Dokumen tersebut membahas tentang definisi dan persamaan lingkaran, termasuk persamaan umum lingkaran, persamaan garis singgung lingkaran, dan contoh soal-soal tentang lingkaran.

1. LINGKARAN
PENDAHULUAN
DEFINISI LINGKARAN
LINGKARAN DENGAN PUSAT O JARI-JARI r
POSISI TITIK (a,b) PADA LINGKARAN
PERSAMAAN LINGKARAN DENGAN PUSAT(a,b) dan
JARI-JARI r
PERSAMAAN UMUM LINGKARAN
PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN
PENUTUP
1

2. 2
SRI AYU LESTARI, S.Pd
NIP. 198611262009022002

3. 3
Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
persamaan lingkaran
yang memenuhi kriteria tertentu

4. 4
Lingkaran
tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama
terhadap suatu titik tetap.
Jarak yang sama itu disebut jari-jari
dan titik tetap itu disebut
pusat lingkaran

5. 5
Persamaan Lingkaran
Pusat O(0,0) dan jari-jari r
r = jari-jari
x
y
O
r
P(x,y)
x
x2 + y2 = r2

6. Pengantar untuk Lingkaran
6
r
jari
-
jari
dan
O(0,0)
di
Berpusat
arannya
Pers.Lingk
}
r
y
x
|
y)
{(x,
L
atau
}
r
0)
(y
0)
-
(x
|
y)
{(x,
L
}
r
0)
(y
0)
-
(x
|
y)
{(x,
L
r}
OP
|
y)
{(x,
L
BUKTINYA
2
2
2
2
2
2
2
2














7. 7
2
2
2
r
y
x
L
lingkaran
pada
b)
P(a,
titik
Posisi



r
P(x,y)
x
y
0
r
P(x,y)
x
y
0
r
P(x,y)
x
y
0
2
2
2
r
y
x
L
pada
b)
P(a,

 2
2
2
r
y
x
L
dalam
di
b)
P(a,

 2
2
2
r
y
x
L
luar
di
b)
P(a,



8. 8
Soal 1
Persamaan lingkaran
pusatnya di O(0,0) dan jari-jari:
a. r = 5 adalah x2 + y2 = 25
b. r = 2½ adalah x2 + y2 = 6¼
c. r = 1,1 adalah x2 + y2 = 1,21
d. r = √3 adalah x2 + y2 = 3

9. 9
Soal 2
Persamaan lingkaran
pusat O(0,0) dan melalui titik (3,-1)
adalah….

10. 10
Penyelesaian
Misal persamaan lingkaran yang
berpusat di O(0,0) dan jari-jari r
adalah x2 + y2 = r2
melalui (3,-1) → 32 + (-1)2 = r2
r2 = 9 + 1
= 10
Jadi, persamaan lingkarannya
adalah x2 + y2 = 10

11. 11
Soal 3
Pusat dan jari-jari lingkaran:
a. x2 + y2 = 16 adalah…
jawab: pusat O(0,0) dan r = 4
b. x2 + y2 = 2¼ adalah…
jawab: pusat O(0,0) dan r = 1½
c. x2 + y2 = 5 adalah…
jawab: pusat O(0,0) dan r = √5

12. 12
Soal 4
Persamaan lingkaran yang sepusat
dengan lingkaran x2 + y2 = 144
tetapi panjang jari-jarinya setengah
dari panjang jari-jari lingkaran
tersebut adalah….

13. 13
Penyelesaian
Lingkaran x2 + y2 = 144
pusatnya O(0,0) dan jari-jarinya
r = √144 = 12 → ½r = 6
Persamaan lingkaran yang
pusatnya O(0,0) dan jari-jarinya
r = 6 adalah x2 + y2 = 62
x2 + y2 = 36

14. 14
Soal 5
Jika titik (2a, -5) terletak pada
lingkaran x2 + y2 = 41 maka
nilai a adalah….

15. 15
Penyelesaian
Titik (2a, -5) terletak pada
lingkaran x2 + y2 = 41,
berarti (2a)2 + (-5)2 = 41
4a2 + 25 = 41
4a2 = 41 – 25 = 16
a = 4 → a = 2 atau a = -2

16. 16
Soal 6
Persamaan lingkaran yang koordinat
ujung-ujung diameternya A(2,-1)
dan B(-2,1) adalah….

