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2018年度秋学期　画像情報処理　第１１回　逆投影法による再構成 (2018. 12. 21)

関西大学総合情報学部・画像情報処理（担当・浅野晃）

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A.Asano,KansaiUniv. 2018年度秋学期　画像情報処理 浅野　晃 関西大学総合情報学部 逆投影法による再構成 第１１回
A.Asano,KansaiUniv.
A.Asano,KansaiUniv. 投影定理の復習
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 投影定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 投影定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 投影定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 投影定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 投影定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 投影定理 3 投影群から２次元関数を再構成する fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 「断面」がすべてそろえば，２次元逆フーリエ変換で ２次元関数が再構成できる
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くす ことはできない
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フーリエ変換法による再構成の問題点 4 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 ２次元フーリエ変換の 「すべての断面」を求めることはできない fx fy ひとつの投影＝ひとつの断面 有限個の投影では，２次元フーリエ変換を埋め尽くす ことはできない →補間を行う
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フーリエ変換法による再構成の問題点 5 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 fx fy 断面は極座標 周波数空間の誤差は，画像全体に ひろがるアーティファクトを生む 補間を行う。が，コンピュータで計算する限りは「離散的」 ２次元フーリエ変換は 正方座標 コンピュータの能力が低かった時代は
 精密な計算が難しかった →さてどうした？
A.Asano,KansaiUniv.
A.Asano,KansaiUniv. 逆投影法💡💡
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 素朴な再構成 ー 逆投影 7 x y f(x, y)
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は x y f(x, y)
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y)
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y)
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて 合計してみれば？
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 素朴な再構成 ー 逆投影 7 ２次元関数の任意の点 f(x, y) での値は f(x, y) を通るすべての投影 （線積分）がわかれば求 められる x y f(x, y) なら，それらの線積分をすべて 合計してみれば？ どの線積分にも f(x, y) は含まれているのだから， 合計したら f(x, y) が強調される？
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 逆投影法 8 x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ)
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ)
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 逆投影法 8 g(s,θ) x y θ s 軸 s g(s, θ) u 物体 投 影 0 g(0, θ) s この線上では これを半周分足し合わせたのが 逆投影 x cos θ + y sin θ − s = 0 　 　 s = x cos θ + y sin θ つまり よって投影は g(x cos θ + y sin θ, θ) b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ 復元できているのか？ f(x, y) とどれほど違うのだろうか？
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ逆投影
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているのだろうか？ 9 b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているのだろうか？ 9 s = x cos θ + y sin θ b(x, y) = π 0 g(x cos θ + y sin θ, θ)dθ g(s, θ) = ∞ −∞ f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy Radon変換 逆投影 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているのだろうか？ 10 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているのだろうか？ 10 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk]
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 　 　 三角関数を合成
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 　 　 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているのだろうか？ 10 h(θ)が有限個のθkでしか0にならないとき b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ δ[h(θ)] = k 1 |h′(θk)| δ[θ − θk] (x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ = (x′ − x)2 + (y′ − y)2 sin(θ + α), α = cos−1 y′−y√ (x′−x)2+(y′−y)2 = sin−1 x′−x√ (x′−x)2+(y′−y)2 　 　 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 　 　 　 三角関数を合成 θ = π − α のときだけ0
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているといえなくもない 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているといえなくもない 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているといえなくもない 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 　 　 　
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているといえなくもない 11 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 　 　 　
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているといえなくもない 11 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 　 　 　
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているといえなくもない 11 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ b(x, y) = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′ dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 　 　 　 よって
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元できているといえなくもない 11 積分すると1 b(x, y) = π 0 ∞ −∞ f(x′ , y′ )δ(x′ cos θ + y′ sin θ − (x cos θ + y sin θ))dx′ dy′ dθ = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) π 0 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ))dθ dx′ dy′ b(x, y) = ∞ −∞ f(x′ , y′ ) 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 dx′ dy′ = f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 δ((x′ − x) cos θ + (y′ − y) sin θ)) = 1 (x′ − x)2 + (y′ − y)2 cos(π) δ(θ − (π − α)) 　 　 　 よって コンヴォリューションに なっている
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元するには 12 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y なので
