Toán lớp 6 - Chương 1 - Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên (Lý thuyết và bài tập)Bồi dưỡng Toán lớp 6
Toán lớp 6 - Chương 1 - Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên (Lý thuyết và bài tập vận dụng). Mọi thông tin cần hỗ trợ tài liệu học tập toán lớp 6, bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 6, vui lòng liên hệ: 0919.281.916.
Tuyển tập 100 đề luyện thi Học sinh giỏi Toán lớp 6 (có đáp án)Bồi dưỡng Toán lớp 6
Cung cấp tài liệu Tuyển tập 100 đề luyện thi Học sinh giỏi Toán lớp 6 có đáp án cho các em học sinh lớp 6. Mọi thông tin cần hỗ trợ mua tài liệu, vui lòng liên hệ theo số máy: 0919.281.916. Email: doanthich@gmail.com.
Kính thưa quý bậc PH và các em HS lớp 6 thân mến,
Với chương trình toán lớp 6 hiện nay, có nhiều em HS đang gặp khó khăn, khúc mắc trong quá trình học tập. Với mục tiêu giúp các em HS lớp 6:
+) Hệ thống chương trình toán lớp 6
+) Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy toán THCS,
+) Bồi dưỡng HSG Toán lớp 6
Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, giải pháp, vui lòng liên hệ Thầy Thích:
+) Tel: 0919.281.916
+) Email: doanthich@gmail.com
+) Website: www.ToanIQ.com
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNBOIDUONGTOAN.COM
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN. MỌI THÔNG TIN CẦN HỖ TRỢ TƯ VẤN HỌC TẬP, ĐĂNG KÝ HỌC, MUA TÀI LIỆU TOÁN LỚP 9 ÔN THI VÀO LỚP 10, LIÊN HỆ: 0976.179.282.
Toán lớp 6 - Chương 1 - Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên (Lý thuyết và bài tập)Bồi dưỡng Toán lớp 6
Toán lớp 6 - Chương 1 - Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên (Lý thuyết và bài tập vận dụng). Mọi thông tin cần hỗ trợ tài liệu học tập toán lớp 6, bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 6, vui lòng liên hệ: 0919.281.916.
Tuyển tập 100 đề luyện thi Học sinh giỏi Toán lớp 6 (có đáp án)Bồi dưỡng Toán lớp 6
Cung cấp tài liệu Tuyển tập 100 đề luyện thi Học sinh giỏi Toán lớp 6 có đáp án cho các em học sinh lớp 6. Mọi thông tin cần hỗ trợ mua tài liệu, vui lòng liên hệ theo số máy: 0919.281.916. Email: doanthich@gmail.com.
Kính thưa quý bậc PH và các em HS lớp 6 thân mến,
Với chương trình toán lớp 6 hiện nay, có nhiều em HS đang gặp khó khăn, khúc mắc trong quá trình học tập. Với mục tiêu giúp các em HS lớp 6:
+) Hệ thống chương trình toán lớp 6
+) Rèn luyện kỹ năng và phát triển tư duy toán THCS,
+) Bồi dưỡng HSG Toán lớp 6
Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, giải pháp, vui lòng liên hệ Thầy Thích:
+) Tel: 0919.281.916
+) Email: doanthich@gmail.com
+) Website: www.ToanIQ.com
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊNBOIDUONGTOAN.COM
CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ ÔN THI VÀO LỚP 10 CÁC TRƯỜNG CHUYÊN. MỌI THