1) Επίπεδο Γράφημα
1.1) Ορισμοί Επίπεδων Γραφημάτων
1.2) Το άθροισμα των Βαθμών των όψεων ≤ 2m
1.3) Ο τύπος του Euler
2) Το θεώρημα Kuratowski
2.1) Το Κ5 δεν είναι επίπεδο
2.2) Το Κ3,3 δεν είναι επίπεδο
2.3) Ομοιομορφικά Γραφήματα
2.4) Το θεώρημα του Kuratowski
3) Δύο ακόμη Θεωρήματα
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Κατευθυνόνομενο Γράφημα
1.2) Μονοπάτια
1.3) Κύκλοι
1.4) Έσω και Έξω Βαθμός Κορυφής
1.5) Απομονωμένη Κορυφή
1.6) Πλήρες Γράφημα
2) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Ασκήσεις
1) Ορισμός Αλήθειας Tarski
1.1) Ο κανόνας της ισότητας
1.2) Ο κανόνας του κατηγορηματικού συμβόλου
1.3) Ο κανόνας του μονοθέσιου συνδέσμου ¬
1.4) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∧
1.5) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∨
1.6) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου →
1.7) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ↔
1.8) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∀
1.9) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∃
2) Εύρεση Αλήθειας Τύπου
2.1) Μεθοδολογία
2.2) Παραδείγματα
3) Ικανοποιήσιμος Τύπος
3.1) Ορισμός
3.2) Παραδείγματα
4) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
4.1) Ορισμός
4.2) Παραδείγματα
5) Έγκυρος ή Λογικά Αληθής Τύπος
5.1) Ορισμός
5.2) Παραδείγματα
6) Λογική Συνεπαγωγή
6.1) Ορισμός
6.2) Παραδείγματα
Ασκήσεις
1) Επίπεδο Γράφημα
1.1) Ορισμοί Επίπεδων Γραφημάτων
1.2) Το άθροισμα των Βαθμών των όψεων ≤ 2m
1.3) Ο τύπος του Euler
2) Το θεώρημα Kuratowski
2.1) Το Κ5 δεν είναι επίπεδο
2.2) Το Κ3,3 δεν είναι επίπεδο
2.3) Ομοιομορφικά Γραφήματα
2.4) Το θεώρημα του Kuratowski
3) Δύο ακόμη Θεωρήματα
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Κατευθυνόνομενο Γράφημα
1.2) Μονοπάτια
1.3) Κύκλοι
1.4) Έσω και Έξω Βαθμός Κορυφής
1.5) Απομονωμένη Κορυφή
1.6) Πλήρες Γράφημα
2) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Ασκήσεις
1) Ορισμός Αλήθειας Tarski
1.1) Ο κανόνας της ισότητας
1.2) Ο κανόνας του κατηγορηματικού συμβόλου
1.3) Ο κανόνας του μονοθέσιου συνδέσμου ¬
1.4) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∧
1.5) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ∨
1.6) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου →
1.7) Ο κανόνας του διθέσιου συνδέσμου ↔
1.8) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∀
1.9) Ο κανόνας του ποσοδείκτη ∃
2) Εύρεση Αλήθειας Τύπου
2.1) Μεθοδολογία
2.2) Παραδείγματα
3) Ικανοποιήσιμος Τύπος
3.1) Ορισμός
3.2) Παραδείγματα
4) Ικανοποιήσιμο Σύνολο Τύπων
4.1) Ορισμός
4.2) Παραδείγματα
5) Έγκυρος ή Λογικά Αληθής Τύπος
5.1) Ορισμός
5.2) Παραδείγματα
6) Λογική Συνεπαγωγή
6.1) Ορισμός
6.2) Παραδείγματα
Ασκήσεις
1) Ορισμός Συνδετικού Δένδρου
1.1) Διάσχιση Πρώτα Κατά Πλάτος
1.2) Διάσχιση Πρώτα Κατά Βάθος
2) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
2.1) Ορισμός Ελάχιστου Συνδετικού Δένδρου
2.2) Ο αλγόριθμος του Prim
3) Σύνοψη για τους Αλγόριθμους
3.1) Συντομότερα Μονοπάτια
3.2) Συνδετικό Δένδρο
3.3) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
1) Το αξιωματικό σύστημα του Προτασιακού Λογισμού (ΠΛ)
1.1) Ορισμός του Αξιωματικού Συστήματος ΠΛ
2) Τι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σε μια τυπική απόδειξη
2.1) Υποθέσεις του Συνόλου Τύπων
2.2) Ο αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens
2.3) Τα αξιωματικά σχήματα ΑΣ1-ΑΣ3
2.3.1) Το αξιωματικό σχήμα 1
2.3.2) Το αξιωματικό σχήμα 2
2.3.3) Το αξιωματικό σχήμα 3
2.3.4) Προς τα εμπρός συλλογιστική
2.3.5) Προς τα πίσω συλλογιστική
2.4) Τυπικά Θεωρήματα
2.5) Τυπικές Συνεπαγωγές
3) Μεθοδολογία
3.1) Προς τα εμπρός συλλογιστική
3.2) Προς τα πίσω συλλογιστική
Ασκήσεις
1) Κύκλος Hamilton
1.1) Ορισμός Κύκλου Hamilton
1.2) Πως δείχνουμε ότι ένα γράφημα έχει κύκλο Hamilton (κατασκευαστικές, θεώρημα Dirac, θεώρημα Ore)
1.3) Πως δείχνουμε ότι ένα γράφημα δεν έχει κύκλο Hamilton (Απόδειξη εξαντλητικής περιπτωσιολογίας).
