Λύσεις των θεμάτων των πανελλαδικών εξετάσεων-2014, στα μαθηματικά και στοιχεία στατιστικής γενικής παιδείας.

1. ΛΥΣΕΙΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Γιάννης Γκούμας
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β΄)
ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

2. www.
ygoumas.gr
Γκούμας
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γιάννης Γκούμας
ΘΕΜΑ Α
Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 30
Α2. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 13
Α3. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 59
Α4. α) Σωστό, β) Λάθος, γ) Λάθος , δ) Λάθος, ε) Σωστό
Θέμα Β
Β1. Το πλήθος των πωλητών είναι 1 2 3 4 12 8 14 6 40ν ν ν ν ν= + + + = + + + = .
B2.
Κλάσεις
Κεντρικές
τιμές
ix
Συχνότητα
iν
Σχετική
συχνότητα
if
[2,4) 3 12 0,3
[4,6) 5 8 0,2
[6,8) 7 14 0.35
[8,10) 9 6 0.15
Σύνολο 40 1
1
1
12
0,3
40
f
ν
ν
= = = , 2
2
8
0,2
40
f
ν
ν
= = = , 2
2
14
0,35
40
f
ν
ν
= = = , 2
2
6
0,15
40
f
ν
ν
= = =
Β3. α) Η μέση τιμή είναι
4
1
3 0,3 5 0,2 7 0,35 9 0,15i i
i
x x f
=
= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =∑
0,9 1 2,45 1,35 5,7= + + + = χιλιάδες ευρώ.
β) Έστω ότι η κλάση [4,5 , 6) έχει x παρατηρήσεις. Αφού οι παρατηρήσεις της κλάσης [4,6)
είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες
6 4 6 4,5 2 1,5
1,5 4 6
8 8
x x
x x
− −
= ⇔ = ⇔ = ⋅ ⇔ = .
Συνεπώς το πλήθος των πωλητών που έκαναν πωλήσεις τουλάχιστον 4,5 χιλιάδων ευρώ
ισούται με το άθροισμα των παρατηρήσεων των κλάσεων [4,5 , 6), [6,8) και [8,10)
3 46 6 14 6 26ν ν+ + = + + = .
Θέμα Γ
Γ1. Η f είναι πολυωνυμική άρα παραγωγίσιμη στο  .
2
'( ) 12 7 1f x x x= − +
2
'( ) 0 12 7 1 0f x x x= ⇔ − + = , 2
7 4 12 1 1∆= − ⋅ ⋅= άρα
7 1 1
2 12 3
x x
±
= ⇒=
⋅
ή
1
4
x = .
'( ) 0f x < όταν
1 1
,
4 3
x
 
∈ 
 
και '( ) 0f x > όταν
1 1
, ,
4 3
x
   
∈ −∞ +∞   
   
 .
Άρα στο 1
1
4
x = παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και στο 2
1
3
x = τοπικό ελάχιστο. Συνεπώς
1
1
(K)
4
P x= = και 2
1
(A)
3
P x= = .
Σύμφωνα με τον αξιωματικό ορισμό
www.ygoumas.gr
1

