2014年度秋学期　応用数学（解析）　第１部・「無限」の理解　／　第４回　収束とは何か，ε-δ論法 (2014. 10. 16)

A. Asano, Kansai Univ.
2014年度秋学期　応用数学（解析）
第1部・「無限」の理解
収束とは何か，ε-δ論法
浅野　晃
関西大学総合情報学部
第４回

微分を習ったときの説明

何かだまされている気がする

微分の説明
る
えば「f(x) = x2 をx で微分せよ」という問題を次のように説明されたと
関数 f(x) = x2 の微分
df (x)
dx
= lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
(x + h)2 − x2
h
= lim
h→0
h(2x + h)
h
= lim
h→0
(2x + h) = 2x
2014 A. Asano, Kansai Univ.
(1)
0 に近づいているだけで，まだ0 ではないから」といってh で割ってい
としています。これはおかしくありませんか？
収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」と
」について考えてみます。

微分の説明
る
h はゼロに近づいているだけで，
ゼロではないから，
分母分子を h で割る
df (x)
dx
= lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
(x + h)2 − x2
h
= lim
h→0
h(2x + h)
h
= lim
h→0
(2x + h) = 2x
(1)

微分の説明
る
df (x)
dx
= lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
(x + h)2 − x2
h
= lim
h→0
h(2x + h)
h
= lim
h→0
(2x + h) = 2x
(1)
0 に近づいているやだっけぱでり，まh だはゼ0 でロ
はないから」といってh で割ってい

微分の説明
る
df (x)
dx
= lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
(x + h)2 − x2
h
= lim
h→0
h(2x + h)
h
= lim
h→0
(2x + h) = 2x
(1)
0 に近づいているやだっけぱでり，まh だはゼ0 でロ
はないから」といってh で割ってい
収束」を正確こに理れ解っするて必お要かがあしりくますあ。り今日まはせ，「ん限りかな？
く近づく」と

収束＝「限りなく近づく」ことの
意味

数列の収束の定義
数列{an}が α に収束するとは
α のまわりにどんなに狭い区間
[α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0)

α

α
Univ.
Kansai ε
Asano, A. 2014 ε

α
α – ε α + ε
Univ.
Kansai ε
Asano, A. 2014 ε

a1
α
α – ε α + ε
ε ε

数列が十分大きな番号 N まで進めば
a1
α
α – ε α + ε
ε ε

a2 a1
α
α – ε α + ε
ε ε

a3 a2 a1
α
α – ε α + ε
ε ε

a3 a2 a1
α
α – ε α + ε
ε ε
…

a3 a2 a1
α
α – ε α + ε
ε ε
…
aN–1

a3 a2 a1
α
α – ε α + ε
ε ε
…
aN aN–1

N 番より大きな番号 n については，
anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る
a3 a2 a1
α
α – ε α + ε
ε ε
…
aN aN–1

a3 a2 a1
α
α – ε α + ε
ε ε
…
aN–1
aN+1
aN

a3 a2 a1
α
α – ε α + ε
ε ε
…
aN–1
aN+1
aN
…

a3 a2 a1
α
…
α – ε α + ε
ε ε

α – ε α + ε
a3 a2 a1
α
…
ε ε
εをどんなに小さくしても

a3 a2 a1
α
α – ε α + ε
…
ε ε

a3 a2 a1
α
α – ε α + ε
…
ε ε
aN

…
a3 a2 a1
α
α – ε α + ε
…
ε ε
aN

a3 a2 a1
α
α – ε α + ε
…
ε ε
aN
そういうNがある
…

る」とは，数学では次のような意味だと理解されてα のまわりにどんなに狭い区間
狭い区間[α [– α ε, − α ε, + α ε]を+ 設ε] 定をし設て定もし(ε て> 0)
も1，
N まで数進列めがば十，
分大きな番号 N まで進めば
については，an はみなその狭い区間[α ε, α + ε] にN 番より大きな番号については，
− n anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る
Univ.
Kansai Asano, "ε > 0, ∃N;n > N ⇒ |an − α| < ε A. 2014

