This document discusses various methods for calculating Wasserstein distance between probability distributions, including:
- Sliced Wasserstein distance, which projects distributions onto lower-dimensional spaces to enable efficient 1D optimal transport calculations.
- Max-sliced Wasserstein distance, which focuses sampling on the most informative projection directions.
- Generalized sliced Wasserstein distance, which uses more flexible projection functions than simple slicing, like the Radon transform.
- Augmented sliced Wasserstein distance, which applies a learned transformation to distributions before projecting, allowing more expressive matching between distributions.
These sliced/generalized Wasserstein distances have been used as loss functions for generative models with promising
回帰不連続デザイン(Regression Discontinuity Design, RDD)Jaehyun Song
神戸大学法学研究 政治学方法論特殊講義III(担当: 藤村直史) 報告資料
回帰不連続デザイン(Regression Discontinuity Design, RDD)
報告日:2016年7月8日
( PDF version is also available in http://www.jaysong.net )
This document discusses various methods for calculating Wasserstein distance between probability distributions, including:
- Sliced Wasserstein distance, which projects distributions onto lower-dimensional spaces to enable efficient 1D optimal transport calculations.
- Max-sliced Wasserstein distance, which focuses sampling on the most informative projection directions.
- Generalized sliced Wasserstein distance, which uses more flexible projection functions than simple slicing, like the Radon transform.
- Augmented sliced Wasserstein distance, which applies a learned transformation to distributions before projecting, allowing more expressive matching between distributions.
These sliced/generalized Wasserstein distances have been used as loss functions for generative models with promising
回帰不連続デザイン(Regression Discontinuity Design, RDD)Jaehyun Song
神戸大学法学研究 政治学方法論特殊講義III(担当: 藤村直史) 報告資料
回帰不連続デザイン(Regression Discontinuity Design, RDD)
報告日:2016年7月8日
( PDF version is also available in http://www.jaysong.net )
The document discusses representation learning and the manifold hypothesis. It explains that real-world data can be thought of as concentrating near a lower-dimensional manifold embedded within a high-dimensional space. Representation learning involves modeling the structure of this data-supporting manifold. The geometric notion of manifold provides an important perspective for representation learning, with the goal of learning an intrinsic coordinate system on the embedded manifold.
The document discusses representation learning and the manifold hypothesis. It explains that real-world data can be thought of as concentrating near a lower-dimensional manifold embedded within a high-dimensional space. Representation learning involves modeling the structure of this data-supporting manifold. The geometric notion of manifold provides an important perspective for representation learning, with the goal of learning an intrinsic coordinate system on the embedded manifold.
27. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
Radon変換
投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ) は
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
28. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
Radon変換
投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ) は
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
つまり
29. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
Radon変換
投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ) は
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分するこ
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y s
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものです
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin
つまり
30. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
Radon変換
投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ) は
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分するこ
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y s
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものです
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin
つまり
この線上だけを積分する
31. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
Radon変換
投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ) は
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分するこ
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y s
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものです
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin
つまり
この線上だけを積分する
→この式を満たす点だけを
積分する
32. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
Radon変換
投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ) は
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分するこ
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y s
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものです
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin
つまり
この線上だけを積分する
→この式を満たす点だけを
積分する
図 1: CT スキャナにおける透視像の撮影.(a) 平行照射.(b) フ
2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示すために
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関数 g(s, θ
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで得られ
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線に沿っ
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ) はデルタ関
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から s だけ離
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから,(2) 式
33. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
Radon変換
投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ) は
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分するこ
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y s
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものです
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin
つまり
この線上だけを積分する
→この式を満たす点だけを
積分する
図 1: CT スキャナにおける透視像の撮影.(a) 平行照射.(b) フ
2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示すために
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関数 g(s, θ
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで得られ
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線に沿っ
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ) はデルタ関
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から s だけ離
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから,(2) 式
デルタ関数で表せる
35. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
Radon変換
投影を2次元の積分で表す
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ) は
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分するこ
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y s
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものです
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin
つまり
この線上だけを積分する
→この式を満たす点だけを
積分する
図 1: CT スキャナにおける透視像の撮影.(a) 平行照射.(b) フ
2 次元の物体と投影との関係を示すのが Radon 変換です。これを示すために
考えてください。θ 方向の軸 s 上に物体 f(x, y) を投影したものが関数 g(s, θ
は,法線ベクトルが θ 方向であるような直線に沿って積分することで得られ
標の原点を通る直線上を積分して得られた値を g(0, θ) とします。
法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線上の点は
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線に沿っ
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ) はデルタ関
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から s だけ離
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから,(2) 式
デルタ関数で表せる
39. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
Radon変換
g(s,θ)は?
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
すなわち
x cos θ + y sin θ − s = 0
を満たします。したがって (3) 式と同様に
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s
が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon
浅野 晃/画像情報処理(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3)
40. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
Radon変換
g(s,θ)は?
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
すなわち
x cos θ + y sin θ − s = 0
を満たします。したがって (3) 式と同様に
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s
が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon
浅野 晃/画像情報処理(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3)
41. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
Radon変換
g(s,θ)は?
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
すなわち
x cos θ + y sin θ − s = 0
を満たします。したがって (3) 式と同様に
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s
が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon
浅野 晃/画像情報処理(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3)
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線に沿って
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ) はデルタ関数
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から s だけ離
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから,(2) 式か
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0
すなわち
x cos θ + y sin θ − s = 0
を満たします。したがって (3) 式と同様に
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 変換とよ
42. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
Radon変換
g(s,θ)は?
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
Radon変換
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ =
すなわち
x cos θ + y sin θ − s = 0
を満たします。したがって (3) 式と同様に
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s
が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon
浅野 晃/画像情報処理(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3)
y
x
= tan(θ +
π
2
) =
− cos θ
sin θ
を満たしますから,
x cos θ + y sin θ = 0
が得られます。「法線ベクトルが θ 方向で,(x, y) 座標の原点を通る直線に沿って
のうち (2) 式を満たす点の値だけを積分することですから,g(0, θ) はデルタ関数
g(0, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ)dxdy
と表すことができます。同様に,「法線ベクトルが θ 方向で,原点から s だけ離
る直線を x 方向に s cos θ ,y 方向に s sin θ だけ移動したものですから,(2) 式か
(x − s cos θ) cos θ + (y − s sin θ) sin θ = 0
すなわち
x cos θ + y sin θ − s = 0
を満たします。したがって (3) 式と同様に
g(s, θ) =
∞
−∞
f(x, y)δ(x cos θ + y sin θ − s)dxdy
が得られます。(6) 式を,2 次元分布 f(x, y) から投影 g(s, θ) への Radon 変換とよ
45. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ray-sum
投影を1次元の線積分で表す
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
(x, y)と(s, u)の関係は θ の回転
Ray-sum
Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが,投影は本来
変数の積分で表されるほうが自然です。そこで,(6) 式を1変数の積分
図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は,(x, y) 座標を θ だけ回転した
s
u
=
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
x
y
x
y
=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
s
u
と表されます。したがって,(s, u) と (x, y) は
s = x cos θ + y sin θ
u = −x sin θ + y cos θ,
x = s cos θ − u sin θ
y = s sin θ + u cos θ
という関係で互いに変換されます。
g(s, θ) は,f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり,法線ベクト
46. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ray-sum
投影を1次元の線積分で表す
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
(x, y)と(s, u)の関係は θ の回転
Ray-sum
Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが,投影は本来
変数の積分で表されるほうが自然です。そこで,(6) 式を1変数の積分
図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は,(x, y) 座標を θ だけ回転した
s
u
=
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
x
y
x
y
=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
s
u
と表されます。したがって,(s, u) と (x, y) は
s = x cos θ + y sin θ
u = −x sin θ + y cos θ,
x = s cos θ − u sin θ
y = s sin θ + u cos θ
という関係で互いに変換されます。
g(s, θ) は,f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり,法線ベクト
(x, y)を(s, u)で表す
47. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ray-sum
投影を1次元の線積分で表す
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
(x, y)と(s, u)の関係は θ の回転
Ray-sum
Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが,投影は本来
変数の積分で表されるほうが自然です。そこで,(6) 式を1変数の積分
図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は,(x, y) 座標を θ だけ回転した
s
u
=
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
x
y
x
y
=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
s
u
と表されます。したがって,(s, u) と (x, y) は
s = x cos θ + y sin θ
u = −x sin θ + y cos θ,
x = s cos θ − u sin θ
y = s sin θ + u cos θ
という関係で互いに変換されます。
g(s, θ) は,f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり,法線ベクト
x
y
=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
s
u
と表されます。したがって,(s, u) と (x, y) は
s = x cos θ + y sin θ
u = −x sin θ + y cos θ,
x = s cos θ − u sin θ
y = s sin θ + u cos θ
という関係で互いに変換されます。
g(s, θ) は,f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり,法線ベクトルが θ
貫かれる部分の合計です。したがって,g(s, θ) は,(x, y) が (10) 式の関係を満た
f(x, y) の積分,すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du
浅野 晃/画像情報処理(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) http://racc
(x, y)を(s, u)で表す
48. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ray-sum
投影を1次元の線積分で表す
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
sが一定で uが変化
(x, y)と(s, u)の関係は θ の回転
Ray-sum
Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが,投影は本来
変数の積分で表されるほうが自然です。そこで,(6) 式を1変数の積分
図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は,(x, y) 座標を θ だけ回転した
s
u
=
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
x
y
x
y
=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
s
u
と表されます。したがって,(s, u) と (x, y) は
s = x cos θ + y sin θ
u = −x sin θ + y cos θ,
x = s cos θ − u sin θ
y = s sin θ + u cos θ
という関係で互いに変換されます。
g(s, θ) は,f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり,法線ベクト
x
y
=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
s
u
と表されます。したがって,(s, u) と (x, y) は
s = x cos θ + y sin θ
u = −x sin θ + y cos θ,
x = s cos θ − u sin θ
y = s sin θ + u cos θ
という関係で互いに変換されます。
g(s, θ) は,f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり,法線ベクトルが θ
貫かれる部分の合計です。したがって,g(s, θ) は,(x, y) が (10) 式の関係を満た
f(x, y) の積分,すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du
浅野 晃/画像情報処理(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) http://racc
(x, y)を(s, u)で表す
49. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
ray-sum
投影を1次元の線積分で表す
x
y
θ
s
軸
s
g(s, θ)
u
物体
投
影
0
g(0, θ)
s
図 2: Radon 変換.
この線上では
sが一定で uが変化
ray-sum
(x, y)と(s, u)の関係は θ の回転
Ray-sum
Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが,投影は本来
変数の積分で表されるほうが自然です。そこで,(6) 式を1変数の積分
図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は,(x, y) 座標を θ だけ回転した
s
u
=
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
x
y
x
y
=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
s
u
と表されます。したがって,(s, u) と (x, y) は
s = x cos θ + y sin θ
u = −x sin θ + y cos θ,
x = s cos θ − u sin θ
y = s sin θ + u cos θ
という関係で互いに変換されます。
g(s, θ) は,f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり,法線ベクト
x
y
=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
s
u
と表されます。したがって,(s, u) と (x, y) は
s = x cos θ + y sin θ
u = −x sin θ + y cos θ,
x = s cos θ − u sin θ
y = s sin θ + u cos θ
という関係で互いに変換されます。
g(s, θ) は,f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり,法線ベクトルが θ
貫かれる部分の合計です。したがって,g(s, θ) は,(x, y) が (10) 式の関係を満た
f(x, y) の積分,すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du
浅野 晃/画像情報処理(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) http://racc
(x, y)を(s, u)で表す
56. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
投影定理の証明
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
f(x, y)
。この問題を解く重要な鍵が,次に述べる投影定理 (projection theorem) です。
) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と,
次元フーリエ変換 F(fx, fy) の原点を通り fx, fy 面に垂直で fx 軸に対して
面による断面は
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (15)
のです。この定理は,以下のように証明されます。
の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) は
Gθ(ξ) =
∞
−∞
g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16)
ray-sum の定義である (11) 式を代入すると
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu (17)
57. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
投影定理の証明
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
f(x, y)
。この問題を解く重要な鍵が,次に述べる投影定理 (projection theorem) です。
) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と,
次元フーリエ変換 F(fx, fy) の原点を通り fx, fy 面に垂直で fx 軸に対して
面による断面は
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (15)
のです。この定理は,以下のように証明されます。
の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) は
Gθ(ξ) =
∞
−∞
g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16)
ray-sum の定義である (11) 式を代入すると
