2.Bölme-Bölünebilme

1. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
KONU ANLATIMI

2. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
BÖLME
A, B, C ve K birer doğal sayı olma üzere ve B 0′dan farklı
olmak üzere;
A: Bölünen
B: Bölen
C: Bölüm
K: Kalan olarak adlandırılır.

3. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
BÖLME
ÖZELLİKLERİ
 A= B.C + K ‘dır.
 Bir bölme işleminde kalan bölenden daima küçük olmak zorundadır.
Bölme işleminde kalan sıfır olabilir ki buna tam bölünebilme denir.
Ancak kalan negatif olmaz.
 Bölme işleminde kalan bölümden küçük ise bölen ile bölüm yer
değiştirebilmektedir.
Yani ise B ile C yer değiştirse dahi kalan değişmez.

4. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
BÖLÜNEBİLME
1 ile Bölünebilme: Her sayı 1 ile tam bölünmektedir.
2 ile Bölünebilme: Çift olan her sayı 2 ile tam bölünür.
Bir sayının 2 ile bölümünden kalan 0 ya da 1′dir.
106, 1024, 3338 gibi sayılar 2 ile tam bölünür.
105, 1027, 3339 gibi sayıların 2 ile bölümünden kalan 1′dir.

5. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
BÖLÜNEBİLME
3 ile Bölünebilme: Rakamların sayı değerleri toplamı 3 veya 3′ün
katı olan sayılar 3 ile tam bölünmektedir.
Buradan bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamları toplamının
3 ile bölümünden kalana eşittir mantığı ortaya çıkmaktadır.
Örnek: 627 = 6+2+7=15
Burada 15, 3 ile tam bölünebilmektedir ve kalan 0′dır. Dolayısıyla
627 sayısı 3 ile tam bölünmektedir.
329= 3+2+9=14
Burada ise 14′ün 3′e bölümünden kalan 2′dir ve 329 sayısının 3 ile
bölümünden kalan 2′dir deriz.

6. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
BÖLÜNEBİLME
4 ile Bölünebilme: Bir sayının son 2 basamağı 00 ya da 4′ün
katı veya katları ise o sayı 4 ile tam bölünür.
Örnek: 100, 9876 , 632, 1020 gibi sayıların son iki basamağı 4
ile tam bölünebildiği için bu sayılar da 4 ile tam
bölünebilmektedir.
5 ile Bölünebilme: Son rakamı 0 veya 5 olan sayıların hepsi 5
ile tam bölünmektedir.
Örnek: 95, 480, 2635 gibi sayıların son hanesi 0 ya da 5′ten
oluştuğu için 5 ile tam bölünmektedir.

7. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
BÖLÜNEBİLME
6 ile Bölünebilme: Bir sayı hem 2′ye hem de 3′e aynı anda
tam olarak bölünebiliyorsa bu sayı 6 ile tam bölünebilir.
Buradaki mantık 6′nın çarpanlarıdır. Eğer 6′nın
çarpanlarını oluşturan sayılara bölünebiliyorsa (2.3) 6′ya
da bölünmektedir.
Örnek: 18, 1026, 990 gibi sayılar aynı anda hem 2 hem de
3′e tam bölünebildiği için 6′ya tam bölünebilmektedir.

8. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
BÖLÜNEBİLME
7 ile Bölünebilme:
Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, ... olan
sayının (...a5 a4 a3 a2 a1a0 sayısının) 7 ile bölümünden kalan
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +...– ... ...
işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir.
(n + 1) basamaklı anan-1 ... a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,
olmak üzere,
(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +...– ... = 7k
olmalıdır.
Örnek: Sekiz basamaklı ABCDEFGH sayısının 7 ile bölümünden kalan,
(H + 3 × G + 2 × F) – (E + 3 × D + 2 × C) + (B + 3 × A) işleminin sonucunun
7 ile bölümünden kalandır.

9. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
BÖLÜNEBİLME
8 ile Bölünebilme: Bir sayının son üç rakamı 000 ya da
8′in katı ise bu sayı 8 ile tam bölünür.
Bir sayının 8 ile bölümünden kalan, sayının son üç
basamağının 8 ile bölümünden kalana eşittir.
Örnek: 1000, 29000, 6048 gibi sayıların son 3 hanesi 000
ya da 8′e bölünebilir olduğundan bu sayılar da 8′e tam
bölünür.

10. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
BÖLÜNEBİLME
9 ile Bölünebilme: Sayının rakamları toplamı 9 ya da 9′un
katları ise bu sayı 9 ile tam bölünür.
3 ile bölünebilme mantığıyla aynıdır. Bir sayının 9 ile tam
bölümünden kalan, sayının rakamları toplamının 9 ile
bölümünden kalana eşittir.
Örnek: 2655=2+6+5+5=18
Burada 18, 9 ile tam bölündüğünden 2655 sayısı da 9′a tam
bölünür.
Örnek: 3620=3+6+2+0=12
Burada 12′nin 9 ile bölümünden kalan 3′tür. Dolayısıyla 3620
sayısının 9 ile bölümünden kalan da 3′tür.

11. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
BÖLÜNEBİLME
10 ile Bölünebilme: Son rakamı 0 olan tüm sayılar 10 ile
tam bölünür.
Bir sayının 10 ile bölümünden kalan ise birler
basamağındaki rakamdır.
Örnek: 180,2030 gibi sayılar 10 ile tam bölünür.
1923 sayısının 10 ile bölümünden kalanı son rakamı
olduğu gibi 3′tür.

12. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
BÖLÜNEBİLME
11 ile Bölünebilme: Sayının birler basamağından
başlayarak her bir rakam sağdan sola sırasıyla
˝+ – + – + -…˝ işaretleriyle işaretlenir. Daha sonra
(+) işaretliler toplanır ve (-) işaretliler toplanır ve
aralarındaki farka bakılır. Bu fark 0 ya da 11′in katı ise o
sayı 11 ile tam bölünür.
Örnek: 468534 =4+5+6-3-8-4= 11-11 = o olacağından
468534 sayısı 11 ile tam bölünür.
539=9+5-3=11 olduğundan 439 sayısı 11 ile tam bölünür.

13. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
BÖLÜNEBİLME
Aralarında Asal Çarpanlara Ayırarak Bölünebilme Kuralları
Herhangi bir sayı, başka bir sayıya tam bölünüyorsa bunların
aralarında asal çarpanlarına da ayrı ayrı tam bölünür.
6 ile bölünebilme kuralında olduğu gibidir.
Örnek
12 ile bölünebilen bir sayı 3 ve 4 ile tam bölünür. (4.3=12)
15 ile bölünebilen bir sayı 3 ve 5 ile tam bölünür. (5.3=15)
30 ile bölünebilen bir sayı 3 ve 10 ile tam bölünür (10.3=30)
45 ile bölünebilen bir sayı 5 ve 9 ile tam bölünür. (9.5=45)
55 ile bölünebilen bir sayı 5 ve 11 ile tam bölünür. (11.5=55)

14. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
BÖLÜNEBİLME
Bölen Kalan İlişkisi
A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,
A nın C ile bölümünden kalan K1 ve
B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun.
Buna göre,
A × B nin C ile bölümünden kalan K1 × K2 dir.
A + B nin C ile bölümünden kalan K1 + K2 dir.
A – B nin C ile bölümünden kalan K1 – K2 dir.
D × A nın C ile bölümünden kalan D × K1 dir.
AE nin C ile bölümünden kalan (K1)E dir.
Yukarıdaki işlemlerde kalan değerler bölenden (C den) büyük ise,
tekrar C ile bölünerek kalan bulunur.

15. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
BÖLÜNEBİLME
Bir Tam Sayının Tam Bölenleri
• Bir tam sayının, asal çarpanlarının kuvvetlerinin çarpımı biçiminde
yazılmasına bu sayının asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde
yazılması denir.
• a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak
üzere,
A = am . bn . ck olsun.
• Bu durumda aşağıdakileri söyleyebiliriz:
• A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir.
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı,
• (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaretlileri de negatif tam
bölenidir.

16. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
BÖLÜNEBİLME
Bir Tam Sayının Tam Bölenleri
• A sayısının tam sayı bölenleri sayısı,
2 × (m + 1) × (n + 1) × (k + 1) dir.
• A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır.
• A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı,
• A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı
bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak
bulunur.

17. BÖLME-BÖLÜNEBİLME
BÖLÜNEBİLME
Bir Tam Sayının Tam Bölenleri
 A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı,
– (a + b + c) dir.
 A sayısından küçük A ile aralarında asal olan doğal
sayıların sayısı,
 A sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: