11.Denklemler

1. DENKLEMLER
KONU ANLATIMI

2. DENKLEMLER
BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
a ve b gerçel (reel) sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere,
ax + b = 0 eşitliğine birinci dereceden bir
bilinmeyenli denklem denir.
Bu denklemi sağlayan x değerlerine denklemin kökü,
denklemin kökünün oluşturduğu kümeye
denklemin çözüm kümesi denir.

3. DENKLEMLER
BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
Eşitliğin Özellikleri
 Bir eşitliğin her iki tarafına aynı sayı ilave edilirse eşitlik
bozulmaz.
a = b ise, a + c = b + c dir.
 Bir eşitliğin her iki tarafından aynı sayı çıkarılırsa eşitlik
bozulmaz.
a = b ise, a – c = b – c dir.
 Bir eşitliğin her iki tarafı aynı sayı ile çarpılırsa eşitlik
bozulmaz.
a = b ise, a × c = b × c dir.

4. DENKLEMLER
BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
Eşitliğin Özellikleri
 Bir eşitliğin her iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayı ile
bölünürse eşitlik bozulmaz.
 Bir eşitliğin her iki tarafının n. kuvveti alınırsa eşitlik
bozulmaz.
a = b ise, an = bn dir.

5. DENKLEMLER
BİRİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
Eşitliğin Özellikleri
 h
 (a = b ve b = c) ise, a = c dir.
 (a = b ve c = d) ise, a ± c = b ± d dir.
 (a = b ve c = d) ise, a × c = b × d dir.
 j
 a × b = 0 ise, (a = 0 veya b = 0) dır.
 a × b 0 ise, (a 0 ve b 0) dır.
 j

6. DENKLEMLER
ax + b = 0 DENKLEMİNİN ÇÖZÜM KÜMESİ
a ≠ 0 olmak üzere,
1.(a = 0 ve b = 0) ise, ax + b = 0 denklemini bütün sayılar
sağlar. Buna göre, reel (gerçel) sayılarda çözüm kümesi R
dir.
2.(a = 0 ve b ≠ 0) ise, ax + b = 0 denklemini sağlayan hiçbir
sayı yoktur. Yani, Ç = dir.

7. DENKLEMLER
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM
SİSTEMİ
a, b, c R , a ≠ 0 ve b ≠ 0 olmak üzere,
ax + by + c = 0 denklemine birinci dereceden iki bilinmeyenli
denklem denir.
Bu denklem düzlemde bir doğru belirtir. Doğru üzerindeki bütün
noktaların oluşturduğu ikililer denklemin çözüm kümesidir.
Buna göre, ax + by + c = 0 denkleminin çözüm kümesi birçok ikiliden
oluşur.
a, b, c R olmak üzere,
ax + by + c = 0
denklemi her (x, y) R2 için sağlanıyorsa a = b = c = 0 dır.
Birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan sisteme birinci
dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.

8. DENKLEMLER
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM
SİSTEMİ
Çözüm Kümesinin Bulunması
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerinin çözüm kümesi;
yok etme yöntemi, yerine koyma yöntemi, karşılaştırma yöntemi, grafik
yöntemi, determinant yöntemi gibi yöntemlerden biri ile yapılır.
Yok Etme Yöntemi: Değişkenlerden biri yok edilecek biçim
verilen denklem sistemi düzenlenir ve taraf tarafa toplanır.
Taraf tarafa toplandığında veya çıkarıldığında (ya da bir düzenlemeden
sonra) değişkenlerden biri sadeleşiyorsa “Yok etme yöntemi” kolaylık
sağlar.

9. DENKLEMLER
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM SİSTEMİ
Çözüm Kümesinin Bulunması
Yerine Koyma Yöntemi: Verilen denklemlerin birinden,
değişkenlerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılarak
sonuca gidilir.
Denklemlerin birinden, değişkenlerden biri kolayca
çekilebiliyorsa, “Yerine koyma yöntemi” kolaylık sağlar.
Karşılaştırma Yöntemi: Verilen denklemlerin ikisinden de aynı
değişken çekilir. Denklemlerin diğer tarafları karşılaştırılır
(eşitlenir).
Her iki denklemden de aynı değişken kolayca
çekilebiliyorsa, “Karşılaştırma yöntemi” kolaylık sağlar.

10. DENKLEMLER
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM
SİSTEMİ
Çözüm Kümesinin Bulunması
ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0
denklem sistemini göz önüne alalım:
Bu iki denklemin her birinin düzlemde bir doğru belirttiği
göz önüne alınırsa üç durum olduğu görülür.
ax + by + c = 0
dx + ey + f = 0
denklem sisteminde, durumları inceleyelim.

11. DENKLEMLER
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM
SİSTEMİ
Çözüm Kümesinin Bulunması
Birinci durum:
ise, bu iki doğru tek bir noktada kesişir.
Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek
noktadan oluşur.
İkinci durum:
ise, bu iki doğru çakışıktır.
Doğru üzerindeki her nokta denklem sistemini sağlar.
Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz
noktadan oluşur.

