1. BÀI 1
W a
F
é ù
ê ê j
¥
v
ú
ú
êë e x d
û
ú

2. Đại Số Tuyến Tính å §1: Ma Trận
Định nghĩa: Ma trận cỡ mxn trên R là một bảng
gồm m.n số thực được viết thành m hàng và n cột
như sau:
a a a
a a a
é ê 11 12 1
ù
ú
= ê 21 22 2
ú ê ú
ê êë a a a
ú
1 2
úû
...
...
A
... ... ... ...
...
n
n
m m mn
Kí hiệu: A = [aij]mxn
Tập hợp tất cả các ma trận cỡ mxn trên R được ký
hiệu là Mmxn(R)

3. Đại Số Tuyến Tính å
a a a a
a a a a
é ê 11 12 1 j 1
n
ù
ú
ê 21 22 2 j 2
n
ú
ê ú
ê ê a a a a
ú
i 1 i 2
ij in
ú
ê ú
ê ú
êë a a a a
1 2
úû
... ...
... ...
... ... ... ... ... ...
... ...
... ... ... ... ... ...
... ...
m m mj mn
Hàng thứ nhất
a11 a22 a33 … gọi là đường
chéo chính (m = n)
Hàng thứ i
Cột thứ 2 Cột thứ j
aij: Phần tử nằm ở hàng i cột j
aij
mxn: gọi là cấp của ma trận
§1: Ma Trận

4. Đại Số Tuyến Tính å §1: Ma Trận
Ví dụ:
1 0 2
3 1.5 5
A
é ù
= ê ú
ë- û
2 8 6
2 9 0
0 7 2
B
é - ù
= ê ú ê ú
2x3 êë - - úû
3x3
21 đường chéo chính a

5. Đại Số Tuyến Tính å §1: Ma Trận
* Khi m = n (số hàng = số cột) ta nói A là ma trận
vuông cấp n.
Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký
hiệu Mn.
Ví dụ:
0 7 8
1 3
é ù
é ù ê ê- ú ; 4 - 2 0
ú ë 2 7
û ê ú ê ë 5 0 2
û
ú Ma trận vuông cấp 2
Ma trận vuông cấp 3

6. Đại Số Tuyến Tính å §1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
1. Ma trận không: aij = 0,"i, j.
(tất cả các phần tử đều = 0)
Ví dụ:
0 0 0
0 0 0
O é ù
= ê ú
ë û

7. Tính å
§1: Ma Trận
Tuyến Đại Số Các ma trận đặc biệt:
2. Ma trận chéo: là ma trận vuông có:
aij = 0,"i ¹ j.
(các phần tử ngoài đường chéo chính = 0)
Ví dụ:
2 0 0
0 4 0
0 0 9
é ù
ê ú
ê ú
êë úû
é ê 11
ù
ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
0 ... 0
0 ... 0
22
... ... ... ...
0 0 ... nn
a
a
a

8. Đại Số Tuyến Tính å §1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
3. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có:
aii =1,"i =1, 2,..., n.
Ký hiệu: I, In.
Ví dụ:
2 3
1 0 ... 0
1 0 0
1 0 0 1 ... 0
, 0 1 0 ,
0 1 .. .. ... ..
0 0 1
0 0 ... 1
n I I I
é ù
é ù ê ú é ù ê ú ê ú = ê ú = ê ú = ë û ê ú êë úû ê ú
ë û

9. Đại Số Tuyến Tính å §1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
4. Ma trận tam giác: là ma trận vuông có
aij = 0,"i > j.
(tam giác trên)
0, . ij a = "i < j (tam giác dưới)
Ví dụ: 1 2 5 4
é ù
ê ê 0 3 - 1 0
ú ú
ê 0 0 2 6
ú
ê ë 0 0 0 9
ú
û
2 0 0 0
7 1 0 0
0 8 2 0
2 9 1 5
é ù
ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û
MT tam giác trên MT tam giác dưới

10. Đại Số Tuyến Tính å §1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
5. Ma trận cột:là ma trận có n=1.
Ma trận cột có dạng:
a
a
é ê 11
ù
ú
ê 21
ú
ê ..
ú
ê a
ú
ë m
1
û

11. Tính å
§1: Ma Trận
Tuyến Đại Số Các ma trận đặc biệt:
6. Ma trận hàng: là ma trận có m=1.
Ma trận hàng có dạng:
[ ] 11 12 1 ... n a a a

12. Tính å
§1: Ma Trận
Tuyến Đại Số Các ma trận đặc biệt:
7. Ma trận bằng nhau:
= éë ùû = éë ùû = Û ij = ij " m n m n
A a b B a b i j
8. Ma trận chuyển vị: cho ma trận A=[aij]mxn,
ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu AT
và xác định AT=[bij]nxm với bij=aji với mọi
i,j. (chuyển hàng thành cột)
ij ij , , .
´ ´

