GD
Uploaded byGawewat Dechaapinun
15,308 views

บทที่ 2 เวกเตอร์วิเคราะห์

เวกเตอร์วิเคราะห์

Embed presentation

Downloaded 104 times
šš¸É2 แคลคูลัสเวกเตอร์ การศึกษาแม่เหล็กไฟฟา ป้ ¦ ·¤µ–š¸ÉÁ„¸É¥ª …o° Š­ nª œÄ®n‹³Â­ —Šในรูปของเวกเตอร์ แคลคูลัสเวกเตอร์ จึงÁžÈœÁ‡¦ ºÉ° Š¤º° ­ ε‡´š¸É‹³nª¥ในการศึกษา ในการหาค่าอนุพันธ์ การ อินทิกรัล และการสร้างสมการอนุพันธ์Äœšœ¸ÊÁœºÊ°®µ‹³ž¦ ³„°—oª¥„µ¦ ®µ‡nµ°œ»พันธ์ และ การอินทิกรัล ž¦ ·¤µ–Áª„Á˜° ¦ rš¸ÉÄœ¦ ¼žของเส้น ผิว และปริมาตร ตัวดําเนินการในรูปของ เกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟงก์ชันั ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์ การใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ ทฤษฎีบทของสโตกส์ และตัวดําเนินการลาปาเซียน 2.1 อนุพันธ์สวน่ ยอย่ ของความยาว ปรมาตริ ¨ ³¡ ºÊœŸª ิ Äœ˜°œœ¸Ê‹³«¹„¬µ„µ¦ Áž¨ ¸É¥œÂž¨ Š…°Šž¦ ·¤µ–Ž¹ÉŠอยู่ในรูปของปริมาณเชิงเส้น เชิงผิว และเชิงปริมาตร เทียบกับระบบพิกัดต่าง ๆ —´Šœ¸Ê 2.1.1 ระบบพิกัดฉาก ค่าอนุพันธ์ส่วนย่อย (element) ของปริมาตรในระบบพิกัดฉากเกิดจากการ Áž¨ ¸É¥œÂž¨ Š‡nµ° œ»¡ ´œ›r…° ง dydx, และ dz ˜µ¤š·«…° ŠÁª„Á˜° ¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥ ji ˆ,ˆ และ kˆ ตามลําดับ ดังรูป 2.1 ก. ค่าอนุพันธ์เชิงปริมาตร จะแสดงได้ เป็น dv = dxdydx (2.1) ปริมาตรจะประกอบด้วย‡nµ° œ»¡ ´œ›rš¸Éผิวปิดล้อมหกด้าน ทุก ๆ ด้านของผิวจะมี เวกเตอร์บ่งทิศพุ่งออกมาĜœª˜´ÊŠŒµ„„´Ÿ·ª—´Šœ´Êœ‡nµ°œ»¡ ´œ›r…°Š¡ ºÊœŸ·ªÄœš·«…°ŠÁª„Á˜° ¦ r ª„®œ¹ÉŠ®œnª¥—´Š¦ ¼žš¸É2.1 ข. จะเป็น xsd  = dydziˆ ysd  = dxdzjˆ (2.2) zsd  = dxdykˆ ค่าอนุพันธ์ส่วนของความยาว จาก P ไป Q เป็น ld  = dzkdyjdxi ˆˆˆ  (2.3)
22 ก. ข. ¦ ¼žš¸É2.1 ค่าอนุพันธ์ในระบบพิกัดฉาก ก. อนุพันธ์ของปริมาตร ข. ¡ ºÊœŸ·ª…°Šž¦ ·¤µ˜¦ 2.1.2 ระบบพิกัดทรงกระบอก จาก¦ ¼žš¸É2.2 ค่าอนุพันธ์ของปริมาตรทรงกระบอกš¸É™¼„¨ o° ¤¦ ° —oª ¥ ¡ ºÊœŸ·ª š¸É ,,  d  d, , z และ dzz  ตามแกน ˆ , ˆ , และ kˆ ตามลําดับ ค่าอนุพันธ์ Á·Šž¦ ·¤µ˜¦ š¸É™¼„ปิดล้อม เป็น dv = dzdd  (2.4) ‡nµ°œ»¡ ´œ›rÁ·ŠŸ·ªÄœš·«šµŠª„®œ¹ÉŠ®œnª¥‹³ÁžÈœ sd  =  ˆdzd sd  =  ˆdzd (2.5) zsd  = kdzd ˆ ค่าอนุพันธ์ความยาวของเวกเตอร์ จาก P ไป Q เป็น ld  = kdzdd ˆˆˆ   (2.6) zˆ yˆ xˆ kˆ yˆ xˆ
23 kˆ ˆ ˆ ก. ข. ¦ ¼žš¸É2.2 ค่าอนุพันธ์ในระบบพิกัดทรงกระบอก ก. อนุพันธ์ปริมาตร ข. ผิวของปริมาตร 2.1.3 ระบบพิกัดทรงกลม ค่าอนุพันธ์ของปริมาตรในระบบพิกัดทรงกลมเกิดจากค่าอนุพันธ์ของ r ,  และ  เป็น dr , d และ d ตามลําดับ ¦ ¼žš¸É2.3 ค่าอนุพันธ์ในระบบพิกัดทรงกลม ก. อนุพันธ์ปริมาตร ข. ผิวของปริมาตร ก. ข rˆ ˆ ˆ
24 )(xf a b )( ixf ix c x ค่าอนุพันธ์ส่วนของปริมาตร เป็น dv =  dddrr sin2 (2.7) ‡nµ°œ»¡ ´œ›rÁ·Š¡ ºÊœŸ·ªÄœš·«šµŠ…°Šª„Áª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥—´Š¦ ¼žš¸É2.3 เป็น rsd  = rddr ˆsin2  sd  =  ˆsin drdr (2.8) zsd  =  ˆrdrd ค่าอนุพันธ์ความยาวของเวกเตอร์ จาก P ไป Q เป็น ld  =  ˆsinˆˆ drrdrdr  (2.9) 2.2 อนทกรัลิ ิ ตามเส้น ตามผว และตามปรมาตริ ิ 2.2.1 อินทิกรัลตามเส้น Á¤ºÉ° )(xf ÁžÈœ¢ Š„r´œ˜n° ÁœºÉ° Šั และเป็นฟงก์ชันค่าเดียวของั x จาก ax  ถึง bx  แสดงดัง¦ ¼žš¸É2.4 ค่าอินทิกรัลตามเส้นของ )(xf หาได้โดยการแบ่งช่วงจาก a ถึง b ออกเป็นส่วนย่อย ๆ n ส่วน และส่วนย่อย ๆš¸ÉnŠœ¸Ê¤¸ค่าน้อยเข้าใกล้ศูนย์ ¦ ¼žš¸É2.4 ­ —Š¢Š„r´œ˜n°ÁœºÉ°ŠÂ¨ ³ÁžÈœ¢ั ังก์ชันค่าเดียว อินทิกรัลตามเส้นจะแสดงในเทอมของขีดจํากัดของผลรวม เป็น  b a dxxf )( =    n i ii x n xf i 10 lim (2.10) Á¤ºÉ° if เป็นค่าของฟงก์ชัั น )(xf ของส่วนย่อย ix Á¤ºÉ° ix มีค่าน้อยมากจนเข้า ใกล้ศูนย์ ( 0 ix )
25 ir  ii lr   il   a b c O ค่าอินทิกรัลตามเส้นของเส้นโค้ง c ในปริภูมิ 3 มิติ ดัง¦ ¼žš¸É2.5Á¦ ·É¤‹µ„¡ ·‹µ¦ –µ สเกลาร์ฟงก์ชันั f และหาค่าอินทิกรัลตามเส้น จาก a ไป b ตามเส้น c โดยแบ่งระยะ ระหว่าง a ไป b ออกเป็นส่วนย่อย ๆ n ส่วน และส่วนย่อย ๆ มีค่าน้อย ๆ เข้าใกล้ศูนย์ ให้ ­ nªœ¥n°¥š¸ÉnŠœ¸ÊÁžÈœž¦ ·¤µ–Áª„Á˜°¦ r…°Š‡ªµ¤¥µª เวกเตอร์บอกตําแหน่งของส่วนย่อยลําดับ š¸Éi แสดงได้ดัง¦ ¼žš¸É2.5 อินทิรัลตามเส้นของ f ตามเส้น c จะเป็น ค่าขีดจํากัดของ ผลรวม จะเขียนสมการได้เป็น ¦ ¼žš¸É2.5 อนุพันธ์ตามเส้นของส่วนของความยาวตามวิถี c ในปริภูมิ c lfd  =    n n ii l n lf i 10 lim   (2.11) Á¤ºÉ°if เป็นค่าของสเกลาร์ฟงก์ชันั ของ f ในส่วนย่อยของความยาว il   และจาก สมการ (2.11) ผลลัพธ์ของการอินทิกรัลเป็นปริมาณเวกเตอร์ สเกลาร์อินทิกรัลตามเส้นของ สนามเวกเตอร์ F  ตามวิถี c จะเป็น   c ldF  =    n n ii l n lF i 10 lim   (2.12) วิถีของการอินทิกรัลรอบเส้นทางปิดหรืออินทิกรัลครบรอบ จะเขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ 
26 isnˆ is 2.2.2 อินทิกรัลตามผิว ค่าอินทิกรัลตามผิวของสนามสเกลาร์ f หรือสนามเวกเตอร์ F  จะหาค่าจากการแบ่ง ¡ ºÊœš¸ÉŸ·ªs ° °„ÁžÈœ¡ ºÊœš¸É¥n° ¥Ç‹Îµœªœ¤µ„ÇÁžÈœn ส่วน¨ ³¤¸¡ ºÊœš¸É¥n° ¥¤¸‡nµÁ…oµÄ„¨ o«¼œ¥r š»„Ç­ nªœ¥n°¥…°Š¡ ºÊœš¸É is และมีเวกเตอร์ของผิวเป็น is   ดัง¦ ¼žš¸É2.6 ¦ ¼žš¸É2.6 ส่วนย่อยของอนุพันธ์เชิงผิว ค่าอินทิกรัลตามผิวของ f หาโดยการคูณ f กับทุก ๆ ส่วนย่อยและรวมš´ÊŠ®¤—เข้า ด้วยกัน Á¤ºÉ° 0s  และจํานวนของ n อินทิกรัลตามผิวของ f œ¡ ºÊœŸ·ªs เป็น s sfd  =    n n ii s n sf i 10 lim  (2.13) Á¤ºÉ°if เป็นค่าของสเกลาร์ฟงก์ชันั f บนส่วนย่อยของผิว is   ทํานองเดียวกัน สเกลาร์อินทิกรัลตามผิวของ สนามเวกเตอร์ F  เป็น   s sdF  =    n n ii l n sF i 10 lim   (2.14) เวกเตอร์อินทิกรัลตามผิวของ สนามเวกเตอร์ F  บนส่วนย่อยของผิว is     s sdF  =    n n ii l n sF i 10 lim   (2.15)
27 y x z a srd  sd  ตัวอยาง่ 2.2 จงแสดงว่าอินทิกรัล¦ ° ¡ ºÊœŸ·ª ž·—…° Šš¦ Š„¨ ¤¦ ´«¤¸a มีค่าเป็นศูนย์ (  0sd  ) วธีทําิ Áª„Á˜°¦ r¡ »nŠ°°„Ĝœª˜´Êงฉากกับผิวทรงกลม‹³ÁžÈœš·«…°ŠÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥˜µ¤ แนวรัศมี rˆ ดัง¦ ¼žš¸É2.7 ¦ ¼žš¸É2.7 ทรงกลมรัศมี a Áª„Á˜°¦ r¡ »nŠ°°„Ĝœª˜´ÊŠŒµ„„´Ÿ·ª ¡ ºÊœŸ·ªÄœ¡ ·„´—š¦ Š„¨ ¤ s sd  =      0 2 0 2 sinˆ ddar Á¤ºÉ° rˆ = kji ˆcosˆsinsinˆcossin   แทนค่า s sd  =              0 2 0 0 2 0 0 2 0 22222 )cossin(ˆ)sinsin(ˆ)cossin(ˆ ddakddajddai = 0 ตอบ 2.2.3 อินทิกรัลตามปริมาตร อินทิกรัลปริมาตร หาได้โดยการแบ่งปริมาตรออกเป็นส่วนย่อย ๆ จํานวน n ส่วน ­ nªœš¸ÉnŠœ¸ÊÁ¤ºÉ° 0v และ n ดัง¦ ¼žš¸É2.18 สเกลาร์อินทิกรัลปริมาตร นิยามว่า
28 iv dff  = ‡µ‡Šš¸É่ f = ‡µ‡Šš¸É่ Q Nˆ P lˆ  ld  เป็นผลคูณของของทุก ๆ ปริมาตรย่อย กับสนามสเกลาร์ f ¨ ³¦ ª¤Ÿ¨ ‡¼–š¸ÉÅ—oš´ÊŠ®¤—˜¨ อด ปริมาตร จะแสดงสมการได้เป็น v fdv =    n i ii v n vf i 10 lim (2.16) ทํานองเดียวกัน อินทิกรัลปริมาตรของสนามเวกเตอร์ F  เป็น   v dvF  =    n i ii v n vF i 10 lim  (2.17) ¦ ¼žš¸É2.8 แสดงอนุพันธ์ส่วนย่อยของปริมาตร 2.3 เกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟังก์ชัน Á¤ºÉ° ),,( zyxf เป็นฟงก์ชันของั x , y และ z แสดงดัง¦ ¼žš¸É2.9 ค่าการ Áž¨ ¸É¥œÂž¨ ŠÁ·Šอนุพันธ์ของ f จากจุด P ไป Q จะเขียนได้เป็น ¦ ¼žš¸É2.9 ภาพสเกตอธิบายเกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟงก์ชันั
29 df = dz z f dy y f dx x f         (2.18) = ]ˆˆˆ[ˆˆˆ kdzjdyidxk dz f j dy f i dx f            จาก ค่าเชิงอนุพันธ์ของส่วนย่อยของความยาว ld  = kdzjdyidx ˆˆˆ  ค่า„µ¦ Áž¨ ¸É¥œÂž¨ ŠÁ·Šอนุพันธ์จากจุด P ไป Q ในสมการ (2.18) จะเขียนใหม่ ได้เป็น df = ldk z f j y f i x f                ˆˆˆ (2.19) หรือ dl df = dl ld k z f j y f i x f                ˆˆˆ dl df = lN ˆ  dl df = lnN ˆˆ  (2.20) Á¤ºÉ° dl ld l  ˆ เป็นเวกÁ˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥‹µ„P ไป Q มีทิศทางตามทิศของ ld  และ N  = k z f j y f i x f ˆˆˆ         (2.21) จากสมการ (2.21) ‹³Å—oªnµ° ´˜¦ µ…°Š„µ¦ Áž¨ ¸É¥œของฟงก์ชันั f ‹³¤¸‡nµ­ ¼Š­ »—Á¤ºÉ°lˆ และ N  อยู่ในแนวเดียวกัน จะนิยามได้ว่า max)( dl df = N (2.22) ให้ฟงก์ชันั f บนผิวš¸ÉŸnµœจุด P มีค่า‡Šš¸É¨ ³ฟงก์ชันั dff  บนŸ·ªš¸ÉŸnµœQ มี‡nµ‡Šš¸Éด้วยÁ¤ºÉ° อัตราส่วน dl df เป็นค่าสูงสุด ระยะทาง dl จาก P ถึง Q จะมีค่า˜ÎÉาสุด หรือกล่าวได้ว่า dl df ‹³¤¸‡nµ­ ¼Š­ »—Á¤ºÉ°lˆ ˜´ÊŠŒµ„„´Ÿ·ª…°Š¢Š„r´œั ),,( zyxf ÁžÈœ‡nµ‡Šš¸É ‹µ„„¦ –¸œ¸Êสามารถบอกได้ว่า N  ‹³˜´ÊŠŒµ„„´¡ ºÊœŸ·ª ของฟงก์ชันั ),,( zyxf ÁžÈœ‡nµ‡Šš¸É —´Šœ´Êœ‡nµ…°Š N  จะเป็นค่าเกรเดียนต์ (gradient) ของ ),,( zyxf หรือ กล่าวได้ว่า เกรเดีย นต์ของฟงก์ชันั f ‹³ÁžÈœÁª„Á˜°¦ rš¸É¤¸…œµ—Ášnµ„´‡nµ°œ»¡ ´œ›rÁ·Šš·«šµŠ­ ¼Š­ »—–‹»—œ´ÊœÂ¨ ³ มีทิศš¸ÉšÎµÄ®o‡nµ°œ»¡ ´œ›rÁ·Šš·« ทางมีค่าสูงสุด เกรเดียนต์ของ ),,( zyxf จะเขียนได้ เป็น f  Á¤ºÉ°   เป็นตัวดําเนินการ (operator) เรียกว่า เดล (del) เป็น ตัวดําเนินการเกรเดียนต์