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu (17)
58. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
投影定理の証明
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
f(x, y)
。この問題を解く重要な鍵が,次に述べる投影定理 (projection theorem) です。
) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と,
次元フーリエ変換 F(fx, fy) の原点を通り fx, fy 面に垂直で fx 軸に対して
面による断面は
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (15)
のです。この定理は,以下のように証明されます。
の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) は
Gθ(ξ) =
∞
−∞
g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16)
ray-sum の定義である (11) 式を代入すると
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu (17)
ray-sum
59. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
投影定理の証明
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
f(x, y)
。この問題を解く重要な鍵が,次に述べる投影定理 (projection theorem) です。
) の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) と,
次元フーリエ変換 F(fx, fy) の原点を通り fx, fy 面に垂直で fx 軸に対して
面による断面は
Gθ(ξ) = F(ξ cos θ, ξ sin θ) (15)
のです。この定理は,以下のように証明されます。
の s についての 1 次元フーリエ変換 Gθ(ξ) は
Gθ(ξ) =
∞
−∞
g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16)
ray-sum の定義である (11) 式を代入すると
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu (17)
x
y
=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
s
u
と表されます。したがって,(s, u) と (x, y) は
s = x cos θ + y sin θ
u = −x sin θ + y cos θ,
x = s cos θ − u sin θ
y = s sin θ + u cos θ
という関係で互いに変換されます。
g(s, θ) は,f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり,法線ベクトルが θ 方向」
貫かれる部分の合計です。したがって,g(s, θ) は,(x, y) が (10) 式の関係を満たして
f(x, y) の積分,すなわち
g(s, θ) =
∞
−∞
f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)du
浅野 晃/画像情報処理(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) http://racco.mike
ray-sum
60. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
投影定理の証明
Gθ(ξ) =
−∞
g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16)
れに ray-sum の定義である (11) 式を代入すると
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu (17)
(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) http://racco.mikeneko.jp/ 4/6 ページ
61. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
投影定理の証明
Gθ(ξ) =
−∞
g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16)
れに ray-sum の定義である (11) 式を代入すると
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu (17)
(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) http://racco.mikeneko.jp/ 4/6 ページ
(x, y)と(s, u)の関係
図 2: Radon 変換.
Ray-sum
Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが,投影は本来
変数の積分で表されるほうが自然です。そこで,(6) 式を1変数の積分
図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は,(x, y) 座標を θ だけ回転した
s
u
=
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
x
y
x
y
=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
s
u
と表されます。したがって,(s, u) と (x, y) は
s = x cos θ + y sin θ
u = −x sin θ + y cos θ,
x = s cos θ − u sin θ
y = s sin θ + u cos θ
という関係で互いに変換されます。
g(s, θ) は,f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり,法線ベクト
貫かれる部分の合計です。したがって,g(s, θ) は,(x, y) が (10) 式の関
f(x, y) の積分,すなわち
∞
62. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
投影定理の証明
Gθ(ξ) =
−∞
g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16)
れに ray-sum の定義である (11) 式を代入すると
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu (17)
(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) http://racco.mikeneko.jp/ 4/6 ページ
(x, y)と(s, u)の関係
図 2: Radon 変換.
Ray-sum
Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが,投影は本来
変数の積分で表されるほうが自然です。そこで,(6) 式を1変数の積分
図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は,(x, y) 座標を θ だけ回転した
s
u
=
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
x
y
x
y
=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
s
u
と表されます。したがって,(s, u) と (x, y) は
s = x cos θ + y sin θ
u = −x sin θ + y cos θ,
x = s cos θ − u sin θ
y = s sin θ + u cos θ
という関係で互いに変換されます。
g(s, θ) は,f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり,法線ベクト
貫かれる部分の合計です。したがって,g(s, θ) は,(x, y) が (10) 式の関
f(x, y) の積分,すなわち
∞
63. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
投影定理の証明
Gθ(ξ) =
−∞
g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16)
れに ray-sum の定義である (11) 式を代入すると
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu (17)
(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) http://racco.mikeneko.jp/ 4/6 ページ
(x, y)と(s, u)の関係
図 2: Radon 変換.