17. 17
Penyelesaian
Diameter = panjang AB
=
=
A(2,-1)
B(-2,1)
2
2
))
1
(
1
(
)
2
2
( 




5
2
20
4
16 



18. 18
Diameter = panjang AB
= 2√5
Jari-jari = ½ x diameter
= ½ x 2√5
= √5

19. 19
Koordinat pusat =
= (0,0)
A(2,-1)
B(-2,1)
Pusat





 



2
)
1
(
1
,
2
2
2

20. 20
Jadi,
persamaan lingkarang yang
jari-jari = √5 dan pusat (0,0)
adalah x2 + y2 = (√5)2
x2 + y2 = 5

21. Contoh 7
21
58
y
x
persamaan
dengan
lingkaran
terhadap
(2,1)
dan
(8,9)
(3,7),
(4,-5),
titik
-
titik
posisi
Tentukan
2
2



22. Jawab :
22
lingkaran
didalam
terletak
(2,1)
maka
r
5
1
2
:
(2,1)
Posisi
lingkaran
diluar
terletak
(8,9)
maka
r
145
9
8
:
(8,9)
Posisi
lingkaran
pada
terletak
(3,7)
maka
r
58
7
3
:
(3,7)
Posisi
lingkaran
didalam
terletak
(4,-5)
maka
r
41
)
5
(
4
:
(4,-5)
Posisi
58
r
dan
O(0,0)
Pusatnya
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2















23. 23
(x – a)2 + (y - b)2 = r2
Pusat lingkaran (a,b) , r = jari-jari
a
(a, b)
b
(0,0)
Persamaan Lingkaran
Pusat (a,b) dan jari-jari r
x
y

24. 24
Soal 1
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
a. (x – 3)2 + (y – 7)2 = 9
jawab: pusat di (3,7) dan
jari-jari r = √9 = 3
b. (x – 8)2 + (y + 5)2 = 6
jawab: pusat di (8,-5) dan
jari- jari r = √6

25. 25
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
c. (x + 3)2 + (y – 5)2 = 24
jawab: pusat di (-3,5) dan
jari-jari r = √24 = 2√6
d. x2 + (y + 6)2 = ¼
jawab: pusat di (0,-6) dan
jari- jari r = √¼ = ½

26. 26
Soal 2
Persamaan lingkaran, pusat di (1,5)
dan jari-jarinya 3 adalah ….
Penyelesaian:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
▪ Pusat (1,5) → a = 1 dan b = 5
▪ Jari-jari r = 3 → r2 = 9
Persamaannya (x – 1)2 + (y – 5)2 = 9

27. 27
Soal 3
Persamaan lingkaran, pusat di (-1,0)
dan jari-jarinya 3√2 adalah ….
Penyelesaian:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
▪ Pusat (-1,0) → a = -1 dan b = 0
▪ Jari-jari r = 3√2 → r2 = (3√2)2 = 18
Persamaannya: (x + 1)2 + y2 = 18

28. 28
Soal 4
Persamaan lingkaran yang
berpusat di titik (-2,-7)
dan melalui titik (10,2) adalah ….

29. 29
P(-2,-7)
A(10,2)
r
Penyelesaian:
Pusat (-2,-7)
→ a = -2, b = -7
Jari-jari = r = AP
AP =
r =
Jadi, persamaan lingkarannya
(x + 2)2 + (y + 7)2 = 225
2
2
2)
7
(
10)
2
( 




15
225
81
144 

 → r2 = 225

30. 30
Soal 5
Persamaan lingkaran yang
berpusat di titik (4,-3)
dan melalui titik pangkal
adalah ….

31. 31
P(4,-3)
O(0,0)
r
Penyelesaian:
Pusat (4,-3)
→ a = 4, b = -3
Jari-jari = r = OP
OP =
r =
Jadi, persamaan lingkarannya
(x - 4)2 + (y + 3)2 = 25
2
2
)
0
3
(
)
0
4
( 



5
25
9
16 

 → r2 = 25

32. 32
Soal 6
Persamaan lingkaran yang
berpusat di garis x – y = 1,
jari-jari √5 dan
melalui titik pangkal adalah ….

33. 33
Penyelesaian
Misal persamaan lingkarannya
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
▪ melalui O(0,0) → x = 0, y = 0
dan jari-jari r = √5 → r2 = 5
disubstitusi ke (x – a)2 + (y – b)2 = r2
(0 – a)2 + (0 – b)2 = 5
a2 + b2 = 5 …..(1)

34. 34
▪ Pusat (a,b) pada garis x – y = 1
a – b = 1 → a = b + 1
disubstitusi ke a2 + b2 = 5
(b + 1)2 + b2 = 5
b2 + 2b + 1 + b2 = 5
2b2 + 2b – 4 = 0 → b2 + b – 2 = 0
(b + 2)(b – 1) = 0
b = -2 atau b = 1

35. 35
▪ b = -2 → a = b + 1 = -2 + 1 = -1
diperoleh pusatnya (-1,-2), r = √5
Jadi, persamaan lingkarannya
(x + 1)2 + (y + 2)2 = 5
▪ atau b = 1 → a = 1 + 1 = 2
diperoleh pusatnya (2,1), r = √5
Jadi, persamaan lingkarannya
(x – 2)2 + (y – 1)2 = 5

36. 36
Soal 7
Persamaan lingkaran yang
berpusat pada perpotongan garis
y = x dengan garis x + 2y = 6
melalui titik O(0,0) adalah ….