Ασκήσεις
1) Ισομορφισμοί Γραφημάτων
1.1) Ισομορφικά Γραφήματα
1.2) Πως δείχνω ότι δύο γραφήματα είναι ισομορφικά
1.3) Πως δείχνω ότι δύο γραφήματα δεν είναι ισομορφικά
1.4) Αποδείξεις Αναλλοίωτων Ιδιοτήτων
2) Συμπληρωματικοί Ορισμοί
2.1) Αυτομορφισμός
2.2) Αυτοσυμπληρωματικό Γράφημα
Ασκήσεις
1) Θεωρήματα του Προτασιακού Λογισμού
1.1) Το Θεώρημα Απαγωγής
1.2) Το Θεώρημα Αντιθετοαναστροφής
1.3) Το Θεώρημα Απαγωγής σε Άτοπο
1.4) Το Θεώρημα Εγκυρότητας
1.5) Το Θεώρημα Πληρότητας
2) Τρία Σημαντικά Τυπικά Θεωρήματα
2.1) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ φ→φ
2.2) Το τυπικό Θεώρημα ⊢φ→¬¬φ
2.3) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ ¬¬ φ→φ
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Μη Κατευθυνόνομενο Γράφημα
2) Ορισμοί στα Μη Κατευθυνόμενα Γραφήματα
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων.
Ασκήσεις
1) Ορισμός Συνδετικού Δένδρου
1.1) Διάσχιση Πρώτα Κατά Πλάτος
1.2) Διάσχιση Πρώτα Κατά Βάθος
2) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
2.1) Ορισμός Ελάχιστου Συνδετικού Δένδρου
2.2) Ο αλγόριθμος του Prim
3) Σύνοψη για τους Αλγόριθμους
3.1) Συντομότερα Μονοπάτια
3.2) Συνδετικό Δένδρο
3.3) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
1) Το αξιωματικό σύστημα του Προτασιακού Λογισμού (ΠΛ)
1.1) Ορισμός του Αξιωματικού Συστήματος ΠΛ
2) Τι μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε σε μια τυπική απόδειξη
2.1) Υποθέσεις του Συνόλου Τύπων
2.2) Ο αποδεικτικός κανόνας Modus Ponens
2.3) Τα αξιωματικά σχήματα ΑΣ1-ΑΣ3
2.3.1) Το αξιωματικό σχήμα 1
2.3.2) Το αξιωματικό σχήμα 2
2.3.3) Το αξιωματικό σχήμα 3
2.3.4) Προς τα εμπρός συλλογιστική
2.3.5) Προς τα πίσω συλλογιστική
2.4) Τυπικά Θεωρήματα
2.5) Τυπικές Συνεπαγωγές
3) Μεθοδολογία
3.1) Προς τα εμπρός συλλογιστική
3.2) Προς τα πίσω συλλογιστική
Ασκήσεις
1) Κύκλος Hamilton
1.1) Ορισμός Κύκλου Hamilton
1.2) Πως δείχνουμε ότι ένα γράφημα έχει κύκλο Hamilton (κατασκευαστικές, θεώρημα Dirac, θεώρημα Ore)
1.3) Πως δείχνουμε ότι ένα γράφημα δεν έχει κύκλο Hamilton (Απόδειξη εξαντλητικής περιπτωσιολογίας).