る」とは，数学では次のような意味だと理解されてα のまわりにどんなに狭い区間
狭い区間[α [– α ε, − α ε, + α ε]を+ 設ε] 定をし設て定もし(ε て> 0)
も1，
N まで数進列めがば十，
分大きな番号 N まで進めば
については，an はみなその狭い区間[α ε, α + ε] にN 番より大きな番号 n については，
− anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る
Univ.
Kansai ε – N 論法
Asano, "ε > 0, ∃N;n > N ⇒ |an − α| < ε A. 2014

数列の発散の定義
数列{an}が ∞ に発散する

どんなに大きな数 G を持ってきても，

anはみな G より大きくなる

びます。図1 の「４コマ漫画」で，この様子を説明し列{an} が∞に発散する」とは
ってきても，
まで進めば，
ついては，an はG より大きくなる。
anはみな G より大きくなる
"G, ∃N;n > N ⇒ an > G く小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

収束や発散は「無限」なのか
「無限」とはひとことも言っていない

どんなに狭い区間[α – ε, α + ε]

どんなに大きな数 G
十分大きな番号 N

どれも「無限」ではなく有限

どれも「無限」ではなく有限
ただし，求めに応じて
好きなだけ狭く・大きくできる

実数の連続性と収束

実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現
実数の有界な単調数列は収束する
数列{an}が
「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < …
「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …

数列{an}が
「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < …
「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …
有界（このへんに達することはできない）

数列{an}が
「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < …
「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …
…

数列{an}が
「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < …
「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > …
単調増加だから
つねに増加していくが，
収束する
…

ワイエルシュトラスの定理から証明
有界だから，上限 α が存在するα

有界だから，上限 α が存在するα α′
α より小さい α′ を考えると

有界だから，上限 α が存在する… α α′

α′ と α の間に来る an がある

an
n 番目

an
n 番目つまり，

an
n 番目
α
α′
an
つまり，

ば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，
この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，
あるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α と
さい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小
で，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束
an
n 番目
α
α′
an
ことを証明せよ。
きて，ak
つまり，
= C とおきます。すると，n > k のとき

数列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，
なα′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，
一方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α と
α′ の隔たりよりも小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小
α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束
ます。■
an
n 番目
α
α′
an
， lim
n→∞
an
n!
= 0であることを証明せよ。
うな番号k をもってきて，ak
k!
つまり，
きて，ak

ます。■
列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) の隔たりよりも小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となりまに近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えるす。■
an
n 番目
α
α′
an
， lim
n→∞
an
n!
k!
きて，ak
an
つまり，

ます。■
an
n 番目
α
α′
an
， lim
n→∞
an
n!
k!
きて，ak
an
α′ はどれだけ
α に近くてもよい
つまり，

ます。■
an
n 番目
α
α′
an
， lim
n→∞
an
n!
k!
きて，ak
an
これをε( > 0)と考えると
つまり，

ます。■
an
n 番目
α
α′
an
， lim
n→∞
an
n!
k!
きて，ak
an
ε
つまり，

ます。■
列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存α′ つまり，
を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) の隔たりよりも小さいε
，すなわち|α − an| < α − α′ となりまに近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えるす。■
an
n 番目
α
α′
an
， lim
n→∞
an
n!
= 0であること証明せよ。
k!
きて，ak
an
α からの隔たり ε をどんなに小さく設定しても，
そこに入る an がある

ます。■
列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存α′ つまり，
を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) の隔たりよりも小さいε
，すなわち|α − an| < α − α′ となりまに近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えるす。■
an
n 番目
α
α′
an
， lim
n→∞
an
n!
k!
きて，ak
an
α からの隔たり ε をどんなに小さく設定しても，
そこに入る an がある
{an} は α に収束する

数列の収束に関する例題

例題
a > 0 のとき
例題
a > のとき， lim
n→∞
= C とおan
n!
an
n!
k > 2a であるような番号k をもってきて，ak
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
で，k > 2a ですから
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × !
"1
n−k
C · 2k
を証明せよ。

例題
a > 0 のとき
例題
n→∞
= C とおan
n!
と置く。番号 k は，k > 2a であるとする。
an
n!
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × !
"1
n−k
C · 2k
を証明せよ。
! 小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小
ので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束
ることを証明せよ。
てきて，ak
k!
× · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
（小さな）正の数ε をもってきて，n >
C · 2k
ε
となるn を考える
an

例題
a > 0 のとき
例題
n→∞
= C とおan
n!
n > k となる番号 n について，
an
n!
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × !
"1
n−k
C · 2k
を証明せよ。
てきて，ak
k!
× · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
C · 2k
ε
an