30 เกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟังก์ชัน ),,( zyxf จากสมการ (2.21) จะเป็น f  = k z f j y f i x f ˆˆˆ         (2.23) ตัวดําเนินการเกรเดียนต์ ในระบบพิกัดฉาก จะเป็น   = k z j y i x ˆˆˆ         (2.24) ค่าอนุพันธ์ของสเกลาร์ฟงก์ชันในเทอมั ของเกรเดียนต์ของฟงก์ชัน จาก สมการั (2.19) เป็น df = ldf   หรือ dl df = lf ˆ  (2.25) สมการ (2.25) จะเป็น° ´˜¦ µ„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ…° Š­ Á„¨ µ¦ r¢Š„r´œั f ในทิศทางของเวกเตอร์ ®œ¹ÉŠ®œnª¥lˆ เรียกค่าœ¸Êªnµอนุพันธ์บ่งทิศของ f ตามทิศ lˆ ­ ¦ »ž­ ¤´˜·…°ŠÁ„¦ Á—¸¥œ˜r…°Š­ Á„¨ µ¦ r¢Š„r´œš¸É‹»—Ä—ÇÅ—o—´Šœ¸Êั 1. ‹³¤¸š·«šµŠ˜´ÊŠŒµ„„´Ÿ·ªÁ¤ºÉ°¢Š„r´œš¸É„ε®œ—Ä®o¤¸‡nµ‡Šš¸Éั 2. ‹»—Äœš·«šµŠŽ¹ÉŠ¢Š„r´œš¸É„ε®œ—Ä®oÁž¨ ¸É¥œ˜ÎµÂ®œnŠ°¥nµŠ¦ ª—Á¦ Ȫั 3. ขนาดของ° ´˜¦ µ„µ¦ Áž¨ ¸É¥œÂž¨ Š…° Š¢ Š„r´œš¸É„ε®œ—Ä®o˜n° ®œnª ¥¦ ³¥³šµŠั มี ค่าสูงสุด 4. ค่า°œ»¡ ´œ›rnŠš·«…°Š¢Š„r´œš¸É‹»—ั ในทิศทางใด ๆ จะมีค่าเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของ เกรเดียนต์ของฟงั „r´œ„´Áª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥Äœš·«šµŠœ´ÊœÇ ตัวดําเนินการเกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟงก์ชันั ในระบบพิกัดทรงกระบอก เป็น f  = k z fff ˆˆ1 ˆ             (2.26) และ ตัวดําเนินการเกรเดียนต์ ในระบบพิกัดทรงกลม เป็น f  =     ˆ sin 1ˆ1 ˆ         f r f r r f (2.27)
31 iˆ iˆ ตัวอยาง่ 2.3 จงหาค่าเกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์ ),,( zyxf = z eyx 23 32  š¸É‹»— )0,2,1(P วธีทําิ เกรเดียนต์ในระบบพิกัดฉากของ ),,( zyxf f  = keyx z jeyx y ieyx x zzz ˆ]23[ˆ]23[ˆ]23[ 323232          = kejyxixy z ˆ2ˆ9ˆ6 223  šœ‡nµš¸É‹»— )0,2,1(P ค่าเกรเดียนต์ของ ),,( zyxf เป็น f  = kji ˆˆ36ˆ48  ตอบ 2.4 ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์ ก่อนจะนิยามไดเวอร์เจนซ์ (divergence) ของสนา¤Áª„Á˜°¦ r‹³Á¦ ·É¤‹µ„¡ ·‹µ¦ –µ‡nµ สนาม สเกลาร์ f š¸É‹»—P ในรูปของสนามเวกเตอร์ F  Á¤ºÉ° f =    sv sdF v 1 lim 0 (2.28) ถ้า P ÁžÈœ‹»—š¸Éถูกปิดล้อมด้วยปริมาตร v และห่อหุ้มด้วยผิว s แม้ว่า v จะมีรูปร่าง อย่างไรก็ตาม Á¦ ·É¤‹µ„­ ¦ oµŠ¦ ¼žž¦ ·¤µ˜¦ š¦ Š­ ¸ÉÁ®¨ ¸É¥¤—oµœ…œµœ¤¸‹»—P อยู่ภายใน มีด้านเป็น yx  , และ z —´Š¦ ¼žš¸É2.10Á¡ ºÉ° š¸É‹³®µ‡nµ…°Š­ ¤„µ¦ (2.29) และสังเกตว่าปริมาณ sdF   จะแสดงการไหลออกของสนามเวกเตอร์ F  Ÿnµœ¡ ºÊœŸ·ªsd  Äœš·«šµŠ˜´ÊŠŒµ„„´Ÿ·ª ds š¸Éž·—¨ o°¤ž¦ ·¤µ˜¦ —´Šœ´Êœ  sdF  จะได้ฟลักซ์สุทธิของสนามเวกเตอร์ F  š¸ÉÅ®¨ Ÿnµœ ปริมาตร v อย่างไรก็ตามการไหลออกของสนามเวกเตอร์ F  ‹³Ÿnµœ¡ ºÊœŸ·ªÄœš·«šµŠ+ x ¦ ¼žš¸É2.10 แสดงอนุพันธ์เชิงปริมาตรในระบบพิกัดฉาก
32 ใช้การกระจายของอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor’s series) ¨ ³˜´—Áš°¤š¸É¤¸° ´œ—´­ ¼ŠÇš·ÊŠ‹³Å—o zy x x F F x x           2 การไหลออกของสนามเวกเตอร์ F  ผ่านผิวในทิศทางตามแกน - x เป็น - zy x x F F x x           2 —´Šœ´Êœการไหลออกสุทธิของสนามเวกเตอร์ F  ŸnµœŸ·ªš´ÊŠ­ °ŠÄœš·«ทางของแกน x จะเป็น zyx x Fx    = v x Fx    (2.29) šÎµœ°ŠÁ—¸¥ª„´œ­ µ¤µ¦ ™š¸É‹³Â­ —Šการไหลออกสุทธิของ สนามเวกเตอร์ F  š¸ÉŸnµœŸ·ª ในทิศทาง ของแกน y และ z การไหลออกสุทธิของสนามเวกเตอร์ F  ŸnµœŸ·ªš´ÊŠ®¤—š¸Éž·— ล้อมปริมาตร v ‹³Å—o­ ¤„µ¦ —´Šœ¸Ê   s AdF  = v z F y F x F zyx               (2.30) เปรียบเทียบสมการ ( 2.28) และ สมการ (2.30) จะได้ f = z F y F x F zyx         (2.31) สมการ (2.31) จะแสดงในเทอมของตัวดําเนินการ   ได้เป็น f = kFjFiF z k y j x i zyx ˆˆˆ[ˆˆˆ               ] f = F   (2.32) ค่าของ F   เรียกว่า ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์ F  (divergence of a vector field F  ) ¨ ³Ÿ¨ ¨ ´¡ ›rš¸ÉÅ—oจะเป็น สเกลาร์ และ สมการ ( 2.32 ) จะเป็นนิยามของไดเวอร์ เจนซ์ของสนามเวกเตอร์ ¨ ³¤¸‡nµÁšnµ„´‡nµ¨ ·¤·˜…°Š° ·œš·„¦ ´¨ Á·Š¡ ºÊœŸ·ª…°ŠÁª„Á˜°¦ r˜n°®œnª¥ ปริมาตร เ¤ºÉ°ž¦ ·¤µ˜¦ š¸É®»o¤—oª¥¡ ºÊœŸ·ªœ´Êœ¤¸…œµ—Á…oµÄ„¨ o«¼œ¥r —´Šœ´Êœ ไดเวอร์เจนซ์ของ สนามเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก เป็น F   = z F y F x F zyx         (2.33) จากสมการ(2.33) แสดงว่าจุด P š¸É° ¥¼n£µ¥Äœž¦ ·¤µ˜¦ Ä—Çจะหาค่าได้จากการไหล ออกสุทธิของสนามเวกเตอร์โดยการหาค่าไดเวอร์เจนซ์š¸É‹»—œ´Êœš¸É‹»—Ä—Ç การไหลออกสุทธิจะมี ค่าเป็นบวก¨ ³‹³ÁžÈœ¨ Á¤ºÉ°ไหลเข้า ™oµ­ œµ¤Áª„Á˜°¦ r˜n°ÁœºÉ°ŠÁnœการไหลของแบบไม่อัด ตัวของของไหลผ่านท่อ หรือเส้นแรงแม่เหล็กรอบ ๆ แท่งแม่เหล็ก จะเห็นว่าไม่มีการไหลออก …° Š­ œµ¤—´Šœ´Êœ F   = 0 และค่าของ F  Á¦ ¸¥„ªnµÁžÈœ­ œµ¤Áª„Á˜° ¦ r˜n° ÁœºÉ° Š (continuous vector field)
33 ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์ในระบบพิกัดทรงกระบอก และพิกัดทรงกลม จะแสดง ได้—´Šœ¸Ê F   = ][][ 1 ][ 1 zF z FF             (2.34) และ F   = ][ sin 1 ][sin sin 1 ][ 1 2 2     F r F r Fr rr r         (2.35) ตัวอยาง่ 2.4 จงพิสูจน์ว่า 3 r  Á¤ºÉ° r  เป็นเวกเตอร์บอกตําแหน่งของจุด P ใด ๆ ใน ปริภูมิ วธีทําิ เวกเตอร์บอกตําแหน่งของจุด P ใด ๆ ในระบบพิกัดฉาก เป็น r  = kzjyix ˆˆˆ  ไดเวอร์เจนซ์ ของเวกเตอร์ r  เป็น r   = )()()( z z y y x x         = 1+1+1 r   = 3 ตอบ 2.4.1 ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ จากนิยามของไดเวอร์เจนซ์เวกเตอร์ สมการ (2.28) และ สมการ (2.33) จะใช้กับจุดš¸Éถูกปิดล้อมด้วยปริมาตรเล็ก ๆ v ถ้าสนามเวกเตอร์ F  หาค่าอนุพันธ์ได้ ˜n°ÁœºÉ°ŠÄœž¦ ·¤µ˜¦ v š¸Éห่อหุ้มด้วยผิว s ดัง¦ ¼žš¸É2.11 นิยามของไดเวอร์เจนซ์ สามารถจะ …¥µ¥Åž‡¦ °‡¨ »¤ž¦ ·¤µ˜¦ š´ÊŠ®¤—โดยแบ่งปริมาตร v ออกเป็นปริมาตรเล็ก ๆ n ส่วน(เซล) และมีค่าเข้าสู่ศูนย์ สําหรับปริมาตรย่อยš¸É iv š¸Éž·—¨ o°¤‹»—iP และห่อหุ้มด้วยผิว is ค่าได เวอร์เจนซ์ ของ F  š¸É‹»—iP เป็น
34 ¦ ¼žš¸É2.11 ปริมาตรถูกแบ่งออกเป็นปริมาตรย่อย iF   =    ii s i v sdF v 1 lim 0 (2.36) Á¤ºÉ°iF  เป็นค่าของสนามเวกเตอร์ F  š¸É‹»—iP จะสมการจะเขียนสมการใหม่ได้เป็น   is sdF  = iiii vvF    (2.37) Á¤ºÉ°เทอม ii v ÁžÈœ‡nµš¸É„ε®œ—…¹Êœ­ 宦 ´‹»—š¸É™¼„ž·—¨ o°¤—oª¥ž¦ ·¤µ˜¦ Á¨ È„Ç 0 iv —´Šœ´Êœ 0i Á¤ºÉ° 0 iv Á¤ºÉ°รว¤ž¦ ·¤µ˜¦ Á¨ È„Çš´ÊŠ®¤—‹³Å—o    n i An i sdF 1 lim  =     n i ii n i n ii n vvF 11 limlim   (2.38) ­ ´ŠÁ„˜ªnµ‡nµ° ·œš·„¦ ´¨ Ÿ·ªš¸É¦ °¥˜n°¦ ³®ªnµŠÁŽ¨ £µ¥Äœv จะเป็นศูนย์ ในขณ³š¸É¢¨ ´„Žr ­ »š›·š¸É°°„‹µ„ÁŽ¨ ®œ¹ÉŠและÁ…oµ­ ¼n° ¸„ÁŽ¨ ®œ¹ÉŠจะหักล้างกันหมด—´Šœ´Êœ‹³¤¸Áš°¤š¸ÉŤnÁžÈœ«¼œ¥r จะเป็นเซลš¸Éอยู่รอบนอก สอดคล้องกับผิว s —´Šœ´ÊœÁš°¤—oµœŽoµ¥¤º°‹³Å—o    n i sn i sdF 1 lim  =   s sdF  Á¤ºÉ°‹Îµœªœ…°ŠÁŽ¨ Á¡ ·É¤…¹ÊœÁš°¤Â¦ „—oµœ…ªµ¤º°…°Šสมการ จะได้    n i ii n vF 1 lim  =   v dvF  Áš° ¤š¸É­ ° Š—oµœ…ª µ¤º° …° Š­ ¤„µ¦ ‹³­ ´¤¡ ´œ›r„´Ÿ¨ …° Šž¦ ·¤µ–œo° ¥Ç¨ ³ÁžÈœ«¼œ¥rÁ¤ºÉ° n —´Šœ´Êœ‹³­ µ¤µ¦ ™Á…¸¥œ­ ¤„µ¦ Å—oÁžÈœ   v dvF  =   s sdF  (2.39) สมการ (2.39) จะเป็นนิยามทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ จะได้ ความสัมพันธ์ของการอินทิกรัลปริมาตร ของไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์ กับอินทิกรัลผิว ขององค์ประ„° ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„ของผิว ®¦ º°„¨ nµªÅ—oªnµ­ 宦 ´­ œµ¤Áª„Á˜° ¦ rš¸É®µ° œ»¡ ´œ›rÅ—o ˜n° ÁœºÉ° Š¢ ¨ ´„Žr­ »š›·‹³Å®¨ ° ° „‹µ„Ÿ·ªž·—‹³Ášnµ„´° ·œš·„รัลของไดเวอร์เจนซ์š´Êงหมดตลอด ¦ ·Áª–š¸Éž·—¨ o°¤Ã—¥Ÿ·ª
35 ( yxx , ) ( yyxx  , ) ( yyx , )( yx, ) 1c 2c 3c 4c kˆ P s ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์จะถูกใช้ในทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟา้ ×¥ÁŒ¡ µ³„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ° ·œš· กรัลรอบผิวปิดเป็นอินทิกรัลเชิงปริมาตร 2.5 เคร์ลของสนามเวกเตอร์ิ อินทิกรัลเชิงเส้นของสนามเวกเตอร์ F  รอบวิถีปิด เรียกว่า การหมุนวนของ F  มีค่า เท่ากับ เคิร์ลของ F  ™oµ¡ ·‹µ¦ –µ¡ ºÊœŸ·ªÁ¨ È„Ç nsˆ ถูกล้อมรอบด้วยวิถีปิด c จะหาค่า องค์ประกอบของเคิร์ลš¸Éขนานกับผิวในแนว˜´ÊŠŒµ„nˆ Á¤ºÉ° 0s ได้เป็น nFcurl ˆ)(   =    cA ldF s 1 lim 0 (2.40) จากนิยาม เคิร์ลของสนามเวกเตอร์ เป็นปริมาณเวกเตอร์ ทิศทางของวิถี c หาได้ โดยใช้กฎมือขวา สมการ (2.40 ) จะเป็นนิยามของเคิร์ล F  ในระบบใด ๆ ของระบบแกน ˜´ÊŠŒµ„ โดยจะÁ¦ ·É¤พิจารณา ของเคิร์ล F  ในระบบพิกัดฉาก ขององค์ประกอบตามแนวแกน z ให้สนามเวกเตอร์ F  เป็น F  = kFjFiF zyx ˆˆˆ  š¸É‹»—P ภายในผิวเล็ก ๆ s š¸Éž·—¨ o°¤—oª¥ª ·™¸ c —´Š¦ ¼žš¸É2.12 ¦ ¼žš¸É2.12¡ ºÊœŸ·ª¥n°¥Â­ —ŠÁ‡·¦ r¨ …°Š­ œµ¤Áª„Á˜°¦ r ค่าอินทิกรัลตามเส้นของ F  ไปตามเส้นปิดของ c Ž¹ÉŠž¦ ³„° —oª¥Á­ oœŽ¹ÉŠÂnŠÁžÈœ 4 ส่วน จะเป็น   c ldF  =   1c ldF  +   2c ldF  +   3c ldF  +   4c ldF  ®µ‡nµ° ·œš·„¦ ´¨ š´ÊŠ4 ส่วน Á¦ ·É¤‹µ„