37. 37
Penyelesaian
▪ pusat pada perpotongan garis
y = x dengan garis x + 2y = 6
substitusi y = x ke x + 2y = 6
x + 2x = 6
3x = 6 → x = 2
x = 2 → y = 2 → pusat (2,2)

38. 38
▪ jari-jari = jarak pusat (2,2) ke O(0,0)
r =
=
Jadi, persamaan lingkarannya
(x – 2)2 + (y – 2)2 = 8
x2 – 4x + 4 + y2 – 4x + 4 = 8
x2 + y2 – 4x – 4y = 0 → persamaan
lingkaran dalam bentuk umum
2
2
)
0
2
(
)
0
2
( 


8
4
4 
 → r2 = 8

39. 39
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
Persamaan Lingkaran
dalam bentuk umum
Pusat (-½A, -½B)
r = C
B
A 


 2
2
1
2
2
1
)
(
)
(

40. 40
Soal 1
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
x2 + y2 – 2x – 6y – 15 = 0
jawab:
A = -2, B = - 6, C = -15
pusat di (-½A,-½B) → (1, 3)
jari-jari r =
=
)
15
(
3
1 2
2



5
25 

41. 41
Soal 2
Tentukan pusat lingkaran
3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0
jawab:
3x2 + 3y2 – 4x + 6y – 12 = 0
x2 + y2 – x + 2y – 4 = 0
3
4
Pusat (-½( – ), -½.2)
3
4
Pusat( , – 1)
3
2

42. 42
Soal 3
Jika titik (-5,k) terletak pada
lingkaran x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0
maka nilai k adalah…

43. 43
Penyelesaian
(-5,k) terletak pada lingkaran
x2 + y2 + 2x – 5y – 21 = 0
 (-5)2 + k2 +2(-5) – 5k – 21 = 0
25 + k2 – 10 – 5k – 21 = 0
k2 – 5k – 6 = 0
(k – 6)(k + 1) = 0
Jadi, nilai k = 6 atau k = -1

44. 44
Soal 4
Jarak terdekat antara titik (-7,2)
ke lingkaran
x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0
sama dengan….

45. 45
Penyelesaian
Titik T(-7,2) disubstitusi ke
x2 + y2 – 10x – 14y – 151
(-7)2 + 22 – 10.(-7) – 14.2 – 151
49 + 4 + 70 – 28 – 151 = - 56 < 0
berarti titik T(-7,2) berada
di dalam lingkaran

46. 46
Pusat x2 + y2 – 10x – 14y – 151 = 0
adalah P(-½(-10), -½(-14)) = P(5, 7)
QT = PQ - PT
= 15 – 13 = 2
Jadi, jarak terdekat adalah 2
P(5,7)
Q
r
T(-7,2)
)
151
(
7
5
r
PQ 2
2





25
225
r 


PT
13
168 

2
2
)
7
2
(
)
5
7
( 




47. Garis Singgung Lingkaran
47
2
1
1
1
1
r
y
y
x
x
a
singgungny
garis
r
jari
-
jari
dan
O(0,0)
di
berpusat
Lingkaran
Jika
A.
L
Lingkaran
Pada
)
y
,
P(x
titik
melalui
Lingkaran
Singgung
Garis
1.


0
5
-
2y
-
atau x
5
2y
-
x
:
didapat
singgung
garis
rumus
ke
masukan
2
y
dan
1
x
:
JAWAB
A(1,-2)
singgung
dititik
5
x
L
Lingkaran
pada
singgung
garis
Persamaan
Tentukan
:
CONTOH
1
1
2
2







 y

48. 2. Lingkaran dengan pusat A(a,b)
dan jari-jari r.
48
2
1
1
2
2
2
r
b)
b)(y
(y
a)
a)(x
(x
a
singgungny
garis
persamaan
maka
r
b)
(y
a)
-
(x
L
Jika