例題
a > 0 のとき
単調に増加する数列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存在α′ 例題
< α となるようなα′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 以α′ よりも大きく，一方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) でan の隔たりはとの隔たりよりも小さい，すなわちとなりますさけれa ば> α のとα′ き， |α − an| < α − α′ どれだけα に近くてもlim
よいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えるとすることがわかります。■
n→∞
例題
= C とおan
n!
a > 0 のとき， lim
= C とおきます。すると，n > k のan
n!
an
n!
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × !
"1
n−k
C · 2k
を証明せよ。
てきて，ak
k!
× · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
C · 2k
ε
an
n→∞
an
n!
k > 2a であるようなk をもってきak
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
k + で，k > 2a ですから
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
"n−k
=
C · 2k
<
C · 2k

例題
a > 0 のとき
単調に増加する数列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存在α′ 例題
< α となるようなα′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 以α′ 界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，
ます。この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，
下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α と
りも小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小
よいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束
よりも大きく，一方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) でan の隔たりはとの隔たりよりも小さい，すなわちとなりますさけれa ば> α のとα′ き， |α − an| < α − α′ どれだけα に近くてもlim
よいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えるとすることがわかります。■
n→∞
例題
= C とおan
n!
n!
an
n!
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × !
"1
n−k
C · 2k
を証明せよ。
てきて，ak
k!
× · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
C · 2k
ε
an
n→∞
an
n!
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
k + で，k > 2a ですから
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
"n−k
=
C · 2k
<
C · 2k
0であることを証明せよ。
もってきて，ak
k!
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
C ×
a
×
a
× · · · ×
a

an
n!
例題
n→∞
であることを証明せよ。
n!
ってきて，ak
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n で，k > 2a ですから
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n >
C · 2k
ε
と，上の式に代入してan
n!
< ε となります。すなわち，an
n!
は0 に収束します。■
関数の極限
k!
a
+ 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
ある（小さな）正の数ε をもってきて，n >
C · 2k
ε
なります。すなわち，an
n!

an
n!
例題
n→∞
n!
ってきて，ak
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
C · 2k
ε
n!
n!
関数の極限
k!
a
+ 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
C · 2k
ε
n!
k > 2a なので

an
n!
かります。■
例題
n→∞
an
n!
n!
とき， lim
n→∞
ってきて，ak
るような番号k をもってきて，ak
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
C · 2k
ε
n!
n!
関数の極限
k!
a
+ 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
C · 2k
ε
n!
k > 2a なので
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
すから
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
できます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n >
C · 2k
ε
となるn を考え代入してan
n!
n!

− ，{an} かります。■
an
n!
かります。■
例題
n→∞
an
n!
n!
とき， lim
n→∞
ってきて，ak
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
C · 2k
ε
n!
n!
関数の極限
k!
a
+ 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
C · 2k
ε
n!
k > 2a なので
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
すから
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
C · 2k
ε
n!
n!
とき， lim
n→∞
an
n!
k!
an
n!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
すから
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
C · 2k
ε
代入してan
n!
n!

れだけα に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束
わかります。■
an
n!
かります。■
例題
n→∞
an
n!
n!
とき， lim
n→∞
ってきて，ak
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
C · 2k
ε
n!
n!
関数の極限
k!
a
+ 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
C · 2k
ε
n!
k > 2a なので
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
すから
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
C · 2k
ε
n!
n!
とき， lim
n→∞
an
n!
k!
an
n!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
すから
an
n!
< C a
2a + 1 < C !
1
2
"k
(5)
できます。そこで，ある（ε n >
C 2k
ε
なるn を考える
代入してan
n!
n!
は0 のとき， lim
n→∞
an
n!
あるような番号k をもってきk!
= C n > k き
an
n!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 a
k + (n k)
(4)
ですから
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
ができます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n >
C · 2k
ε
に代入してan
n!
< ε となりan
n!
0 に収束します。■