36 อินทิกรัลตามเส้น 1c เป็น   1c ldF  =    xx x yzyx idxkFjFiF ]ˆ[]ˆˆˆ[ = yx xF ][  Á¤ºÉ° xFx  ‹³ ®µ‡nµš¸Éy สมมติว่าค่าองค์ประกอบ xF ¤¸‡nµ‡Šš¸Éจาก x ถึง xx  การและ×¥ž¦ ³¤µ–‡nµœ´Êœจะ¤¸‡ª µ¤­ ° —‡¨ o° Š„´‡nµÁŒ¨ ¸É¥˜µ¤š§¬‘¸ทํานอง เดียวกันสําหรับองค์ประกอบ ° ºÉœ…°ŠF  อินทิกรัลตามเส้นตาม 2c เป็น   2c ldF  =     yy y xxzyx jdykFjFiF ]ˆ[]ˆˆˆ[ = xxy yF  ][ อินทิกรัลตามเส้นตาม 3c เป็น   3c ldF  =     x xx yyzyx idxkFjFiF ]ˆ[]ˆˆˆ[ = yyx xF  ][ อินทิกรัลตามเส้นตาม 4c เป็น   4c ldF  =    y yy xzyx jdykFjFiF ]ˆ[]ˆˆˆ[ = - xy yF ][  —´Šœ´Êœ   c ldF  = yx xF ][  - xxy yF  ][ + yyx xF  ][ - xy yF ][  Á¤ºÉ° 0x และ 0y จะได้ yyx xF  ][ - yx xF ][  = yx y Fx    ץčo°œ»„¦ ¤ÁšÁ¨ °¦ r„¦ ³‹µ¥Â¨ ³˜´—Áš°¤š¸É„ε¨ ´Š­ ¼Š xxy yF  ][ - xy yF ][  = yx x Fy    —´Šœ´Êน   c ldF  = yx y F x F xy            ®µ¦ š´ÊŠ­ °Š—oµœ…°Š­ ¤„µ¦ —oª¥ yxs  และให้ 0s จะได้     00 1 lim cs ldF s  = y F x F xy      (2.41) ÁœºÉ° Š‹µ„ kn ˆˆ  —´Šœ´Êœ‹³ Á…¸¥œ kFcurl ˆ)(   เป็น zFcurl )(  Á¤ºÉ° zFcurl )(  แสดง องค์ประกอบ ตามแกน z ของ Fcurl 
37 zFcurl )(  = y F x F xy      (2.42) องค์ประกอบš¸ÉÁ®¨ º° อีก 2 ด้านของ Fcurl  ®µÅ—ošÎµœ°ŠÁ—¸¥ª„´œŽ¹ÉŠ¡ ·‹µ¦ –µ¡ ºÊœŸ·ª…œµ— Á¨ ȄǤ¸š·«˜´ÊŠŒµ„„´¦ ³œµ˜µ¤ÂœªÂ„œx และ y จะได้ xFcurl )(  = z F y F yz      yFcurl )(  = x F z F zx      เคิร์ลของสนามเวกเตอร์ F  หรือ Fcurl  ในระบบพิกัดฉาก เป็น Fcurl  = i z F y F yz ˆ           + j x F z F yx ˆ           + k y F x F xy ˆ            (2.43) ในเทอมของผลคูณเชิงเวกเตอร์ จะเขียนสมการ (2.43) เป็น Fcurl  = ]ˆˆˆ[ˆˆˆ ky FkFjFi z k y j x i                Fcurl  = F   (2.44) —´Šœ´Êœ‹³Á…¸¥œ Fcurl  ในรูปของ F   ระบบพิกัดฉาก F   = zyx FFF zyx kji       ˆˆˆ (2.45) ระบบพิกัดทรงกระบอก F   = zFFF z k            ˆˆˆ 1 (2.46) ระบบพิกัดทรงกลม F   = zr FrFF r rrr r           ˆsinˆˆ sin 1 22 (2.47)
38 จะได้ว่า องค์ประกอบของ curl F  ( F   ) Äœš·«šµŠ…°ŠÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥nˆ จะ เท่ากับลิมิตของอินทิกรัลเชิงเส้น บนเส้นทางš¸Éž·—¨ o°¤¡ ºÊœŸ·ª˜n°¡ ºÊœš¸É…°ŠŸ·ªœ´Êœเคิร์ลของสนาม เวกเตอร์จะแทนค่าการหมุนวน¦ ° ¡ ºÊœš¸Éต่°®œnª¥¡ ºÊœš¸É…° Š­ œµ¤Áª„Á˜° ¦ r¦ ° ¡ ºÊœš¸É…° Šš»„ๆ รูปทรง และ ¤¸š·«˜´ÊŠŒµ„„´¦ ³œµ…°ŠŸ·ªหรือจะได้ว่า ถ้าอินทิกรัลตามเส้นของสนามเวกเตอร์ รอบผิวปิด ใด ๆ ไม่เป็นศูนย์ และเคิร์ลสนามเวกเตอร์ŤnÁžÈœ«¼œ¥r­ œµ¤Áª„Á˜°¦ rœ´Êœ‹³Å¤nÁžÈœ สนามอนุรักษ์ และถ้าเคิร์ลสนามเวกเตอร์œ´ÊœÁžÈœ«¼œ¥r­ œµ¤Áª„Á˜°¦ rœ´Êœจะเป็นสนามอนุรักษ์ ตัวอยาง่ 2.5 ถ้า ),,( zyxf เป็นสเกลาร์ฟงก์ชันหาค่าอนุพันธ์ได้ั °¥nµŠ˜n°ÁœºÉ°Šจงแสดงว่า 0)(  f  วธีทําิ เกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟงก์ชันั ),,( zyxf จากสมการ f  = k z f j y f i x f ˆˆˆ         เคิร์ลของ f  เป็น f  = z f y f x f zyx kji             ˆˆˆ = k xy f yx f j zx f xz f i yz f zy f ˆˆˆ 222222                                  Á¤ºÉ°f หาค่าอนุพันธ์ได้˜n°ÁœºÉ°Š yz f zy f      22 , zx f xz f      22 และ xy f yx f      22 —´Šœ´Êœ 0)(  f  ตอบ
39 2.5.1 ทฤษฎีบทของสโตกส์ จากนิยามของ F   ของสมการ ( 2.44 ) จะหาความสัมพันธ์ ตามทฤษฎีบทของส โตกส์ (stokes’ theorem) สําหรับบริเวณจํากัด ของ¡ ºÊœš¸ÉŸ·ªÁž·—s š¸É™¼„¨ o°¤¦ °—oª¥Á­ oœž·— c ดัง¦ ¼žš¸É2.13 Á¦ ·É¤‹µ„nŠ¡ ºÊœš¸ÉŸ·ª s °°„ÁžÈœ¡ ºÊœš¸É¥n°¥Çn ส่วน (เซล) ส่วนของเซล š¸Éi ¤¸¡ ºÊœš¸É is มีทิศĜœª˜´ÊŠŒµ„„´Ÿ·ªinˆ และ¡ ºÊœš¸Éœ¸Êถูกล้อมรอบด้วยด้วยเส้นปิด ic ครอบคลุมจุด iP ¦ ¼žš¸É2.13 ผิวเปิด s š¸É™¼„¨ o°¤¦ °—oª¥Á­ oœž·—c จากสมการ (2.43) จะสามารถเขียนได้   is isdF  )( =   ic ldF  + ii s Á¤ºÉ°Áš°¤ ii s ÁžÈœÁš°¤š¸Éบวกเข้าไปสมการ จะเป็นจริงเฉพาะสําหรับจุดÄœ…¸—‹Îµ„´—Á¤ºÉ° n , 0i ¨ ³¦ ª¤¡ ºÊœš¸É¥n°¥Çš´ÊŠ®¤—‹³Å—o    n i s i i sdF 1 )(  =      n i c n i ii i sldF 1 1   (2.48) Á¤ºÉ° n ด้านซ้ายของสมการ ( 2.48) จะได้    n i s i n i sdF 1 )(lim  =   s sdF  )( (2.49) Á¤ºÉ° ° ·œทิกรัลบนผิว s ล้อมรอบด้วยเส้น c และÁš° ¤š¸É­ °Š—oµœ…ªµ¤º°…°Š­ ¤„µ¦ (2.48)‹³¤¸‡nµÁ…oµ­ ¼n«¼œ¥rÁ¤ºÉอ n ค่าอินทิกรัลตามÁ­ oœ…°Š¡ ºÊœš¸Éš¸É°¥¼n˜·—„´œ‹³®´„¨ oµŠ„´œ หมด เพราะว่าเวกเตอร์ความยาวมีทิศทางตรงกันข้าม จะมีค่าเฉพาะอินทิเกรตบนเส้นล้อมรอบ c สมการ จะเป็น
40    n i cn i ldF 1 lim  =   c ldF  จากสมการ (2.49) จะได้   s sdF  )( =   c ldF  (2.50) สมการ (2.50) เป็นทฤษฎีบทของสโตกส์ กล่าวได้ว่า อินทิกรัลขององค์ประกอบในแนว ˜´ÊŠŒµ„…°Šเคิร์ล …°Š­ œµ¤Áª„Á˜°¦ rœ¡ ºÊœŸ·ªÁšnµ„´° ·œš·„¦ ´¨ ˜µ¤Á­ oœ…°Š­ œµ¤Áª„Á˜°¦ r˜µ¤ Á­ oœÃ‡oŠš¸É¨ o°¤¦ °¡ ºÊœš¸É 2.5.2 ตัวดําเนินการลาปลาเซียน ˜´ª —εÁœ·œ„µ¦ š¸É° ¥¼nÄœ¦ ¼ž…° Š­ ¤„µ¦ เชิงอนุพันธ์อันดับ 2 จะนํามาใช้กับปญหาั Á„¸É¥ªข้องกับสนามไฟฟ้า เรียกว่า ตัวดําเนินการลาปลาเซียน สัญลักษณ์ จะเป็น 2  และ นิยามว่าเป็นไดเวอร์เจนซ์ของเกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟงก์ชันั ถ้า ),,( zyxf เป็นฟงก์ชันั สเกลาร์หาค่า° œ»¡ ´œ›rÅ—o˜n° ÁœºÉ° Š¨ µžµÁ¸É¥œของ ),,( zyxf เป็น f2  = )( f  (2.51) ไดเวอร์เจนซ์ ของฟงก์ชันั สเกลาร์ f ในระบบพิกัดฉาก จะเขียนได้เป็น )( f  =                             z f k y f j x f i z k y j x i ˆˆˆˆˆˆ จะได้ f2  = )( f  = 2 2 2 2 2 2 z f y f x f         (2.52) จาก สมการ (2.50) จะได้ลาปลาเซียนของสเกลาร์ฟงก์ชันั ÁžÈœ­ Á„¨ µ¦ r° ´œ®œ¹ÉŠš¸É สัมพันธ์กับค่าเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับ 2 ของฟงก์ชันั พิกัดทรงกลมและพิกัดทรงกระบอก จาก „µ¦ Áž¨ ¸É¥œ¡ ·„´—‹³Å—o ลาปลาซเซียนของ สเกลาร์ฟงก์ชันในพิกัดทรงกระบอก ได้เป็นั f2  = 2 2 2 2 2 11 z fff                   (2.53) „µ¦ Áž¨ ¸É¥œÂž¨ ŠšÎµœ° ŠÁ—¸¥ª „´œ‹µ„¦ ³¡ ·„´—Œµ„เป็นพิกัดทรงกระบอก จะได้ ลาปลาซเซียนของ สเกลาร์ในพิกัดทรงกระบอกเป็น f2  = 2 2 222 2 2 sin 1 sin sin 11                          f r f rr f r rr (2.54)
41 สเกลาร์ฟงก์ชันั จะเป็นฟงก์ชันั ฮาร์มอนิก(harmonic function) ถ้าลาปลาซเซียนเป็น ศูนย์ จะได้ f2  = 0 (2.55) สมการ (2.55) เรียกว่า สมการของลาปลาซ (Laplace’s equation) ในการพิจารณา ค่าสนามไฟฟา จะเขียนได้เป็น้ F 2  Á¤ºÉ°F  เป็นสนามเวกเตอร์ ลาปลาเซียนของสนามเวกเตอร์ F  จะเขียนได้เป็น F 2  = )()( FF   (2.56) สมการ (2.56 ) ในระบบพิกัดฉาก จะเป็น F 2  = zyx FkFjFi 222 ˆˆˆ  (2.57) Á¤ºÉ° 2  = 2 2 2 2 2 2 zyx         (2.58) 2  เป็นตัวดําเนินการลาปลาเซียน และจะได้ว่าลาปลาเซียนของสนามเวกเตอร์เป็น ศูนย์ ถ้าลาปลาเซียนของเวกเตอร์องค์ประกอบเป็นศูนย์ ตัวอยาง่ 2.6 จงแสดงว่าสเกลาร์ฟงก์ชันั 0,/1  rrf เป็นผลเฉลยของสมการลาปลาซ Á¤ºÉ°r เป็นระยะทางจากจุดกําเนิด ( origin ) ถึงจุด P ในปริภูมิ วธีทําิ Á¤ºÉ°­ Á„¨ µ¦ r¢Š„r´œั rf /1 ÁžÈœŸ¨ ÁŒ¨ ¥…°Š­ ¤„µ¦ ¨ µž¨ µŽ—´Šœ´Êœ 02  f จากสมการลาปลาซ f2  =        r 12 =                 rr r rr 11 2 2 =                2 2 2 11 r r rr f2  = 0 ตอบ
42 2.6 บทสรุป เกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟงก์ชันั ÁžÈœ‡nµ°œ»¡ ´œ›rÁ·Šš·«šµŠ­ ¼Š­ »—–‹»—œ´Êœ f  = k z f j y f i x f ˆˆˆ         ไดเวอร์เจนซ์ของ สนามเวกเตอร์ ÁžÈœ‡nµ¨ ·¤·˜…°Š° ·œš·„¦ ´¨ Á·Š¡ ºÊœŸ·ª…°ŠÁª„Á˜°¦ rœ´Êœ ˜n°®œnª¥ž¦ ·¤µ˜¦ Á¤ºÉ°ž¦ ·¤µ˜¦ š¸É®»o¤—oª¥¡ ºÊœŸ·ªœ´Êœ¤¸…œµ—Á…oµÄ„¨ o«¼œ¥r F   =    sv sdF v 1 lim 0 ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ ฟลักซ์สุทธิจะไหลออกจากผิวปิดจะเท่ากับอินทิกรัลของได เวอร์เจนซ์š´ÊŠ®¤—˜¨ °—¦ ·Áª–š¸Éž·—¨ o°¤Ã—¥Ÿ·ª   v dvF  =   s sdF  Á‡·¦ r¨ …°Š­ œµ¤Áª„Á˜°¦ rÁžÈœ‡nµ¨ ·¤·˜…°Š° ·œš·„¦ ´¨ Á·ŠÁ­ oœœÁ­ oœš¸Éž·—¨ o°¤¡ ºÊœŸ·ª˜n° ¡ ºÊœš¸É…°ŠŸ·ªœ´Êœ nFcurl ˆ)(   =    cA ldF s 1 lim 0 ทฤษฎีบทของสโตกส์ ° ·œš·„¦ ´¨ …°Š°Š‡rž¦ ³„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„…°ŠÁ‡·¦ r¨ …°Š­ œµ¤ Áª„Á˜°¦ rœ¡ ºÊœŸ·ªÁšnµ„´° ·œš·„¦ ´¨ ˜µ¤Á­ oœ…°Š­ œµ¤Áª„Á˜°¦ r˜µ¤Á­ oœÃ‡oŠš¸É¨ o°¤¦ °¡ ºÊœš¸É   s sdF  )( =   c ldF 
43 2.7 คําถามท้ายบท 1. ‹ŠÄo¡ ·„´—š¦ Š„¦ ³°„®µ¡ ºÊœš¸É…°Š„¦ µ¥˜¦ Šรัศมี a สูง h )2( ah 2. จงหาค่า   sdr  œ¡ ºÊœš¸ÉŸ·ª ž·—¦ ¼ž¨ ¼„µ«„rÁ¤ºÉ° 10,11  yx และ 10  z Á¤ºÉ°r  เป็นเวกเตอร์บอกตําแหน่งš¸É‹»—ėǝœŸ·ª…°Š¨ ¼„µ«„r )3( 3. จงใช้นิยามของเวกเตอร์บอกตําแหน่ง r  ในระบบพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลม แสดงว่า rr ˆ 4. ถ้า F  = kxzjyzxixy ˆˆ3ˆ 32  จงหา F   š¸É‹»— )2,1,1( P 5. ให้ F  = )(ˆ)(ˆ)(ˆ 222 xyzkzxyjyzxi  ก. จงหา F   ข. จงหา F   6. จงแสดงว่าไดเวอร์เจนซ์ของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ มีค่าเป็นศูนย์ 0)(  F  7. จงใช้ทฤษฎีบทขอŠ­ Ø„­ rœŸ·ª…° Š‡¦ ¹ÉŠš¦ Š„¨ ¤(hemisphere) ถ้าสนามเวกเตอร์ เป็น  ˆsin10ˆcos10  rF  8. จากนิยามของไดเวอร์เจนซ์ จงแสดงค่าไดเวอร์เจนซ์ของ สนามเวกเตอร์ F  ในพิกัด ทรงกระบอก 9. ถ้า r  เป็นเวกเตอร์จากจากจุดออริจินไปยังจุด ),,( zyx จงพิสูจน์ว่า ก. r   = 3 ข. r   = 0 ค. ra  )(  = a  Á¤ºÉ°a  เป็นปริมาณเวกเตอร์ใด ๆ 10. ถ้า A  เป็นเวกเตอร์มี‡nµ‡Šš¸É‹ŠÂ­ —Šªnµ )( rA   = A  11. ถ้า r เป็นขนาดของเวกเตอร์จากจุดออริจิน ไปยังจุด ),,( zyx และ )(rf เป็น ฟงก์ชันของั r จงพิสูจน์ว่า ก. )(rf  = dr df r r  ข. ])([ rrf   = 0 12. จงพิสูจน์ว่า )(rF   = dr Fd r r   13. ถ้า  = rA   จงพิสูจน์ว่า )( =   d d A 

