2014年度秋学期　応用数学（解析）　第１部・「無限」の理解　／　第４回　収束とは何か，ε-δ論法 (2014. 10. 16)

1. A. Asano, Kansai Univ. 2014年度秋学期　応用数学（解析）第1部・「無限」の理解収束とは何か，ε-δ論法浅野　晃関西大学総合情報学部第４回

2. A. Asano, Kansai Univ.

3. A. Asano, Kansai Univ. 微分を習ったときの説明

5. A. Asano, Kansai Univ. 何かだまされている気がする

6. 微分の説明るえば「f(x) = x2 をx で微分せよ」という問題を次のように説明されたと関数 f(x) = x2 の微分 df (x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x 2014 A. Asano, Kansai Univ. (1) 0 に近づいているだけで，まだ0 ではないから」といってh で割っていとしています。これはおかしくありませんか？収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」と」について考えてみます。

9. 微分の説明るえば「f(x) = x2 をx で微分せよ」という問題を次のように説明されたと関数 f(x) = x2 の微分 2014 A. Asano, Kansai Univ. h はゼロに近づいているだけで，ゼロではないから，分母分子を h で割る df (x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x (1) 0 に近づいているだけで，まだ0 ではないから」といってh で割っていとしています。これはおかしくありませんか？収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」と」について考えてみます。

10. 微分の説明るえば「f(x) = x2 をx で微分せよ」という問題を次のように説明されたと関数 f(x) = x2 の微分 2014 A. Asano, Kansai Univ. h はゼロに近づいているだけで，ゼロではないから，分母分子を h で割る df (x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x (1) 0 に近づいているだけで，まだ0 ではないから」といってh で割っていとしています。これはおかしくありませんか？収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」と」について考えてみます。

11. 微分の説明るえば「f(x) = x2 をx で微分せよ」という問題を次のように説明されたと関数 f(x) = x2 の微分 2014 A. Asano, Kansai Univ. h はゼロに近づいているだけで，ゼロではないから，分母分子を h で割る df (x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x (1) 0 に近づいているやだっけぱでり，まh だはゼ0 でロはないから」といってh で割っていとしています。これはおかしくありませんか？収束」を正確に理解する必要があります。今日は，「限りなく近づく」と」について考えてみます。

12. 微分の説明るえば「f(x) = x2 をx で微分せよ」という問題を次のように説明されたと関数 f(x) = x2 の微分 2014 A. Asano, Kansai Univ. h はゼロに近づいているだけで，ゼロではないから，分母分子を h で割る df (x) dx = lim h→0 f(x + h) − f(x) h = lim h→0 (x + h)2 − x2 h = lim h→0 h(2x + h) h = lim h→0 (2x + h) = 2x (1) 0 に近づいているやだっけぱでり，まh だはゼ0 でロはないから」といってh で割っていとしています。これはおかしくありませんか？収束」を正確こに理れ解っするて必お要かがあしりくますあ。り今日まはせ，「ん限りかな？く近づく」と」について考えてみます。

14. A. Asano, Kansai Univ. 収束＝「限りなく近づく」ことの意味

15. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 2014 A. Asano, Kansai Univ.

17. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) α 2014 A. Asano, Kansai Univ.

18. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) α Univ. Kansai ε Asano, A. 2014 ε

19. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) α α – ε α + ε Univ. Kansai ε Asano, A. 2014 ε

20. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは 2014 A. Asano, Kansai Univ. a1 α α – ε α + ε ε ε

21. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば 2014 A. Asano, Kansai Univ. a1 α α – ε α + ε ε ε

22. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば 2014 A. Asano, Kansai Univ. a2 a1 α α – ε α + ε ε ε

23. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば 2014 A. Asano, Kansai Univ. a3 a2 a1 α α – ε α + ε ε ε

24. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば 2014 A. Asano, Kansai Univ. a3 a2 a1 α α – ε α + ε ε ε …

25. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば 2014 A. Asano, Kansai Univ. a3 a2 a1 α α – ε α + ε ε ε … aN–1

26. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば 2014 A. Asano, Kansai Univ. a3 a2 a1 α α – ε α + ε ε ε … aN aN–1

27. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る 2014 A. Asano, Kansai Univ. a3 a2 a1 α α – ε α + ε ε ε … aN aN–1

28. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る 2014 A. Asano, Kansai Univ. a3 a2 a1 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN

29. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る 2014 A. Asano, Kansai Univ. a3 a2 a1 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN

30. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る 2014 A. Asano, Kansai Univ. a3 a2 a1 α α – ε α + ε ε ε … aN–1 aN+1 aN …

31. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る 2014 A. Asano, Kansai Univ. a3 a2 a1 α … α – ε α + ε ε ε

32. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る α – ε α + ε 2014 A. Asano, Kansai Univ. a3 a2 a1 α … ε ε εをどんなに小さくしても

33. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る 2014 A. Asano, Kansai Univ. a3 a2 a1 α α – ε α + ε … ε ε εをどんなに小さくしても

34. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る 2014 A. Asano, Kansai Univ. a3 a2 a1 α α – ε α + ε … ε ε εをどんなに小さくしても

35. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る 2014 A. Asano, Kansai Univ. a3 a2 a1 α α – ε α + ε … ε ε aN εをどんなに小さくしても

36. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る 2014 A. Asano, Kansai Univ. a3 a2 a1 α α – ε α + ε … ε ε aN εをどんなに小さくしても

37. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る … 2014 A. Asano, Kansai Univ. a3 a2 a1 α α – ε α + ε … ε ε aN εをどんなに小さくしても

38. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る 2014 A. Asano, Kansai Univ. a3 a2 a1 α α – ε α + ε … ε ε aN εをどんなに小さくしてもそういうNがある …

39. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは 2014 A. Asano, Kansai Univ.

41. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば 2014 A. Asano, Kansai Univ.

42. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとは α のまわりにどんなに狭い区間 [α – ε, α + ε]を設定しても(ε > 0) 数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る 2014 A. Asano, Kansai Univ.

43. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとはる」とは，数学では次のような意味だと理解されてα のまわりにどんなに狭い区間狭い区間[α [– α ε, − α ε, + α ε]を+ 設ε] 定をし設て定もし(ε て> 0) も1， N まで数進列めがば十，分大きな番号 N まで進めばについては，an はみなその狭い区間[α ε, α + ε] にN 番より大きな番号については， − n anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る Univ. Kansai Asano, "ε > 0, ∃N;n > N ⇒ |an − α| < ε A. 2014

44. 数列の収束の定義数列{an}が α に収束するとはる」とは，数学では次のような意味だと理解されてα のまわりにどんなに狭い区間狭い区間[α [– α ε, − α ε, + α ε]を+ 設ε] 定をし設て定もし(ε て> 0) も1， N まで数進列めがば十，分大きな番号 N まで進めばについては，an はみなその狭い区間[α ε, α + ε] にN 番より大きな番号 n については， − anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る Univ. Kansai ε – N 論法 Asano, "ε > 0, ∃N;n > N ⇒ |an − α| < ε A. 2014

47. 数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散する 2014 A. Asano, Kansai Univ.

48. 数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散するどんなに大きな数 G を持ってきても， 2014 A. Asano, Kansai Univ.

49. 数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散するどんなに大きな数 G を持ってきても，数列が十分大きな番号 N まで進めば 2014 A. Asano, Kansai Univ.

50. 数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散するどんなに大きな数 G を持ってきても，数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみな G より大きくなる 2014 A. Asano, Kansai Univ.

51. びます。図1 の「４コマ漫画」で，この様子を説明し列{an} が∞に発散する」とはってきても，まで進めば，ついては，an はG より大きくなる。数列の発散の定義数列{an}が ∞ に発散するどんなに大きな数 G を持ってきても，数列が十分大きな番号 N まで進めば N 番より大きな番号 n については， anはみな G より大きくなる 2014 A. Asano, Kansai Univ. "G, ∃N;n > N ⇒ an > G く小さな（好きなだけ小さくできる）正の数をさします。

54. 収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていない 2014 A. Asano, Kansai Univ.

55. 収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていないどんなに狭い区間[α – ε, α + ε] 2014 A. Asano, Kansai Univ.

56. 収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていないどんなに狭い区間[α – ε, α + ε] どんなに大きな数 G 十分大きな番号 N 2014 A. Asano, Kansai Univ.

57. 収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていないどんなに狭い区間[α – ε, α + ε] どんなに大きな数 G 十分大きな番号 N どれも「無限」ではなく有限 2014 A. Asano, Kansai Univ.

58. 収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていないどんなに狭い区間[α – ε, α + ε] どんなに大きな数 G 十分大きな番号 N どれも「無限」ではなく有限ただし，求めに応じて好きなだけ狭く・大きくできる 2014 A. Asano, Kansai Univ.

59. 収束や発散は「無限」なのか「無限」とはひとことも言っていないどんなに狭い区間[α – ε, α + ε] どんなに大きな数 G 十分大きな番号 N どれも「無限」ではなく有限ただし，求めに応じて好きなだけ狭く・大きくできる 2014 A. Asano, Kansai Univ.

61. A. Asano, Kansai Univ. 実数の連続性と収束

62. 実数の連続性と収束実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現実数の有界な単調数列は収束する数列{an}が「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > … 2014 A. Asano, Kansai Univ.

68. 実数の連続性と収束実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現実数の有界な単調数列は収束する数列{an}が「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > … 有界（このへんに達することはできない） 2014 A. Asano, Kansai Univ.

69. 実数の連続性と収束実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現実数の有界な単調数列は収束する数列{an}が「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > … 有界（このへんに達することはできない） 2014 A. Asano, Kansai Univ. …

70. 実数の連続性と収束実数の連続性を述べる公理の，４つめの表現実数の有界な単調数列は収束する数列{an}が「単調増加」とは，a1 < a2 < … < an < … 「単調減少」とは，a1 > a2 > … > an > … 有界（このへんに達することはできない） 2014 A. Asano, Kansai Univ. 単調増加だからつねに増加していくが，収束する …

71. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在するα 2014 A. Asano, Kansai Univ.

72. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在するα α′ 2014 A. Asano, Kansai Univ. α より小さい α′ を考えると

73. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する… α α′ 2014 A. Asano, Kansai Univ. α より小さい α′ を考えると

74. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する… α α′ 2014 A. Asano, Kansai Univ. α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある

75. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する… α α′ 2014 A. Asano, Kansai Univ. α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目

76. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する… α α′ 2014 A. Asano, Kansai Univ. α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目

77. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する… α α′ 2014 A. Asano, Kansai Univ. α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目つまり，

78. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する… α α′ 2014 A. Asano, Kansai Univ. α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an つまり，

79. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する… α α′ ば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，あるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α とさい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小で，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束 2014 A. Asano, Kansai Univ. α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an ことを証明せよ。きて，ak つまり， = C とおきます。すると，n > k のとき

80. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する… α α′ ば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，あるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α とさい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小で，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束数列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，なα′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，一方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α と α′ の隔たりよりも小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小 α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束ます。■ 2014 A. Asano, Kansai Univ. α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an ， lim n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。うな番号k をもってきて，ak k! つまり， = C とおきます。すると，n > k のときことを証明せよ。きて，ak = C とおきます。すると，n > k のとき

81. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する… α α′ ば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，あるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α とさい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小で，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束数列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，なα′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，一方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α と α′ の隔たりよりも小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小 α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束ます。■ 列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) の隔たりよりも小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となりまに近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えるす。■ 2014 A. Asano, Kansai Univ. α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an ， lim n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。うな番号k をもってきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のときことを証明せよ。きて，ak = C とおきます。すると，n > k のとき an つまり，

82. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する… α α′ ば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，あるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α とさい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小で，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束数列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，なα′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，一方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α と α′ の隔たりよりも小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小 α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束ます。■ 列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) の隔たりよりも小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となりまに近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えるす。■ 2014 A. Asano, Kansai Univ. α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an ， lim n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。うな番号k をもってきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のときことを証明せよ。きて，ak = C とおきます。すると，n > k のとき an α′ はどれだけ α に近くてもよいつまり，

83. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する… α α′ ば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，あるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α とさい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小で，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束数列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，なα′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，一方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α と α′ の隔たりよりも小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小 α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束ます。■ 列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) の隔たりよりも小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となりまに近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えるす。■ 2014 A. Asano, Kansai Univ. α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an ， lim n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。うな番号k をもってきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のときことを証明せよ。きて，ak = C とおきます。すると，n > k のとき an α′ はどれだけ α に近くてもよいこれをε( > 0)と考えるとつまり，

84. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する… α α′ ば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，あるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α とさい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小で，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束数列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，なα′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，一方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α と α′ の隔たりよりも小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小 α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束ます。■ 列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存α′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) の隔たりよりも小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となりまに近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えるす。■ 2014 A. Asano, Kansai Univ. α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an ， lim n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。うな番号k をもってきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のときことを証明せよ。きて，ak = C とおきます。すると，n > k のとき an α′ はどれだけ α に近くてもよいこれをε( > 0)と考えると ε つまり，

85. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する… α α′ ば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，あるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α とさい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小で，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束数列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，なα′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，一方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α と α′ の隔たりよりも小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小 α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束ます。■ 列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存α′ つまり，を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) の隔たりよりも小さいε ，すなわち|α − an| < α − α′ となりまに近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えるす。■ 2014 A. Asano, Kansai Univ. α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an ， lim n→∞ an n! = 0であること証明せよ。うな番号k をもってきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のときことを証明せよ。きて，ak = C とおきます。すると，n > k のとき an α′ はどれだけ α に近くてもよいこれをε( > 0)と考えると α からの隔たり ε をどんなに小さく設定しても，そこに入る an がある

86. ワイエルシュトラスの定理から証明有界だから，上限 α が存在する… α α′ ば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，あるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α とさい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小で，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束数列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，なα′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，一方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α と α′ の隔たりよりも小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小 α に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束ます。■ 列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存α′ つまり，を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) の隔たりよりも小さいε ，すなわち|α − an| < α − α′ となりまに近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えるす。■ 2014 A. Asano, Kansai Univ. α より小さい α′ を考えると α′ と α の間に来る an がある an n 番目 α α′ an ， lim n→∞ an n! = 0であること証明せよ。うな番号k をもってきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のときことを証明せよ。きて，ak = C とおきます。すると，n > k のとき an α′ はどれだけ α に近くてもよいこれをε( > 0)と考えると α からの隔たり ε をどんなに小さく設定しても，そこに入る an がある {an} は α に収束する

88. A. Asano, Kansai Univ. 数列の収束に関する例題

89. 例題 a > 0 のとき例題 a > のとき， lim n→∞ = C とおan n! 2014 A. Asano, Kansai Univ. an n! = 0であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号k をもってきて，ak k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × ! "1 n−k C · 2k を証明せよ。

90. 例題 a > 0 のとき例題 a > のとき， lim n→∞ = C とおan n! と置く。番号 k は，k > 2a であるとする。 2014 A. Asano, Kansai Univ. an n! = 0であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号k をもってきて，ak k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × ! "1 n−k C · 2k を証明せよ。 ! 小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小ので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束ることを証明せよ。てきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) （小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考える an

91. 例題 a > 0 のとき例題 a > のとき， lim n→∞ = C とおan n! と置く。番号 k は，k > 2a であるとする。 n > k となる番号 n について， 2014 A. Asano, Kansai Univ. an n! = 0であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号k をもってきて，ak k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × ! "1 n−k C · 2k を証明せよ。 ! 小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小ので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束ることを証明せよ。てきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) （小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考える an

