Đề thi tuyển sinh vào 10 - môn toán tỉnh Hải Dương - 2012-2013tieuhocvn .info
Để tải đề thi này nhanh nhất, miễn phí , đơn giản hãy vào | http://thiviolympic.com | Đề thi tuyển sinh vào 10 Ngữ văn Hải Phòng 2013 - 2014 De thi tuyen sinh vao
10 toan - hai duong - 12-13
Đề thi tuyển sinh vào 10 - môn toán tỉnh Hải Dương - 2012-2013
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 trường chuyên nguyễn trãi- Hải Dươngdiemthic3
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 trường chuyên nguyễn trãi- Hải Dương. Xem thêm thông tin tuyển sinh vào 10 năm 2015 tại đây http://tin.tuyensinh247.com/vao-lop-10-c22.html
Đề thi tuyển sinh vào 10 - môn toán tỉnh Hải Dương - 2012-2013tieuhocvn .info
Để tải đề thi này nhanh nhất, miễn phí , đơn giản hãy vào | http://thiviolympic.com | Đề thi tuyển sinh vào 10 Ngữ văn Hải Phòng 2013 - 2014 De thi tuyen sinh vao
10 toan - hai duong - 12-13
Đề thi tuyển sinh vào 10 - môn toán tỉnh Hải Dương - 2012-2013
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 trường chuyên nguyễn trãi- Hải Dươngdiemthic3
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 trường chuyên nguyễn trãi- Hải Dương. Xem thêm thông tin tuyển sinh vào 10 năm 2015 tại đây http://tin.tuyensinh247.com/vao-lop-10-c22.html
Chuyên cung cấp dịch vụ và giải pháp VOIP, đầu số hotline 1800 và 1900 cho doanh nghiệp
TIME TRUE LIFE TECHNOLOGY JOINT STOCK COMPANY
Mr Long
Mobi: 0986883886 - 0905710588
Email: long.npb@ttlcorp.vn
Website: ttlcorp.vn
Chuyên cung cấp dịch vụ và giải pháp VOIP, đầu số hotline 1800 và 1900 cho doanh nghiệp
TIME TRUE LIFE TECHNOLOGY JOINT STOCK COMPANY
Mr Long
Mobi: 0986883886 - 0905710588
Email: long.npb@ttlcorp.vn
Website: ttlcorp.vn
GIÁO TRÌNH 2-TÀI LIỆU SỬA CHỮA BOARD MONO TỦ LẠNH MÁY GIẶT ĐIỀU HÒA.pdf
https://dienlanhbachkhoa.net.vn
Hotline/Zalo: 0338580000
Địa chỉ: Số 108 Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội
CÁC BIỆN PHÁP KỸ THUẬT AN TOÀN KHI XÃY RA HỎA HOẠN TRONG.pptxCNGTRC3
Cháy, nổ trong công nghiệp không chỉ gây ra thiệt hại về kinh tế, con người mà còn gây ra bất ổn, mất an ninh quốc gia và trật tự xã hội. Vì vậy phòng chông cháy nổ không chỉ là nhiệm vụ mà còn là trách nhiệm của cơ sở sản xuất, của mổi công dân và của toàn thể xã hội. Để hạn chế các vụ tai nạn do cháy, nổ xảy ra thì chúng ta cần phải đi tìm hiểu nguyên nhân gây ra các vụ cháy nố là như thế nào cũng như phải hiểu rõ các kiến thức cơ bản về nó từ đó chúng ta mới đi tìm ra được các biện pháp hữu hiệu nhất để phòng chống và sử lý sự cố cháy nổ.
Mục tiêu:
- Nêu rõ các nguy cơ xảy ra cháy, nổ trong công nghiệp và đời sống; nguyên nhân và các biện pháp đề phòng phòng;
- Sử dụng được vật liệu và phương tiện vào việc phòng cháy, chữa cháy;
- Thực hiện được việc cấp cứa khẩn cấp khi tai nạn xảy ra;
- Rèn luyện tính kỷ luật, kiên trì, cẩn thận, nghiêm túc, chủ động và tích cực sáng tạo trong học tập.
Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ
:
https://www.facebook.com/garmentspace/
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
HOẶC
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
GIAO TRINH TRIET HOC MAC - LENIN (Quoc gia).pdfLngHu10
Chương 1
KHÁI LUẬN VỀ TRIẾT HỌC VÀ TRIẾT HỌC MÁC - LÊNIN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức: Trang bị cho sinh viên những tri thức cơ bản về triết học nói chung,
những điều kiện ra đời của triết học Mác - Lênin. Đồng thời, giúp sinh viên nhận thức được
thực chất cuộc cách mạng trong triết học do
C. Mác và Ph. Ăngghen thực hiện và các giai đoạn hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin;
vai trò của triết học Mác - Lênin trong đời sống xã hội và trong thời đại ngày nay.
2. Về kỹ năng: Giúp sinh viên biết vận dụng tri thức đã học làm cơ sở cho việc nhận
thức những nguyên lý cơ bản của triết học Mác - Lênin; biết đấu tranh chống lại những luận
điểm sai trái phủ nhận sự hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin.
3. Về tư tưởng: Giúp sinh viên củng cố niềm tin vào bản chất khoa học và cách mạng
của chủ nghĩa Mác - Lênin nói chung và triết học Mác - Lênin nói riêng.
