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2016年度秋学期 応用数学(解析) 第14回 ルベーグ測度と完全加法性 (2017. 1. 12)
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関西大学総合情報学部・応用数学(解析)(担当・浅野晃) http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/AMA/ 【第11回資料】 テキスト http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/AMA/2022a_ama11.pdf ハンドアウト http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/AMA/2022a_ama11_slide_hor.pdf 動画 https://youtu.be/WjfVKRtkZq4
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関西大学総合情報学部 統計学(担当・浅野晃) http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/STAT/ 【第12回資料】 テキスト http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/STAT/2022a_stat11.pdf ハンドアウト http://racco.mikeneko.jp/Kougi/2022a/STAT/2022a_stat11_slide_hor.pdf 動画 https://youtu.be/6EOQeTWp7b4
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2016年度秋学期 応用数学(解析) 第14回 ルベーグ測度と完全加法性 (2017. 1. 12)
1.
A.Asano,KansaiUniv. 2016年度秋学期 応用数学(解析) 浅野 晃 関西大学総合情報学部 第5部・測度論ダイジェスト ルベーグ測度と完全加法性 第14回
2.
A.Asano,KansaiUniv.
3.
A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問
4.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx
5.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx p
q
6.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx p
qa
7.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx p
q だから, a a f(x)dx = 0 a
8.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 aのところで幅0の 直線を抜いても 積分の値は変わらない 積分 f(x) x p q 分 q p f(x)dx p
q だから, a a f(x)dx = 0 a
9.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q a a f(x)dx
= 0
10.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q a a f(x)dx
= 0 p q
11.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q a a f(x)dx
= 0 可算無限個の直線を 抜いても p q
12.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q a a f(x)dx
= 0 可算無限個の直線を 抜いても p q どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる
13.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を何本抜いても 積分の値は変わらないp q a a f(x)dx
= 0 可算無限個の直線を 抜いても p q どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらない のか?
14.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 「数えられる」無限 自然数とは,数えるための数字 1, 2,
3, … 自然数の集合と同じ無限を 「数えられる無限」すなわち [可算無限]という そして,「無限」 その「個数」は[可算基数]ℵ0(アレフゼロ) (よく「可算無限個」という)
15.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 「数えられる」無限 自然数とは,数えるための数字 1, 2,
3, … 自然数の集合と同じ無限を 「数えられる無限」すなわち [可算無限]という そして,「無限」 その「個数」は[可算基数]ℵ0(アレフゼロ) (よく「可算無限個」という) ?
16.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. どうやって数えるのか 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2,
3, … 集合A = {a, b, c, …} 自然数
17.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. どうやって数えるのか 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2,
3, … 集合A = {a, b, c, …} 自然数
18.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. どうやって数えるのか 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2,
3, … 集合A = {a, b, c, …} 自然数
19.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. どうやって数えるのか 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2,
3, … 集合A = {a, b, c, …} 自然数
20.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. どうやって数えるのか 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2,
3, … 集合A = {a, b, c, …} 自然数
21.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. どうやって数えるのか 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2,
3, … 集合A = {a, b, c, …} 自然数 1対1対応がつく ([全単射]が 存在する)なら
22.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. どうやって数えるのか 自然数と対応がつく集合は数えられる 1, 2,
3, … この集合の[基数]([濃度])は [可算無限集合]という ℵ0 集合A = {a, b, c, …} 自然数 1対1対応がつく ([全単射]が 存在する)なら
23.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 偶数の集合の濃度は 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2,
3, …, n, … 偶数 自然数 2, 4, 6, …, 2n, …
24.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 偶数の集合の濃度は 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2,
3, …, n, … 偶数 自然数 2, 4, 6, …, 2n, …
25.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 偶数の集合の濃度は 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2,
3, …, n, … 偶数 自然数 2, 4, 6, …, 2n, …
26.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 偶数の集合の濃度は 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2,
3, …, n, … 偶数 自然数 2, 4, 6, …, 2n, …
27.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 偶数の集合の濃度は 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2,
3, …, n, … 偶数 自然数 2, 4, 6, …, 2n, …
28.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 偶数の集合の濃度は 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2,
3, …, n, … 偶数 自然数 1対1対応がつく (全単射が存在する) 2, 4, 6, …, 2n, …
29.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 偶数の集合の濃度は 偶数と自然数とは対応がつくか 1, 2,
3, …, n, … 偶数の基数もℵ0 偶数 自然数 1対1対応がつく (全単射が存在する) 2, 4, 6, …, 2n, … 自然数と「個数」は同じ
30.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を可算無限個 抜いても p q どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらない のか?