れだけα に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束
an
n!
かります。■
例題
わち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小
を上の収束の定義のとn→∞
ε 考えると，{an} はα に収束
an
n!
n!
とき， lim
n→∞
ってきて，ak
2k
2n <
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
C · 2k
ε
n!
n!
そこで，どんな小さな ε( > 0) についても，
番号 n が　　　　　であれば
関数の極限
k!
a
+ 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
C · 2k
ε
n!
k > 2a なので
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
すから
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
C · 2k
ε
n!
n!
とき， lim
n→∞
an
n!
k!
an
n!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
すから
an
n!
< C a
2a + 1 < C !
1
2
"k
(5)
C 2k
ε
代入してan
n!
n!
n→∞
an
n!
= C n > k き
an
n!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 a
k + (n k)
(4)
ですから
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
C · 2k
ε
に代入してan
n!
< ε となりan
n!
せよ。
C とおきます。すると，n > k のとき
C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
+ 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
· C · 2k
n
(5)
の数ε をもってきて，n >
C · 2k
ε
ち，an
n!

= 0であることを証明せよk > 2a であるような番号k をもってきて，ak
れだけα に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えと，{an} はα に収束
an
n!
かります。■
例題
an
n!
= C とan
n!
n!
とき， lim
n→∞
ってきて，ak
2k
2n <
C · 2k
2n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数と，上の式に代入てan
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
C · 2k
ε
n!
n!
関数の極限
k!
a
+ 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
C · 2k
ε
n!
k > 2a なので
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
すから
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
C · 2k
ε
n!
< ε なります。すなわち，an
n!
とき， lim
n→∞
an
n!
k!
an
n!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
すから
an
n!
< C a
2a + 1 < C !
1
2
"k
(5)
C 2k
ε
代入してan
n!
n!
n→∞
an
n!
= C n > k き
an
n!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 a
k + (n k)
(4)
ですから
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
C · 2k
ε
に代入してan
n!
< ε となりan
n!
せよ。
C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
+ 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
· C · 2k
n
(5)
C · 2k
ε
ち，an
n!
n→∞
n!
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × !
"1
n−k
< C ×
=
2
n!
n!

= 0であることを証明せよk > 2a であるような番号k をもってきて，ak
れだけα に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えと，{an} はα に収束
an
n!
かります。■
例題
an
n!
= C とan
n!
n!
とき， lim
n→∞
ってきて，ak
2k
2n <
C · 2k
2n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数と，上の式に代入てan
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
C · 2k
ε
n!
n!
関数の極限
k!
a
+ 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
C · 2k
ε
n!
k > 2a なので
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
すから
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
C · 2k
ε
n!
< ε なります。すなわち，an
n!
とき， lim
n→∞
an
n!
k!
an
n!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
すから
an
n!
< C a
2a + 1 < C !
1
2
"k
(5)
C 2k
ε
代入してan
n!
n!
n→∞
an
n!
= C n > k き
an
n!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 a
k + (n k)
(4)
ですから
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
< C ×
!
1
2
"n−k
=
C · 2k
2n <
C · 2k
n
(5)
C · 2k
ε
に代入してan
n!
< ε となりan
n!
せよ。
C ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
k + (n − k)
(4)
+ 2 × · · · ×
a
2a + (n − k)
· C · 2k
n
(5)
C · 2k
ε
ち，an
n!
n→∞
n!
k!
=
ak
k! ×
a
k + 1 ×
a
k + 2 × · · · ×
a
n
= C ×
an
n!
< C ×
a
2a + 1 ×
a
2a + 2 × !
"1
n−k
< C ×
=
2
n!
n!
つまり
{an / n!} は 0 に
収束する

関数の極限

関数の極限
数列の収束と同じ論法を用いる
関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは
N 論法もε-δ論法に含めて，2014 A. Asano, Kansai Univ.
関数の極限
ここまでに述べた数列の収束lim
x→a
f(x) = A であることは，次どんなに小さな正の数ε x とa の隔たりをあるδ f(x) とA の隔たりもε よこれを，数学の表現では
$ε と書きます。この表現をε-δこの定義で，最初に述べた微けであってあくまで0 ではないとしているのは，収束する先が2ε-x

関数の極限
縦軸で A との隔たり ε を
どれほど小さくしても
関数の極限
x→a
A εε

関数の極限
関数の極限
x→a
A εε
δ δ
a
横軸で a との隔たり δ を
それに応じて小さくすれば

関数の極限
関数の極限
x→a
A εε
δ δ
a
x と a との隔たりが δ より小さければ

関数の極限
関数の極限
x→a
A εε
δ δ
a
x

関数の極限
関数の極限
x→a
A εε
δ δ
a
x
f(x)