12. DENKLEMLER
BİRİNCİ DERECEDEN İKİ BİLİNMEYENLİ DENKLEM
SİSTEMİ
Çözüm Kümesinin Bulunması
Üçüncü durum:
ise, bu iki doğru paraleldir.
Denklem sistemini sağlayan hiçbir nokta bulunamaz.
Bu durumda, verilen denklem sisteminin çözüm kümesi boş
kümedir.

13. DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
a , b , c sabit birer gerçel (reel) sayı ve a = 0 olmak üzere;
a x2 + b x + c = 0
biçimindeki eşitliklere ikinci dereceden bir bilinmeyenli
denklem denir.

14. DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
İkinci derece denklemin köklerinin varlığı araştırılırken;
Δ = b2 - 4ac ifadesine bakılır.
Bu değere ikinci derece denklemin diskriminantı(delta)
denir.

15. DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
Diskriminantın Durumunun İncelenmesi
1-  > 0 ise birbirinden farklı iki kök vardır.
Bu kökler;
a2
b
x 2,1



’dır.
2-  = 0 ise birbirine eşit iki kök vardır.
Bu kökler;
a2
b
xx 21  ’dır.
3-  < 0 ise denklemin reel sayılarda çözümü yoktur.

16. DENKLEMLER
İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER
Örnek
3x2-10x+3=0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
a=3 , b= -10 , c=3 ve
Δ=b2-4ac eşitliğinden;
Δ=(-10)2-4.3.3=100-36=64 bulunur.
Δ>0 olduğundan iki kök vardır. Bu kökler;
6
810
3.2
6410
a2
b
x 2,1




3
1
6
2
xve3
6
18
x 21  bulunur.
Öyleyse;







3
1
,3Ç olur.

17. DENKLEMLER
İKİNCİ DERECE DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN
DENKLEMLER
Örnek
Bu tür denklemlerde değişken değiştirerek denklem düzenlenir.
x4-5x2+4=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
x2=u dönüşümü yapılırsa denklem,
u2-5u+4=0 haline dönüşür.
u2-5u+4=0  (u-4)(u-1)=0
 u=4 ve u=1 olur.
Öyleyse; x2=4 ve x2=1 olacağından
x= 2 ve x= 1 bulunur.
Ç=-2,-1,1,2 ’dir.

18. DENKLEMLER
İKİNCİ DERECE DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN
DENKLEMLER
Örnek
(x2-5x)2 -2 (x2-5x) -24=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
x2-5x=u dönüşümü yapılırsa; u2 -2u -24=0 olur ki;
 (u-6)(u+4)=0
 u=6 ve u=-4 bulunur.
Öyleyse;
x2-5x=6 ve x2-5x=-4 olacağından
x2-5x-6=0  (x-6)(x+1)=0
 x=6 ve x=-1 olur.
x2-5x+4=0  (x-4)(x-1)=0
 x=4 ve x=1 olur.
Ç=-1,1,4,6 ’dir.

19. DENKLEMLER
İKİNCİ DERECE DENKLEME DÖNÜŞTÜRÜLEBİLEN
DENKLEMLER
Örnek
4m+2m-6=0 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
2m=u dönüşümü yapılırsa denklem,
u2+u-6=0 haline dönüşür.
u2+u-6=0  (u+3)(u-2)=0
 u=-3 ve u=2 olur.
Öyleyse; 2m=-3  çözüm yoktur.
ve 2m=2  m=1 olacağından
Ç=1 ’dir.

20. DENKLEMLER
İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin kökleri,
x1 ve x2 olmak üzere;
a
c
x.x
a
b
xx
21
21

+

21. DENKLEMLER
İKİNCİ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
Örnek
x2 - 6x +8 = 0 denkleminin kökler toplamını bulunuz.
Çözüm:
x1+x2= - b /a olduğundan
x1+x2= 6 bulunur.
Örnek
-3x2 - 8x +1 = 0 denkleminin kökler çarpımını bulunuz.
Çözüm:
x1.x2= c /a olduğundan
x1.x2= -1 /3 bulunur.

22. DENKLEMLER
ÜÇÜNCÜ DERECE DENKLEMİN KÖKLERİ VE
KATSAYILARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR
ax3 + bx2 +cx +d = 0 üçüncü dereceden denkleminin kökleri,
x1, x2 ve x3 olmak üzere;
a
d
xxx
a
c
xxxxxx
a
b
xxx

++
++
321
313221
321
.. bulunur.

23. DENKLEMLER
KÖKLERİ VERİLEN BİR DENKLEMİN KURULUŞU
Örnek
İkinci dereceden bir denkleminin kökleri,
x1 ve x2 olmak üzere, denklem;
x2 - (x1+x2)+x1.x2=0 biçimindedir.
Kökleri -2 ve 3 olan ikinci derece denklemi bulunuz.
Çözüm:
x1+x2= (-2)+3=1
x1+x2= (-2).3=-6 bulunur.
x2 - (x1+x2)+x1.x2=0
x2 - (1)x+(-6)=0
x2 -x - 6 = 0 bulunur.