Ray-sum
Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが,投影は本来
変数の積分で表されるほうが自然です。そこで,(6) 式を1変数の積分
図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は,(x, y) 座標を θ だけ回転した
s
u
=
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
x
y
x
y
=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
s
u
と表されます。したがって,(s, u) と (x, y) は
s = x cos θ + y sin θ
u = −x sin θ + y cos θ,
x = s cos θ − u sin θ
y = s sin θ + u cos θ
という関係で互いに変換されます。
g(s, θ) は,f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり,法線ベクト
貫かれる部分の合計です。したがって,g(s, θ) は,(x, y) が (10) 式の関
f(x, y) の積分,すなわち
∞
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin
= F(ξ cos θ, ξ sin θ)
となります。
64. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
投影定理の証明
Gθ(ξ) =
−∞
g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16)
れに ray-sum の定義である (11) 式を代入すると
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu (17)
(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) http://racco.mikeneko.jp/ 4/6 ページ
(x, y)と(s, u)の関係
図 2: Radon 変換.
Ray-sum
Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが,投影は本来
変数の積分で表されるほうが自然です。そこで,(6) 式を1変数の積分
図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は,(x, y) 座標を θ だけ回転した
s
u
=
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
x
y
x
y
=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
s
u
と表されます。したがって,(s, u) と (x, y) は
s = x cos θ + y sin θ
u = −x sin θ + y cos θ,
x = s cos θ − u sin θ
y = s sin θ + u cos θ
という関係で互いに変換されます。
g(s, θ) は,f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり,法線ベクト
貫かれる部分の合計です。したがって,g(s, θ) は,(x, y) が (10) 式の関
f(x, y) の積分,すなわち
∞
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin
= F(ξ cos θ, ξ sin θ)
となります。
fxF(fx, fy)
y
θ
ξ
ξ
Gθ(ξ)
図 3: 投影定理.
す。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
sdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18
65. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
投影定理の証明
Gθ(ξ) =
−∞
g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16)
れに ray-sum の定義である (11) 式を代入すると
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu (17)
(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) http://racco.mikeneko.jp/ 4/6 ページ
(x, y)と(s, u)の関係
図 2: Radon 変換.
Ray-sum
Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが,投影は本来
変数の積分で表されるほうが自然です。そこで,(6) 式を1変数の積分
図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は,(x, y) 座標を θ だけ回転した
s
u
=
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
x
y
x
y
=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
s
u
と表されます。したがって,(s, u) と (x, y) は
s = x cos θ + y sin θ
u = −x sin θ + y cos θ,
x = s cos θ − u sin θ
y = s sin θ + u cos θ
という関係で互いに変換されます。
g(s, θ) は,f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり,法線ベクト
貫かれる部分の合計です。したがって,g(s, θ) は,(x, y) が (10) 式の関
f(x, y) の積分,すなわち
∞
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin
= F(ξ cos θ, ξ sin θ)
となります。
fxF(fx, fy)
y
θ
ξ
ξ
Gθ(ξ)
図 3: 投影定理.
す。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
sdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18
66. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
投影定理の証明
Gθ(ξ) =
−∞
g(s, θ) exp(−i2πξs)ds (16)
れに ray-sum の定義である (11) 式を代入すると
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(s cos θ − u sin θ, s sin θ + u cos θ)
× exp(−i2πξs)dsdu (17)
(2013 年度春学期) 第13回 (2013. 7. 3) http://racco.mikeneko.jp/ 4/6 ページ
(x, y)と(s, u)の関係
図 2: Radon 変換.