3. www.
ygoumas.gr
Γιάννης
Γκούμας
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γιάννης Γκούμας
1 1 5
( ) (A) ( ) 1 ( ) 1 ( ) (A) ( ) 1 ( )
4 3 12
P K P P P P K P P P+ + Π = ⇔ Π = − − ⇔ Π = − − ⇔ Π = .
Γ2.
,
ασυμβίβαστα 1 1 7
( ) (K A) (K) (A)
4 3 12
P P P P
Κ Α
Γ = ∪ + = + =
[ ]
7 5
( ) (K A)' 1 (K A) 1 ( ) 1
12 12
P P P P∆ = ∪ = − ∪ = − Γ = − =
( ) ( ') (A) ( ') ( ') (A) (1 ( )) (P( ) ( ))P P P P P P P PΕ= Α ∪Π= + Π − Α ∩Π= + − Π − Α − Α ∩Π=
5 7
(A) 1 ( ) P( ) 1 ( ) 1
12 12
P P P= + − Π − Α = − Π = − =
Γ3.
( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4
( ) ( ) 4
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N N N N
N N
N N N N N
Α Π − Α Π
Α =Π − ⇔ = ⇔ = − ⇔
Ω Ω Ω Ω Ω
1 5 4 4 5 1 4 1
( ) 48
3 12 ( ) ( ) 12 3 ( ) 12
N
N N N
=− ⇔ =− ⇔ =⇔ Ω =
Ω Ω Ω
ΘΕΜΑ Δ
Δ1.
Αρχικά θα υπολογίσουμε το μήκος y . Η βάση του κουτιού είναι το ορθογώνιο
παραλληλόγραμμο ΑΒΓ∆ άρα 2 2 20 10 10x y x y y x+ = ⇔ + = ⇔ = − .
Η συνολική επιφάνεια του κουτιού είναι:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
( )
2 2
2 5 2 5 ,
(10 ) 10(10 ) 10
10 100 10 10
10 100
E x
x y y x
x x x x
x x x x
x x
= ΑΒΓ∆ + ∆ΑΕΘ + ΓΒΖΗ + ΑΒΖΕ + ∆ΓΗΘ
= ΑΒΓ∆ + ∆ΑΕΘ + ΑΒΖΕ
= ⋅ + ⋅ + ⋅
= − + − +
= − + − +
=− + +
με (0,10)x∈ από υπόθεση.
Η E είναι πολυωνυμική άρα παραγωγίσιμη στο (0,10) .
'( ) 2 10E x x=− +
'( ) 0 2 10 0 2 10 5E x x x x= ⇔ − + = ⇔ = ⇔ =
www.ygoumas.gr
2

4. www.
ygoumas.gr
Γιάννης
Γκούμας
Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γιάννης Γκούμας
'( ) 0 2 10 0 10 2 5E x x x x< ⇔ − + < ⇔ < ⇔ >
'( ) 0 2 10 0 10 2 5E x x x x> ⇔ − + > ⇔ > ⇔ <
Άρα για 5 dmx = το κουτί έχει μέγιστη επιφάνεια.
Δ2. α) Για την εξίσωση 2
2 5 2 0s s− + = έχουμε ( )
2
5 4 2 2 25 16 9∆ = − − ⋅ ⋅ = − = άρα
2
5 3 5 3
1
2 2 4
2
s

± ± 
= = = 
⋅ 
Επειδή το δείγμα δεν είναι ομοιογενές 0,1 0,1 0,1 0,8
8
s s
CV s
x
> ⇔ > ⇔ > ⇔ > .
Συνεπώς 2s = .
β)
2 2
2
1 12 2 2 2 21
2
1
1
i ii
i ii
i
i
t tt
s t s x x
ν νν
ν
ν ν ν ν
= ==
=
    
    
    = − = − ⇔ = − 
 
 
 
∑ ∑∑
∑ .
Αντικαθιστώντας έχουμε 2 2 2 2 2
2 8 4 64 68x x x= − ⇔ = − ⇔ = .
Δ3. Έχουμε 1 15ix x x≤ ≤ , 1,2,...,15i = . Επειδή η E είναι γνησίως φθίνουσα στο [5,9]
( ) ( ) ( )1 15 1 15i iE x E x E x y y y≥ ≥ ⇒ ≥ ≥ , 1,2,...,15i = .
Άρα 2 2 2 2
1 15 5 10 5 100 ( 9 10 9 100) 5 10 5 9 10 9 16R y y= − =− + ⋅ + − − + ⋅ + =− + ⋅ + − ⋅ = .
Συνεπώς
2 2
4 9 1 10 100 4 9 16 1 10 100 4 9 16 1i i i i i i i iy x R x x x x x x> − + + ⇒ − + + > − + ⋅ + ⇒ − + + > − + ⋅ +
2
14 45 0 5 9i i ix x x⇒ − + < ⇒ < < .
Άρα { }(x , y ), 2,3,...,14i i iB A i= = . Από τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας έχουμε
(B) 13
( )
( ) 15
N
P B
N
= =
Ω
.
www.ygoumas.gr
3