0
9
3y
4x
atau
0
9
-
3y
-
4x
-
0
25
-
12
3y
-
4
4x
-
0
25
-
4)
-
3(y
-
1)
-
4(x
-
25
4)
-
4)(y
-
(1
1)
-
1)(x
-
(-3
:
maka
25
r
serta
4
b
dan
1
a
:
JAWAB
A(-3,1)
singgung
dititik
25
)
4
(
1)
-
(x
L
Lingkaran
pada
singgung
garis
persamaan
Tentukan
:
CONTOH
2
2
2
















 y

49. 3. Lingkaran Umum dengan bentuk
49
Singgung
Garis
0.
C
By
Ax
y
x 2
2





0
C
)
y
(y
2
B
)
x
(x
2
A
y
y
x
x
adalah
)
y
,
T(x
singgung
titik
melalui
Yang
1
1
1
1
1
1









50. 50
13
5y
4x
atau
0
13
-
5y
4x
0
21
-
1)
4(y
2)
2(x
y
2x
0
21
-
1)
(y
2
8
2)
(x
2
4
y
2x
a
singgungny
garis
persamaan
maka
1
y
dan
2
x
:
JAWAB
A(2,1)
singgung
titik
melalui
0
21
-
8y
4x
y
x
L
lingkaran
pada
singgung
garis
Persamaan
Tentukan
:
CONTOH
1
1
2
2
























51. Persamaan Garis Singgung dengan
Gradien Tertentu (m)
51
1
m
r
mx
y
:
adalah
m
gradien
serta
r
jari
-
Jari
dan
O(0,0)
di
berpusat
yang
Lingkaran
Singgung
Garis
Persamaan
2




52. CONTOH
52
0
12
3y
-
4x
:
L
garis
dengan
lurus
Tegak
d.
0
12
3y
-
4x
:
L
garis
dengan
Sejajar
c.
positif
sumbu x
terhadap
30
sudut
Membentuk
b.
2
gradien
Mempunyai
a.
:
diketahui
Jika
9
x
L
lingkaran
pada
singgung
garis
persamaan
Tentukan
0
2
2






 y

53. JAWAB
53
5
3
-
2x
y
atau
5
3
2x
y
adalah
a
singgungny
garis
Persamaan
Jadi
5
3
2x
y
1
4
3
2x
y
1
m
r
mx
y
:
a
singgungny
garis
Persamaan
2
m
Gradien
a.
2













54. 54
positif
sumbu x
dengan
30
sudut
Membentuk
b. 0
0
6
3
y
-
atau x
0
6
3
y
-
x
:
a
singgungny
Garis
Persamaan
Jadi
6
3y
3
6
3
1
y
3
2
.
3
3
1
y
3
4
3
3
1
y
1
3
1
3
3
1
y
:
a
singgungny
garis
Persamaan



















x
x
x
x
x

55. c. Garis L:4x-3y+12=0 mempunyai
m=
55
3
4
5
3
4
y
atau
5
3
4
y
a
singgungny
garis
Persamaan
Jadi
5
3
4
y
3
5
.
3
3
4
y
9
25
3
3
4
y
1
9
16
3
3
4
y
a
singgungny
garis
Persamaan
3
4
m
gradien
maka
sejajar
garisnya
Karena

















x
x
x
x
x
x

56. d. Persamaan garis singgung yang
tegak lurus grs.L=4x-3y+12=0
56
0
15
4y
3x
atau
0
15
-
4y
3x
a
singgungny
garis
Persamaan
Jadi
15
-3x
4
4
15
4
3
-
y
4
5
.
3
4
3
-
y
16
25
3
4
3
-
y
1
16
9
3
4
3
-
y
4
3
m
maka
lurus
tegak
garisnya
karena
3
4
m 2
1
























y
x
x
x

57. 2 Lingkaran berpusat di A(a,b) dan
jari-jari r
57
1
m
r
a)
-
m(x
b
-
y
:
adalah
a
singgungny
garis
Persamaan
2




58. CONTOH:
58
0
15
3y
4x
dan
0
5
-
3y
4x
:
a
singgungny
Garis
Pers
Jadi
18
-
-4x
3
-
3y
dan
2
4
3
3
10
8
4
3
3
3
10
)
2
(
3
4
1
1
9
16
2
)
2
(
3
4
-
1
-
y
)
1
m
r(
2)
m(x
1
-
y
:
JAWAB
0
1
4
3
L
garis
lurus
tegak
yang
4
)
1
(
2)
(x
L
lingkaran
pada
singgung
garis
persamaan
Tentukan
2
2
2






































x
y
x
y
x
y
x
y
x
y

59. 59
SELAMAT BELAJAR