13. Đại Số Tuyến Tính å
§1: Ma Trận
Dạng của ma trận chuyển vị:
a a a a a a
a a a a a a
é ê 11 12 1 n ù é 11 21 m
1
ù
ú ê ú
= ê 21 22 2 n ú ® T = ê 12 22 m
2
ú ê ú ê ú
ê ú ê ú
êë úû êë úû
A A
a a a a a a
m 1 m 2 mn m n 1 n 2
n nm n m
Ví dụ:
... ...
... ...
.. .. ... .. .. .. ... ..
... ...
´ ´
2 3
3 2
1 6
1 2 5
2 7
6 7 9
´ 5 9
´
é ù
é ù ê ú = ê ú ® = ê ú ë û ê ú ë û
A AT

14. Đại Số Tuyến Tính å §1: Ma Trận
* Khi A = AT thì A được gọi là ma trận đối xứng.
Ví dụ:
1 2 3
2 0 5
3 5 1
é ù
= = ê ú ê ú
êë - úû
A AT

15. Đại Số Tuyến Tính å §1: Ma Trận
* Khi A = -AT thì A được gọi là ma trận phản đối
xứng.
Ví dụ:
é 0 1 4 ù é 0 - 1 - 4
ù
= ê- 1 0 - 3 ú ® T
= ê 1 0 3
ú ê ú ê ú
êë- 4 3 0 úû êë 4 - 3 0
úû
= -
A A
T
A A

16. Đại Số Tuyến Tính å §1: Ma Trận
Các phép toán trên ma trận:
1. Phép cộng hai ma trận:
éë a + b = a + b
ij ùû éë ùû éë ùû m ´ n ij m ´ n ij ij m ´
n (cộng theo từng vị trí tương ứng)
Ví dụ:
0
1 2 3
3 5 2 4
4 2 1 5
1+ 0=11
2+3=55
é ù é ù é ù
ê- ú ê ú ê ú ê ú + ê - ú = ê -1 1
ú
êë - úû êë úû êë 5 3
úû

17. Đại Số Tuyến Tính å
§1: Ma Trận
Các tính chất: Giả sử A,B,C,O là các ma
trận cùng cấp, khi đó:
i )
A + B = B +
A
ii )
A + O = A + O =
A
iii ) A + ( B + C ) = ( A + B )
+
C

18. Đại Số Tuyến Tính å §1: Ma Trận
Các phép toán trên ma trận:
2. Phép nhân một số với một ma trận:
l éë a ùû = éë l . a , l Î R.
ij ùû m ´ n ij m ´
n (các phần tử của ma trận đều được nhân cho l )
Ví dụ:
3
é - 2
0
ù é ù
ê ê 7 4 5
ú ú = ê ú ê ú
êë 0 - 2 1
úû êë úû
2.3=66
2.(-2)=-4
-2
-0
14
2.0=0
8 10
0 -4 2

19. Tính å
§1: Ma Trận
Tuyến Đại Số Các tính chất: "a ,b ÎR,"A, B
là hai ma trận
cùng cấp, khi đó
i ) a ( A + B )
= a A +
a
B
ii ) ( a + b )
A = a A +
b
A
iii ) a ( b A ) =
( ab
)
A
iv ) 1
A =
A
Sinh viên tự kiểm tra.

20. Đại Số Tuyến Tính å §1: Ma Trận
 Chú ý:
A- B = A+ (-1)B
1 3 6 5 1 3 6 5
é ù é ù é ù é ù
ê ú - ê ú = ê + ( - 1)
ë 4 5 û ë 1 3 û ë 4 5 ú ê û ë 1 3
ú
û
é 1 3 ù é- 6 - 5 ù é- 5 - 2
ù
= ê + = ë 4 5 ú ê ú ê ú û ë- 1 - 3 û ë 3 2
û
 Nhận xét: trừ 2 ma trận là trừ theo vị trí tương ứng

21. Đại Số Tuyến Tính å §1: Ma Trận
Các phép toán trên ma trận:
3. Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận
m´ p ; p´n , A B
[ ] ´ ´ ´ = m p p n ij m n A B c
Khi đó ma trận gọi là tích của
hai ma trận A, B. Trong đó:
1 1 2 2 ... , 1, ; 1, . ij i j i j ip pj c = a b + a b + + a b "i = m j = n
i1 a i2 a ip a Hàng thứ i của ma trận A.
1 j b 2 j b pj b Cột thứ j của ma trận B.
ij c
Như vậy = hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng
với cột thứ j của ma trận B rồi cộng lại.

