1. Бизнес статистикийн үндэс
Сэдэв 5
Тоон дескриптив хэмжигдэхүүн

2. Сэдвийн гарчиг

Төвийн хэмжигдэхүүн

Арифметик дундаж, медиан, мода, геометр дундаж,
midrange

Квартил

Хэлбэлзлийн хэмжигдэхүүн


Далайц, Interquartile range, дисперс ба стандарт
хазайлт, вариацийн коэффициент
Хэлбэр

Symmetric, skewed, box-and-whisker plot ашиглах

3. Сэдвийн гарчиг


(үргэлжлэл)
Корреляцийн коэффициент
Тоон дескриптив хэмжигдэхүүний занга ба
шаардагдах нөхцөл

4. Байршлын хэмжигдэхүүнүүд
Summary Measures
Central Tendency
Mean
Quartile
Mode
Median
Range
Variation
Coefficient of
Variation
Variance
Geometric Mean
Standard Deviation

5. Төвийн хэмжигдэхүүнүүд
Central Tendency
Average
Median
Mode
n
X 
X
i 1
n

i 1
N
Geometric Mean
X G   X1  X 2   X n 
1/ n
N
X
i
i

6. Дундаж хэмжигдэхүүн нь зэргээсээ
хамаарч дараах хэлбэрүүдтэй
Зэрэг
илтгэгч
Дундаж
-1
Гармоник
0
Геометр
1
Арифметик
Жинлэгдсэн
f

f
x
xr
xr 
x geo   x1f1  x2f 21    xnfn1
f
 xf
f
xa 
Жинлэгдээгүй
1
x
x geo  n x1  x2   xn
xa 
x f
f
n
x
n
2
2
Квадрат
xa 
x
xa 
x f
f
n
3
3
Куб
xa  3
xa 
2
3
x
n
3

7. Арифметик дундаж

Өгөгдлийн арифметик дундаж

Түүврийн дундаж
n
X

X
i 1
i
n
Түүврийн хэмжээ
X1  X 2 

n
 Xn
X1  X 2 

N
 XN
Ерөнхий нийдмийн дундаж
Ерөнхий нийдмийн хэмжээ
N

X
i 1
N
i

8. Арифметик дундаж


(үргэлжлэл)
Төвийн хамгийн нийтлэг хэмжигдэхүүн
Туйлын утга нөлөөлдөг (алдаатай
хэмжигдэхүүн)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Mean = 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
Mean = 6

9. Медиан


Тархалтын цувааны жинхэнэ төвийн хэмжигдэхүүн
Туйлын хэмжигдэхүүн нөлөөлдөггүй
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Median = 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
Median = 5
Эрэмбэлсэн өгөгдлийн “голын” тоо нь медиан юм


Хэрэв n эсвэл N нь сондгой бол медиан нь голын тоо
Хэрэв n эсвэл N нь тэгш бол медиан нь голын хоёр
тооны дундаж утга байна

10. Мода






Төвийн хэмжигдэхүүн
Ихэнхдээ энэ утга олддог
Туйлын утга нөлөөлдөггүй
Тоон эсвэл категорийн өгөгдлийн аль алиныг
ашигладаг
Мода байхгүй ч байж болно
Хэд хэдэн мода байж болно
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Mode = 9
0 1 2 3 4 5 6
No Mode

11. Геометр дундаж

Хувьсагчийн цаг хугацаан дахь
өөрчлөлтийг хэмжихэд ашигладаг
X G   X1  X 2 

хувиарх
 Xn 
1/ n
Өгөөжийн нормын геометр дундаж

Хөрөнгө оруулалтын цаг хугацаан дахь төлвийг
хэмждэг
RG  1  R1   1  R2  

 1  Rn  

1/ n
1

12. Жишээ
$100,000-ын хөрөнгө оруулалт оны эцэст $50,000 болж
буурсан ба хоёр дахь жилийн эцэст эргээд $100,000
болсон:
X1  $100,000
X 2  $50,000
X 3  $100,000
Average rate of return:
(50%)  (100%)
X
 25%
2
Geometric rate of return:
RG  1   50%    1  100%   


1/ 2
  0.50    2  


1/ 2
1
 1  1  1  0%
1/ 2

13. Квартил

Эрэмбэлэгдсэн өгөгдлийг 4 тэнцүү хэсэгт хуваадаг
25%
25%
 Q1 

25%
 Q2 
i-р квартилийн байршил
25%
Q3 
i  n  1
 Qi  
4
Эрэмбэлэгдсэн өгөгдөл: 11 12 13 16 16 17 18 21 22
1 9  1
Position of Q1 
 2.5
4
Q1
12  13  12.5

2
Q1 ба Q3 нь төвийн хэмжигдэхүүн биш

Q2 = Медиан, төвийн хэмжигдэхүүн


14. Хэлбэлзлийн хэмжигдэхүүн
Дисперс
Дисперс
Далайц
Стандарт хазайлт
Ерөнхий
нийдмийн
дисперс
Түүврийн
дисперс
Interquartile Range
Ерөнхий
нийдмийн
СХ
Түүврийн
стандарт
хазайлт
Вариацын
коэффициент

15. Далайц


Хэлбэлзлийн хэмжигдэхүүн
Ажиглалтын нэгжийн хамгийн их ба хамгийн
бага утгын зөрүү:
Range  X Largest  X Smallest

Өгөгдөл ямар тархалттай байхаас үл хамаарна
Range = 12 - 7 = 5
Range = 12 - 7 = 5
7
8
9
10
11
12
7
8
9
10
11
12