Ασκήσεις
1) Ισομορφισμοί Γραφημάτων
1.1) Ισομορφικά Γραφήματα
1.2) Πως δείχνω ότι δύο γραφήματα είναι ισομορφικά
1.3) Πως δείχνω ότι δύο γραφήματα δεν είναι ισομορφικά
1.4) Αποδείξεις Αναλλοίωτων Ιδιοτήτων
2) Συμπληρωματικοί Ορισμοί
2.1) Αυτομορφισμός
2.2) Αυτοσυμπληρωματικό Γράφημα
Ασκήσεις
1) Θεωρήματα του Προτασιακού Λογισμού
1.1) Το Θεώρημα Απαγωγής
1.2) Το Θεώρημα Αντιθετοαναστροφής
1.3) Το Θεώρημα Απαγωγής σε Άτοπο
1.4) Το Θεώρημα Εγκυρότητας
1.5) Το Θεώρημα Πληρότητας
2) Τρία Σημαντικά Τυπικά Θεωρήματα
2.1) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ φ→φ
2.2) Το τυπικό Θεώρημα ⊢φ→¬¬φ
2.3) Το τυπικό Θεώρημα ⊢ ¬¬ φ→φ
Ασκήσεις
1) Εισαγωγικοί Ορισμοί
1.1) Μη Κατευθυνόνομενο Γράφημα
2) Ορισμοί στα Μη Κατευθυνόμενα Γραφήματα
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.1) Η Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
2.2) Ερμηνείες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3) Ασκήσεις στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
3.1) Μετάφραση στα Ελληνικά
3.2) Μετάφραση στα Κατηγορηματικά
3.3) Εύρεση Αλήθειας Προτάσεων
3.4) Εύρεση Ερμηνείας που ικανοποιεί δεδομένη πρόταση
3.5) Συντομογραφίες στην Γλώσσα των Μη Κατευθυνόμενων Γραφημάτων.
Ασκήσεις
El documento describe la situación política en un país. Explica que el gobierno actual enfrenta protestas debido a su manejo de la economía y la pandemia. También hay divisiones dentro del partido gobernante sobre cómo proceder.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
1) Εισαγωγή
1.1) Η δομή του ανθρώπινου εγκεφάλου
1.2) Η λειτουργία ενός νευρώνα
1.2.1) Συναρτήσεις Ενεργοποίησης
1.2.2) Σκοπός του Νευρώνα
1.2.3) Perceptron
2) Νευρώνες και Λογικές Πύλες
2.1) Το πρόβλημα του OR
2.2) Το πρόβλημα του AND
2.3) Προβλήματα Λογικών Πυλών
3) Γραμμική Διαχωρισιμότητα
3.1) Ορισμοί
3.2) Παραδείγματα
Β) Μεθοδολογία
1) Γραφική Επίλυση
2) Επίλυση με Ανισώσεις
Γ) Ασκήσεις
1) Ασκήσεις Κατανόησης
2) Εφαρμογές
This document summarizes the key details from a longer document about a company's operations. It discusses the company's products and services, including its core product offerings and new product lines. It provides revenue figures for the past year, breaking down revenue sources. It also summarizes initiatives for the coming year, including plans to expand into new markets and develop new technologies.