31.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を可算無限個 抜いても p q どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらない のか? この疑問に答えるには, 「幅」「面積」というものをもっと精密に 考える必要がある
32.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を可算無限個 抜いても p q どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらない のか? この疑問に答えるには, 「幅」「面積」というものをもっと精密に 考える必要がある 「測度論」
33.
A.Asano,KansaiUniv.
34.
A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度
35.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は,分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q
36.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は,分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
37.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は,分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
重なりのない,有限個の
38.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は,分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
重なりのない,有限個の 区間に分けて,
39.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は,分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
重なりのない,有限個の 区間に分けて, その上の長方形の面積の極限
40.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は,分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
重なりのない,有限個の 区間に分けて, その上の長方形の面積の極限
41.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 区分求積法で積分を求める 積分 は,分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
重なりのない,有限個の 区間に分けて, その上の長方形の面積の極限 「極限」とは,無限ではなく有限
42.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン内測度と外測度 f(x) x p q グラフの下側の部分の 内部におさまる長方形 f(x) x p
q グラフの下側の部分を 内部に含む長方形
43.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン内測度と外測度 f(x) x p q グラフの下側の部分の 内部におさまる長方形 区間の分け方をいろいろ変えた時 f(x) x p
q グラフの下側の部分を 内部に含む長方形
44.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン内測度と外測度 f(x) x p q グラフの下側の部分の 内部におさまる長方形 区間の分け方をいろいろ変えた時 こちらの上限 f(x) x p
q グラフの下側の部分を 内部に含む長方形
45.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン内測度と外測度 f(x) x p q グラフの下側の部分の 内部におさまる長方形 区間の分け方をいろいろ変えた時 こちらの上限 f(x) x p
q グラフの下側の部分を 内部に含む長方形 ジョルダン内測度
46.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン内測度と外測度 f(x) x p q グラフの下側の部分の 内部におさまる長方形 区間の分け方をいろいろ変えた時 こちらの上限 f(x) x p
q グラフの下側の部分を 内部に含む長方形 ジョルダン内測度 こちらの下限
47.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン内測度と外測度 f(x) x p q グラフの下側の部分の 内部におさまる長方形 区間の分け方をいろいろ変えた時 こちらの上限 f(x) x p
q グラフの下側の部分を 内部に含む長方形 ジョルダン内測度 こちらの下限 ジョルダン外測度
48.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度 f(x) x p q こちらの上限 f(x) x p
q ジョルダン内測度 こちらの下限 ジョルダン外測度
49.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度 f(x) x p q こちらの上限 f(x) x p
q ジョルダン内測度 こちらの下限 ジョルダン外測度 両者が一致するときジョルダン測度という
50.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度 f(x) x p q こちらの上限 f(x) x p
q ジョルダン内測度 こちらの下限 ジョルダン外測度 両者が一致するときジョルダン測度という 2次元の場合これを面積という
51.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度 f(x) x p q こちらの上限 f(x) x p
q ジョルダン内測度 こちらの下限 ジョルダン外測度 両者が一致するときジョルダン測度という 2次元の場合これを面積という ジョルダン測度が定まる図形(集合)を ジョルダン可測という
52.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度 積分の例(区分求積法)に限らず これの上限が ジョルダン内測度 ジョルダン測度が定まる図形(集合)を ジョルダン可測という これの下限が ジョルダン外測度 両者が一致するときジョルダン測度 2次元の場合これを面積という
53.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度の性質 ジョルダン可測な集合Aの ジョルダン測度をJ(A)とする
54.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度の性質 ジョルダン可測な集合Aの ジョルダン測度をJ(A)とする J(∅) =
0
55.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度の性質 ジョルダン可測な集合Aの ジョルダン測度をJ(A)とする 空集合の測度は0J(∅) =
0
56.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度の性質 ジョルダン可測な集合Aの ジョルダン測度をJ(A)とする 空集合の測度は0J(∅) =
0 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B)
57.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度の性質 ジョルダン可測な集合Aの ジョルダン測度をJ(A)とする 空集合の測度は0 重なりのない2つの集合については 和集合の測度は測度の和 J(∅) =
0 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B)
58.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ジョルダン測度の性質 ジョルダン可測な集合Aの ジョルダン測度をJ(A)とする 有限加法性という 空集合の測度は0 重なりのない2つの集合については 和集合の測度は測度の和 J(∅) =
0 A ∩ B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B)
59.