More Related Content

PDF
ฟังก์ชันขั้นบันได
byY'Yuyee Raksaya
 
PDF
การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ
byชิตชัย โพธิ์ประภา
 
DOC
4.ใบงาน
byparichat441
 
PPT
ภาพฉายมุมที่1 3
byAea สวัสดีค่ะ คุณความรัก
 
PDF
ตัวอย่าง 5 บท โครงงานคอมฯ
byผู้ชาย ลั้นลา
 
PPTX
บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
byThepsatri Rajabhat University
 
PDF
แม่เหล็กไฟฟ้า
byTheerawat Duangsin
 
PDF
แรงเสียดทาน
bykrulef1805
 
ฟังก์ชันขั้นบันได
byY'Yuyee Raksaya
 
การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ
byชิตชัย โพธิ์ประภา
 
4.ใบงาน
byparichat441
 
ภาพฉายมุมที่1 3
byAea สวัสดีค่ะ คุณความรัก
 
ตัวอย่าง 5 บท โครงงานคอมฯ
byผู้ชาย ลั้นลา
 
บทที่ 7 การเคลื่อนที่แบบหมุน
byThepsatri Rajabhat University
 
แม่เหล็กไฟฟ้า
byTheerawat Duangsin
 
แรงเสียดทาน
bykrulef1805
 

What's hot

PDF
การเทียบเสียงตัวอักษรภาษาอังกฤษกับไทย
byปาริชาต แท่นแก้ว
 
PDF
ตัวอย่างบทที่1 บทนำ เล่มโปรเจ็ค
bytumetr1
 
PDF
ข้อสอบเคมีพร้อมเฉลย
byJamescoolboy
 
PDF
เคมี กสพท ปี58 พร้อมเฉลย
byอาทิตยา วิชาชัย
 
PDF
เรื่องท่ี16ไฟฟ้าและแม่เหล็ก
byApinya Phuadsing
 
PDF
คุณสมบัติของเจ้าหน้าที่บริการ
byBenjamas Kamma
 
PDF
แบบฝึกทักษะวิทยาศาสตร์ เรื่อง สิ่งรอบตัวเรา ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1
bygchom
 
PDF
ความร้อน
byWijitta DevilTeacher
 
PDF
รูปเล่มวิชาโครงงาน
byAjBenny Pong
 
PDF
แนวข้อสอบเข้า ม.4 วิชาคณิตศาสตร์โรงเรียนมหิดลฯและโรงเรียนจุฬาภรณ์ฯ
bysawed kodnara
 
PDF
ธาตุและสารประกอบ (elements and compound)
byครูเสกสรรค์ สุวรรณสุข
 
PDF
ตัวอย่างบันทึกข้อความ
bynurmedia
 
PDF
เฉลยข้อสอบเพาเวอร์พ้อยท์
bypeter dontoom
 
PPSX
ตัวอย่างการนำเสนอโครงร่างวิจัย 3 บท
byDr.Krisada [Hua] RMUTT
 
PDF
Final 31201 53
byAon Narinchoti
 
PDF
เอกสารLOGBOOK เขียนมือ
byAun Wny
 
PPT
การแปลงทางเรขาคณิต
bykruyafkk
 
PDF
แบบประเมินทักษะกระบวนการ
bysomdetpittayakom school
 
PPT
บทที่ 4 การระดับ 2
byChattichai
 
DOC
หลักการของไดนาโม
bypanupong
 
การเทียบเสียงตัวอักษรภาษาอังกฤษกับไทย
byปาริชาต แท่นแก้ว
 
ตัวอย่างบทที่1 บทนำ เล่มโปรเจ็ค
bytumetr1
 
ข้อสอบเคมีพร้อมเฉลย
byJamescoolboy
 
เคมี กสพท ปี58 พร้อมเฉลย
byอาทิตยา วิชาชัย
 
เรื่องท่ี16ไฟฟ้าและแม่เหล็ก
byApinya Phuadsing
 
คุณสมบัติของเจ้าหน้าที่บริการ
byBenjamas Kamma
 
แบบฝึกทักษะวิทยาศาสตร์ เรื่อง สิ่งรอบตัวเรา ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1
bygchom
 
ความร้อน
byWijitta DevilTeacher
 
รูปเล่มวิชาโครงงาน
byAjBenny Pong
 
แนวข้อสอบเข้า ม.4 วิชาคณิตศาสตร์โรงเรียนมหิดลฯและโรงเรียนจุฬาภรณ์ฯ
bysawed kodnara
 
ธาตุและสารประกอบ (elements and compound)
byครูเสกสรรค์ สุวรรณสุข
 
ตัวอย่างบันทึกข้อความ
bynurmedia
 
เฉลยข้อสอบเพาเวอร์พ้อยท์
bypeter dontoom
 
ตัวอย่างการนำเสนอโครงร่างวิจัย 3 บท
byDr.Krisada [Hua] RMUTT
 
Final 31201 53
byAon Narinchoti
 
เอกสารLOGBOOK เขียนมือ
byAun Wny
 
การแปลงทางเรขาคณิต
bykruyafkk
 
แบบประเมินทักษะกระบวนการ
bysomdetpittayakom school
 
บทที่ 4 การระดับ 2
byChattichai
 
หลักการของไดนาโม
bypanupong
 

Similar to บทที่ 2 เวกเตอร์วิเคราะห์

PDF
อินทิเกรต
bykrurutsamee
 
PDF
เฉลยอินทิเกรต
bykrurutsamee
 
PDF
Relation and function
byThanuphong Ngoapm
 
PDF
ฟังก์ชันตรีโกณมติ 2014
byNattakarn Namsawad
 
PPT
วิทยาศาสตร์อุต
bySupa Kommee
 
PDF
[สรุปสูตร] สรุปสูตรคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม456 1
bykanjana2536
 
PDF
ภาคตัดกรวย
byJiraprapa Suwannajak
 
PDF
สรุปเนื้อหา O- net ม.6
bysensehaza
 
PDF
Vector
byThanuphong Ngoapm
 
PPT
การอินทีเกรต
byANNRockART
 
PDF
บทที่ 2 รายวิชาฟิสิกส์ เวคเตอร์ ทางฟิลิกส์
byNuttakritsomdock
 
PDF
60 vector 3 d-full
bySutthi Kunwatananon
 
PDF
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
byธีรวุฒิ อภิปรัชญาฐิติ?
 