B. NỘI DUNG
I- TRIẾT HỌC VÀ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TRIẾT HỌC
1. Khái lược về triết học
a) Nguồn gốc của triết học
Là một loại hình nhận thức đặc thù của con người, triết học ra đời ở cả phương Đông và
phương Tây gần như cùng một thời gian (khoảng từ thế kỷ VIII đến thế kỷ VI trước Công
nguyên) tại các trung tâm văn minh lớn của nhân loại thời cổ đại. Ý thức triết học xuất hiện
không ngẫu nhiên, mà có nguồn gốc thực tế từ tồn tại xã hội với một trình độ nhất định của
sự phát triển văn minh, văn hóa và khoa học. Con người, với kỳ vọng được đáp ứng nhu
cầu về nhận thức và hoạt động thực tiễn của mình đã sáng tạo ra những luận thuyết chung
nhất, có tính hệ thống, phản ánh thế giới xung quanh và thế giới của chính con người. Triết
học là dạng tri thức lý luận xuất hiện sớm nhất trong lịch sử các loại hình lý luận của nhân
loại.
Với tư cách là một hình thái ý thức xã hội, triết học có nguồn gốc nhận thức và nguồn
gốc xã hội.
* Nguồn gốc nhận thức
Nhận thức thế giới là một nhu cầu tự nhiên, khách quan của con người. Về mặt lịch
sử, tư duy huyền thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là loại hình triết lý đầu tiên mà con
người dùng để giải thích thế giới bí ẩn xung quanh. Người nguyên thủy kết nối những hiểu
biết rời rạc, mơ hồ, phi lôgích... của mình trong các quan niệm đầy xúc cảm và hoang
tưởng thành những huyền thoại để giải thích mọi hiện tượng. Đỉnh cao của tư duy huyền
thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là kho tàng những câu chuyện thần thoại và những tôn
9
giáo sơ khai như Tô tem giáo, Bái vật giáo, Saman giáo. Thời kỳ triết học ra đời cũng là
thời kỳ suy giảm và thu hẹp phạm vi của các loại hình tư duy huyền thoại và tôn giáo
nguyên thủy. Triết học chính là hình thức tư duy lý luận đầu tiên trong lịch sử tư tưởng
nhân loại thay thế được cho tư duy huyền thoại và tôn giáo.
Trong quá trình sống và cải biến thế giới, từng bước con người có kinh nghiệm và có
tri thức về thế giới. Ban đầu là những tri thức cụ thể, riêng lẻ, cảm tính. Cùng với sự tiến
bộ của sản xuất và đời sống, nhận thức của con người dần dần đạt đến trình độ cao hơn
trong việc giải thích thế giới một cách hệ thống
1. Chuyên đề phương trình lượng giác Giáo viên: Trần Thị Bích
Tuyền
CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNHLƯỢNG GIÁC
I. CÔNG THỨC
I. 1. Công thức lượng giác cơ bản
( )
2 2 2
2
2
2
1
sin os 1 1 tan , ( )
os 2
1
tan .cot 1, ( ) 1 cot ,
2 sin
a c a a a k k
c a
a a a k k a a k k
a
π
π
π
π π
+ = + = ≠ + ∈
= ≠ + ∈ + = ≠ ∈
¢
¢ ¢
I. 2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a. Cung đối: àvα α−
( ) ( )
( ) ( )
os os tan tan
sin sin cot cot
c cα α α α
α α α α
− = − = −
− = − − = −
b. Cung bù: àvα π α−
( ) ( )
( ) ( )
sin sin tan tan
os os cot cotc c
π α α π α α
π α α π α α
− = − = −
− = − − = −
c. Cung phụ: à
2
v
π
α α−
sin os tan cot
2 2
os sin cot tan
2 2
c
c
π π
α α α α
π π
α α α α
− = − = ÷ ÷
− = − = ÷ ÷
d. Cung hơn kém ( ): àvπ α α π+
( ) ( )
( ) ( )
sin sin tan tan
os os cot cotc c
α π α α π α
α π α α π α
+ = − + =
+ = − + =
Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tan và cot
I. 3. Công thức cộng
( )
( )
( )
( )
( )
( )
sin sin .cos cos .sin
sin sin .cos cos .sin
os cos .cos sin .sin
os cos .cos sin .sin
tan tan
tan
1 tan .tan
tan tan
tan
1 tan .tan
a b a b a b
a b a b a b
c a b a b a b
c a b a b a b
a b
a b
a b
a b
a b
a b
+ = −
− = +
+ = −
− = +
+
+ =
−
−
− =
+
Chú ý: sin bằng sin.cos , cos.sin ; cos bằng cos.cos , sin.sin giữa trừ ; tan bằng tan tổng chia
1 trừ tích tan.
I. 4. Công thức nhân đôi
Trang 1
2. Chuyên đề phương trình lượng giác Giáo viên: Trần Thị Bích
Tuyền
2 2 2 2
2
2tan
sin 2 2sin .cos os2 os sin 2cos 1 1 2sin tan 2
1 tan
a
a a a c a c a a a a a
a
= = − = − = − =
−
I. 5. Công thức hạ bậc
2 2 21 os2 1 os2 1 os2
sin os tan
2 2 1 os2
c a c a c a
a c a a
c a
− + −
= = =
+
I. 6. Công thức tính theo tan
2
t
α
=
2
2 2 2
2 1 2
sin cos tan ,
1 1 1 2 2
t t t a
a a a k k
t t t
π
π
−
= = = ≠ + ∈ ÷
+ + −
¢
I. 7. Công thức nhân ba
3
3 3
2
3tan tan
sin3 3sin 4sin os3 4cos 3cos tan3
1 3tan
a a
a a a c a a a a
a
−
= − = − =
−
I. 8. Công thức biến đổi tổng thành tích
( ) ( )
cos cos 2cos os cos cos 2sin sin
2 2 2 2
sin sin 2sin os sin sin 2 os sin
2 2 2 2
sin sin
tan tan , , tan tan , ,
cos .cos 2 cos .cos 2
a b a b a b a b
a b c a b
a b a b a b a b
a b c a b c
a b a b
a b a b k k a b a b k k
a b a b
π π
π π
+ − + −
+ = − = −
+ − + −
+ = − =
+ −
+ = ≠ + ∈ − = ≠ + ∈ ÷ ÷
¢ ¢
I. 9. Công thức biến đổi tích thành tổng
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
cos .cos os os
2
1
sin .sin os os
2
1
sin .cos sin sin
2
a b c a b c a b
a b c a b c a b
a b a b a b
= − + +
= − − +
= − + +
I. 10. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
Cung ( )0
0 0 0
30
6
π
÷
0
45
4
π
÷
0
60
3
π
÷
0
90
2
π
÷
0 2
120
3
π
÷
0 3
135
4
π
÷
0 5
150
6
π
÷
( )0
180 π
sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−
2
2
−
3
2
− 1−
tan 0
1
3
1 3 ║ 3− 1−
1
3
− 0
cot ║ 3 1
1
3
0
1
3
− 1− 3− ║
Chú ý:
• sin
2
n
α = với 0 0 0 0 0
0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 90α = ứng với n =0; 1; 2; 3; 4.
Trang 2
3. Chuyên đề phương trình lượng giác Giáo viên: Trần Thị Bích
Tuyền
• Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại:
0
0
a
180
α
π
=
I. 11. Đường tròn lượng giác
7π
4
5π
4
3π
4
π
4
2π
3π
2
π
2
0
π
-1
-1
1
1O
sin
cos
Trang 3
4. Chuyên đề phương trình lượng giác Giáo viên: Trần Thị Bích
Tuyền
II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
II. 1. Phương trình lượng giác cơ bản:
II.1.1. Phương trình sin x a=
1a⊕ > : Phương trình vô nghiệm
1a⊕ ≤
• ( )
2
sin sin
2
x k
x k
x k
α π
α
π α π
= +
= ⇔ ∈ = − +
¢
• ( )
0 0
0
0 0 0
360
sin sin
180 360
x k
x k
x k
β
β
β
= +
= ⇔ ∈
= − +
¢
• ( )
sin 2
sin
sin 2
x arc a k
x a k
x arc a k
π
π π
= +
= ⇔ ∈ = − +
¢
Tổng quát: ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
2
sin sin
2
f x g x k
f x g x k
f x g x k
π
π π
= +
= ⇔ ∈
= − +
¢
* Các trường hợp đặc biệt
( )
( )
( )
sin 1 2
2
sin 1 2
2
sin 0
x x k k
x x k k
x x k k
π
π
π
π
π
⊕ = ⇔ = + ∈
⊕ = − ⇔ = − + ∈
⊕ = ⇔ = ∈
¢
¢
¢
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
)sin sin
12
a x
π
= 0
)sin 2 sin36b x = −
1
)sin3
2
c x =
2
)sin
3
d x =
Giải
( )
2 2
12 12
)sin sin
1112
2 2
12 12
x k x k
a x k
x k x k
π π
π π
π
π π
π π π
= + = +
= ⇔ ⇔ ∈
= − + = +
¢
( )
( )
( )
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0 0
0 0
0 0
2 36 360 2 36 360
)sin 2 sin36 sin 2 sin 36
2 180 36 360 2 216 360
18 180
108 180
x k x k
b x x
x k x k
x k
k
x k
= − + = − +
= − ⇔ = − ⇔ ⇔
= − − + = +
= − +
⇔ ∈
= +
¢
( )
2
3 2
1 6 18 3
)sin3 sin3 sin
5 5 22 6
3 2
6 18 3
x k x k
c x x k
x k x k
π π π
π
π
π π π
π
= + = +
= ⇔ = ⇔ ⇔ ∈
= + = +
¢
Trang 4
5. Chuyên đề phương trình lượng giác Giáo viên: Trần Thị Bích
Tuyền
( )
2
arcsin 2
2 3
)sin
23
arcsin 2
3
x k
d x k
x k
π
π π
= +
= ⇔ ∈
= − +
¢
II.1.2. Phương trình cos x a=
1a⊕ > : Phương trình vô nghiệm
1a⊕ ≤
• ( )os os 2c x c x k kα α π= ⇔ = ± + ∈¢
• ( )0 0 0
os os 360c x c x k kβ β= ⇔ = ± + ∈¢
• ( )os os 2c x a x arcc a k kπ= ⇔ = ± + ∈¢
Tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )os os 2c f x c g x f x g x k kπ= ⇔ = ± + ∈¢
* Các trường hợp đặc biệt
( )
( )
( )
os 1 2
os 1 2
os 0
2
c x x k k
c x x k k
c x x k k
π
π π
π
π
⊕ = ⇔ = ∈
⊕ = − ⇔ = + ∈
⊕ = ⇔ = + ∈
¢
¢
¢
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
)cos os
4
a x c
π
= ( )0 2
)cos 45
2
b x + =
2
) os4
2
c c x = − ;
3
)cos
4
d x =
Giải
( ))cos os 2
4 4
a x c x k k
π π
π= ⇔ = ± + ∈¢
( ) ( ) ( )
0 0 0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
45 45 360 45 3602
)cos 45 cos 45 os45
2 45 45 360 90 360
x k x k
b x x c k
x k x k
+ = + = +
+ = ⇔ + = ⇔ ⇔ ∈
+ = − + = − +
¢
( )
2 3 3 3
) os4 os4 os 4 2 ,
2 4 4 16 2
c c x c x c x k x k k
π π π π
π= − ⇔ = ⇔ = ± + ⇔ = ± + ∈¢
3 3
)cos arccos 2 ,
4 4
d x x k kπ= ⇔ = ± + ∈¢
II.1.3. Phương trình tan x a=
( )
( )
( )
0 0 0
tan t an =
tan t an = 180
tan =arctan
x x k k
x x k k
x a x a k k
α α π
β β
π
⊕ = ⇔ + ∈
⊕ = ⇔ + ∈
⊕ = ⇔ + ∈
¢
¢
¢
Tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tan tanf x g x f x g x k kπ= ⇔ = + ∈¢
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
)tan tan
3
a x
π
=
1
)tan 4
3
b x = − ( )0
) tan 4 20 3c x − =
Giải
Trang 5
6. Chuyên đề phương trình lượng giác Giáo viên: Trần Thị Bích
Tuyền
( ))tan tan ,
3 3
a x x k k
π π
π= ⇔ = + ∈¢
( )
1 1 1 1
)tan 4 4 arctan arctan ,
3 3 4 3 4
b x x k x k k
π
π
= − ⇔ = − + ⇔ = − + ∈ ÷ ÷
¢
( ) ( )
( )
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0
) tan 4 20 3 tan 4 20 tan 60 4 20 60 180 4 80 180
20 45 ,
c x x x k x k
x k k
− = ⇔ − = ⇔ − = + ⇔ = +
⇔ = + ∈¢
II.1.4. Phương trình cot x a=
( )
( )
( )
0 0 0
cot cot x = +k
cot cot x = +k180
cot x =arccot +k
x k
x k
x a a k
α α π
β β
π
⊕ = ⇔ ∈
⊕ = ⇔ ∈
⊕ = ⇔ ∈
¢
¢
¢
Tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ot otc f x c g x f x g x k kπ= ⇔ = + ∈¢
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
3
)cot3 cot
7
a x
π
= )cot 4 3b x = −
1
)cot 2
6 3
c x
π
− = ÷
Giải
( )
3 3
)cot3 cot 3 ,
7 7 7 3
a x x k x k k
π π π π
π= ⇔ = + ⇔ = + ∈¢
( ) ( ) ( )
1
)cot 4 3 4 arctan 3 arctan 3 ,
4 4
b x x k x k k
π
π= − ⇔ = − + ⇔ = − + ∈¢
( )
1
)cot 2 cot 2 cot 2 2 ,
6 6 6 6 6 3 6 23
c x x x k x k x k k
π π π π π π π π
π π
− = ⇔ − = ⇔ − = + ⇔ = + ⇔ = + ∈ ÷ ÷
¢
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1) ( ) ( )sin 2 1 sin 3 1x x− = + 2) cos cos 2
4 2
x x
π π
− = + ÷ ÷
3) ( )tan 2 3 tan
3
x
π
+ =
4) ( )0 3
cot 45
3
x− = 5) =
3
sin2
2
x 6) ( ) −
+ =0 2
cos 2 25
2
x
7) =sin3 sinx x 8) ( )+ = −cot 4 2 3x 9) ( )+ =0 3
tan 15
3
x
10) ( )0
sin 8 60 sin 2 0x x+ + = 11) ( )0
cos cos 2 30
2
x
x= − − 12) sin cos2 0x x− =
13) tan cot 2
4
x x
π
= − ÷
14) =sin2 cos3x x 15)
π
− = ÷
2
sin cos2
3
x x
16) = −sin4 cosx x 17) = −sin5 sin2x x 18) =2 2
sin 2 sin 3x x
19) ( )+ + =tan 3 2 cot 2 0x x 20) + =sin4 cos5 0x x 21) + =2sin 2sin2 0x x
22) + =2 2
sin 2 cos 3 1x x 23) =sin5 .cos3 sin6 .cos2x x x x
24) − =2
cos 2sin 0
2
x
x 25) ( )π
π
+ − = ÷
tan 3 cot 5 1
2
x x 26) =tan5 .tan3 1x x
Trang 6
7. Chuyên đề phương trình lượng giác Giáo viên: Trần Thị Bích
Tuyền
27)
π
= ÷
2
sin cos
4 2
x 28) ( )tan sin 1 1
4
x
π
+ =
Bài 2: Tìm ;
2 2
x
π π−
∈ ÷
sao cho: ( )+ =tan 3 2 3x .
Bài 3: Tìm ( )0;3x π∈ sao cho:sin 2cos 0
3 6
x x
π π
− + + = ÷ ÷
.