関数の極限
f(x) f(x) と A との隔たりも ε より小さい
関数の極限
x→a
A εε
δ δ
a
x

関数の極限
どんなに小さな ε を考えても(ε > 0)
x と a との隔たりを δ より小さくすれば
f(x) と A の隔たりも ε より小さくできる

ことは，次のように定義されます。
関数の極限
正の数ε を持ってきても，
をあるδ より小さくすれば，
りもε より小さくできる。
は
$ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − A| < ε をε-δ論法とよびます2。
Univ.
述Kansai べた微分の問題を考えてみると，h → 0 という表現ででAsano, はないので，割り算をしてもいい，ということになりA. する先がh = 0とした時2014 の値と同じ，というだけです。

関数の極限
は
$ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − A| < ε ε-δ論法ε – δ 論法
をとよびます2。
Univ.
述Kansai べた微分の問題を考えてみると，h → 0 という表現ででAsano, はないので，割り算をしてもいい，ということになりA. する先が2014 h = 0とした時の値と同じ，というだけです。

関数の極限
は
$ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − A| < ε ε-δ論法ε – δ 論法
をとよびます2。
Univ.
述Kansai べたε も微分δ のも問，題たをだ考のえて正みのる数とで，，0ではといなうい表しh → 0 現，
ででAsano, はな0いにの「で無，限割にり」算を近しづてくもわいけいで，もといなうい
ことになりA. する先がとした時2014 h = 0の値と同じ，というだけです。

束とは何か，ε-δ論法
る
ば「f(x) = x2 をx で微分せよ」という問題を次のように説明されたと
最初の微分の例
h → 0 と書いてあっても，
h はあくまで正の数で，0ではない
hはゼロに近づいているだけで，
分母分子をhで割る
df (x)
dx
= lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
(x + h)2 − x2
h
= lim
h→0
h(2x + h)
h
= lim
h→0
(2x + h) = 2x
(1)
やっぱりh はゼロ
束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」と

る
df (x)
dx
= lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
(x + h)2 − x2
h
= lim
h→0
h(2x + h)
h
= lim
h→0
(2x + h) = 2x
(1)
やっぱりh はゼロではなくて

る
df (x)
dx
= lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
(x + h)2 − x2
h
= lim
h→0
h(2x + h)
h
= lim
h→0
(2x + h) = 2x
(1)
やっぱりh はゼロではなくて
として収い束ます。るこ先れがはh お= か0 しをく代あ入りしまたせとんきかの？
値と同じ，というだけ

左極限と右極限
ここまでに述べたlim
x→a
f(x) = A であどんなに小さx とa の隔たf(x) とA のこれを，数学の表現と書きます。この表この定義で，最初けであってあくまでとしているのは，収2ε-関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは
A
A
B
x
N x
論法もε-δ論a a
浅野　晃／応用数学（解析

xが大きい方からaに近づいても
小さい方からaに近づいても，どちらの極限もA
x→a
A
A
B
x
N x
論法もε-δ論a
a
浅野　晃／応用数学（解析

2: 同じεに対しても，必要な「なお，関数の極限については「上のことがx がa にどの件がついています。「方向」の違いとは，例えばx がa よに近づくのか，という違いです。前者の場合のみ得られるを右極限といい，それぞれlim
"ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x − a| < δ となります。さらに，関数f(x) が区間I のどの点でも連右2014 A. Asano, Kansai Univ.
x→a
A
A
B
x
N x
論法もε-δ論a
a
浅野　晃／応用数学（解析δ 異図, lim
x→a+0
x→a−0
極限
と書きます。
関数の連続性と一様連続性
関数f(x) のx → a の極限がf(a) であるとき，f(x) はくと

