Matematika Minat

1. 11/14/2015 1

2. IRISAN
2LINGKARAN
11/14/2015 2

3. 11/14/2015 3

4. IRISAN DUA LINGKARAN
Persamaan
Lingkaran dan
Hubungan Dua
Lingkaran
Keliling Irisan
Dua Lingkaran
Luas Irisan
Dua Lingkaran
Tali Busur
11/14/2015 4

5. 11/14/2015 5

6. Persamaan Lingkaran
A (x,y)r
x
y
X
Y
X
Y
A (x,y)
P (a,b)
(x-a)
(y-b)
LingkaranBerpusatdititik
(0,0)
x2 + y2 = r2
r = jari-jari
(x – a)2 + (y - b)2 = r2
Pusat lingkaran (a,b) ,
r = jari-jari
LingkaranBerpusatdititik
(a,b)
11/14/2015 6

7. x2 + y2 + Ax + By + C = 0
CBA  2
2
12
2
1
)()(
Persamaan Lingkaran
dalam bentuk umum
Pusat (-½A, -½B)
r =
11/14/2015 7

8. Hubungan Dua Lingkaran
P P P
P
P
PP
Q
Q
QQQ
QQ
R
rL2
L1
L2L2
L2L2L2
L2
L1L1
L1L1L1
L1
L2 di dlm L1
PQ=0
L1 konsentris L2
L2 di dlm L1
PQ<R-r
bersinggungan di
dlm
PQ=R-r
berpotongan di
dlm
PQ<R-r
berpotongan di luar
PQ<R-r
bersinggungan di luar
PQ<R-r
terpisah
PQ<R-r
PQ = 11/14/2015 8

9. 11/14/2015 9

10. 11/14/2015 10

11. 11/14/2015 11

12. IRISAN DUA LINGKARAN
Persamaan
Lingkaran dan
Hubungan Dua
Lingkaran
Keliling Irisan
Dua Lingkaran
Luas Irisan
Dua Lingkaran
Tali Busur
11/14/2015 12

13. Keliling Irisan dua Lingkaran
C
B
a
c
b
a2 = b2 + c2 – 2bc cos α
cos α =?
Panjang Busur =
ATAU
A
r
r
n
cos α =
11/14/2015 13

14. Mencari titik potong dua lingkaran
 Eliminasi x2 dan y2 pada kedua persamaan
lingkaran sehingga diperoleh persamaan
garis yang melalui kedua titik potong
lingkaran
 Substitusikan nilai x atau y dari garis
tersebut ke salah satu persamaan lingkaran
sehingga diperoleh persamaan koordinat
 Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat
pada langkah b
 Substitusikan nilai x atau y yang diperoleh ke
persamaan lingkaran sehingga mendapatkan
pasangannya
11/14/2015 14

15. IRISAN DUA LINGKARAN
Persamaan
Lingkaran dan
Hubungan Dua
Lingkaran
Keliling Irisan
Dua Lingkaran
Luas Irisan
Dua Lingkaran
Tali Busur
11/14/2015 15

16. Luas Irisan Dua
LingkaranB
c a
b
A C
r
r
r
r
A
A
B
B
P
P
A
B11/14/2015 16

17. BENTUK 1
PQ α β
A
B
r
r
R
R
11/14/2015 17

18. BENTUK 2
R
R
βα
PQ
A
B
r
r
11/14/2015 18

19. IRISAN DUA LINGKARAN
Persamaan
Lingkaran dan
Hubungan Dua
Lingkaran
Keliling Irisan
Dua Lingkaran
Luas Irisan Dua
Lingkaran
Tali Busur
11/14/2015 19

20. P
Q
A
B
r
r
R
M
Panjang tali busur = 2 AM
= 2 √ r² - p²
AM = √ r² - p²
Tali Busur
11/14/2015 20

21. Tali busur lingkaran adalah ruas garis dalam lingkaran
yang menghubungkan 2 titik pada lingkaran.
Ciri ciri:
1. Berupa ruas garis
2. Menghubungkan 2 titik pada lingkaran
Tali-tali busur pada gambar (a) berpotongan di dalam
lingkaran. Tali-tali busur pada gambar (ii)
berpotongan pada lingkaran. Sedangkan tali-tali
busur lingkaran pada gambar (iii) berpotongan di luar
lingkaran.
11/14/2015 21

22. Dua Tali Busur yang Berpotongan
di Dalam Lingkaran
Perhatikan bahwa sudut-sudut ABC dan ADC
merupakan sudut-sudut keliling yang menghadap busur
yang sama, sehingga sudut ABC sama dengan sudut
ADC. Selain itu, sudut-sudut AKD dan CKB merupakan
sudut-sudut yang bertolak belakang. Sehingga sudut
AKD sama dengan sudut CKB. Oleh karena itu,
segitiga AKD sebangun dengan segitiga CKB.
11/14/2015 22

23. Karena segitiga-segitiga AKD dan CKB merupakan
segitiga-segitiga yang sebangun, maka perbandingan
sisi-sisi yang bersesuaiannya sama, yaitu AK : CK =
KD : KB. Atau dengan kata lain, AK × KB = CK × KD.
Jika dua tali busur berpotongan pada satu titik di
dalam lingkaran, maka hasil kali kedua bagian dari
satu tali busur sama dengan hasil kali kedua bagian
tali busur yang lain.
11/14/2015 23

24. menyelidiki besar sudut yang dibentuk oleh perpotongan dua tali
busur tersebut. Dengan cara yang sama dengan di atas, dapat
ditunjukkan bahwa segitiga PLS sebangun dengan segitiga RLQ.
Sehingga sudut P sama dengan sudut R, sudut S sama dengan
sudut R, dan sudut L1 sama dengan sudut L2 (Sudut L1 dan L2
secara berturut-turut merupakan sudut L atas dan bawah). Karena
sudut α berpelurus dengan sudut L1, maka α = 180° – L1. Sesuai
dengan sifat penjumlahan sudut-sudut dalam segitiga, maka P + S
+ L1 = 180°. Atau dengan kata lain, L1 = 180° – P – S. Sehingga, α
= 180° – (180° – P – S) = P + S. Karena sudut S sama dengan
sudut Q, maka α = P + Q.
Sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di dalam
lingkaran besarnya sama dengan jumlah sudut keliling yang
menghadap busur yang terletak di antara kaki-kaki sudutnya.
11/14/2015 24

25. CONTOH
SOAL
11/14/2015 25

26. 11/14/2015 26

27. 11/14/2015 27

28. Contoh Soal :
Jika dan
adalah persamaan
– persamaan lingkaran.
Tentukan kedudukan kedua
lingkaran itu.
11/14/2015 28

29. Jawab :
L1 :
Pusat :
P = (-1/2 A,-1/2 B) = (1,-2)
Jari-jari :
11/14/2015 29

30. L2 :
Jadi L1 berpotongan
dengan L2
11/14/2015 30

31. 11/14/2015 31

32. Pembahasan
Jari-jari r
= sehingga = 12.
Jadi, persamaan lingkaran
berpusat di (0, 0) dengan
adalah x2 + y2 = 12.
11/14/2015 32

33. 11/14/2015 33

34. Pembahasan
Persamaan lingkaran berpusat di
(0, 0) dengan jari-jari r adalah :
x2 + y2 = r2 .... (1)
Oleh karena lingkaran melalui
titik (–6, –8) maka dengan
mensubstitusikan (–6, –8) pada
persamaan (1), diperoleh :
11/14/2015 34

35. x2 + y2 = r2
↔ (–6)2 + (–8)2 = r2
↔ r2 = 36 + 64 = 100
↔ r = =10
Kemudian, r2 = 100
substitusikan pada
persamaan (1),
diperoleh x2 + y2 = 100.
Jadi, persamaan lingkarannya
adalah x2 + y2 = 100.11/14/2015 35

36. Tentukan pusat
dan jari-jari
lingkaran 2x2 +
2y2 – 4x –12y
= 101. 11/14/2015 36

37. 11/14/2015 37

38. 1. Perhatikan gambar berikut ini.
Diketahui Luas lingkaran2 154 cm dan
r1 = 14 cm. Jika cos α dan β = 0
Tentukan keliling daerah arsiran?α
β
Dik : L 2 = 154 cos α = 0
r1 = 14 cm cos β = 0
π = 22
7
cos α = 0 α = β
α = 90˚ 90˚= β
L 2 → 154 = πr²
154 = 22 r²
7
154 x 7 = r²
22
49 = r²
7 = r
K. Arsiran = Busur 1 + Busur2
=( α x 2πr) + ( β x 2πr )
360˚ 360˚
1
2
3
4
11/14/2015 38