A.Asano,KansaiUniv.
60.
A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ測度
61.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は,分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q
62.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は,分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
63.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は,分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
重なりのない,有限個の
64.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は,分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
重なりのない,有限個の 区間に分けて,
65.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は,分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
重なりのない,有限個の 区間に分けて, その上の長方形の面積の極限
66.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は,分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
重なりのない,有限個の 区間に分けて, その上の長方形の面積の極限 ジョルダン測度
67.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は,分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
重なりのない,有限個の 区間に分けて, その上の長方形の面積の極限 ジョルダン測度 極限は,「無限」とは違う
68.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は,分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
重なりのない,有限個の 区間に分けて, その上の長方形の面積の極限 ジョルダン測度 極限は,「無限」とは違う 有限だが,好きなだけ大きくできる
69.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義 数列{an}が α
に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α … N 番より大きな番号 n については, anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る α – ε α + ε ε ε
70.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義 数列{an}が α
に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α … N 番より大きな番号 n については, anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る εをどんなに小さくしても α – ε α + ε ε ε
71.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義 数列{an}が α
に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については, anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても
72.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義 数列{an}が α
に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については, anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても
73.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義 数列{an}が α
に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については, anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN
74.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義 数列{an}が α
に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については, anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN
75.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義 数列{an}が α
に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については, anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN …
76.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 数列の収束の定義 数列{an}が α
に収束するとは 数列が十分大きな番号 N まで進めば a1a2a3 α α – ε α + ε … N 番より大きな番号 n については, anはみなその狭い区間[α – ε, α + ε]に入る ε ε εをどんなに小さくしても aN そういうNがある …
77.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 「有限個の長方形」 積分 は,分 q p f(x)dx f(x) x p 長方形で近似 q 積分区間を
重なりのない,有限個の 区間に分けて, その上の長方形の面積の極限 ジョルダン測度 極限は,「無限」とは違う 有限だが,好きなだけ大きくできる
78.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有限個の長方形では,困る 幅0の直線を可算無限個 抜いても p q どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらない のか?
79.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有限個の長方形では,困る こういう場合でも 積分や面積を考えられるようにするには 幅0の直線を可算無限個 抜いても p q どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらない のか?
80.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有限個の長方形では,困る こういう場合でも 積分や面積を考えられるようにするには 幅0の直線を可算無限個 抜いても p q どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらない のか? 可算無限個の長方形にもとづく測度が必要
81.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ外測度 Sを 重なりを許した 可算無限個の長方形で覆う … 図形(集合)S
82.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ外測度 Sを 重なりを許した 可算無限個の長方形で覆う … 図形(集合)S それらの長方形の面積の和の下限を
83.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ外測度 Sを 重なりを許した 可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形(集合)S それらの長方形の面積の和の下限を
84.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ外測度 Sを 重なりを許した 可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形(集合)S それらの長方形の面積の和の下限を m∗(S)
85.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ外測度 Sを 重なりを許した 可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形(集合)S それらの長方形の面積の和の下限を m∗(S) m∗(∅) =
0
86.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ外測度 Sを 重なりを許した 可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形(集合)S それらの長方形の面積の和の下限を m∗(S) m∗(∅) =
0 空集合の外測度は0
87.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ外測度 Sを 重なりを許した 可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形(集合)S それらの長方形の面積の和の下限を m∗(S) m∗(∅) =
0 空集合の外測度は0 S ⊂ T = m∗(S) m∗(T)
88.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ外測度 Sを 重なりを許した 可算無限個の長方形で覆う ルベーグ外測度という … 図形(集合)S それらの長方形の面積の和の下限を m∗(S) m∗(∅) =
0 空集合の外測度は0 S ⊂ T = m∗(S) m∗(T) 包含関係と外測度の大小関係は一致
89.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩
B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか?