92. 例題 a > 0 のとき単調に増加する数列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存在α′ 例題 < α となるようなα′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 以α′ よりも大きく，一方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) でan の隔たりはとの隔たりよりも小さい，すなわちとなりますさけれa ば> α のとα′ き， |α − an| < α − α′ どれだけα に近くてもlim よいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えるとすることがわかります。■ n→∞ 例題 = C とおan n! と置く。番号 k は，k > 2a であるとする。 a > 0 のとき， lim n > k となる番号 n について， = C とおきます。すると，n > k のan n! 2014 A. Asano, Kansai Univ. an n! = 0であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号k をもってきて，ak k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × ! "1 n−k C · 2k を証明せよ。 ! 小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小ので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束ることを証明せよ。てきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) （小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考える an n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。 k > 2a であるようなk をもってきak k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × k + で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 "n−k = C · 2k < C · 2k

93. 例題 a > 0 のとき単調に増加する数列{an} が有界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存在α′ 例題 < α となるようなα′ を用意します。この数列は単調増加ですから，ある番号p 以α′ 界ならば，Weierstrass の定理により上限α が存在します。このとき，ます。この数列は単調増加ですから，ある番号p 以降のan (n > p) は，下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) です。よって，α とりも小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小よいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束よりも大きく，一方上限α 以下ではあるはずです。つまりα′ < an ! α (n > p) でan の隔たりはとの隔たりよりも小さい，すなわちとなりますさけれa ば> α のとα′ き， |α − an| < α − α′ どれだけα に近くてもlim よいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えるとすることがわかります。■ n→∞ 例題 = C とおan n! と置く。番号 k は，k > 2a であるとする。 a > 0 のとき， lim n > k となる番号 n について， = C とおきます。すると，n > k のan n! 2014 A. Asano, Kansai Univ. an n! = 0であることを証明せよ。 k > 2a であるような番号k をもってきて，ak k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × ! "1 n−k C · 2k を証明せよ。 ! 小さい，すなわち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小ので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束ることを証明せよ。てきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) （小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考える an n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。 k > 2a であるようなk をもってきak k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × k + で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 "n−k = C · 2k < C · 2k 0であることを証明せよ。もってきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a × a × · · · × a

94. an n! 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim n→∞ = 0であることを証明せよ。であることを証明せよ。 k > 2a であるようなk をもってきak = C とおきます。すると，n > k のan n! ってきて，ak 2014 A. Asano, Kansai Univ. k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ 関数の極限 k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるなります。すなわち，an n! は0 に収束します。■

95. an n! 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim n→∞ = 0であることを証明せよ。であることを証明せよ。 k > 2a であるようなk をもってきak = C とおきます。すると，n > k のan n! ってきて，ak 2014 A. Asano, Kansai Univ. k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ 関数の極限 k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるなります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ k > 2a なので

96. an n! かります。■ 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim n→∞ = 0であることを証明せよ。であることを証明せよ。 k > 2a であるようなk をもってきak an n! = C とおきます。すると，n > k のan n! とき， lim n→∞ ってきて，ak = 0であること証明せよ。るような番号k をもってきて，ak 2014 A. Asano, Kansai Univ. k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ 関数の極限 k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるなります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ k > 2a なので k! = C とおきます。すると，n > k のとき = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n できます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考え代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 に収束します。■

101. − ，{an} かります。■ an n! かります。■ 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim n→∞ = 0であることを証明せよ。であることを証明せよ。 k > 2a であるようなk をもってきak an n! = C とおきます。すると，n > k のan n! とき， lim n→∞ ってきて，ak = 0であること証明せよ。るような番号k をもってきて，ak 2014 A. Asano, Kansai Univ. k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ 関数の極限 k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるなります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ k > 2a なので k! = C とおきます。すると，n > k のとき = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n できます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考え代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ とき， lim n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。るような番号k をもってきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) できます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考える代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 に収束します。■

105. − ，{an} かります。■ れだけα に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束わかります。■ an n! かります。■ 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim n→∞ = 0であることを証明せよ。であることを証明せよ。 k > 2a であるようなk をもってきak an n! = C とおきます。すると，n > k のan n! とき， lim n→∞ ってきて，ak = 0であること証明せよ。るような番号k をもってきて，ak 2014 A. Asano, Kansai Univ. k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ 関数の極限 k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるなります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ k > 2a なので k! = C とおきます。すると，n > k のとき = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n できます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考え代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ とき， lim n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。るような番号k をもってきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) すから an n! < C a 2a + 1 < C ! 1 2 "k (5) できます。そこで，ある（ε n > C 2k ε なるn を考える代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 のとき， lim n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。あるような番号k をもってきk! = C n > k き an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 a k + (n k) (4) ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ができます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるに代入してan n! < ε となりan n! 0 に収束します。■

