1) Επίπεδο Γράφημα
1.1) Ορισμοί Επίπεδων Γραφημάτων
1.2) Το άθροισμα των Βαθμών των όψεων ≤ 2m
1.3) Ο τύπος του Euler
2) Το θεώρημα Kuratowski
2.1) Το Κ5 δεν είναι επίπεδο
2.2) Το Κ3,3 δεν είναι επίπεδο
2.3) Ομοιομορφικά Γραφήματα
2.4) Το θεώρημα του Kuratowski
3) Δύο ακόμη Θεωρήματα
Ασκήσεις
1) Επίπεδο Γράφημα
1.1) Ορισμοί Επίπεδων Γραφημάτων
1.2) Το άθροισμα των Βαθμών των όψεων ≤ 2m
1.3) Ο τύπος του Euler
2) Το θεώρημα Kuratowski
2.1) Το Κ5 δεν είναι επίπεδο
2.2) Το Κ3,3 δεν είναι επίπεδο
2.3) Ομοιομορφικά Γραφήματα
2.4) Το θεώρημα του Kuratowski
3) Δύο ακόμη Θεωρήματα
Ασκήσεις
1) Ισομορφισμοί Γραφημάτων
1.1) Ισομορφικά Γραφήματα
1.2) Πως δείχνω ότι δύο γραφήματα είναι ισομορφικά
1.3) Πως δείχνω ότι δύο γραφήματα δεν είναι ισομορφικά
1.4) Αποδείξεις Αναλλοίωτων Ιδιοτήτων
2) Συμπληρωματικοί Ορισμοί
2.1) Αυτομορφισμός
2.2) Αυτοσυμπληρωματικό Γράφημα
Ασκήσεις
Μεθοδολογίες και Τύποι στα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Β' ΛυκείουBillonious
Ένα μικρό "φροντιστηριακό" επαναληπτικό φυλλάδιο στα μαθηματικά κατεύθυνσης της Β' λυκείου (αναλυτική γεωμετρία) με βασικές μεθοδολογίες για ασκήσεις, παραδείγματα και ορισμούς.
1) Ισομορφισμοί Γραφημάτων
1.1) Ισομορφικά Γραφήματα
1.2) Πως δείχνω ότι δύο γραφήματα είναι ισομορφικά
1.3) Πως δείχνω ότι δύο γραφήματα δεν είναι ισομορφικά
1.4) Αποδείξεις Αναλλοίωτων Ιδιοτήτων
2) Συμπληρωματικοί Ορισμοί
2.1) Αυτομορφισμός
2.2) Αυτοσυμπληρωματικό Γράφημα
Ασκήσεις
Μεθοδολογίες και Τύποι στα Μαθηματικά Προσανατολισμού της Β' ΛυκείουBillonious
Ένα μικρό "φροντιστηριακό" επαναληπτικό φυλλάδιο στα μαθηματικά κατεύθυνσης της Β' λυκείου (αναλυτική γεωμετρία) με βασικές μεθοδολογίες για ασκήσεις, παραδείγματα και ορισμούς.
This document summarizes the key details from a longer document about a company's operations. It discusses the company's products and services, including its core product offerings and new product lines. It provides revenue figures for the past year, breaking down revenue sources. It also summarizes initiatives for the coming year, including plans to expand into new markets and develop new technologies.
This document describes the genetic algorithm process in 3 sentences:
The genetic algorithm begins with an initial population of randomly generated solutions. It then iteratively applies genetic operators like selection, crossover and mutation to evolve the population toward better solutions, until a termination condition is reached. The fitness of each solution is evaluated at each generation to guide the selection of solutions to reproduce and create the next generation population.
The document summarizes the analysis of a series of potential energy solutions over multiple iterations. It begins by outlining an initial potential energy solution using four components with assigned values. Through further iterations, it modifies the values and components of the solution, concluding with a potential energy solution using three components.
1) Ορισμός Συνδετικού Δένδρου
1.1) Διάσχιση Πρώτα Κατά Πλάτος
1.2) Διάσχιση Πρώτα Κατά Βάθος
2) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
2.1) Ορισμός Ελάχιστου Συνδετικού Δένδρου
2.2) Ο αλγόριθμος του Prim
3) Σύνοψη για τους Αλγόριθμους
3.1) Συντομότερα Μονοπάτια
3.2) Συνδετικό Δένδρο
3.3) Ελάχιστο Συνδετικό Δένδρο
ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 3 - ΚΛΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΚΤΕΣ (4δ)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1.Διαχείριση Μνήμης
1.1.Στατική Δέσμευση Μνήμης
1.2.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Συνήθεις Μεταβλητές
1.3.Στατική Δέσμευση Μνήμης για Αντικείμενα
2.Δυναμική Δέσμευση Μνήμης
2.1.Δείκτες (Υπενθύμιση από C)
2.2.Οι τελεστές new και delete
2.3.Δυναμική Δέσμευση για Συνήθεις Μεταβλητές
2.4.Δυναμική Δέσμευση για Αντικείμενα
2.5.Δυναμική Δέσμευση και Κατασκευαστές
3.Κλάσεις που περιέχουν δείκτες
3.1.Παράδειγμα κλάσης που περιέχει δείκτες
3.2.…και ένα πρόβλημα (χωρίς λύση για την ώρα)
4..Δυναμική Δέσμευση Μνήμης για Πίνακες
4.1.Μονοδιάστατοι πίνακες
4.2.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για μονοδιάστατους πίνακες
4.3.Διδιάστατοι πίνακες
4.4.Παράδειγμα δέσμευσης μνήμης για διδιάστατους πίνακες
B. Ασκήσεις
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
Η ΓΛΩΣΣΑ C++ - ΜΑΘΗΜΑ 2 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΚΛΑΣΕΙΣ (4 διαφ)Dimitris Psounis
Α. Θεωρία
1. Κλάσεις
1.1 Γενικά
1.2 Ορισμός Κλάσης
1.3 Δημόσια (public) στοιχεία της κλάσης
1.4 Ιδιωτικά (private) στοιχεία της κλάσης
1.5 Παράδειγμα (προδιαγραφές)
2 Περισσότερα για τις κλάσεις
2.1 Ορισμός Συναρτήσεων έξω από την Κλάση
2.2 Παρουσίαση Ιδιωτικών – Δημόσιων Μέλων μιας κλάσης
2.3 Χωρισμός σε Αρχεία
3. Ειδικές Μεθόδοι Κλάσεων
3.1 Γενικά
3.2 Κατασκευαστής (constructor)
3.3 Καταστροφέας (destructor)
3.4 Ελεγκτές Πρόσβασης (accessors)
B. Ασκήσεις
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
C++ - ΜΑΘΗΜΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΤΗ C (4sl/p)Dimitris Psounis