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: Giải các phương trình sau:
18)
( )π
− +
= ⇔ = ⇔ = − ⇔ = −2 2 1 cos4 1 cos6
sin 2 sin 3 cos4 cos6 cos4 cos 6
2 2
.....
x x
x x x x x x
22)
− +
+ = ⇔ + = ⇔ =2 2 1 cos4 1 cos6
sin 2 cos 3 1 1 cos4 cos6
2 2
.....
x x
x x x x
23)
( ) ( )= ⇔ + = + ⇔ =
1 1
sin5 .cos3 sin6 .cos2 sin2 sin8 sin4 sin8 sin2 sin4
2 2
....
x x x x x x x x x x
24)
( )− = ⇔ − − = ⇔ =2 1
cos 2sin 0 cos 1 cos 0 cos
2 2
....
x
x x x x
25) ( ) ( )π
π
+ − = ÷
tan 3 cot 5 1 25
2
x x
Vì
π
+ = ÷
tan 3 0
2
x hoặc ( )π− =cot 5 0x không là nghiệm của pt (25) nên ta có:
( )
( )
( )π π π
π π
π
+ − = ⇔ + = ⇔ + = − ÷ ÷ ÷
−
1
tan 3 cot 5 1 tan 3 tan 3 tan 5
2 2 2cot 5
...
x x x x x
x
26) ( )=tan5 .tan3 1 26x x
Vì =tan5 0x hoặc =tan3 0x không là nghiệm của pt (26) nên ta có:
π
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = − ÷
1
tan5 .tan3 1 tan5 tan5 cot3 tan5 tan 3
tan3 2
....
x x x x x x x
x
Trang 7
8. Chuyên đề phương trình lượng giác Giáo viên: Trần Thị Bích
Tuyền
II.2. Một số phương trình lượng giác thường gặp:
II.2.1. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
II.2.1.1. Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
0at b+ = t trong đó a,b là các hằng số ( )0a ≠ và t là một trong các hàm số lượng giác.
Ví dụ:
1
2sin 1 0; os2 0; 3tan 1 0; 3 cot 1 0
2
x c x x x− = + = − = + =
II.2.1.2. Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
Giải
( )
2
1 6
) 2sin 1 0 sin sin sin
52 6
2
6
x k
a x x x k
x k
π
π
π
π
π
= +
− = ⇔ = ⇔ = ⇔ ∈
= +
¢
( ) ( )
1 1 2 2
) os2 0 os2 os2 cos 2 2
2 2 3 3 3
b c x c x c x x k k x k k
π π π
π π
−
+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± + ∈ ⇔ = ± + ∈¢ ¢
( )
1 1
) 3tan 1 0 tan arctan
3 3
c x x x k kπ− = ⇔ = ⇔ = + ∈£
( )
1 2 2
) 3 cot 1 0 cot cot cot
3 33
d x x x x k k
π π
π
−
+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ∈¢
II.2.1.3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
Ví dụ: Giải phương trình sau: 2cos sin 2 0x x− =
Giải
( )
( )
cos sin 2 0 cos 2sin cos 0 cos 1 2sin 0
2
cos 0
cos 0
,1
1 2sin 0 6sin
2 5
6
x x x x x x x
x k
x
x
x l k l
x x
x l
π
π
π
π
π
π
− = ⇔ − = ⇔ − =
= +
=
= ⇔ ⇔ ⇔ = + ∈ − = =
= +
¢
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
29) 2cos 3 0x − = 30) 3 tan3 3 0x − =
II.2.2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Trang 8
9. Chuyên đề phương trình lượng giác Giáo viên: Trần Thị Bích
Tuyền
II.2.2.1. Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
2
0at bt c+ + = , trong đó a, b, c là các hằng số ( )0a ≠ và t là một trong các hàm số lượng giác.
Ví dụ:
a) 2
2sin sin 3 0x x+ − = là phương trình bậc hai đối với sin x .
b) 2
3 1 0cos x cosx+ − = là phương trình bậc hai đối với os2c x .
c) 2
2tan tan 3 0x x− − = là phương trình bậc hai đối với tan x .
d) 2
3cot 3 2 3 cot3 3 0x x− + = là phương trình bậc hai đối với cot 3x .
II.2.2.2. Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai
theo t giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện 1 1t− ≤ ≤ nếu đặt t bằng sin hoặc
cos).
Giải
2
) 2sin sin 3 0(1)a x x+ − =
Đặt sint x= , điều kiện 1t ≤ . Phương trình (1) trở thành:
( )
( )
2
1 ân
2 3 0 3
2
t nh
t t
t loai
=
+ − = ⇔
=
Với t=1, ta được ( )sin 1 2x x k kπ= ⇔ = ∈¢
( )2
) 3 1 0 2b cos x cosx+ − =
Đặt ost c x= , điều kiện 1t ≤ . Phương trình (2) trở thành:
( )
( )
2
3 13
â
2
3 1 0
3 13
2
t nh n
t t
t loai
− +
=
+ − = ⇔
− −
=
Với
3 13
2
t
− +
= ta được ( )
3 13 3 13
os arccos 2
2 2
c x x k kπ
− + − +
= ⇔ = ± + ∈¢
Các câu còn lại giải tương tự
II.2.2.3. Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
2
)3sin 2 7cos2 3 0a x x+ − = )7tan 4cot 12b x x− =
Giải
( )
( )
2 2
2
)3sin 2 7cos2 3 0 3 1 cos 2 7cos2 3 0
3cos 2 7cos2 0 cos2 3cos2 7 0
cos2 0
3cos2 7 0
a x x x x
x x x x
x
x
+ − = ⇔ − + − =
⇔ − = ⇔ − =
=
⇔ − =
*) Giải phương trình: ( )cos2 0 2 ,
2 4 2
x x k x k k
π π π
π= ⇔ = + ⇔ = + ∈¢
*) Giải phương trình:
7
3cos2 7 0 cos2
3
x x− = ⇔ =
Vì
7
1
3
> nên phương trình 3cos2 7 0x − = vô nghiệm.