PDF
Student-pilot-handbook-by-tutor ferry (Ex)
byTutor Ferry
 
PDF
เฉลย Ent48 คณิตศาสตร์1
byUnity' Aing
 
PDF
สรุปสูตรคณิตศาสตร์
bywisita42
 
PDF
Contraction Mapping
byอิทธิเดช มูลมั่งมี
 
PDF
เจาะลึกการออกข้อสอบ Pat1 คณิตศาสตร์พร้อมสรุปสูตรและทฤษฎีครบทุกบท
byChokchai Taveecharoenpun
 
PDF
เจาะลึกแนวข้อสอบPat1 พร้อมสรุปสูตรและทฤษฎีครบทุกบท
byTutor Ferry
 
PDF
Pre 7 วิชา ครั้งที่ 1
byWanutchai Janplung
 
อินทิเกรต
bykrurutsamee
 
เฉลยอินทิเกรต
bykrurutsamee
 
Relation and function
byThanuphong Ngoapm
 
ฟังก์ชันตรีโกณมติ 2014
byNattakarn Namsawad
 
วิทยาศาสตร์อุต
bySupa Kommee
 
[สรุปสูตร] สรุปสูตรคณิตศาสตร์พื้นฐาน ม456 1
bykanjana2536
 
ภาคตัดกรวย
byJiraprapa Suwannajak
 
สรุปเนื้อหา O- net ม.6
bysensehaza
 
Vector
byThanuphong Ngoapm
 
การอินทีเกรต
byANNRockART
 
บทที่ 2 รายวิชาฟิสิกส์ เวคเตอร์ ทางฟิลิกส์
byNuttakritsomdock
 
60 vector 3 d-full
bySutthi Kunwatananon
 
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
byธีรวุฒิ อภิปรัชญาฐิติ?
 
Student-pilot-handbook-by-tutor ferry (Ex)
byTutor Ferry
 
เฉลย Ent48 คณิตศาสตร์1
byUnity' Aing
 
สรุปสูตรคณิตศาสตร์
bywisita42
 
Contraction Mapping
byอิทธิเดช มูลมั่งมี
 
เจาะลึกการออกข้อสอบ Pat1 คณิตศาสตร์พร้อมสรุปสูตรและทฤษฎีครบทุกบท
byChokchai Taveecharoenpun
 
เจาะลึกแนวข้อสอบPat1 พร้อมสรุปสูตรและทฤษฎีครบทุกบท
byTutor Ferry
 
Pre 7 วิชา ครั้งที่ 1
byWanutchai Janplung
 

More from Gawewat Dechaapinun

PDF
บทที่ ๒ ศาสนาโบราณ
byGawewat Dechaapinun
 
PDF
Chapter 5 glazes defects
byGawewat Dechaapinun
 
PPTX
บทที่ 2 ประเภทของบทเรียนคอมพิวเตอร์
byGawewat Dechaapinun
 
PPTX
Chapter 1.3 properties of glass crystalline mixtures
byGawewat Dechaapinun
 
PPTX
งานนำเสนอ8
byGawewat Dechaapinun
 
PPTX
Chapter 2.1 glaze classifications
byGawewat Dechaapinun
 
PPTX
Chapter 4 properties of glazes and control
byGawewat Dechaapinun
 
PPTX
งานนำเสนอ1
byGawewat Dechaapinun
 
PDF
Chapter 2.3 glaze calculations
byGawewat Dechaapinun
 
DOCX
บทที่ 8 แนวคิดและความเชื่อเรื่องผีในคัมภีร์พระพุทธศาสนาเถร
byGawewat Dechaapinun
 
DOCX
บทที่ 8 แนวคิดและความเชื่อเรื่องผีในคัมภีร์พระพุทธศาสนาเถร
byGawewat Dechaapinun
 
PPTX
Chapter 3 glaze manufacturing
byGawewat Dechaapinun
 
PPTX
Chapter 3 glaze manufacturing
byGawewat Dechaapinun
 
PPT
เน€เธ—เธ„เน‚เธ™เน‚เธฅเธขเธตเธœเธฑเธเนเธฅเธฐเธœเธฅเน„เธกเน‰
byGawewat Dechaapinun
 
PDF
เน€เธ—เธ„เน‚เธ™เน‚เธฅเธขเธตเธœเธฑเธเนเธฅเธฐเธœเธฅเน„เธกเน‰
byGawewat Dechaapinun
 