90.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については 完全劣加法性 A ∩
B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか?
91.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については 完全劣加法性 A ∩
B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか? 有界な集合の列S1, S2, …について ∞ i=1 Si が有界ならば m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si)
92.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については 完全劣加法性 A ∩
B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか? 有界な集合の列S1, S2, …について ∞ i=1 Si が有界ならば m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si) 可算無限個の和集合
93.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については 完全劣加法性 A ∩
B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか? 有界な集合の列S1, S2, …について ∞ i=1 Si が有界ならば m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si) 可算無限個の和集合 外測度の可算無限個の和
94.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … ルベーグ外測度については 完全劣加法性 A ∩
B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか? 有界な集合の列S1, S2, …について ∞ i=1 Si が有界ならば m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si) 可算無限個の和集合 外測度の可算無限個の和
95.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2,
…, Si, …
96.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2,
…, Si, …
97.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2,
…, Si, … Siを長方形 で覆う
98.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2,
…, Si, … I1(i)Siを長方形 で覆う
99.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2,
…, Si, … I1(i) I2(i) Siを長方形 で覆う
100.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2,
…, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) Siを長方形 で覆う
101.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2,
…, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う
102.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2,
…, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う この覆い方は
103.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2,
…, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . この覆い方は
104.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2,
…, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i この覆い方は
105.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2,
…, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i 面積の和が この覆い方は
106.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2,
…, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i その 下限 面積の和が この覆い方は
107.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 S1, S2,
…, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i その 下限 よりも 少し大きい 面積の和が この覆い方は
108.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 こういう覆い方I1(i), I2(i),
I3(i), … が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i その 下限 よりも 少し大きい 面積の和が この覆い方は
109.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 こういう覆い方I1(i), I2(i),
I3(i), … が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i その 下限 よりも 少し大きい 面積の和が この覆い方は 他のSiについても同様だから
110.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 こういう覆い方I1(i), I2(i),
I3(i), … が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i その 下限 よりも 少し大きい 面積の和が この覆い方は 他のSiについても同様だから ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i)
111.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 こういう覆い方I1(i), I2(i),
I3(i), … が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i その 下限 よりも 少し大きい 面積の和が この覆い方は 他のSiについても同様だから ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 各Siに ついて
112.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 有界な集合の列 こういう覆い方I1(i), I2(i),
I3(i), … が存在する S1, S2, …, Si, … I1(i) I2(i) I3(i) …Siを長方形 で覆う Si ⊂ I1(i) ∪ I2(i) ∪ · · · ∪ In(i) ∪ . . . ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i その 下限 よりも 少し大きい 面積の和が この覆い方は 他のSiについても同様だから ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 各Siに ついて I1(i), I2(i), I3(i), … で覆う
113.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の, 可算無限個の和集合
114.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の, 可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合 と同じ
115.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 問題1 有理数は,可算基数をもつか 分母を横軸, 分子を縦軸とすると, 有理数は図の黒点 (格子点) ※分母0の点は除く 分母 分子 0 1
2 3 1 2 3
116.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 問題1 有理数は,可算基数をもつか 分母を横軸, 分子を縦軸とすると, 有理数は図の黒点 (格子点) ※分母0の点は除く 分母 分子 0 1
2 3 1 2 3 すべての格子点を一筆でたどれれば 自然数と一対一対応がつく
117.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の, 可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合 と同じ
118.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の, 可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合 と同じ m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si)
+ ε 2i = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε
119.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の, 可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合 と同じ m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si)
+ ε 2i = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i
120.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の, 可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合 と同じ m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si)
+ ε 2i = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i
121.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 εは正の数であればいくらでも 小さくできる ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の, 可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合 と同じ m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si)
+ ε 2i = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i
122.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全劣加法性の証明 εは正の数であればいくらでも 小さくできる ∞ i=1 Si ⊂ ∞ i=1 ∞ n=1 In(i) 可算無限個の長方形の, 可算無限個の和集合 可算無限個の長方形の和集合 と同じ m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 ∞ n=1 |In(i)| < ∞ i=1 m∗ (Si)
+ ε 2i = ∞ i=1 m∗ (Si) + ε ∞ n=1 |In(i)| < m∗ (Si) + ε 2i m∗ ( ∞ i=1 Si) ∞ i=1 m∗ (Si)
123.