1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων
1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης)
2) Αναδρομικός Αλγόριθμος (Ψευδοκώδικας για αναδρομική σχέση δυναμικού προγραμματισμού και εύρεση κάτω φράγματος)
3.1) (ab+aab)*: ΚΕ σε ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ σε Κανονική Γραμματική
3.2) Διάκριση Κανονικών και μη Κανονικών Γλωσσών
4.1) Ισότητα 2 πραγμάτων: Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα και Αυτόματο Στοίβας
4.2) Αναλογία 3 πραγμάτων (όχι ΓΧΣ με 2ο λήμμα άντλησης)
5.1) Αναλογία 2 πραγμάτων (Μηχανή Turing)
5.2) Αναγωγή μη επιλυσιμότητας
6) Το At Least 6 SAT είναι NP-complete
1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων
1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης)
2) Δυναμικός Προγραμματισμός (Ψευδοκώδικας για αναδρομική σχέση δυναμικού προγραμματισμού)
3.1) 1*10*1*: ΚΕ σε ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ σε Κανονική Γραμματική
3.2) Διάκριση Κανονικών και μη Κανονικών Γλωσσών
4.1) Ανισότητα 2 πραγμάτων: Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα και Αυτόματο Στοίβας
4.2) Ανισότητα 3 πραγμάτων (όχι ΓΧΣ με 2ο λήμμα άντλησης)
5.1) Ισότητα 2 πραγμάτων (Μηχανή Turing)
5.2) Αναγωγή μη επιλυσιμότητας
6) Το At Least 7 SAT είναι NP-complete
1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων
1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης)
2) Άπληστος Αλγόριθμος (Αντιπαράδειγμα ε μη ορθό αλγόριθμο υπολογισμού συντομότερου μονοπατιού)
3.1) 0*1*11*: ΚΕ σε ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ και Κανονική Γραμματική
3.2) Διακριση Κανονικών και μη Κανονικών Γλωσσών
4) Διάκριση Γλωσσών Χωρίς Συμφραζόμενα και Γλωσσών Όχι Χωρίς Συμφραζόμενα (Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα, Αυτόματο Στοίβας) και (Λήμμα Άντλησης για Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα.
5.1) Μηχανή Turing για συμπλήρωμα ισότητας
5.2) Αναγωγές μη Επιλυσιμότητας
6) NP-πληρότητα (το πρόβλημα της κομβικής επικάλυψης και το πρόβλημα του ανεξαρτήτου συνόλου)
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Dimitris Psounis
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
3. Α. Σκοπός του Μαθήµατος
Επίπεδο Α
Νέοι Ορισµοί (Πίνακας Γειτνίασης – Πίνακας Πρόσπτωσης)
Ασκήσεις: Ερωτήσεις
Ασκήσεις: Ασκήσεις Κατανόησης
Επίπεδο Β
Ασκήσεις: Εφαρµογές
Επίπεδο Γ
Ασκήσεις: Λυµένες Ασκήσεις
3∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
4. Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα γειτνίασής του:
B. Θεωρία
1. Πίνακας Γειτνίασης
1. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
4∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Ορισµός:
Ο πίνακας γειτνίασης (ή µητρώο σύνδεσης) ενός µη κατευθυνόµενου γραφήµατος
G=(V,E) µε |V|=n είναι ένας n x n τετραγωνικός πίνακας που ορίζεται ως:
Α ,
1, , ∈
0, , ∉
Α
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
5. B. Θεωρία
1. Πίνακας Γειτνίασης
2. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
5∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
∆ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Η µορφή που πρέπει να έχουµε στο µυαλό µας για τον πίνακα γειτνίασης σε απλά µη
κατευθυνόµενα γραφήµατα είναι η ακόλουθη:
• Συµµετρικός ως προς
την κύρια διαγώνιο
κορυφές
κορυφές
Το στοιχείο , είναι
0: αν δεν υπάρχει η ακµή
που συνδέει τις ,
1: αν υπάρχει η ακµή
που συνδέει τις ,
Άθροισµα των στοιχείων της
γραµµής i ισούται µε d
Άθροισµα των στοιχείων της
στήλης j ισούται µε d
Άθροισµα όλων των στοιχεί-
ων του πίνακα ισούται µε
d 2
ΠΛΗΘΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: n2
6. Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα γειτνίασής του:
B. Θεωρία
1. Πίνακας Γειτνίασης
2. Ορισµός για Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
6∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Ορισµός:
Ο πίνακας γειτνίασης (ή µητρώο σύνδεσης) ενός κατευθυνόµενου γραφήµατος
G=(V,E) µε |V|=n είναι ένας n x n τετραγωνικός πίνακας που ορίζεται ως:
Α ,
1, , ∈
0, , ∉
Α
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
7. B. Θεωρία
1. Πίνακας Γειτνίασης
2. Ορισµός για Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
7∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
∆ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Η µορφή που πρέπει να έχουµε στο µυαλό µας για τον πίνακα γειτνίασης σε
κατευθυνόµενα γραφήµατα είναι η ακόλουθη:
κορυφές
κορυφές
Το στοιχείο , είναι
0: αν δεν υπάρχει η ακµή
από την στην
1: αν υπάρχει η ακµή
από την στην
Άθροισµα των στοιχείων της
γραµµής i ισούται µε έξω
βαθµό κορυφής !"