PDF
Chapter 3 glaze manufacturing
byGawewat Dechaapinun
 
PPTX
งานนำเสนอ4
byGawewat Dechaapinun
 
PPTX
งานนำเสนอ5
byGawewat Dechaapinun
 
PPTX
งานนำเสนอ6
byGawewat Dechaapinun
 
PPTX
งานนำเสนอ7
byGawewat Dechaapinun
 
บทที่ ๒ ศาสนาโบราณ
byGawewat Dechaapinun
 
Chapter 5 glazes defects
byGawewat Dechaapinun
 
บทที่ 2 ประเภทของบทเรียนคอมพิวเตอร์
byGawewat Dechaapinun
 
Chapter 1.3 properties of glass crystalline mixtures
byGawewat Dechaapinun
 
งานนำเสนอ8
byGawewat Dechaapinun
 
Chapter 2.1 glaze classifications
byGawewat Dechaapinun
 
Chapter 4 properties of glazes and control
byGawewat Dechaapinun
 
งานนำเสนอ1
byGawewat Dechaapinun
 
Chapter 2.3 glaze calculations
byGawewat Dechaapinun
 
บทที่ 8 แนวคิดและความเชื่อเรื่องผีในคัมภีร์พระพุทธศาสนาเถร
byGawewat Dechaapinun
 
บทที่ 8 แนวคิดและความเชื่อเรื่องผีในคัมภีร์พระพุทธศาสนาเถร
byGawewat Dechaapinun
 
Chapter 3 glaze manufacturing
byGawewat Dechaapinun
 
Chapter 3 glaze manufacturing
byGawewat Dechaapinun
 
เน€เธ—เธ„เน‚เธ™เน‚เธฅเธขเธตเธœเธฑเธเนเธฅเธฐเธœเธฅเน„เธกเน‰
byGawewat Dechaapinun
 
เน€เธ—เธ„เน‚เธ™เน‚เธฅเธขเธตเธœเธฑเธเนเธฅเธฐเธœเธฅเน„เธกเน‰
byGawewat Dechaapinun
 
Chapter 3 glaze manufacturing
byGawewat Dechaapinun
 
งานนำเสนอ4
byGawewat Dechaapinun
 
งานนำเสนอ5
byGawewat Dechaapinun
 
งานนำเสนอ6
byGawewat Dechaapinun
 
งานนำเสนอ7
byGawewat Dechaapinun
 

บทที่ 2 เวกเตอร์วิเคราะห์

  • 1.
    šš¸É2 แคลคูลัสเวกเตอร์ การศึกษาแม่เหล็กไฟฟา ป้ ¦·¤µ–š¸ÉÁ„¸É¥ª …o° Š­ nª œÄ®n‹³Â­ —Šในรูปของเวกเตอร์ แคลคูลัสเวกเตอร์ จึงÁžÈœÁ‡¦ ºÉ° Š¤º° ­ ε‡´š¸É‹³nª¥ในการศึกษา ในการหาค่าอนุพันธ์ การ อินทิกรัล และการสร้างสมการอนุพันธ์Äœšœ¸ÊÁœºÊ°®µ‹³ž¦ ³„°—oª¥„µ¦ ®µ‡nµ°œ»พันธ์ และ การอินทิกรัล ž¦ ·¤µ–Áª„Á˜° ¦ rš¸ÉÄœ¦ ¼žของเส้น ผิว และปริมาตร ตัวดําเนินการในรูปของ เกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟงก์ชันั ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์ การใช้ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ ทฤษฎีบทของสโตกส์ และตัวดําเนินการลาปาเซียน 2.1 อนุพันธ์สวน่ ยอย่ ของความยาว ปรมาตริ ¨ ³¡ ºÊœŸª ิ Äœ˜°œœ¸Ê‹³«¹„¬µ„µ¦ Áž¨ ¸É¥œÂž¨ Š…°Šž¦ ·¤µ–Ž¹ÉŠอยู่ในรูปของปริมาณเชิงเส้น เชิงผิว และเชิงปริมาตร เทียบกับระบบพิกัดต่าง ๆ —´Šœ¸Ê 2.1.1 ระบบพิกัดฉาก ค่าอนุพันธ์ส่วนย่อย (element) ของปริมาตรในระบบพิกัดฉากเกิดจากการ Áž¨ ¸É¥œÂž¨ Š‡nµ° œ»¡ ´œ›r…° ง dydx, และ dz ˜µ¤š·«…° ŠÁª„Á˜° ¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥ ji ˆ,ˆ และ kˆ ตามลําดับ ดังรูป 2.1 ก. ค่าอนุพันธ์เชิงปริมาตร จะแสดงได้ เป็น dv = dxdydx (2.1) ปริมาตรจะประกอบด้วย‡nµ° œ»¡ ´œ›rš¸Éผิวปิดล้อมหกด้าน ทุก ๆ ด้านของผิวจะมี เวกเตอร์บ่งทิศพุ่งออกมาĜœª˜´ÊŠŒµ„„´Ÿ·ª—´Šœ´Êœ‡nµ°œ»¡ ´œ›r…°Š¡ ºÊœŸ·ªÄœš·«…°ŠÁª„Á˜° ¦ r ª„®œ¹ÉŠ®œnª¥—´Š¦ ¼žš¸É2.1 ข. จะเป็น xsd  = dydziˆ ysd  = dxdzjˆ (2.2) zsd  = dxdykˆ ค่าอนุพันธ์ส่วนของความยาว จาก P ไป Q เป็น ld  = dzkdyjdxi ˆˆˆ  (2.3)
  • 2.
    22 ก. ข. ¦ ¼žš¸É2.1ค่าอนุพันธ์ในระบบพิกัดฉาก ก. อนุพันธ์ของปริมาตร ข. ¡ ºÊœŸ·ª…°Šž¦ ·¤µ˜¦ 2.1.2 ระบบพิกัดทรงกระบอก จาก¦ ¼žš¸É2.2 ค่าอนุพันธ์ของปริมาตรทรงกระบอกš¸É™¼„¨ o° ¤¦ ° —oª ¥ ¡ ºÊœŸ·ª š¸É ,,  d  d, , z และ dzz  ตามแกน ˆ , ˆ , และ kˆ ตามลําดับ ค่าอนุพันธ์ Á·Šž¦ ·¤µ˜¦ š¸É™¼„ปิดล้อม เป็น dv = dzdd  (2.4) ‡nµ°œ»¡ ´œ›rÁ·ŠŸ·ªÄœš·«šµŠª„®œ¹ÉŠ®œnª¥‹³ÁžÈœ sd  =  ˆdzd sd  =  ˆdzd (2.5) zsd  = kdzd ˆ ค่าอนุพันธ์ความยาวของเวกเตอร์ จาก P ไป Q เป็น ld  = kdzdd ˆˆˆ   (2.6) zˆ yˆ xˆ kˆ yˆ xˆ
  • 3.
    23 kˆ ˆ ˆ ก. ข. ¦ ¼žš¸É2.2ค่าอนุพันธ์ในระบบพิกัดทรงกระบอก ก. อนุพันธ์ปริมาตร ข. ผิวของปริมาตร 2.1.3 ระบบพิกัดทรงกลม ค่าอนุพันธ์ของปริมาตรในระบบพิกัดทรงกลมเกิดจากค่าอนุพันธ์ของ r ,  และ  เป็น dr , d และ d ตามลําดับ ¦ ¼žš¸É2.3 ค่าอนุพันธ์ในระบบพิกัดทรงกลม ก. อนุพันธ์ปริมาตร ข. ผิวของปริมาตร ก. ข rˆ ˆ ˆ
  • 4.
    24 )(xf a b )( ixf ix c x ค่าอนุพันธ์ส่วนของปริมาตรเป็น dv =  dddrr sin2 (2.7) ‡nµ°œ»¡ ´œ›rÁ·Š¡ ºÊœŸ·ªÄœš·«šµŠ…°Šª„Áª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥—´Š¦ ¼žš¸É2.3 เป็น rsd  = rddr ˆsin2  sd  =  ˆsin drdr (2.8) zsd  =  ˆrdrd ค่าอนุพันธ์ความยาวของเวกเตอร์ จาก P ไป Q เป็น ld  =  ˆsinˆˆ drrdrdr  (2.9) 2.2 อนทกรัลิ ิ ตามเส้น ตามผว และตามปรมาตริ ิ 2.2.1 อินทิกรัลตามเส้น Á¤ºÉ° )(xf ÁžÈœ¢ Š„r´œ˜n° ÁœºÉ° Šั และเป็นฟงก์ชันค่าเดียวของั x จาก ax  ถึง bx  แสดงดัง¦ ¼žš¸É2.4 ค่าอินทิกรัลตามเส้นของ )(xf หาได้โดยการแบ่งช่วงจาก a ถึง b ออกเป็นส่วนย่อย ๆ n ส่วน และส่วนย่อย ๆš¸ÉnŠœ¸Ê¤¸ค่าน้อยเข้าใกล้ศูนย์ ¦ ¼žš¸É2.4 ­ —Š¢Š„r´œ˜n°ÁœºÉ°ŠÂ¨ ³ÁžÈœ¢ั ังก์ชันค่าเดียว อินทิกรัลตามเส้นจะแสดงในเทอมของขีดจํากัดของผลรวม เป็น  b a dxxf )( =    n i ii x n xf i 10 lim (2.10) Á¤ºÉ° if เป็นค่าของฟงก์ชัั น )(xf ของส่วนย่อย ix Á¤ºÉ° ix มีค่าน้อยมากจนเข้า ใกล้ศูนย์ ( 0 ix )
  • 5.
    25 ir  ii lr   il   a b c O ค่าอินทิกรัลตามเส้นของเส้นโค้ง cในปริภูมิ 3 มิติ ดัง¦ ¼žš¸É2.5Á¦ ·É¤‹µ„¡ ·‹µ¦ –µ สเกลาร์ฟงก์ชันั f และหาค่าอินทิกรัลตามเส้น จาก a ไป b ตามเส้น c โดยแบ่งระยะ ระหว่าง a ไป b ออกเป็นส่วนย่อย ๆ n ส่วน และส่วนย่อย ๆ มีค่าน้อย ๆ เข้าใกล้ศูนย์ ให้ ­ nªœ¥n°¥š¸ÉnŠœ¸ÊÁžÈœž¦ ·¤µ–Áª„Á˜°¦ r…°Š‡ªµ¤¥µª เวกเตอร์บอกตําแหน่งของส่วนย่อยลําดับ š¸Éi แสดงได้ดัง¦ ¼žš¸É2.5 อินทิรัลตามเส้นของ f ตามเส้น c จะเป็น ค่าขีดจํากัดของ ผลรวม จะเขียนสมการได้เป็น ¦ ¼žš¸É2.5 อนุพันธ์ตามเส้นของส่วนของความยาวตามวิถี c ในปริภูมิ c lfd  =    n n ii l n lf i 10 lim   (2.11) Á¤ºÉ°if เป็นค่าของสเกลาร์ฟงก์ชันั ของ f ในส่วนย่อยของความยาว il   และจาก สมการ (2.11) ผลลัพธ์ของการอินทิกรัลเป็นปริมาณเวกเตอร์ สเกลาร์อินทิกรัลตามเส้นของ สนามเวกเตอร์ F  ตามวิถี c จะเป็น   c ldF  =    n n ii l n lF i 10 lim   (2.12) วิถีของการอินทิกรัลรอบเส้นทางปิดหรืออินทิกรัลครบรอบ จะเขียนแทนด้วย สัญลักษณ์ 
  • 6.
    26 isnˆ is 2.2.2 อินทิกรัลตามผิว ค่าอินทิกรัลตามผิวของสนามสเกลาร์ fหรือสนามเวกเตอร์ F  จะหาค่าจากการแบ่ง ¡ ºÊœš¸ÉŸ·ªs ° °„ÁžÈœ¡ ºÊœš¸É¥n° ¥Ç‹Îµœªœ¤µ„ÇÁžÈœn ส่วน¨ ³¤¸¡ ºÊœš¸É¥n° ¥¤¸‡nµÁ…oµÄ„¨ o«¼œ¥r š»„Ç­ nªœ¥n°¥…°Š¡ ºÊœš¸É is และมีเวกเตอร์ของผิวเป็น is   ดัง¦ ¼žš¸É2.6 ¦ ¼žš¸É2.6 ส่วนย่อยของอนุพันธ์เชิงผิว ค่าอินทิกรัลตามผิวของ f หาโดยการคูณ f กับทุก ๆ ส่วนย่อยและรวมš´ÊŠ®¤—เข้า ด้วยกัน Á¤ºÉ° 0s  และจํานวนของ n อินทิกรัลตามผิวของ f œ¡ ºÊœŸ·ªs เป็น s sfd  =    n n ii s n sf i 10 lim  (2.13) Á¤ºÉ°if เป็นค่าของสเกลาร์ฟงก์ชันั f บนส่วนย่อยของผิว is   ทํานองเดียวกัน สเกลาร์อินทิกรัลตามผิวของ สนามเวกเตอร์ F  เป็น   s sdF  =    n n ii l n sF i 10 lim   (2.14) เวกเตอร์อินทิกรัลตามผิวของ สนามเวกเตอร์ F  บนส่วนย่อยของผิว is     s sdF  =    n n ii l n sF i 10 lim   (2.15)
  • 7.
    27 y x z a srd  sd  ตัวอยาง่ 2.2 จงแสดงว่าอินทิกรัล¦° ¡ ºÊœŸ·ª ž·—…° Šš¦ Š„¨ ¤¦ ´«¤¸a มีค่าเป็นศูนย์ (  0sd  ) วธีทําิ Áª„Á˜°¦ r¡ »nŠ°°„Ĝœª˜´Êงฉากกับผิวทรงกลม‹³ÁžÈœš·«…°ŠÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥˜µ¤ แนวรัศมี rˆ ดัง¦ ¼žš¸É2.7 ¦ ¼žš¸É2.7 ทรงกลมรัศมี a Áª„Á˜°¦ r¡ »nŠ°°„Ĝœª˜´ÊŠŒµ„„´Ÿ·ª ¡ ºÊœŸ·ªÄœ¡ ·„´—š¦ Š„¨ ¤ s sd  =      0 2 0 2 sinˆ ddar Á¤ºÉ° rˆ = kji ˆcosˆsinsinˆcossin   แทนค่า s sd  =              0 2 0 0 2 0 0 2 0 22222 )cossin(ˆ)sinsin(ˆ)cossin(ˆ ddakddajddai = 0 ตอบ 2.2.3 อินทิกรัลตามปริมาตร อินทิกรัลปริมาตร หาได้โดยการแบ่งปริมาตรออกเป็นส่วนย่อย ๆ จํานวน n ส่วน ­ nªœš¸ÉnŠœ¸ÊÁ¤ºÉ° 0v และ n ดัง¦ ¼žš¸É2.18 สเกลาร์อินทิกรัลปริมาตร นิยามว่า
  • 8.
    28 iv dff  =‡µ‡Šš¸É่ f = ‡µ‡Šš¸É่ Q Nˆ P lˆ  ld  เป็นผลคูณของของทุก ๆ ปริมาตรย่อย กับสนามสเกลาร์ f ¨ ³¦ ª¤Ÿ¨ ‡¼–š¸ÉÅ—oš´ÊŠ®¤—˜¨ อด ปริมาตร จะแสดงสมการได้เป็น v fdv =    n i ii v n vf i 10 lim (2.16) ทํานองเดียวกัน อินทิกรัลปริมาตรของสนามเวกเตอร์ F  เป็น   v dvF  =    n i ii v n vF i 10 lim  (2.17) ¦ ¼žš¸É2.8 แสดงอนุพันธ์ส่วนย่อยของปริมาตร 2.3 เกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟังก์ชัน Á¤ºÉ° ),,( zyxf เป็นฟงก์ชันของั x , y และ z แสดงดัง¦ ¼žš¸É2.9 ค่าการ Áž¨ ¸É¥œÂž¨ ŠÁ·Šอนุพันธ์ของ f จากจุด P ไป Q จะเขียนได้เป็น ¦ ¼žš¸É2.9 ภาพสเกตอธิบายเกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟงก์ชันั
  • 9.
    29 df = dz z f dy y f dx x f         (2.18) =]ˆˆˆ[ˆˆˆ kdzjdyidxk dz f j dy f i dx f            จาก ค่าเชิงอนุพันธ์ของส่วนย่อยของความยาว ld  = kdzjdyidx ˆˆˆ  ค่า„µ¦ Áž¨ ¸É¥œÂž¨ ŠÁ·Šอนุพันธ์จากจุด P ไป Q ในสมการ (2.18) จะเขียนใหม่ ได้เป็น df = ldk z f j y f i x f                ˆˆˆ (2.19) หรือ dl df = dl ld k z f j y f i x f                ˆˆˆ dl df = lN ˆ  dl df = lnN ˆˆ  (2.20) Á¤ºÉ° dl ld l  ˆ เป็นเวกÁ˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥‹µ„P ไป Q มีทิศทางตามทิศของ ld  และ N  = k z f j y f i x f ˆˆˆ         (2.21) จากสมการ (2.21) ‹³Å—oªnµ° ´˜¦ µ…°Š„µ¦ Áž¨ ¸É¥œของฟงก์ชันั f ‹³¤¸‡nµ­ ¼Š­ »—Á¤ºÉ°lˆ และ N  อยู่ในแนวเดียวกัน จะนิยามได้ว่า max)( dl df = N (2.22) ให้ฟงก์ชันั f บนผิวš¸ÉŸnµœจุด P มีค่า‡Šš¸É¨ ³ฟงก์ชันั dff  บนŸ·ªš¸ÉŸnµœQ มี‡nµ‡Šš¸Éด้วยÁ¤ºÉ° อัตราส่วน dl df เป็นค่าสูงสุด ระยะทาง dl จาก P ถึง Q จะมีค่า˜ÎÉาสุด หรือกล่าวได้ว่า dl df ‹³¤¸‡nµ­ ¼Š­ »—Á¤ºÉ°lˆ ˜´ÊŠŒµ„„´Ÿ·ª…°Š¢Š„r´œั ),,( zyxf ÁžÈœ‡nµ‡Šš¸É ‹µ„„¦ –¸œ¸Êสามารถบอกได้ว่า N  ‹³˜´ÊŠŒµ„„´¡ ºÊœŸ·ª ของฟงก์ชันั ),,( zyxf ÁžÈœ‡nµ‡Šš¸É —´Šœ´Êœ‡nµ…°Š N  จะเป็นค่าเกรเดียนต์ (gradient) ของ ),,( zyxf หรือ กล่าวได้ว่า เกรเดีย นต์ของฟงก์ชันั f ‹³ÁžÈœÁª„Á˜°¦ rš¸É¤¸…œµ—Ášnµ„´‡nµ°œ»¡ ´œ›rÁ·Šš·«šµŠ­ ¼Š­ »—–‹»—œ´ÊœÂ¨ ³ มีทิศš¸ÉšÎµÄ®o‡nµ°œ»¡ ´œ›rÁ·Šš·« ทางมีค่าสูงสุด เกรเดียนต์ของ ),,( zyxf จะเขียนได้ เป็น f  Á¤ºÉ°   เป็นตัวดําเนินการ (operator) เรียกว่า เดล (del) เป็น ตัวดําเนินการเกรเดียนต์