Trang 9
10. Chuyên đề phương trình lượng giác Giáo viên: Trần Thị Bích
Tuyền
Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là ( ),
4 2
x k k
π π
= + ∈¢
( ))7 tan 4cot 12 1b x x− =
Điều kiện: sin 0x ≠ và cos 0x ≠
Khi đó:
( ) 21
1 7tan 4. 12 0 7tan 12tan 4 0
tan
x x x
x
⇔ − − = ⇔ − − =
Đặt tant x= , ta giải phương trình bậc hai theo t: 2
7 4 12 0t t− − =
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
31) − + =2
2cos 3cos 1 0x x 32) + + =2
cos sin 1 0x x 33) − =2cos2 4cos 1x x
34) 2
2sin 5sin – 3 0x x+ = 35) 02-2cosx2cos2x =+ 36) 02sin5cos6 2
=−+ xx
37) 2
3 tan (1 3) tan =0x x− + 38) 2
24 sin 14cos 21 0x x+ − =
39)
2
sin 2cos 1
3 3
x x
π π
− + − = ÷ ÷
40) 2
4cos 2( 3 1)cos 3 0x x− − + =
II.2.3. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:
II.2.3.1. Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng
( )2 2
.sin .sin cos . os , , 0a x b x x c c x d a b c+ + = ≠
II.2.3.2. Phương pháp:
⊕ Kiểm tra cos 0x = có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này.
⊕ cos 0x ≠ chia cả hai vế cho 2
cos x đưa về phương trình bậc hai theo tan x :
( ) 2
tan tan 0a d x b x c d− + + − =
Ví dụ: Giải phương trình sau
Bài tập đề nghị:
41) 2 2
3sin 4sin cos +5cos 2x x x x− = 42) 2 2
2cos 3 3sin 2 4sin 4x x x− − = −
43) 2 2
25sin 15sin 2 9cos 25x x x+ + = 44) 2 2
4sin 5sin cos 6cos 0x x x x− − =
45) 2
4sin 5sin cos 0x x x− = 46) 2 2
4sin 6cos 0x x− =
II.2.4. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :
II.2.4.1. Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng
sin cosa x b x c+ = trong đó , ,a b c∈¡ và 2 2
0a b+ ≠
Ví dụ: sin cos 1; 3cos2 4sin 2 1;x x x x+ = − =
II.2.4.2. Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho 2 2
a b+ ta được:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
• Nếu 2 2
1
c
a b
>
+
: Phương trình vô nghiệm.
• Nếu 2 2
1
c
a b
≤
+
thì đặt 2 2 2 2
os sin
a b
c
a b a b
α α= ⇒ =
+ +
Trang 10
11. Chuyên đề phương trình lượng giác Giáo viên: Trần Thị Bích
Tuyền
(hoặc 2 2 2 2
sin os
a b
c
a b a b
α α= ⇒ =
+ +
)
Đưa phương trình về dạng: ( ) 2 2
sin
c
x
a b
α+ =
+
(hoặc ( ) 2 2
os
c
c x
a b
α− =
+
) sau đó giải phương trình
lượng giác cơ bản.
Chú ý: Phương trình sin cosa x b x c+ = trong đó , ,a b c∈¡ và 2 2
0a b+ ≠ có nghiệm khi 2 2 2
c a b≤ + .
Giải
Ví dụ: giải các phương trình sau:
a) sin cos 1;x x+ = b) 3cos2 4sin 2 1;x x− =
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
47) − =2sin 2cos 2x x 48) + =3sin 4cos 5x x 49) ( ) ( )+ + + =3sin 1 4cos 1 5x x
50) 3cos 4sin 5x x+ = − 51) 2sin 2 2cos2 2x x− = 52) 2
5sin 2 6cos 13;(*)x x− =
53)
π
+ + = ÷
4 4 1
sin cos
4 4
x x (*) 54) =sin 3cosx x
III. BÀI TẬP
Bài 1. Giải các phương trình sau:
55.
1
sin 2
2
x = 56.
3
os2
2
c x = − 57. ( )0 1
tan 30
3
x + = −
58.
1
cot 5
8 5
x
π
− = ÷
59. sin 2 sin
4
x x
π
= − ÷
60. cot 2 cot 5
3 4
x x
π π
+ = − ÷ ÷
61. ( ) ( )0 0
os 2 20 sin 60c x x+ = − 62. tan cot 2
6 3
x x
π π
+ = − − ÷ ÷
63.