Ray-sum
Radon 変換は投影を x, y 平面での積分で表していますが,投影は本来
変数の積分で表されるほうが自然です。そこで,(6) 式を1変数の積分
図 2 で投影方向に沿った (s, u) 座標は,(x, y) 座標を θ だけ回転した
s
u
=
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
x
y
x
y
=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
s
u
と表されます。したがって,(s, u) と (x, y) は
s = x cos θ + y sin θ
u = −x sin θ + y cos θ,
x = s cos θ − u sin θ
y = s sin θ + u cos θ
という関係で互いに変換されます。
g(s, θ) は,f(x, y) のうち「x, y 座標の原点から s 隔たり,法線ベクト
貫かれる部分の合計です。したがって,g(s, θ) は,(x, y) が (10) 式の関
f(x, y) の積分,すなわち
∞
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin
= F(ξ cos θ, ξ sin θ)
となります。
fxF(fx, fy)
y
θ
ξ
ξ
Gθ(ξ)
図 3: 投影定理.
す。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
sdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18
67. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
2次元フーリエ変換の
「すべての断面」を求めることはできない
68. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
2次元フーリエ変換の
「すべての断面」を求めることはできない
fx
fy
69. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
2次元フーリエ変換の
「すべての断面」を求めることはできない
fx
fy
ひとつの投影=ひとつの断面
70. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
2次元フーリエ変換の
「すべての断面」を求めることはできない
fx
fy
ひとつの投影=ひとつの断面
71. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
2次元フーリエ変換の
「すべての断面」を求めることはできない
fx
fy
ひとつの投影=ひとつの断面
72. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
2次元フーリエ変換の
「すべての断面」を求めることはできない
fx
fy
ひとつの投影=ひとつの断面
73. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
2次元フーリエ変換の
「すべての断面」を求めることはできない
fx
fy
ひとつの投影=ひとつの断面
74. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
2次元フーリエ変換の
「すべての断面」を求めることはできない
fx
fy
ひとつの投影=ひとつの断面
75. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
2次元フーリエ変換の
「すべての断面」を求めることはできない
fx
fy
ひとつの投影=ひとつの断面
有限個の投影では,2次元フーリエ変換を埋め尽くす
ことはできない
76. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
2次元フーリエ変換の
「すべての断面」を求めることはできない
fx
fy
ひとつの投影=ひとつの断面
有限個の投影では,2次元フーリエ変換を埋め尽くす
ことはできない
→補間を行う
77. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」
78. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」
79. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
fx
fy
補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」
80. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
fx
fy
断面は極座標
補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」
81. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
fx
fy
断面は極座標
補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」
82. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
fx
fy
断面は極座標
補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」
2次元フーリエ変換は
正方座標
83. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
fx
fy
断面は極座標
補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」
2次元フーリエ変換は
正方座標
84. 2014
A.Asano,KansaiUniv.
フーリエ変換法による再構成の問題点
fxF(fx, fy)
fy
θ
ξ
断面
F(ξcosθ, ξsinθ)
ξ
Gθ(ξ)
等しい
x
y
θ
s
sg(s, θ)
u
物体
投
影
物体の2次元
フーリエ変換
投影の1次元
フーリエ変換
図 3: 投影定理.
となります。これに上で説明した (x, y) 座標と (s, u) 座標との変数変換を行うと,先に述べたように
dxdy = dsdu ですから,
Gθ(ξ) =
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2πξ(x cos θ + y sin θ))dxdy
=
∞
−∞
f(x, y)
exp(−i2π((ξ cos θ)x + (ξ sin θ)y))dxdy
= F(ξ cos θ, ξ sin θ) (18)
となります。
フーリエ変換法による再構成
投影定理によれば, ひとつの角度 θ における投影を得ると,物体のフーリエ変換のひとつの断面がわか
ることになります。したがって,すべての θ についての投影を求めれば,物体のフーリエ変換 F(fx, fy)
の形はすべて求まります。こうやって得られた F(fx, fy) を逆フーリエ変換すれば,もとの物体 f(x, y)
が再構成されます。このような再構成法を,フーリエ変換法 (Fourier transform method) による再構
fx
fy
断面は極座標
周波数空間の誤差は,画像全体に
ひろがるアーティファクトを生む
補間を行う。が,コンピュータで計算する限りは「離散的」
2次元フーリエ変換は
正方座標