108. − ，{an} かります。■ れだけα に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束わかります。■ an n! かります。■ 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim わち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小を上の収束の定義のとn→∞ ε 考えると，{an} はα に収束 = 0であることを証明せよ。であることを証明せよ。 k > 2a であるようなk をもってきak an n! = C とおきます。すると，n > k のan n! とき， lim n→∞ ってきて，ak = 0であること証明せよ。るような番号k をもってきて，ak 2k 2n < 2014 A. Asano, Kansai Univ. k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ そこで，どんな小さな ε( > 0) についても，番号 n が　　　　　であれば関数の極限 k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるなります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ k > 2a なので k! = C とおきます。すると，n > k のとき = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n できます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考え代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ とき， lim n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。るような番号k をもってきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) すから an n! < C a 2a + 1 < C ! 1 2 "k (5) できます。そこで，ある（ε n > C 2k ε なるn を考える代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 のとき， lim n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。あるような番号k をもってきk! = C n > k き an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 a k + (n k) (4) ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ができます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるに代入してan n! < ε となりan n! 0 に収束します。■ せよ。 C とおきます。すると，n > k のとき C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) + 2 × · · · × a 2a + (n − k) · C · 2k n (5) の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるち，an n! は0 に収束します。■

109. − ，{an} かります。■ れだけα に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えると，{an} はα に収束わかります。■ an n! かります。■ 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim わち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小を上の収束の定義のとn→∞ ε 考えると，{an} はα に収束 = 0であることを証明せよ。であることを証明せよ。 k > 2a であるようなk をもってきak an n! = C とおきます。すると，n > k のan n! とき， lim n→∞ ってきて，ak = 0であること証明せよ。るような番号k をもってきて，ak 2k 2n < 2014 A. Asano, Kansai Univ. k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ そこで，どんな小さな ε( > 0) についても，番号 n が　　　　　であれば関数の極限 k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるなります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ k > 2a なので k! = C とおきます。すると，n > k のとき = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n できます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考え代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ とき， lim n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。るような番号k をもってきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) すから an n! < C a 2a + 1 < C ! 1 2 "k (5) できます。そこで，ある（ε n > C 2k ε なるn を考える代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 のとき， lim n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。あるような番号k をもってきk! = C n > k き an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 a k + (n k) (4) ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ができます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるに代入してan n! < ε となりan n! 0 に収束します。■ せよ。 C とおきます。すると，n > k のとき C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) + 2 × · · · × a 2a + (n − k) · C · 2k n (5) の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるち，an n! は0 に収束します。■

110. − ，{an} かります。■ a > 0 のとき， lim = 0であることを証明せよk > 2a であるような番号k をもってきて，ak れだけα に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えと，{an} はα に収束わかります。■ an n! かります。■ 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim わち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小を上の収束の定義のとn→∞ ε 考えると，{an} はα に収束 = 0であることを証明せよ。であることを証明せよ。 k > 2a であるようなk をもってきak an n! = C とan n! = C とおきます。すると，n > k のan n! とき， lim n→∞ ってきて，ak = 0であること証明せよ。るような番号k をもってきて，ak 2k 2n < C · 2k 2n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数と，上の式に代入てan 2014 A. Asano, Kansai Univ. k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ そこで，どんな小さな ε( > 0) についても，番号 n が　　　　　であれば関数の極限 k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるなります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ k > 2a なので k! = C とおきます。すると，n > k のとき = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n できます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考え代入してan n! < ε なります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ とき， lim n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。るような番号k をもってきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) すから an n! < C a 2a + 1 < C ! 1 2 "k (5) できます。そこで，ある（ε n > C 2k ε なるn を考える代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 のとき， lim n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。あるような番号k をもってきk! = C n > k き an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 a k + (n k) (4) ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ができます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるに代入してan n! < ε となりan n! 0 に収束します。■ せよ。 C とおきます。すると，n > k のとき C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) + 2 × · · · × a 2a + (n − k) · C · 2k n (5) の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるち，an n! は0 に収束します。■ n→∞ n! k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × ! "1 n−k < C × = 2 n! < ε となります。すなわち，an n!