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
Α. Θεωρία
1. Η Γλώσσα C++
1.1. Γενικά
1.2. Ιστορία – Εκδόσεις
1.3. Η αναγκαιότητα της C
1.4. Μεταγλωττιστές
2. Hello World!
2.1. Πηγαίος Κώδικας
2.2. Σχόλια
2.3. Βιβλιοθήκη iostream
2.4. main, block κώδικα, return
2.5 Είσοδος/Έξοδος
2.5.1. Έξοδος με την cout
2.5.2. Οδηγία using
2.5.3. Περισσότερα για την cout
2.5.4. Είσοδος με την cin
3. Στοιχεία της C
3.1. Μεταβλητές
3.2. Σταθερές
3.3. Τελεστές και η Δομή Ελέγχου
3.4. Δομές Επανάληψης
3.5. Συναρτήσεις
3.5.1. Πολυμορφισμός Συναρτήσεων
3.6. Πίνακες
3.7. Συμβολοσειρές
3.8. Δείκτες
B.Ασκήσεις
Εφαρμογή 1
Εφαρμογή 2
Εφαρμογή 3
Η ΔΙΑΤΡΟΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ/ΤΡΙΩΝ ΤΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΝΑΟΥΣΑΣ ΠΑΡΟΥ
ΠΛΗ20 ΚΑΡΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 5.3
1. Το , δεν είναι επίπεδο
ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝΕΠΙΠΕΔΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ
Ορισμός: Ένα γράφημα είναι επίπεδο, αν μπορούμε να το απεικονίσουμε στο επίπεδο, χωρίς να τέμνονται οι ακμές του.
• Μία απεικόνιση στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές του λέγεται επίπεδη αποτύπωση του γραφήματος
• Κάθε τμήμα του επιπέδου που ορίζεται από απλό κύκλο της αποτύπωσης λέγεται όψη της αποτύπωσης
• Το πλήθος των όψεων: Συμβολίζεται με ο και προσοχή ότι συμπεριλαμβάνει πάντα και την εξωτερική όψη
• Βαθμός της όψης το πλήθος των ακμών που περιέχει ο απλός κύκλος της όψης (συμβολίζεται με )
Ένα γράφημα είναι επίπεδο αν:
• Μπορούμε να το ζωγραφίσουμε στο επίπεδο χωρίς να
τέμνονται οι ακμές του!
• Δεν περιέχει ως υπογράφημα το Κ5 ή το Κ3,3 και δεν
περιέχει υπογράφημα ομοιομορφικό του Κ5 ή του Κ3,3
(από θ.Kuratowski)
Παράδειγμα: Στην ακόλουθη επίπεδη
αποτύπωση έχουμε 5 όψεις
Και ισχύει για τους βαθμούς των όψεων:
d 4, d 3, d 3, d 4,
d 8
Σε ένα επίπεδο γράφημα:
• ∑ 2
• Αν είναι και συνδεόμενο
ισχύει ο τύπος του Euler:
Ένα γράφημα δεν είναι επίπεδο αν:
• Είναι απλό και ισχύει m > 3n-6
• Περιέχει ως υπογράφημα το Κ5 (από θ.Kuratowski)
• Περιέχει ως υπογράφημα το Κ3,3 (από θ.Kuratowski)
• Περιέχει υπογράφημα ομοιομορφικό του Κ5 ή το Κ3,3(από
θ.Kuratowski)
Θεώρημα Kuratowski: Ένα
γράφημα είναι επίπεδο αν και μόνο
αν δεν περιέχει το ή το , (ή
ομοιομορφικό αυτών)
Το δεν είναι επίπεδο
Παράδειγμα: Το ακόλουθο γράφημα
είναι επίπεδο
διότι υπάρχει επίπεδη αποτύπωσή του:
2. Παράδειγμα:
ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝΟΜΟΙΟΜΟΡΦΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ
Ορισμός: Δύο γραφήματα καλούνται ομοιομορφικά αν μπορούν να απλοποιηθούν (με απλοποιήσεις σειράς) σε ισομορφικά
γραφήματα.
Απλοποίηση σειράς είναι μια πράξη, πάνω σε γράφημα που «απαλείφει» κορυφές βαθμού 2:
Απλοποίηση
σειράς
Απλοποίηση
σειράς
Απλ/ση
σειράς
Απλ/ση
σειράς
Απλ/ση
σειράς
ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΙΚΑ Αφού τα G1’ και G2’ είναι
ΙΣΟΜΟΡΦΙΚΑ
’
’