2: 同じεに対しても，必要な「なお，関数の極限については「上のことがx がa にどの件がついています。「方向」の違いとは，例えばx がa よに近づくのか，という違いです。前者の場合のみ得られるを右極限といい，それぞれlim
2: 同じεに対しても，必要なお，関数の極限については「上のことがx がa に件がついています。「方向」の違いとは，例えばx がに近づくのか，という違いです。前者の場合のみ得らを右極限といい，それぞれlim
, lim
右極限
x→a+0
"ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x − a| < δ となります。さらに，関数f(x) が区間I のどの点でも連と書きます関数の連続性と一様連続性
関数f(x) のx → a の極限がf(a) であるとき，f(くと
x→a
A
A
B
, lim
x→a+0
x
N x
論法もε-δ論a
a
浅野　晃／応用数学（解析ε
δ 図x→a−0
左極限
δ 異図x→a−0
と書きます。
関数の連続性と一様連続性
関数f(x) のx → a の極限がf(a) であるとき，f(x) はくと

関数の「連続」と「一様連続」

関数の連続性
関数 f(x) が x = a で連続であるとは
関数 f(x) の x→a の極限が f(a) であること
x
f(a)
a
a x
f(a)

関数の連続性
x
f(a)
a
a x
f(a)
a で連続

関数の連続性
x
f(a)
a
a x
f(a)
右極限はf(a)で
ない
a で連続

関数の連続性
x
f(a)
a
右極限はf(a)で
ない
f(a) 左極限はf(a)
a x
a で連続

関数の連続性
x
f(a)
a
右極限はf(a)で
ない
a x
a で連続a で不連続

関数の連続性
x
f(a)
a
右極限はf(a)で
ない
a x
a で連続a で不連続
区間 I のどの点でも連続なら「区間 I で連続」

ε – δ 論法で話をすると
x

x
f(a) εε

x
f(x)が
f(a)の上下εの範囲に
入るにはf(a) εε

x
f(x)が
入るにはf(a) εε
δ δ
a

f(a) εε
x
f(x)が
入るには
δ δ
a
xが
aの左右δの範囲に
入ればよい

f(a) εε
x
εε
f(b)
f(x)が
入るには
δ δ
a
xが
入ればよい

同じεでも
f(a) εε
x
εε
f(b)
f(x)が
入るには
δ δ
a
xが
入ればよい

f(a) εε
x
εε
f(b)
f(x)が
入るには
δ δ
a
xが
入ればよい
δ δ
b
同じεでも

f(a) εε
x
εε
f(b)
f(x)が
入るには
δ δ
a
xが
入ればよい
δ δ
b
同じεでも
要求される
δの「狭さ」は
異なる

一様連続
f(a) εε
x
δ δ
εε
f(b)
δ δ
a
f(x)が
入るには
xがaの左右δの範囲に入ればよい
b
同じεでも
求められる
異なる

一様連続
f(a) εε
x
δ δ
εε
f(b)
δ δ
a
f(x)が
入るには
b
同じεでも
求められる
異なる
この場合は「狭い方の δ 」をどこででも用いればよい

一様連続
f(a) εε
x
δ δ
εε
f(b)
δ δ
a
f(x)が
入るには
b
同じεでも
求められる
異なる
この場合は「狭い方の δ 」をどこででも用いればよい
どの点でも「共通の δ 」を用いれば連続といえるとき
［一様連続］という

極限といい，それぞれlim
と書きます。
連続だが, lim
x→a−0
一x→a+様0
連続でない例
の連続性と一様連続性
数f(x) のx → a の極限がf(a) であるとき，f(x) はa で連続であるといいます。ε-δ論法で"，|区ε > 0, ∃δ > 0; 0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − f(a)| < ε -1 f(x)
ります。さらに，関数f(x) が区間I のどの点でも連続のとき，f(x) は区間I で連続といいますて，ε-δ論法を用いると，同じ「x = a で連続」な関数にも「連続の程度」を考えることができつまり，f(x) とf(a) の隔たりがあるε より小さくなるとき，x とa との隔たりをどのくらい小さばよいか，つまりδ をどのくらい小さくすればよいか，という問題です（図2）。
間I 内のどの点a についても，f(x) とf(a) の隔たりをあるε より小さくするためには，x とa とりをひとつの共通のδ より小さくすればよいとき，f(x) は区間I で一様連続であるといいます間I が閉区間なら，δ は区間内で必要な最小のものにすればよいので，区間I で連続な関数はつ様連続です3。しかし，区間I が開区間のときは，「連続なのに一様連続でない」関数がありまえば，区間[0, 1) で関数f(x) =
1
1
x − 1
を考えます（図3）。この区間内では，x が1 にいくらでも図3: 連続だが一様連続でない関数
ば，x のどんな小さな変化に対しても，f(x) はいくらでも大きく変化します。したがって，ひとf(x) とf(a) の隔たりε に対して，区間内で共通のδ をとることができず，一様連続ではありませ= n です。ですから，n を大きくすればxn とan の隔たりをあるδ よりも小さくすることはでき
う少し正確に書いてみましょう。1
1
とすると，1
で間 [0, 1) を考える