111. − ，{an} かります。■ a > 0 のとき， lim = 0であることを証明せよk > 2a であるような番号k をもってきて，ak れだけα に近くてもよいので，α − α′ を上の収束の定義のε と考えと，{an} はα に収束わかります。■ an n! かります。■ 例題 n > k となる番号 n について， a > 0 のとき， lim わち|α − an| < α − α′ となります。α′ は，α より小を上の収束の定義のとn→∞ ε 考えると，{an} はα に収束 = 0であることを証明せよ。であることを証明せよ。 k > 2a であるようなk をもってきak an n! = C とan n! = C とおきます。すると，n > k のan n! とき， lim n→∞ ってきて，ak = 0であること証明せよ。るような番号k をもってきて，ak 2k 2n < C · 2k 2n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数と，上の式に代入てan 2014 A. Asano, Kansai Univ. k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n とすることができます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε と，上の式に代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ そこで，どんな小さな ε( > 0) についても，番号 n が　　　　　であれば関数の極限 k! = C とおきます。すると，n > k のとき a + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるなります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ k > 2a なので k! = C とおきます。すると，n > k のとき = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) すから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n できます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考え代入してan n! < ε なります。すなわち，an n! は0 に収束します。■ とき， lim n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。るような番号k をもってきて，ak k! = C とおきます。すると，n > k のとき an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) すから an n! < C a 2a + 1 < C ! 1 2 "k (5) できます。そこで，ある（ε n > C 2k ε なるn を考える代入してan n! < ε となります。すなわち，an n! は0 のとき， lim n→∞ an n! = 0であることを証明せよ。あるような番号k をもってきk! = C n > k き an n! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 a k + (n k) (4) ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × · · · × a 2a + (n − k) < C × ! 1 2 "n−k = C · 2k 2n < C · 2k n (5) ができます。そこで，ある（小さな）正の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるに代入してan n! < ε となりan n! 0 に収束します。■ せよ。 C とおきます。すると，n > k のとき C × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a k + (n − k) (4) + 2 × · · · × a 2a + (n − k) · C · 2k n (5) の数ε をもってきて，n > C · 2k ε となるn を考えるち，an n! は0 に収束します。■ n→∞ n! k! = ak k! × a k + 1 × a k + 2 × · · · × a n = C × で，k > 2a ですから an n! < C × a 2a + 1 × a 2a + 2 × ! "1 n−k < C × = 2 n! < ε となります。すなわち，an n! つまり {an / n!} は 0 に収束する

113. A. Asano, Kansai Univ. 関数の極限

114. 関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは N 論法もε-δ論法に含めて，2014 A. Asano, Kansai Univ. 関数の極限ここまでに述べた数列の収束lim x→a f(x) = A であることは，次どんなに小さな正の数ε x とa の隔たりをあるδ f(x) とA の隔たりもε よこれを，数学の表現では $ε と書きます。この表現をε-δこの定義で，最初に述べた微けであってあくまで0 ではないとしているのは，収束する先が2ε-x

115. 関数の極限数列の収束と同じ論法を用いる関数 f(x) の x→a の極限が A であるとは縦軸で A との隔たり ε をどれほど小さくしても N 論法もε-δ論法に含めて，2014 A. Asano, Kansai Univ. 関数の極限ここまでに述べた数列の収束lim x→a f(x) = A であることは，次どんなに小さな正の数ε x とa の隔たりをあるδ f(x) とA の隔たりもε よこれを，数学の表現では $ε と書きます。この表現をε-δこの定義で，最初に述べた微けであってあくまで0 ではないとしているのは，収束する先が2ε-x A εε

2014年度秋学期　応用数学（解析）　第１部・「無限」の理解　／　第４回　収束とは何か，ε-δ論法 (2014. 10. 16)

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