22. Tính å
§1: Ma Trận
Tuyến Đại Số Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:
3. 1
2
3 2 1 0
=3.2+2.0+1.(-1)=55
-1
3 2 1 1 2
0 1 4 3 0
2 3 0 4 1 ´ ´ ´
é ù é ù é ù
ê - ú ê .3
ú ê ú ê ú = ê ú ê ú
êë- úû êë - úû êë úû
3 3 3 2 3 2
+2 +1
.4
=1133
=
Chú ý: hàng 1 nhân cột 2 viết vào vị trí 12 c số cột của A= số hàng của B

23. Đại Số Tuyến Tính å
§1: Ma Trận
Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:
Cột 1
Hàng 2 =0.1+(-1).3+4.4=13
3 2 1 1 2 13 5
0 1 4 3 0
2 3 0 4 1 ´ ´ ´
é ù é ù é ù
ê ê - ú ê ú ê ú ú ê ú = ê ú
êë- úû êë - úû êë 7 -4
úû
3 3 3 2 3 2
Hàng 2
=0.2+1.0+4.(-1)=--44
Cột 2

24. Đại Số Tuyến Tính å
§1: Ma Trận
 Chú ý: Phép nhân 2 ma trận không giao hoán
1 4
5 2
é 3 - 1
ù
ê ú
ë 4 0
û
1 4
3 1
4
1 1
2 10
5 2 4
6
3
1
2
0
9
5
AB
BA
é - ù
ê ú
é ù
= ê ú =
ë û
é ù
= ê ú =
ë û
é -
ë -
ù
ê ú
ë
û
é- ù
ê ú
ë
û û
 Ví dụ:

25. Đại Số Tuyến Tính å
§1: Ma Trận
 Ví dụ:
1 5 7 1 0 0 1 5 7
8 4 2 0 1 0 8 4 2
3 1 0 0 0 1 3 1 0
é ù é ù é ù
= ê ú ê ú = ê ú = ê ú ê ú ê ú
êë úû êë úû êë úû
AI A
1 0 0 1 5 7 1 5 7
0 1 0 8 4 2 8 4 2
0 0 1 3 1 0 3 1 0
é ù é ù é ù
= ê ú ê ú = ê ú = ê ú ê ú ê ú
êë úû êë úû êë úû
IA A

26. Tính å
§1: Ma Trận
Tuyến Đại Số Các tính chất: Ta giả sử các ma trận có cấp
phù hợp để tồn tại ma trận tích
i A BC =
AB C
ii A B + C = AB +
AC
iii A + B C = AC +
BC
iv " k Î R k AB = kA B =
A kB
v AI = A IA =
A
) ( ) ( )
) ( )
) ( )
) , ( ) ( ) ( )
) ( )

27. Tính å
§1: Ma Trận
Tuyến Đại Số Các tính chất:
T T T
i ) ( A + B )
= A +
B
ii ) ( kA ) T = kA T
,
" k Î
R
iii ) ( AB )
T =
B T A
T
Sinh viên tự kiểm tra.

28. Tính å
§1: Ma Trận
Tuyến Đại Số Đa thức của ma trận :
Cho đa thức
0 1 ( ) n n ...
n n P x = a x + a x - + + a
và ma trận vuông
Khi đó:
A = [aij ]n
1
P ( A ) = a A n + a A n - 1
+ ...
+ a I
n 0 1 n n n I
(trong đó là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trận A)

29. Tính å
§1: Ma Trận
Tuyến Đại Số Ví dụ:
Cho 2
P2 (x) = x -3x + 5
và ma trận 1 2
A é ù
= ê ë 0 - 3
ú û
Khi đó: 2
P ( A ) = A - 3 A+ 5
I
2 2
2
1 2 1 2 1 0
é ù é ù é ù
= ê ú - 3 ê ú + 5
ê ú ë 0 - 3 û ë 0 - 3 û ë 0 1
û

30. Tính å §1: Ma Trận
Số Tuyến Đại é 3 5
ù
Ví dụ: Cho f (x) = x2 + 3x -5
và
A
= ê ë 1 4
ú
Tính û
f(A)?
 Ta
có:
2
2
f ( A ) = A + 3 A- 5
I
2
3 5 3 5 1 0
é ù é ù é ù
= ê ú + 3 1 4 ê 1 4 ú - 5
ê ú
ë û ë û ë 0 1
û
é 3 5 ù é 3 5 ù é 9 15 ù é- 5 0
ù
= ê + 1 4 ú ê 1 4 ú ê 3 12 ú - ê ë û ë û ë û ë 0 - 5
ú û
144424443
14 35 4 15 18 50
7 21 3 7 10 28
é ù é ù é ù
= ê ú + ê ú = ê ú
AA ë û ë û ë û

31. Đại Số Tuyến Tính å §1: Ma Trận
 Bài tập: Cho 2 0 0 2 0
é ù é ù
= ê - ú = ê - ú ê ú ê ú
êë - úû êë úû
A B
3 1 0 ; 1 3
4 2 5 4 5
 Tính AB; A2 ; AT A; AB -3B.

32. Đại Số Tuyến Tính å §1: Ma Trận
 Bài tập: Cho
và ma trận
Tính f(A) =?
f (x) = x2 + 3x - 4
1 2 3
0 3 4
0 0 2
A
é ù
= ê ú ê ú
êë úû