と書きます。
連続だが, lim
x→a−0
一x→a+様0
連続でない例
1
1
x − 1
1
とすると，1
ε

と書きます。
連続だが, lim
x→a−0
一x→a+様0
連続でない例
1
1
x − 1
1
とすると，1
δ
ε

と書きます。
連続だが, lim
x→a−0
一x→a+様0
連続でない例
1
1
x − 1
を考えます（図3）。この区間内では，がにいくらでも図3: 連続だが一様連続でない関数
x 1 ば，x のどんな小さな変化に対しても，f(x) はいくらでも大きく変化します。したがって，ひとf(x) とf(a) の隔たりε に対して，区間内で共通のδ をとることができず，一様連続ではありませう少し正確に書いてみましょう。1
xが1に近づくと
f(x)はいくらでも大きく
変化する
= n です。ですから，n を大きくすればxn とan の隔たりをあるδ よりも小さくすることはでき
1
とすると，1
δ
ε

と書きます。
連続だが, lim
x→a−0
一x→a+様0
連続でない例
1
1
x − 1
変化する
1
とすると，1
δ
ε
ε

と書きます。
連続だが, lim
x→a−0
一x→a+様0
連続でない例
1
1
x − 1
変化する
1
とすると，1
δ
ε
ε
δ

と書きます。
連続だが, lim
x→a−0
一x→a+様0
連続でない例
1
1
x − 1
変化する
1
とすると，1
δ
ε
ε
δ
要求される
いくらでも狭くなる

と書きます。
連続だが, lim
x→a−0
一x→a+様0
連続でない例
1
1
x − 1
変化する
1
とすると，1
δ
ε
ε
δ
要求される
いくらでも狭くなる
区間内で
「共通のδ」は
存在しない

関数列の収束

関数列の収束と「一様収束」
x
f(x) f(x)
x

f1(x)
x
f(x) f(x)
x

f1(x)
x
f2(x)
f(x) f(x)
x

f1(x)
x
f2(x)
…
f(x) f(x)
x

f1(x)
x
f2(x)
…
f(x)
区間内の各点で，
fn(x)とf(x)の隔たりが
0に近づく
f(x)
x

f1(x)
x
f2(x)
…
f(x)
0に近づく
［各点収束］
f(x)
x

f1(x)
x
f2(x)
…
f(x)
0に近づく
［各点収束］
f1(x)
f(x)
x

f1(x)
x
f2(x)
…
f(x)
0に近づく
［各点収束］
f1(x)
f(x)
f2(x)
x

f1(x)
x
f2(x)
…
f(x)
0に近づく
［各点収束］
f1(x)
f2(x)f3(x)
f(x)
x

f1(x)
x
f2(x)
…
f(x)
0に近づく
［各点収束］
f1(x)
f2(x)f3(x)
…
f(x)
x

f1(x)
x
f2(x)
…
f(x)
0に近づく
［各点収束］
f1(x)
f2(x)f3(x)
…
f(x)
x
左のほうでは収束していくが

f1(x)
x
f2(x)
…
f(x)
0に近づく
［各点収束］
f1(x)
f2(x)f3(x)
…
f(x)
x
いくらでも右に行けば
いつまでたっても
収束しない

f1(x)
x
f2(x)
…
f(x)
0に近づく
［各点収束］
f1(x)
f2(x)f3(x)
…
f(x)
x
いくらでも右に行けば
いつまでたっても
収束しない
［一様収束］でない

今日のまとめ
「限りなく近づく」とは，
「無限」ではない
求めに応じて
好きなだけ近くできること

2014年度秋学期 応用数学（解析） 第１部・「無限」の理解 ／ 第４回 収束とは何か，ε-δ論法 (2014. 10. 16)

More Related Content

What's hot

Similar to 2014年度秋学期 応用数学（解析） 第１部・「無限」の理解 ／ 第４回 収束とは何か，ε-δ論法 (2014. 10. 16)

More from Akira Asano