16. Interquartile Range


Хэлбэлзлийн хэмжигдэхүүн
Midspread гэгддэг


Төвдөө 50% нь тархдаг
Дээд ба доод квартилийн зөрүү
Эрэмбэлэгдсэн өгөгдөл: 11 12 13 16 16 17
17 18 21
 Туйлын утга нөлөөлөхгүй
Interquartile Range  Q3  Q1  17.5  12.5  5

17. Дисперс


Хэлбэлзлийн чухал хэмжигдэхүүн
Дундажийн хэлбэлзлийг харуулдаг

Түүврийн дисперс:
n
S 
2

 X
i 1
X
i
n 1
Ерөнхий нийдмийн дисперс:
N
 
2
 X
i 1
i

N
2
2

18. Дисперс нь дараах төрлүүдтэй
Дисперсийн төрөл
Ерөнхий
Бүлгийн
Бүлэг хоорондын
Бүлгийн дундаж
Жинлэгдсэн
Жинлэгдээгүй

19. Стандарт хазайлт



Хэлбэлзлийн хамгийн чухал хэмжигдэхүүн
Дундажийн хэлбэлзлийг харуулдаг
Анхны өгөгдөлтэй ижил нэгжтэй байдаг

Түүврийн стандарт хазайлт:
n
S

 X
i 1
i
X
2
n 1
Ерөнхий нийдмийн стандарт хазайлт:
N
 
 X
i 1
i
N

2

20. Стандарт хазайлтуудыг харьцуулах
Data A
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Mean = 15.5
s = 3.338
Data B
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Mean = 15.5
s = .9258
Data C
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Mean = 15.5
s = 4.57

21. Вариацийн коэффициент

Хэлбэлзлийн харьцангуй хэмжигдэхүүн

Хувиар илэрхийлэгддэг (%)


Нэгж
дунджид
харуулдаг
харгалзах
хэлбэлзлийг
Ялгаатай нэгжээр хэмжигдсэн 2 ба түүнээс
дээш өгөгдлийг харьцуулахад ашиглагддаг
S
CV  
X

100%


22. Вариацийн коэффициентийг
харьцуулах

Хувьцаа A:



Хувьцаа B:



Өмнөх жилийн дундаж үнэ = $50
Стандарт хазайлт = $5
Өмнөх жилийн дундаж үнэ = $100
Стандарт хазайлт = $5
Вариацийн коэфициент:

Хувьцаа A:

Хувьцаа B:
S
CV  
X

 $5 
100%  
100%  10%

 $50 
S
CV  
X

 $5 
100%  
100%  5%

 $100 

23. Тархалтын хэлбэр

Өгөгдөл хэрхэн тархсаныг дүрсэлдэг

Төлөвийн хэмжигдэхүүнүүд

Тэгш хэмт ба тэгш хэмт бус
Left-Skewed
Mean < Median < Mode
Symmetric
Mean = Median =Mode
Right-Skewed
Mode < Median < Mean

24. Судалгааны өгөгдлийн
шинжилгээ

Box-and-whisker plot

Өгөгдлийг 5 хэмжигдэхүүнээр графикт дүрслэх
X smallest Q
1
4
6
Median( Q2)
8
Q3
10
Xlargest
12

25. Тархалтын хэлбэр ба
Box-and-Whisker Plot
Left-Skewed
Q1
Q2 Q3
Symmetric
Q1Q2Q3
Right-Skewed
Q1 Q2 Q3

26. Корреляцийн коэффициент

Хоёр тоон хувьсагчийн хоорондох шугаман
хамаарлын хүчийг хэмждэг.
n
r
 X
i 1
n
 X
i 1
i
i
 X Yi  Y 
X
2
n
 Y  Y 
i 1
i
2

27. Корреляцийн коэффициентийн
онцлог

–1 ба 1-ийн хооронд утга авна

–1-т ойр байвал хүчтэй сөрөг шугаман хамааралтай

1-т ойр байвал хүчтэй эерэг шугаман хамааралтай

0-т ойр байвал маш сул хамааралтай эсвэл ямар нэг
шугаман хамаарал байхгүй байна

28. Янз бүрийн корреляцийн коэффициенттэй
өгөгдлийн Scatter Plot
Y
Y
Y
X
r = -1
X
r = -.6
Y
X
r=0
Y
r = .6
X
r=1
X

29. Тоон дескриптив
хэмжигдэхүүний занга

Өгөгдлийн шинжилгээ нь объектив


Өгөгдлийн
дэвшүүлэх
хэрэгтэй
тухай хамгийн сайн
тойм хэмжигдэхүүнийг
таамаглал
мэдээллэх
Өгөгдлийн тайлбар нь субъектив

Шударга, төвийг сахисан, тодорхой аргаар хийгдсэн
байх шаардлагатай

30. Шаардагдах нөхцөл
Тоон дискрептив хэмжигдэхүүн:



Баримт нь сайн ба муу үр дүнг аль алиныг нь
илэрхийлэх
Шударга, объектив ба төвийг сахисан байдлаар
илэрхийлэгдэх
Баримтыг гуйвуулах зохисгүй тойм
хэмжигдэхүүн ашиглахгүй байх

31. Сэдвийн дүгнэлт

Төвийн хэмжигдэхүүнийг дүрсэлсэн

Mean, median, mode, geometric mean, midrange

Квартилийн талаар хэлэлцсэн

Хэлбэлзлийн хэмжигдэхүүнийг дүрсэлсэн


Range, interquartile range, variance and standard
deviation, coefficient of variation
Тархалтын хэлбэрийг дүрсэлсэн

Symmetric, skewed, box-and-whisker plots

32. Сэдвийн дүгнэлт


(үргэлжлэл)
Корреляцийн коэффициентийг хэлэлцсэн
Тоон дескриптив хэмжигдэхүүний занга ба
шаардагдах нөхцлийг авч хэлэлцсэн