  • 10.
    30 เกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟังก์ชัน ),,( zyxfจากสมการ (2.21) จะเป็น f  = k z f j y f i x f ˆˆˆ         (2.23) ตัวดําเนินการเกรเดียนต์ ในระบบพิกัดฉาก จะเป็น   = k z j y i x ˆˆˆ         (2.24) ค่าอนุพันธ์ของสเกลาร์ฟงก์ชันในเทอมั ของเกรเดียนต์ของฟงก์ชัน จาก สมการั (2.19) เป็น df = ldf   หรือ dl df = lf ˆ  (2.25) สมการ (2.25) จะเป็น° ´˜¦ µ„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ…° Š­ Á„¨ µ¦ r¢Š„r´œั f ในทิศทางของเวกเตอร์ ®œ¹ÉŠ®œnª¥lˆ เรียกค่าœ¸Êªnµอนุพันธ์บ่งทิศของ f ตามทิศ lˆ ­ ¦ »ž­ ¤´˜·…°ŠÁ„¦ Á—¸¥œ˜r…°Š­ Á„¨ µ¦ r¢Š„r´œš¸É‹»—Ä—ÇÅ—o—´Šœ¸Êั 1. ‹³¤¸š·«šµŠ˜´ÊŠŒµ„„´Ÿ·ªÁ¤ºÉ°¢Š„r´œš¸É„ε®œ—Ä®o¤¸‡nµ‡Šš¸Éั 2. ‹»—Äœš·«šµŠŽ¹ÉŠ¢Š„r´œš¸É„ε®œ—Ä®oÁž¨ ¸É¥œ˜ÎµÂ®œnŠ°¥nµŠ¦ ª—Á¦ Ȫั 3. ขนาดของ° ´˜¦ µ„µ¦ Áž¨ ¸É¥œÂž¨ Š…° Š¢ Š„r´œš¸É„ε®œ—Ä®o˜n° ®œnª ¥¦ ³¥³šµŠั มี ค่าสูงสุด 4. ค่า°œ»¡ ´œ›rnŠš·«…°Š¢Š„r´œš¸É‹»—ั ในทิศทางใด ๆ จะมีค่าเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของ เกรเดียนต์ของฟงั „r´œ„´Áª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥Äœš·«šµŠœ´ÊœÇ ตัวดําเนินการเกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟงก์ชันั ในระบบพิกัดทรงกระบอก เป็น f  = k z fff ˆˆ1 ˆ             (2.26) และ ตัวดําเนินการเกรเดียนต์ ในระบบพิกัดทรงกลม เป็น f  =     ˆ sin 1ˆ1 ˆ         f r f r r f (2.27)
  • 11.
    31 iˆ iˆ ตัวอยาง่ 2.3 จงหาค่าเกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์),,( zyxf = z eyx 23 32  š¸É‹»— )0,2,1(P วธีทําิ เกรเดียนต์ในระบบพิกัดฉากของ ),,( zyxf f  = keyx z jeyx y ieyx x zzz ˆ]23[ˆ]23[ˆ]23[ 323232          = kejyxixy z ˆ2ˆ9ˆ6 223  šœ‡nµš¸É‹»— )0,2,1(P ค่าเกรเดียนต์ของ ),,( zyxf เป็น f  = kji ˆˆ36ˆ48  ตอบ 2.4 ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์ ก่อนจะนิยามไดเวอร์เจนซ์ (divergence) ของสนา¤Áª„Á˜°¦ r‹³Á¦ ·É¤‹µ„¡ ·‹µ¦ –µ‡nµ สนาม สเกลาร์ f š¸É‹»—P ในรูปของสนามเวกเตอร์ F  Á¤ºÉ° f =    sv sdF v 1 lim 0 (2.28) ถ้า P ÁžÈœ‹»—š¸Éถูกปิดล้อมด้วยปริมาตร v และห่อหุ้มด้วยผิว s แม้ว่า v จะมีรูปร่าง อย่างไรก็ตาม Á¦ ·É¤‹µ„­ ¦ oµŠ¦ ¼žž¦ ·¤µ˜¦ š¦ Š­ ¸ÉÁ®¨ ¸É¥¤—oµœ…œµœ¤¸‹»—P อยู่ภายใน มีด้านเป็น yx  , และ z —´Š¦ ¼žš¸É2.10Á¡ ºÉ° š¸É‹³®µ‡nµ…°Š­ ¤„µ¦ (2.29) และสังเกตว่าปริมาณ sdF   จะแสดงการไหลออกของสนามเวกเตอร์ F  Ÿnµœ¡ ºÊœŸ·ªsd  Äœš·«šµŠ˜´ÊŠŒµ„„´Ÿ·ª ds š¸Éž·—¨ o°¤ž¦ ·¤µ˜¦ —´Šœ´Êœ  sdF  จะได้ฟลักซ์สุทธิของสนามเวกเตอร์ F  š¸ÉÅ®¨ Ÿnµœ ปริมาตร v อย่างไรก็ตามการไหลออกของสนามเวกเตอร์ F  ‹³Ÿnµœ¡ ºÊœŸ·ªÄœš·«šµŠ+ x ¦ ¼žš¸É2.10 แสดงอนุพันธ์เชิงปริมาตรในระบบพิกัดฉาก
  • 12.
    32 ใช้การกระจายของอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor’s series)¨ ³˜´—Áš°¤š¸É¤¸° ´œ—´­ ¼ŠÇš·ÊŠ‹³Å—o zy x x F F x x           2 การไหลออกของสนามเวกเตอร์ F  ผ่านผิวในทิศทางตามแกน - x เป็น - zy x x F F x x           2 —´Šœ´Êœการไหลออกสุทธิของสนามเวกเตอร์ F  ŸnµœŸ·ªš´ÊŠ­ °ŠÄœš·«ทางของแกน x จะเป็น zyx x Fx    = v x Fx    (2.29) šÎµœ°ŠÁ—¸¥ª„´œ­ µ¤µ¦ ™š¸É‹³Â­ —Šการไหลออกสุทธิของ สนามเวกเตอร์ F  š¸ÉŸnµœŸ·ª ในทิศทาง ของแกน y และ z การไหลออกสุทธิของสนามเวกเตอร์ F  ŸnµœŸ·ªš´ÊŠ®¤—š¸Éž·— ล้อมปริมาตร v ‹³Å—o­ ¤„µ¦ —´Šœ¸Ê   s AdF  = v z F y F x F zyx               (2.30) เปรียบเทียบสมการ ( 2.28) และ สมการ (2.30) จะได้ f = z F y F x F zyx         (2.31) สมการ (2.31) จะแสดงในเทอมของตัวดําเนินการ   ได้เป็น f = kFjFiF z k y j x i zyx ˆˆˆ[ˆˆˆ               ] f = F   (2.32) ค่าของ F   เรียกว่า ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์ F  (divergence of a vector field F  ) ¨ ³Ÿ¨ ¨ ´¡ ›rš¸ÉÅ—oจะเป็น สเกลาร์ และ สมการ ( 2.32 ) จะเป็นนิยามของไดเวอร์ เจนซ์ของสนามเวกเตอร์ ¨ ³¤¸‡nµÁšnµ„´‡nµ¨ ·¤·˜…°Š° ·œš·„¦ ´¨ Á·Š¡ ºÊœŸ·ª…°ŠÁª„Á˜°¦ r˜n°®œnª¥ ปริมาตร เ¤ºÉ°ž¦ ·¤µ˜¦ š¸É®»o¤—oª¥¡ ºÊœŸ·ªœ´Êœ¤¸…œµ—Á…oµÄ„¨ o«¼œ¥r —´Šœ´Êœ ไดเวอร์เจนซ์ของ สนามเวกเตอร์ในระบบพิกัดฉาก เป็น F   = z F y F x F zyx         (2.33) จากสมการ(2.33) แสดงว่าจุด P š¸É° ¥¼n£µ¥Äœž¦ ·¤µ˜¦ Ä—Çจะหาค่าได้จากการไหล ออกสุทธิของสนามเวกเตอร์โดยการหาค่าไดเวอร์เจนซ์š¸É‹»—œ´Êœš¸É‹»—Ä—Ç การไหลออกสุทธิจะมี ค่าเป็นบวก¨ ³‹³ÁžÈœ¨ Á¤ºÉ°ไหลเข้า ™oµ­ œµ¤Áª„Á˜°¦ r˜n°ÁœºÉ°ŠÁnœการไหลของแบบไม่อัด ตัวของของไหลผ่านท่อ หรือเส้นแรงแม่เหล็กรอบ ๆ แท่งแม่เหล็ก จะเห็นว่าไม่มีการไหลออก …° Š­ œµ¤—´Šœ´Êœ F   = 0 และค่าของ F  Á¦ ¸¥„ªnµÁžÈœ­ œµ¤Áª„Á˜° ¦ r˜n° ÁœºÉ° Š (continuous vector field)
  • 13.
    33 ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์ในระบบพิกัดทรงกระบอก และพิกัดทรงกลม จะแสดง ได้—´Šœ¸Ê F  = ][][ 1 ][ 1 zF z FF             (2.34) และ F   = ][ sin 1 ][sin sin 1 ][ 1 2 2     F r F r Fr rr r         (2.35) ตัวอยาง่ 2.4 จงพิสูจน์ว่า 3 r  Á¤ºÉ° r  เป็นเวกเตอร์บอกตําแหน่งของจุด P ใด ๆ ใน ปริภูมิ วธีทําิ เวกเตอร์บอกตําแหน่งของจุด P ใด ๆ ในระบบพิกัดฉาก เป็น r  = kzjyix ˆˆˆ  ไดเวอร์เจนซ์ ของเวกเตอร์ r  เป็น r   = )()()( z z y y x x         = 1+1+1 r   = 3 ตอบ 2.4.1 ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ จากนิยามของไดเวอร์เจนซ์เวกเตอร์ สมการ (2.28) และ สมการ (2.33) จะใช้กับจุดš¸Éถูกปิดล้อมด้วยปริมาตรเล็ก ๆ v ถ้าสนามเวกเตอร์ F  หาค่าอนุพันธ์ได้ ˜n°ÁœºÉ°ŠÄœž¦ ·¤µ˜¦ v š¸Éห่อหุ้มด้วยผิว s ดัง¦ ¼žš¸É2.11 นิยามของไดเวอร์เจนซ์ สามารถจะ …¥µ¥Åž‡¦ °‡¨ »¤ž¦ ·¤µ˜¦ š´ÊŠ®¤—โดยแบ่งปริมาตร v ออกเป็นปริมาตรเล็ก ๆ n ส่วน(เซล) และมีค่าเข้าสู่ศูนย์ สําหรับปริมาตรย่อยš¸É iv š¸Éž·—¨ o°¤‹»—iP และห่อหุ้มด้วยผิว is ค่าได เวอร์เจนซ์ ของ F  š¸É‹»—iP เป็น
  • 14.
    34 ¦ ¼žš¸É2.11 ปริมาตรถูกแบ่งออกเป็นปริมาตรย่อย iF  =    ii s i v sdF v 1 lim 0 (2.36) Á¤ºÉ°iF  เป็นค่าของสนามเวกเตอร์ F  š¸É‹»—iP จะสมการจะเขียนสมการใหม่ได้เป็น   is sdF  = iiii vvF    (2.37) Á¤ºÉ°เทอม ii v ÁžÈœ‡nµš¸É„ε®œ—…¹Êœ­ 宦 ´‹»—š¸É™¼„ž·—¨ o°¤—oª¥ž¦ ·¤µ˜¦ Á¨ È„Ç 0 iv —´Šœ´Êœ 0i Á¤ºÉ° 0 iv Á¤ºÉ°รว¤ž¦ ·¤µ˜¦ Á¨ È„Çš´ÊŠ®¤—‹³Å—o    n i An i sdF 1 lim  =     n i ii n i n ii n vvF 11 limlim   (2.38) ­ ´ŠÁ„˜ªnµ‡nµ° ·œš·„¦ ´¨ Ÿ·ªš¸É¦ °¥˜n°¦ ³®ªnµŠÁŽ¨ £µ¥Äœv จะเป็นศูนย์ ในขณ³š¸É¢¨ ´„Žr ­ »š›·š¸É°°„‹µ„ÁŽ¨ ®œ¹ÉŠและÁ…oµ­ ¼n° ¸„ÁŽ¨ ®œ¹ÉŠจะหักล้างกันหมด—´Šœ´Êœ‹³¤¸Áš°¤š¸ÉŤnÁžÈœ«¼œ¥r จะเป็นเซลš¸Éอยู่รอบนอก สอดคล้องกับผิว s —´Šœ´ÊœÁš°¤—oµœŽoµ¥¤º°‹³Å—o    n i sn i sdF 1 lim  =   s sdF  Á¤ºÉ°‹Îµœªœ…°ŠÁŽ¨ Á¡ ·É¤…¹ÊœÁš°¤Â¦ „—oµœ…ªµ¤º°…°Šสมการ จะได้    n i ii n vF 1 lim  =   v dvF  Áš° ¤š¸É­ ° Š—oµœ…ª µ¤º° …° Š­ ¤„µ¦ ‹³­ ´¤¡ ´œ›r„´Ÿ¨ …° Šž¦ ·¤µ–œo° ¥Ç¨ ³ÁžÈœ«¼œ¥rÁ¤ºÉ° n —´Šœ´Êœ‹³­ µ¤µ¦ ™Á…¸¥œ­ ¤„µ¦ Å—oÁžÈœ   v dvF  =   s sdF  (2.39) สมการ (2.39) จะเป็นนิยามทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ จะได้ ความสัมพันธ์ของการอินทิกรัลปริมาตร ของไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์ กับอินทิกรัลผิว ขององค์ประ„° ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„ของผิว ®¦ º°„¨ nµªÅ—oªnµ­ 宦 ´­ œµ¤Áª„Á˜° ¦ rš¸É®µ° œ»¡ ´œ›rÅ—o ˜n° ÁœºÉ° Š¢ ¨ ´„Žr­ »š›·‹³Å®¨ ° ° „‹µ„Ÿ·ªž·—‹³Ášnµ„´° ·œš·„รัลของไดเวอร์เจนซ์š´Êงหมดตลอด ¦ ·Áª–š¸Éž·—¨ o°¤Ã—¥Ÿ·ª
  • 15.
    35 ( yxx ,) ( yyxx  , ) ( yyx , )( yx, ) 1c 2c 3c 4c kˆ P s ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์จะถูกใช้ในทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟา้ ×¥ÁŒ¡ µ³„µ¦ Áž¨ ¸É¥œ° ·œš· กรัลรอบผิวปิดเป็นอินทิกรัลเชิงปริมาตร 2.5 เคร์ลของสนามเวกเตอร์ิ อินทิกรัลเชิงเส้นของสนามเวกเตอร์ F  รอบวิถีปิด เรียกว่า การหมุนวนของ F  มีค่า เท่ากับ เคิร์ลของ F  ™oµ¡ ·‹µ¦ –µ¡ ºÊœŸ·ªÁ¨ È„Ç nsˆ ถูกล้อมรอบด้วยวิถีปิด c จะหาค่า องค์ประกอบของเคิร์ลš¸Éขนานกับผิวในแนว˜´ÊŠŒµ„nˆ Á¤ºÉ° 0s ได้เป็น nFcurl ˆ)(   =    cA ldF s 1 lim 0 (2.40) จากนิยาม เคิร์ลของสนามเวกเตอร์ เป็นปริมาณเวกเตอร์ ทิศทางของวิถี c หาได้ โดยใช้กฎมือขวา สมการ (2.40 ) จะเป็นนิยามของเคิร์ล F  ในระบบใด ๆ ของระบบแกน ˜´ÊŠŒµ„ โดยจะÁ¦ ·É¤พิจารณา ของเคิร์ล F  ในระบบพิกัดฉาก ขององค์ประกอบตามแนวแกน z ให้สนามเวกเตอร์ F  เป็น F  = kFjFiF zyx ˆˆˆ  š¸É‹»—P ภายในผิวเล็ก ๆ s š¸Éž·—¨ o°¤—oª¥ª ·™¸ c —´Š¦ ¼žš¸É2.12 ¦ ¼žš¸É2.12¡ ºÊœŸ·ª¥n°¥Â­ —ŠÁ‡·¦ r¨ …°Š­ œµ¤Áª„Á˜°¦ r ค่าอินทิกรัลตามเส้นของ F  ไปตามเส้นปิดของ c Ž¹ÉŠž¦ ³„° —oª¥Á­ oœŽ¹ÉŠÂnŠÁžÈœ 4 ส่วน จะเป็น   c ldF  =   1c ldF  +   2c ldF  +   3c ldF  +   4c ldF  ®µ‡nµ° ·œš·„¦ ´¨ š´ÊŠ4 ส่วน Á¦ ·É¤‹µ„