2 1
tan 5
3
x =
Bài 2. Giải các phương trình sau:
64. 2sin 3 3 0
6
x
π
+ − = ÷
65. 2
cos 2 os2x=0x c− 66. ( )tan 1 cos 0x x+ =
67. 2
2sin sin 3 0x x+ − = 68. 2
4sin 4cos 1 0x x+ − = 69. tan 2cot 3 0x x+ − =
70. 4 2
2cot 6cot 4 0x x− + = 71. 4 4
sin os cos 2x c x x− = −
72. ( ) 2
1 os4 sin 4 2 sin 2c x x x− = (*) 73. 2 2
3sin 2sin cos os 0x x x c x− + =
74. 2 2
cos sin 3sin 2 1x x x− − = 75.
2 2 1
sin 2 sin 4 2cos 2
2
x x x+ − =
Bài 3. Giải các phương trình sau:
76. 3sin 4cos 5x x+ = 77. 2sin 2 2cos2 2x x− = − 78. 2sincos3 =− xx
79.
2 1
sin 2 sin
2
x x+ = 80. cos2 9cos 5 0x x+ + =
Bài 4. Giải các phương trình sau:
81) sin 6 3 cos6 2x x+ =
Trang 11
12. Chuyên đề phương trình lượng giác Giáo viên: Trần Thị Bích
Tuyền
82) 2
cos sin 1 0x x+ + =
83) 3sin 3 cos 1x x+ =
84) 5cos2 12sin 2 13x x− =
85)
2 1
sin sin 2
2
x x+ =
86) 2
cos sin 2x x− =
87) 2 2
4sin 3 3sin 2 2cos 4x x x+ − =
88) 2
24sin 14cos 21 0x x+ − =
89) tan 2 cot 2 3 0
6 6
x x
π π
+ + + + = ÷ ÷
90)
2
sin 2cos 1
3 3
x x
π π
− + − = ÷ ÷
91) ( )2 2
3sin 8sin cos 8 3 9 cos 0x x x x+ + − =
92) 2sin3 2 sin 6 0x x+ =
93) 2 2
3 cos 5 sin 1x x− =
94) sin 3cos 1
3 3
x x
π π
− + − = ÷ ÷
95) ( )2
4cos 2 3 1 cos 3 0x x− − + =
96) 2 2
sin –10sin cos 21cos 0x x x x+ =
97) 2 2
cos sin 2sin 2 1x x x− − =
98) cos 4 sin3 .cos sin .cos 3x x x x x+ =
99)
1
sin cos
sin
x x
x
+ =
Dành cho HS khá – giỏi
100) cos 3sin 2 os3x x c x+ =
101) tan tan 2 tan 3x x x+ =
HD:
sin3 sin3 1 1
tan tan 2 tan 3 sin3 0
cos .cos2 cos3 cos .cos2 cos3
x x
x x x x
x x x x x x
+ = ⇔ = ⇔ − = ÷
Giải phương trình
( )
( )
3 2
3
2
1 1
0
cos .cos2 cos3
cos3 cos .cos2 0
4cos 3cos cos . 2cos 1 0
2cos 2cos 0
cos cos 1 0
...
x x x
x x x
x x x x
x x
x x
− =
⇔ − =
⇔ − − − =
⇔ − =
⇔ − =
Trang 12
13. Chuyên đề phương trình lượng giác Giáo viên: Trần Thị Bích
Tuyền
102) ( ) ( ) 2
2sin cos 1 cos sinx x x x− + =
103) 2
(1 cos 2 )sin 2 sin x x x− =
Hướng dẫn:
2
(1 cos 2 )sin 2 sin x x x− =
104) ( ) ( )cos 1 tan sin cos sinx x x x x− + =
105) cot tan sin cosx x x x− = +
Hướng dẫn
cot tan sin cosx x x x− = + , (điều kiện sin 0x ≠ và cos 0x ≠ )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
cos sin
sin cos
sin cos
cos sin
sin cos
sin cos
cos sin cos sin sin cos sin cos 0
cos sin cos sin sin cos 0
cos sin 0 91
cos sin sin cos 0 91
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x a
x x x x b
⇔ − = +
−
⇔ = +
⇔ − + − + =
⇔ + − − =
+ =
⇔
− − =
HD giải pt 91b):
cos sin sin cos 0x x x x− − =
Đặt ( )
2
22 1
cos sin cos sin 1 2sin cos sin cos
2
t
t x x t x x x x x x
−
= − ⇒ = − = − ⇒ − =
Thay vào phương trình, ta được:
2
21
0 2 1 0 1 2 1 2
2
t
t t t t t
−
+ = ⇔ + − = ⇔ = − − ∨ = − +
Ta giải 2 phương trình: cos sin 1 2x x− = − − ; cos sinx x− = 1 2− +
106)
2 2 3
sin 2 2 cos 0
4
x x− + =
HD: ( )2 2 23 3
sin 2 2 cos 0 1 cos 2 1 cos2 0
4 4
x x x x− + = ⇔ − − + + =
Giải phương trình bậc hai đối với hàm số cos2x
107) 2sin 17 3cos 5 sin 5 0x x x+ + =
HD:
2sin17 3cos 5 sin 5 0
3 1
sin17 cos 5 sin 5 0
2 2
sin17 sin 5 0
3
...