Άθροισµα των στοιχείων της
στήλης j µε έσω
βαθµό κορυφής !#
Άθροισµα όλων των στοιχεί-
ων του πίνακα ισούται µε
!"
ΠΛΗΘΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: n2
8. B. Θεωρία
1. Πίνακας Γειτνίασης
3. Θεώρηµα (υπολογισµού µονοπατιών)
8∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Θεώρηµα (υπολογισµού µονοπατιών):
Το στοιχείο $, % του πίνακα Α& (ο πίνακας γειτνίασης υψωµένος στην k δυναµη) δίνει
πόσα µονοπάτια µήκους k υπάρχουν από την κορυφή στην κορυφή
Πόρισµα 1:
Το στοιχείο $, % του πίνακα A ( Α ( ⋯ ( Α& δίνει πόσα µονοπάτια µήκους το πολύ k
υπάρχουν από την κορυφή στην κορυφή
Πόρισµα 2:
Αν ένα µη διαγώνιο στοιχείο $, % του πίνακα A ( Α ( ⋯ ( Α #
(όπου n=|V| ) είναι 0,
τότε το γράφηµα δεν είναι συνδεόµενο.
9. Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα πρόσπτωσής
B. Θεωρία
2. Πίνακας Πρόσπτωσης
1. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
9∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Ορισµός:
Ο πίνακας πρόσπτωσης (ή µητρώο εφαπτόµενων ακµών) ενός µη κατευθυνόµενου
γραφήµατος G=(V,E) µε |V|=n, |E|=m είναι ένας n x m πίνακας που ορίζεται ως:
Α * , +
1, , -./01, 23 3 -/. 4,5 6
0, 773ώ5
6 6 6 6 69
Α
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
6
6
6
6 69
10. B. Θεωρία
2. Πίνακας Πρόσπτωσης
2. Ορισµός για Μη Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
10∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
∆ΙΑΙΣΘΗΣΗ: Η µορφή που πρέπει να έχουµε στο µυαλό µας για τον πίνακα πρόσπτωσης σε απλά
µη κατευθυνόµενα γραφήµατα είναι η ακόλουθη:
Κορυφές
Ακµές
6 Το στοιχείο , είναι
0: αν η ακµή 6 δεν είναι
άκρο της
1: αν η ακµή 6 είναι
άκρο της
Άθροισµα των στοιχείων της
γραµµής i ισούται µε d
Μία στήλη έχει:
• 2 άσσους
• n-2 µηδενικά
Άθροισµα όλων των στοιχεί-
ων του πίνακα ισούται µε
2
ΠΛΗΘΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ: nm
11. Παράδειγµα: Στο σχήµα βλέπουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα και τον πίνακα πρόσπτωσής
B. Θεωρία
2. Πίνακας Πρόσπτωσης
2. Ορισµός για Κατευθυνόµενα Γραφήµατα
11∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Ορισµός:
Ο πίνακας πρόσπτωσης (ή µητρώο εφαπτόµενων ακµών) ενός κατευθυνόµενου
γραφήµατος G=(V,E) µε |V|=n, |E|=m είναι ένας n x m πίνακας που ορίζεται ως:
Α * , :
1, , -./01, 23 3 /;, 4,5 6
<1, , -./01, 23 3 =2/ 5 4,5 6
0, 773ώ5
6 6 6 6 69
Α
0
<1
0
1
<1
0
0
1
<1
1
0
0
1
0
<1
0
0
1
<1
0
6
6
6
6 69
12. ∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 1
12∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
∆ιαπιστώστε τι ιδιότητα έχουν τα γραφήµατα που αντιστοιχούν στους ακόλουθους
πίνακες γειτνίασης (θεωρούµε ότι n≥2)
1. Α a , +
0, $ ? %
2, $ %
2. Α a , +
1, $ ? %
0, $ %
3. Α a , :
1, $ % ( 1, % 1, … , C < 1
1, $ % < 1, % 2, … C
0, 773D5
13. ∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 2
13∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
∆ιαπιστώστε τι ιδιότητα έχουν τα γραφήµατα που αντιστοιχούν στους ακόλουθους
πίνακες γειτνίασης (θεωρούµε ότι n:άρτιος≥2)
1. Α a ,
0 $ %
1, $ ? %, 1 E $ E , 1 E % E
1, $ ? %, F $ E C, F % E C
0, 773D5
2. Α a , G
0, 1 E $ E , 1 E % E
0, F $ E C, F % E C
1, 773D5
14. ∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 3
14∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Να σχεδιαστεί ένα απλό συνδεδεµένο µη-κατευθυνόµενο γράφηµα, χωρίς
ανακυκλώσεις, για το οποίο ο πίνακας γειτνίασης και ο πίνακας πρόσπτωσης είναι ίδιοι
όταν τηρείται η ίδια διάταξη των κορυφών και στους δύο πίνακες (εξαιρείται το τετριµµένο
γράφηµα).