A.Asano,KansaiUniv.
124.
A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ測度と完全加法性
125.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度,ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … m∗(S)
126.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度,ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ内測度 m∗(S)
127.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度,ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ内測度 補集合の外測度で m∗(S)
128.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度,ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ内測度 補集合の外測度で
m∗(S) m∗(S)
129.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度,ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ内測度 補集合の外測度で
m∗(S) m∗(S) ルベーグ外測度とルベーグ内測度が一致するとき ルベーグ可測
130.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度,ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ内測度 補集合の外測度で
m∗(S) m∗(S) ルベーグ外測度とルベーグ内測度が一致するとき ルベーグ可測 m(S) ≡ m∗(S) = m∗(S)
131.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度,ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ測度 ルベーグ内測度 補集合の外測度で
m∗(S) m∗(S) ルベーグ外測度とルベーグ内測度が一致するとき ルベーグ可測 m(S) ≡ m∗(S) = m∗(S)
132.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度,ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ測度 ルベーグ内測度 補集合の外測度で
m∗(S) m∗(S) ルベーグ外測度とルベーグ内測度が一致するとき ルベーグ可測 m(S) ≡ m∗(S) = m∗(S) ルベーグ可測な集合Sは
133.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度,ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ測度 ルベーグ内測度 補集合の外測度で
m∗(S) m∗(S) ルベーグ外測度とルベーグ内測度が一致するとき ルベーグ可測 m(S) ≡ m∗(S) = m∗(S) ルベーグ可測な集合Sは m∗ (E) = m∗ (E ∩ S) + m∗ (E ∩ Sc ) 任意のEについて
134.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. ルベーグ内測度,ルベーグ測度 ルベーグ外測度 … ルベーグ測度 ルベーグ内測度 補集合の外測度で
m∗(S) m∗(S) ルベーグ外測度とルベーグ内測度が一致するとき ルベーグ可測 m(S) ≡ m∗(S) = m∗(S) ルベーグ可測な集合Sは m∗ (E) = m∗ (E ∩ S) + m∗ (E ∩ Sc ) 任意のEについて Sは[可測集合]である
135.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩
B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか?
136.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩
B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか? E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列
137.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩
B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか? E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗ ( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗ (Ei)
138.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩
B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか? 可算無限個の和集合 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗ ( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗ (Ei)
139.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … A ∩
B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか? 可算無限個の和集合 測度の可算無限個の和 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗ ( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗ (Ei)
140.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … 完全加法性 A ∩
B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか? 可算無限個の和集合 測度の可算無限個の和 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗ ( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗ (Ei)
141.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … 完全加法性 A ∩
B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか? 可算無限個の和集合 測度の可算無限個の和 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗ ( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗ (Ei) 和集合の測度は測度の和
142.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 完全加法性 ジョルダン測度の「有限加法性」 … 完全加法性 A ∩
B = ∅ ⇒ J(A ∪ B) = J(A) + J(B) 可算無限個の長方形を使う場合も 同じような性質がなりたたないか? 可算無限個の和集合 測度の可算無限個の和 E1, E2, … を互いに共通部分を持たない可測集合列 m∗ ( ∞ i=1 Ei) = ∞ i=1 m∗ (Ei) 可算無限個に分けた場合でもそうなる 和集合の測度は測度の和
143.