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – 復元するには 12 フーリエ変換すると，コンヴォリューション→積 b(x, y)= f(x, y) ∗ 1 x2 + y2 FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 ∴ FT[f(x, y)] = FT[b(x, y)]/FT 1 x2 + y2 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y なので
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)]
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 周波数0の成分は
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 全体の 平均が0
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 全体の 平均が0
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 全体の 平均が0
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 全体の 平均が0
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる 全体の 平均が0
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる おかしい。吸収率なんだから 全体の 平均が0
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる おかしい。吸収率なんだから 0 全体の 平均が0
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる おかしい。吸収率なんだから 0 全体の 平均が0
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる おかしい。吸収率なんだから 0 値は正のはず 全体の 平均が0
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる おかしい。吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の 平均が0
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる おかしい。吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の 平均が0
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる おかしい。吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも 全体の 平均が0
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – これでいいのでしょうか？ 13 つまりf(x, y)は FT[f(x, y)] = f2 x + f2 y × FT[b(x, y)] FT[b(x, y)] = FT[f(x, y)] × FT 1 x2 + y2 FT 1 x2 + y2 = 1 f2 x + f2 y fx = fy = 0 　 　 FT[f(x, y)] = 0 　 　 周波数0の成分は 0 こうなっている ことになる おかしい。吸収率なんだから 0 値は正のはず そもそも fx = fy = 0 で発散している 全体の 平均が0
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 14 再び投影定理 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 14 再び投影定理 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 復元
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 14 再び投影定理 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 復元 ２次元逆フーリエ変換
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 14 再び投影定理 fxF(fx, fy) fy θ ξ 断面 F(ξcosθ, ξsinθ) ξ Gθ(ξ) 等しい x y θ s sg(s, θ) u 物体 投 影 物体の２次元 フーリエ変換 投影の１次元 フーリエ変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy 復元 ２次元逆フーリエ変換
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 15 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 投影定理より
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) 投影定理より
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 15 極座標に変換 f(x, y) = ∞ −∞ F(fx, fy) exp(i2π(fxx + fyy))dfxdfy fx = ξ cos θ, fy = ξ sin θ f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 F(ξ cos θ, ξ sin θ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 投影定理より
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 16 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 s = x cos θ + y sin θ
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 16 積分区間を変換 f(x, y) = 2π 0 ∞ 0 Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))ξdξdθ 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ Gθ(ξ) exp(i2πξ(x cos θ + y sin θ))|ξ|dξdθ 　 　 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ s = x cos θ + y sin θ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ)
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ)
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ) ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ) ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ とおくと，
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ) ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ とおくと，
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ補正逆投影法 17 f(x, y) = π 0 ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ dθ の逆フーリエ変換|ξ|Gθ(ξ) ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ f(x, y) = π 0 ˆg(x cos θ + y sin θ, θ)dθ とおくと， 投影を， 「周波数空間で |ξ| 倍するフィルタ」を 適用してから，逆投影
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – コンヴォリューション逆投影法 18 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – コンヴォリューション逆投影法 18 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – コンヴォリューション逆投影法 18 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – コンヴォリューション逆投影法 18 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – コンヴォリューション逆投影法 18 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – コンヴォリューション逆投影法 18 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション 最初からこれを定義しておけば フーリエ変換の必要はない
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – コンヴォリューション逆投影法 18 ˆg(s, θ) ≡ ˆg(x cos θ + y sin θ, θ) ≡ ∞ −∞ |ξ|Gθ(ξ) exp(i2πsξ)dξ ˆg(s, θ) = g(s, θ) ∗ FT−1 [|ξ|] ある角度 θ での投影を 周波数空間で |ξ| 倍 実空間では FT−1[|ξ|] とのコンヴォリューション 最初からこれを定義しておけば フーリエ変換の必要はない 極座標→直交座標の変換は実空間で行うので， 誤差が画面全体に拡散することはない
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a) (b) (c)
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a) (b) (c) |ξ|
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax
2018年度秋学期　画像情報処理 A.Asano,KansaiUniv. 17 – フィルタ関数 19 ξ H(ξ) ξmax– ξmax ξ H(ξ) ξ H(ξ) ξmax– ξmax (a) (b) (c) |ξ| H(ξ) = |ξ|rect ξ 2ξmax H(ξ) = |ξ|sinc ξ 2ξmax rect ξ 2ξmax 高い周波数成分を増幅すると ノイズを強調してしまうので， 抑える
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