15. ∆. Ασκήσεις
Άσκηση Κατανόησης 4
15∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Για µη-κατευθυνόµενο γράφηµα χωρίς ανακυκλώσεις, αν Μ είναι ο πίνακας
πρόσπτωσης, να εξετάσετε τι αναπαριστούν (i) τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα Μ·ΜΤ,
και (ii) τα µη διαγώνια στοιχεία του Μ·ΜΤ. Υπενθυµίζεται ότι ΜΤ είναι ο ανάστροφος
πίνακας του Μ.
16. ∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 1
16∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Στο ακόλουθο γράφηµα εξετάστε αν ισχύουν οι ακόλουθες
Προτάσεις που αφορούν τον πίνακα γειτνίασης Α του γραφήµατος:
1. Το άθροισµα των στοιχείων του πίνακα ισούται µε 8
2. Το άθροισµα των διαγωνίων στοιχείων του Α2 ισούται µε 8
3. Το στοιχείο (2,2) του πίνακα Α3 ισούται µε 2
4. Κανένα στοιχείο του πίνακα Α+Α2 δεν είναι ίσο µε 0
17. ∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 2
17∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης και Π ο πίνακας πρόσπτωσης ενός µη κατευθυντικού (µη
κατευθυνόµενου) απλού γραφήµατος.
1. Το άθροισµα των στοιχείων της i-οστης γραµµής του Α είναι ίσο µε το άθροισµα των
στοιχείων της i-οστης στήλης.
2. Ο αριθµός των άσσων του Α είναι άρτιος.
3. Το άθροισµα των στοιχείων της i-οστης γραµµής του Π είναι ίσο µε το άθροισµα των
στοιχείων της i-οστης στήλης.
4. Είναι δυνατόν να υπάρχει στήλη στον Π µόνο µε µηδενικά.
18. ∆. Ασκήσεις
Ερωτήσεις 3
18∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Έστω Kn το πλήρες γράφηµα µε n ≥ 3 κορυφές, Α ο πίνακας γειτνίασης του Kn, και Μ ο
πίνακας πρόσπτωσης του Kn. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιες
όχι;
1. Ο πίνακας γειτνίασης Α περιέχει µόνο 1.
2. Ο αριθµός των στοιχείων του πίνακα πρόσπτωσης Μ είναι ίσος µε n2(n–1) / 2.
3. Ο αριθµός των 0 στον πίνακα πρόσπτωσης Μ είναι ίσος µε 3 .
4. Το αθροισµα των διαγωνίων στοιχείων του Α ισούται µε n
19. ∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 1
19∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Έστω Α ο πίνακας γειτνίασης του Κ5. Συµβολίζουµε µε dn την κοινή τιµή των διαγωνίων
στοιχείων του Αn και µε an την κοινή τιµή των µη διαγωνίων στοιχείων του Αn. ∆είξτε µε
µαθηµατική επαγωγή ότι ισχύουν τα εξής (α) an+1=dn+3an (β) dn+1=4an
20. ∆. Ασκήσεις
Εφαρµογή 2
20∆ηµήτρης Ψούνης, ΠΛΗ20, Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων
Γράψτε τον πίνακα γειτνίασης Α για το γράφηµα G που απεικονίζεται στο παρακάτω
σχήµα και εξετάστε τη σχέση
(i) των διαγώνιων στοιχείων του πίνακα Α2
µε τους βαθµούς των κορυφών
του G και
(ii) του ίχνους του πίνακα Α3
(ίχνος ενός πίνακα είναι το άθροισµα των
διαγώνιων στοιχείων του) µε τον αριθµό των τριγώνων (κύκλων µήκους 3)
του G .
V3
V4
V2
V1
V5
G