
y
2 4 6-2
2
4
y = f(x)
)x(flim)2.1(
x -
1
)x(flim)3.1(
x 
1
)x(flim)4.1(
x 1
)x(flim)5.1(
x 5
)5(f)1.1(
0
…………
…………
…………
…………
…………

23. x
y
2 4 6-2
2
4
y = f(x)
)x(flim)5.2(
0x
)x(flim)2.2( -
3x
)x(flim)3.2(
3x 

)x(flim)4.2(
3x
)3(f)1.2( …………
…………
…………
…………
…………

24. t
y
2 4 6-2
2
4
y = g(t)
-2
)t(glim)2.3(
0t -

)t(glim)3.3(
0t 

)t(glim)4.3(
0t
)t(glim)5.3(
2t -

)t(glim)6.3(
2t 

)t(glim)7.3(
2t
)t(glim)8.3(
4t
0
…………
…………
…………
…………
…………
(3.1) g(2)
…………
…………

25. x
y
1
y = f(x)
)x(flim)2.4( -
1x
)x(flim)3.4(
1x 

)x(flim)4.4(
1x
)x(flim)5.4(
0x
0
-1
…………
…………
…………
…………
…………
(4.1) f(0)

26. x
y
2 4 6-2
2
4
y = f(x) )x(flim)4.5(
2x
)x(flim)5.5( -
-2x
)x(flim)6.5(
-2x 

)x(flim)7.5(
-2x
-2
)x(flim)2.5( -
2x
)x(flim)3.5(
2x 

0
(5.1) f(2) …………
…………
…………
…………
…………
…………
…………