39. Busur 1 = α x 2πr
360˚
= 90° x 2. 22 . 14
360˚ 7
= 0,25 x 88
= 44 cm
Busur2 = β x 2πr
360˚
= 90° x 2. 22 . 7
360˚ 7
= 0,25 x 44
= 11 cm
K. Arsiran = Busur1 + Busur 2
= 44 cm + 11 cm
= 55 cm
5
6
7
11/14/2015 39Soal

40. 2.
Perhatikan gambar
L1 : x2 + y2 + 2x - 2y - 7 = 0
L2 : x2 + y2 - 6x + 12y + 41 = 0
Jika α dan β 90˚.Berapa luas daerah arsiran?
L. Arsiran = L tembereng₁ + L tembereng₂
= (L juring – L segitiga)+(L juring –L segitiga)
=( β x πr² - 1 r² sinβ )+(α x πr²- 1 r² sinα)
360˚ 2 360˚ 2
r1 = √(- 1 A)² + (- 1 B )² – C
2 2
= √(- 1 2)² + (- 1 (-2))² – (-7)
2 2
= √(- 1)² + (1)² +7
= √1+1+7
= √9 = 3 cm
r2 = √(- 1 A)² + (- 1 B )² – C
2 2
= √(- 1(-6))² + (- 1 12)² – 41
2 2
= √(3)² + (-6)² -41
= √9+36-41
= √4 = 2 cm
Dik : α = 90˚
β = 90˚
α
β
1
2
3
4
5
11/14/2015 40

41. L tembereng₁ = β x πr² - 1 r² sin β
360˚ 2
= 90° x 3,14(3)² - 1 (3)² sin 90°
360˚ 2
= 0,25 x 3,14(9) - 1 (9) (1)
2
= 0,25 x 28,26 – 4,5
= 2,565 cm²
L tembereng2 = α x πr² - 1 r² sin α
360˚ 2
= 90° x 3,14(2)² - 1 (2)² sin 90°
360˚ 2
= 0,25 x 3,14(4) - 1 (4) (1)
2
= 0,25 x 12,56 – 2
= 1,14 cm ²
L. Arsiran = L tembereng₁ + L tembereng₂
= 2,565 cm + 1,14 cm
= 3,705 cm²
6
7
8
11/14/2015 41

42. R
R
βα
PQ
A
B
r
r
Perhatikan gambar.
Jika α= 120˚ dan β=
90˚
Dan keliling L₂ = 88
cm² serta r₁ = 7
cm.Berpa Luas
daerah arsiran?
π= 22
7
3.
Dik : α = 120 ˚
β = 90˚
r₁ = 7
K. L₂ = 88
π = 22
7
L. Arsiran = L juring besar APB + Luas ΔAPB + Luas
tembereng Q
1
2
.
3.
11/14/2015 42

43. K. L₂ → 2πr = 88
πr = 88
2
22 r = 44
7
r = 44. 7
22
r₂ = 14
= 360˚- 120˚ x 22 7² + 1 7² sin 120˚+ 14² ( 90˚ x 22 - 1 sin 90˚)
360˚ 7 2 360˚ 7 2
= 240˚ x 22 49 + 1 49. √3 + 196 (1 x 22 - 1 . 1)
360˚ 7 2 2 4 7 2
= 2 x 154 + 49√3 + 196 (2 )
3 4 7
= 308 + 21,2 + 56
3
= 102,6 + 77,2
= 179,8 cm²
L. Arsiran = L juring besar APB + Luas ΔAPB + Luas tembereng Q
4
5
11/14/2015 43

44. Diketahui :
QI = 4,2 cm dan
MI = r dengan p = QM
10
Maka panjang tali busur AB adalah?
P
Q
A
B
r
5
RM
4.
I
P=QM → QI – MI
= 4,2 – r
10
= 4,2 - 5
10
= 4,2 – 0,2
= 4 cm
AB = 2 √ r² - P²
= 2 √ 5² - 4²
= 2 √ 25 -16
= 2 √9
= 2.3
= 6 cm
1
2
3
11/14/2015 44

45. Terima Kasih
11/14/2015 45