x x x
x x x
x x
π
+ + =
⇔ + + =
⇔ + + = ÷
108) ( )cos 7 sin 5 3 cos 5 sin 7x x x x− = −
Trang 13
14. Chuyên đề phương trình lượng giác Giáo viên: Trần Thị Bích
Tuyền
109) ( )0 0
tan 2 45 . tan 180 1
2
x
x
+ − = ÷
200)
1 cos2 sin 2
cos 1 cos2
x x
x x
+
=
−
)cos2 sin cos 0b x x x+ + =
HƯỚNG DẪN GIẢI
52) 2
5sin 2 6cos 13;(*)x x− =
( )5sin 2 3 1 cos2 13
sin 2 3cos2 16
.......
x x
x x
⇔ − + =
⇔ − =
53)
π
π
+ + ÷
− + + = ⇔ + = ÷ ÷
2
2
4 4
1 cos 2
21 1 cos2 1
sin cos
4 4 2 2 4
x
x
x x
( ) ( )
π π π
π π
⇔ − + − =
⇔ − + + − + =
⇔ − − =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ + =
⇔ + = ÷
2 2
2 2
1 cos2 1 sin2 1
1 2cos2 cos 2 1 2sin2 sin 2 1
1 cos2 sin2 0
cos2 sin2 1
1 1 1
cos2 sin2
2 2 2
sin cos2 cos sin2 sin
4 4 4
sin 2 sin
4 4
...
x x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x
72) ( ) 2
1 os4 sin 4 2 sin 2c x x x− =
( ) 2
1 os4 sin 4 2 sin 2c x x x− =
⇔
85)
2 1
sin sin 2
2
x x+ =
( )
1 1
1 cos2 sin 2
2 2
sin 2 cos2 0
...
x x
x x
⇔ − + =
⇔ − =
87) cos 3sin os3x x c x+ =
cos 3sin cos3x x x+ =
Trang 14
15. Chuyên đề phương trình lượng giác Giáo viên: Trần Thị Bích
Tuyền
BÀI TẬP BỔ SUNG:
Giải các phương trình sau:
201) =cos5 sin4 cos3 sin2x x x x
202) + =2 2 1
cos cos 2
2
x x
203) + + = + +sin sin2 sin3 cos cos2 cos3x x x x x x
204) + + =sin3 sin5 sin7 0x x x
205) + + =2 2 2
cos cos 2 cos 3 1x x x (*)
206)
π π
+ = + ÷ ÷
33 3
sin 2sin
4 2 4 2
x
x (*) (hay)
π π π
π
= + ⇒ + = − ⇒ + = ÷
3 3 3
: 3 2 sin sin3
4 2 4 2 4 2
x
HD t x t x t
207)
π π
+ = + ÷ ÷
3
sin 3 2sin
4 4
x x
III. ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG QUA CÁC NĂM
2
1) cos 3 cos2 cos2 0x x x− = (Khối A - 2005)
2) 1 sin cos sin 2 os2 0x x x c x+ + + + = (Khối B - 2005)
4 4 3
3) os sin cos sin 3 0
4 4 2
c x x x x
π π
+ + − − − = ÷ ÷
(Khối D - 2005)
( )6 6
2 cos sin sin cos
4) 0
2 2sin
x x x x
x
+ −
=
−
(Khối A - 2006)
5) cot sin 1 tan tan 4
2
x
x x x
+ + = ÷
(Khối B - 2006)
6) os3 os2 cos 1 0c x c x x+ − − = (Khối D - 2006)
7)( ) ( )2 2
1 sin cos 1 os sin 1 sin 2x x c x x x+ + + = + (Khối A – 2007)
8) 2
2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ − = (Khối B – 2007)
9)
2
sin os 3 cos 2
2 2
x x
c x
+ + = ÷
(Khối D – 2007)
10)
1 1 7
4sin
3sin 4
sin
2
x
x
x
π
π
+ = − ÷
− ÷
(Khối A – 2008)
11) 3 3 2 2
sin 3 cos sin os 3sin osx x xc x xc x− = − (Khối B – 2008)
12) ( )2sin 1 os2 sin 2 1 2cosx c x x x+ + = + (Khối D – 2008)
13)
( ) ( )
1 2sin cos
3
1 2sin 1 sin
x x
x x
−
=
+ −
(Khối A – 2009)
Trang 15
16. Chuyên đề phương trình lượng giác Giáo viên: Trần Thị Bích
Tuyền
14) ( )3
sin cos sin 2 3 cos3 2 cos4 sinx x x x x x+ + = + (Khối B – 2009)
15) 3 cos5 2sin3 cos2 sin 0x x x x− − = (Khối D – 2009)
16)
1 sin os2 sin
14
cos
1 tan 2
x c x x
x
x
π
+ + + ÷
=
+
(Khối A – 2010)
17) ( )sin 2 cos2 cos 2cos2 sin 0x x x x x+ + − = (Khối B – 2010)
18) sin 2 os2 3sin cos 1 0x c x x x− + − − = (Khối D – 2010)
19) 2
1 sin 2 os2
2sin .sin 2
1 cot
x c x
x x
x
+ +
=
+
(Khối A - 2011)
20) sin 2 cos sin cos os2 sin cosx x x x c x x x+ = + + (Khối B - 2011)
21)
sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
+ − −
=
+
(Khối D - 2011)
22) 3sin 2 os2 2cos 1x c x x+ = − (Khối A và 1A - 2012)
23) ( )2 cos 3sin cos cos 3sin 1x x x x x+ = − + (Khối B - 2012)
24) sin3 os3 sin cos 2 cos2x c x x x x+ − + = (Khối D - 2012)
Trang 16