A.Asano,KansaiUniv.
144.
A.Asano,KansaiUniv. 零集合と 「ほとんどいたるところ」
145.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を可算無限個 抜いても p q どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらない のか?
146.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を可算無限個 抜いても p q どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらない のか? この疑問に答えるために, pとqの間にある有理数全体が占める幅を 考える
147.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 積分に対する疑問 幅0の直線を可算無限個 抜いても p q どれだけ拡大してみても, びっしりと直線がならんでいる 積分の値は変わらない のか? この疑問に答えるために, pとqの間にある有理数全体が占める幅を 考える
可算無限個ある
148.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 可算無限個ある有理数の幅を考えるには ルベーグ測度の考え方が必要
149.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 可算無限個ある有理数の幅を考えるには ルベーグ測度の考え方が必要 有理数の集合が数直線上で持つ幅(測度)
150.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 可算無限個ある有理数の幅を考えるには ルベーグ測度の考え方が必要 有理数の集合が数直線上で持つ幅(測度) 有理数全体を,区間の組み合わせで覆ったときの
151.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 可算無限個ある有理数の幅を考えるには ルベーグ測度の考え方が必要 有理数の集合が数直線上で持つ幅(測度) 有理数全体を,区間の組み合わせで覆ったときの 「区間の長さの合計」の下限
152.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2,
… を εを任意の正の数とすると
153.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2,
… を εを任意の正の数とすると
154.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2,
… を a1 εを任意の正の数とすると
155.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2,
… を a1 a2 εを任意の正の数とすると
156.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2,
… を a1 a2 a3 εを任意の正の数とすると
157.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2,
… を a1 a2 a3 εを任意の正の数とすると …
158.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2,
… を a1 a2 a3 ε/ 2 εを任意の正の数とすると …
159.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2,
… を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 εを任意の正の数とすると …
160.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 有理数a1, a2,
… を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23 εを任意の正の数とすると …
161.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 区間の長さの合計 有理数a1, a2,
… を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23 εを任意の正の数とすると …
162.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 区間の長さの合計 有理数a1, a2,
… を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23 ε 2 + ε 22 + · · · + ε 2n + · · · = ε εを任意の正の数とすると …
163.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 区間の長さの合計 有理数a1, a2,
… を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23 ε 2 + ε 22 + · · · + ε 2n + · · · = ε εを任意の正の数とすると … その下限は0
164.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 有理数全体が占める幅 こういうふうに覆うことができる 区間の長さの合計 有理数a1, a2,
… を a1 a2 a3 ε/ 2 ε/ 22 ε/ 23 ε 2 + ε 22 + · · · + ε 2n + · · · = ε εを任意の正の数とすると … その下限は0 有理数全体のルベーグ測度は0
165.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 零集合と「ほとんどいたるところ」 測度が0の集合を零集合という 有理数全体のルベーグ測度は0 「測度が0の集合を除いた部分で」を (この場合,「有理数を除いた部分で」) 「ほとんどいたるところで」(a.e.)という
166.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 今日のまとめ ルベーグ外測度 可算無限個の長方形で図形を覆った ときの,長方形の面積の合計の下限 内測度と一致するとき ルベーグ測度 零集合と「ほとんどいたるところ」 有理数の集合のルベーグ測度は0 測度0の集合を「零集合」という 零集合を除いた部分を 「ほとんどいたるところ」という
167.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 次回は 最初の疑問はまだ解決していない 有理数の位置にある可算無限個 の直線を抜いた積分 p q ジョルダン測度にもとづく積分では, 可算無限個の分割はできない
168.
2016年度秋学期 応用数学(解析) A.Asano,KansaiUniv. 次回は 最初の疑問はまだ解決していない 有理数の位置にある可算無限個 の直線を抜いた積分 p q ジョルダン測度にもとづく積分では, 可算無限個の分割はできない ルベーグ測度にもとづくルベーグ積分を考える
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