  • 16.
    36 อินทิกรัลตามเส้น 1c เป็น   1c ldF  =   xx x yzyx idxkFjFiF ]ˆ[]ˆˆˆ[ = yx xF ][  Á¤ºÉ° xFx  ‹³ ®µ‡nµš¸Éy สมมติว่าค่าองค์ประกอบ xF ¤¸‡nµ‡Šš¸Éจาก x ถึง xx  การและ×¥ž¦ ³¤µ–‡nµœ´Êœจะ¤¸‡ª µ¤­ ° —‡¨ o° Š„´‡nµÁŒ¨ ¸É¥˜µ¤š§¬‘¸ทํานอง เดียวกันสําหรับองค์ประกอบ ° ºÉœ…°ŠF  อินทิกรัลตามเส้นตาม 2c เป็น   2c ldF  =     yy y xxzyx jdykFjFiF ]ˆ[]ˆˆˆ[ = xxy yF  ][ อินทิกรัลตามเส้นตาม 3c เป็น   3c ldF  =     x xx yyzyx idxkFjFiF ]ˆ[]ˆˆˆ[ = yyx xF  ][ อินทิกรัลตามเส้นตาม 4c เป็น   4c ldF  =    y yy xzyx jdykFjFiF ]ˆ[]ˆˆˆ[ = - xy yF ][  —´Šœ´Êœ   c ldF  = yx xF ][  - xxy yF  ][ + yyx xF  ][ - xy yF ][  Á¤ºÉ° 0x และ 0y จะได้ yyx xF  ][ - yx xF ][  = yx y Fx    ץčo°œ»„¦ ¤ÁšÁ¨ °¦ r„¦ ³‹µ¥Â¨ ³˜´—Áš°¤š¸É„ε¨ ´Š­ ¼Š xxy yF  ][ - xy yF ][  = yx x Fy    —´Šœ´Êน   c ldF  = yx y F x F xy            ®µ¦ š´ÊŠ­ °Š—oµœ…°Š­ ¤„µ¦ —oª¥ yxs  และให้ 0s จะได้     00 1 lim cs ldF s  = y F x F xy      (2.41) ÁœºÉ° Š‹µ„ kn ˆˆ  —´Šœ´Êœ‹³ Á…¸¥œ kFcurl ˆ)(   เป็น zFcurl )(  Á¤ºÉ° zFcurl )(  แสดง องค์ประกอบ ตามแกน z ของ Fcurl 
  • 17.
    37 zFcurl )(  = y F x F xy      (2.42) องค์ประกอบš¸ÉÁ®¨º° อีก 2 ด้านของ Fcurl  ®µÅ—ošÎµœ°ŠÁ—¸¥ª„´œŽ¹ÉŠ¡ ·‹µ¦ –µ¡ ºÊœŸ·ª…œµ— Á¨ ȄǤ¸š·«˜´ÊŠŒµ„„´¦ ³œµ˜µ¤ÂœªÂ„œx และ y จะได้ xFcurl )(  = z F y F yz      yFcurl )(  = x F z F zx      เคิร์ลของสนามเวกเตอร์ F  หรือ Fcurl  ในระบบพิกัดฉาก เป็น Fcurl  = i z F y F yz ˆ           + j x F z F yx ˆ           + k y F x F xy ˆ            (2.43) ในเทอมของผลคูณเชิงเวกเตอร์ จะเขียนสมการ (2.43) เป็น Fcurl  = ]ˆˆˆ[ˆˆˆ ky FkFjFi z k y j x i                Fcurl  = F   (2.44) —´Šœ´Êœ‹³Á…¸¥œ Fcurl  ในรูปของ F   ระบบพิกัดฉาก F   = zyx FFF zyx kji       ˆˆˆ (2.45) ระบบพิกัดทรงกระบอก F   = zFFF z k            ˆˆˆ 1 (2.46) ระบบพิกัดทรงกลม F   = zr FrFF r rrr r           ˆsinˆˆ sin 1 22 (2.47)
  • 18.
    38 จะได้ว่า องค์ประกอบของ curlF  ( F   ) Äœš·«šµŠ…°ŠÁª„Á˜°¦ r®œ¹ÉŠ®œnª¥nˆ จะ เท่ากับลิมิตของอินทิกรัลเชิงเส้น บนเส้นทางš¸Éž·—¨ o°¤¡ ºÊœŸ·ª˜n°¡ ºÊœš¸É…°ŠŸ·ªœ´Êœเคิร์ลของสนาม เวกเตอร์จะแทนค่าการหมุนวน¦ ° ¡ ºÊœš¸Éต่°®œnª¥¡ ºÊœš¸É…° Š­ œµ¤Áª„Á˜° ¦ r¦ ° ¡ ºÊœš¸É…° Šš»„ๆ รูปทรง และ ¤¸š·«˜´ÊŠŒµ„„´¦ ³œµ…°ŠŸ·ªหรือจะได้ว่า ถ้าอินทิกรัลตามเส้นของสนามเวกเตอร์ รอบผิวปิด ใด ๆ ไม่เป็นศูนย์ และเคิร์ลสนามเวกเตอร์ŤnÁžÈœ«¼œ¥r­ œµ¤Áª„Á˜°¦ rœ´Êœ‹³Å¤nÁžÈœ สนามอนุรักษ์ และถ้าเคิร์ลสนามเวกเตอร์œ´ÊœÁžÈœ«¼œ¥r­ œµ¤Áª„Á˜°¦ rœ´Êœจะเป็นสนามอนุรักษ์ ตัวอยาง่ 2.5 ถ้า ),,( zyxf เป็นสเกลาร์ฟงก์ชันหาค่าอนุพันธ์ได้ั °¥nµŠ˜n°ÁœºÉ°Šจงแสดงว่า 0)(  f  วธีทําิ เกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟงก์ชันั ),,( zyxf จากสมการ f  = k z f j y f i x f ˆˆˆ         เคิร์ลของ f  เป็น f  = z f y f x f zyx kji             ˆˆˆ = k xy f yx f j zx f xz f i yz f zy f ˆˆˆ 222222                                  Á¤ºÉ°f หาค่าอนุพันธ์ได้˜n°ÁœºÉ°Š yz f zy f      22 , zx f xz f      22 และ xy f yx f      22 —´Šœ´Êœ 0)(  f  ตอบ
  • 19.
    39 2.5.1 ทฤษฎีบทของสโตกส์ จากนิยามของ F  ของสมการ ( 2.44 ) จะหาความสัมพันธ์ ตามทฤษฎีบทของส โตกส์ (stokes’ theorem) สําหรับบริเวณจํากัด ของ¡ ºÊœš¸ÉŸ·ªÁž·—s š¸É™¼„¨ o°¤¦ °—oª¥Á­ oœž·— c ดัง¦ ¼žš¸É2.13 Á¦ ·É¤‹µ„nŠ¡ ºÊœš¸ÉŸ·ª s °°„ÁžÈœ¡ ºÊœš¸É¥n°¥Çn ส่วน (เซล) ส่วนของเซล š¸Éi ¤¸¡ ºÊœš¸É is มีทิศĜœª˜´ÊŠŒµ„„´Ÿ·ªinˆ และ¡ ºÊœš¸Éœ¸Êถูกล้อมรอบด้วยด้วยเส้นปิด ic ครอบคลุมจุด iP ¦ ¼žš¸É2.13 ผิวเปิด s š¸É™¼„¨ o°¤¦ °—oª¥Á­ oœž·—c จากสมการ (2.43) จะสามารถเขียนได้   is isdF  )( =   ic ldF  + ii s Á¤ºÉ°Áš°¤ ii s ÁžÈœÁš°¤š¸Éบวกเข้าไปสมการ จะเป็นจริงเฉพาะสําหรับจุดÄœ…¸—‹Îµ„´—Á¤ºÉ° n , 0i ¨ ³¦ ª¤¡ ºÊœš¸É¥n°¥Çš´ÊŠ®¤—‹³Å—o    n i s i i sdF 1 )(  =      n i c n i ii i sldF 1 1   (2.48) Á¤ºÉ° n ด้านซ้ายของสมการ ( 2.48) จะได้    n i s i n i sdF 1 )(lim  =   s sdF  )( (2.49) Á¤ºÉ° ° ·œทิกรัลบนผิว s ล้อมรอบด้วยเส้น c และÁš° ¤š¸É­ °Š—oµœ…ªµ¤º°…°Š­ ¤„µ¦ (2.48)‹³¤¸‡nµÁ…oµ­ ¼n«¼œ¥rÁ¤ºÉอ n ค่าอินทิกรัลตามÁ­ oœ…°Š¡ ºÊœš¸Éš¸É°¥¼n˜·—„´œ‹³®´„¨ oµŠ„´œ หมด เพราะว่าเวกเตอร์ความยาวมีทิศทางตรงกันข้าม จะมีค่าเฉพาะอินทิเกรตบนเส้นล้อมรอบ c สมการ จะเป็น
  • 20.
    40    n i cn i ldF 1 lim  =  c ldF  จากสมการ (2.49) จะได้   s sdF  )( =   c ldF  (2.50) สมการ (2.50) เป็นทฤษฎีบทของสโตกส์ กล่าวได้ว่า อินทิกรัลขององค์ประกอบในแนว ˜´ÊŠŒµ„…°Šเคิร์ล …°Š­ œµ¤Áª„Á˜°¦ rœ¡ ºÊœŸ·ªÁšnµ„´° ·œš·„¦ ´¨ ˜µ¤Á­ oœ…°Š­ œµ¤Áª„Á˜°¦ r˜µ¤ Á­ oœÃ‡oŠš¸É¨ o°¤¦ °¡ ºÊœš¸É 2.5.2 ตัวดําเนินการลาปลาเซียน ˜´ª —εÁœ·œ„µ¦ š¸É° ¥¼nÄœ¦ ¼ž…° Š­ ¤„µ¦ เชิงอนุพันธ์อันดับ 2 จะนํามาใช้กับปญหาั Á„¸É¥ªข้องกับสนามไฟฟ้า เรียกว่า ตัวดําเนินการลาปลาเซียน สัญลักษณ์ จะเป็น 2  และ นิยามว่าเป็นไดเวอร์เจนซ์ของเกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟงก์ชันั ถ้า ),,( zyxf เป็นฟงก์ชันั สเกลาร์หาค่า° œ»¡ ´œ›rÅ—o˜n° ÁœºÉ° Š¨ µžµÁ¸É¥œของ ),,( zyxf เป็น f2  = )( f  (2.51) ไดเวอร์เจนซ์ ของฟงก์ชันั สเกลาร์ f ในระบบพิกัดฉาก จะเขียนได้เป็น )( f  =                             z f k y f j x f i z k y j x i ˆˆˆˆˆˆ จะได้ f2  = )( f  = 2 2 2 2 2 2 z f y f x f         (2.52) จาก สมการ (2.50) จะได้ลาปลาเซียนของสเกลาร์ฟงก์ชันั ÁžÈœ­ Á„¨ µ¦ r° ´œ®œ¹ÉŠš¸É สัมพันธ์กับค่าเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับ 2 ของฟงก์ชันั พิกัดทรงกลมและพิกัดทรงกระบอก จาก „µ¦ Áž¨ ¸É¥œ¡ ·„´—‹³Å—o ลาปลาซเซียนของ สเกลาร์ฟงก์ชันในพิกัดทรงกระบอก ได้เป็นั f2  = 2 2 2 2 2 11 z fff                   (2.53) „µ¦ Áž¨ ¸É¥œÂž¨ ŠšÎµœ° ŠÁ—¸¥ª „´œ‹µ„¦ ³¡ ·„´—Œµ„เป็นพิกัดทรงกระบอก จะได้ ลาปลาซเซียนของ สเกลาร์ในพิกัดทรงกระบอกเป็น f2  = 2 2 222 2 2 sin 1 sin sin 11                          f r f rr f r rr (2.54)
  • 21.
    41 สเกลาร์ฟงก์ชันั จะเป็นฟงก์ชันั ฮาร์มอนิก(harmonicfunction) ถ้าลาปลาซเซียนเป็น ศูนย์ จะได้ f2  = 0 (2.55) สมการ (2.55) เรียกว่า สมการของลาปลาซ (Laplace’s equation) ในการพิจารณา ค่าสนามไฟฟา จะเขียนได้เป็น้ F 2  Á¤ºÉ°F  เป็นสนามเวกเตอร์ ลาปลาเซียนของสนามเวกเตอร์ F  จะเขียนได้เป็น F 2  = )()( FF   (2.56) สมการ (2.56 ) ในระบบพิกัดฉาก จะเป็น F 2  = zyx FkFjFi 222 ˆˆˆ  (2.57) Á¤ºÉ° 2  = 2 2 2 2 2 2 zyx         (2.58) 2  เป็นตัวดําเนินการลาปลาเซียน และจะได้ว่าลาปลาเซียนของสนามเวกเตอร์เป็น ศูนย์ ถ้าลาปลาเซียนของเวกเตอร์องค์ประกอบเป็นศูนย์ ตัวอยาง่ 2.6 จงแสดงว่าสเกลาร์ฟงก์ชันั 0,/1  rrf เป็นผลเฉลยของสมการลาปลาซ Á¤ºÉ°r เป็นระยะทางจากจุดกําเนิด ( origin ) ถึงจุด P ในปริภูมิ วธีทําิ Á¤ºÉ°­ Á„¨ µ¦ r¢Š„r´œั rf /1 ÁžÈœŸ¨ ÁŒ¨ ¥…°Š­ ¤„µ¦ ¨ µž¨ µŽ—´Šœ´Êœ 02  f จากสมการลาปลาซ f2  =        r 12 =                 rr r rr 11 2 2 =                2 2 2 11 r r rr f2  = 0 ตอบ
  • 22.
    42 2.6 บทสรุป เกรเดียนต์ของสเกลาร์ฟงก์ชันั ÁžÈœ‡nµ°œ»¡´œ›rÁ·Šš·«šµŠ­ ¼Š­ »—–‹»—œ´Êœ f  = k z f j y f i x f ˆˆˆ         ไดเวอร์เจนซ์ของ สนามเวกเตอร์ ÁžÈœ‡nµ¨ ·¤·˜…°Š° ·œš·„¦ ´¨ Á·Š¡ ºÊœŸ·ª…°ŠÁª„Á˜°¦ rœ´Êœ ˜n°®œnª¥ž¦ ·¤µ˜¦ Á¤ºÉ°ž¦ ·¤µ˜¦ š¸É®»o¤—oª¥¡ ºÊœŸ·ªœ´Êœ¤¸…œµ—Á…oµÄ„¨ o«¼œ¥r F   =    sv sdF v 1 lim 0 ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ ฟลักซ์สุทธิจะไหลออกจากผิวปิดจะเท่ากับอินทิกรัลของได เวอร์เจนซ์š´ÊŠ®¤—˜¨ °—¦ ·Áª–š¸Éž·—¨ o°¤Ã—¥Ÿ·ª   v dvF  =   s sdF  Á‡·¦ r¨ …°Š­ œµ¤Áª„Á˜°¦ rÁžÈœ‡nµ¨ ·¤·˜…°Š° ·œš·„¦ ´¨ Á·ŠÁ­ oœœÁ­ oœš¸Éž·—¨ o°¤¡ ºÊœŸ·ª˜n° ¡ ºÊœš¸É…°ŠŸ·ªœ´Êœ nFcurl ˆ)(   =    cA ldF s 1 lim 0 ทฤษฎีบทของสโตกส์ ° ·œš·„¦ ´¨ …°Š°Š‡rž¦ ³„°ÄœÂœª˜´ÊŠŒµ„…°ŠÁ‡·¦ r¨ …°Š­ œµ¤ Áª„Á˜°¦ rœ¡ ºÊœŸ·ªÁšnµ„´° ·œš·„¦ ´¨ ˜µ¤Á­ oœ…°Š­ œµ¤Áª„Á˜°¦ r˜µ¤Á­ oœÃ‡oŠš¸É¨ o°¤¦ °¡ ºÊœš¸É   s sdF  )( =   c ldF 
  • 23.
    43 2.7 คําถามท้ายบท 1. ‹ŠÄo¡·„´—š¦ Š„¦ ³°„®µ¡ ºÊœš¸É…°Š„¦ µ¥˜¦ Šรัศมี a สูง h )2( ah 2. จงหาค่า   sdr  œ¡ ºÊœš¸ÉŸ·ª ž·—¦ ¼ž¨ ¼„µ«„rÁ¤ºÉ° 10,11  yx และ 10  z Á¤ºÉ°r  เป็นเวกเตอร์บอกตําแหน่งš¸É‹»—ėǝœŸ·ª…°Š¨ ¼„µ«„r )3( 3. จงใช้นิยามของเวกเตอร์บอกตําแหน่ง r  ในระบบพิกัดทรงกระบอกและพิกัดทรงกลม แสดงว่า rr ˆ 4. ถ้า F  = kxzjyzxixy ˆˆ3ˆ 32  จงหา F   š¸É‹»— )2,1,1( P 5. ให้ F  = )(ˆ)(ˆ)(ˆ 222 xyzkzxyjyzxi  ก. จงหา F   ข. จงหา F   6. จงแสดงว่าไดเวอร์เจนซ์ของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ มีค่าเป็นศูนย์ 0)(  F  7. จงใช้ทฤษฎีบทขอŠ­ Ø„­ rœŸ·ª…° Š‡¦ ¹ÉŠš¦ Š„¨ ¤(hemisphere) ถ้าสนามเวกเตอร์ เป็น  ˆsin10ˆcos10  rF  8. จากนิยามของไดเวอร์เจนซ์ จงแสดงค่าไดเวอร์เจนซ์ของ สนามเวกเตอร์ F  ในพิกัด ทรงกระบอก 9. ถ้า r  เป็นเวกเตอร์จากจากจุดออริจินไปยังจุด ),,( zyx จงพิสูจน์ว่า ก. r   = 3 ข. r   = 0 ค. ra  )(  = a  Á¤ºÉ°a  เป็นปริมาณเวกเตอร์ใด ๆ 10. ถ้า A  เป็นเวกเตอร์มี‡nµ‡Šš¸É‹ŠÂ­ —Šªnµ )( rA   = A  11. ถ้า r เป็นขนาดของเวกเตอร์จากจุดออริจิน ไปยังจุด ),,( zyx และ )(rf เป็น ฟงก์ชันของั r จงพิสูจน์ว่า ก. )(rf  = dr df r r  ข. ])([ rrf   = 0 12. จงพิสูจน์ว่า )(rF   = dr Fd r r   13. ถ้า  = rA   จงพิสูจน์ว่า )( =   d d A 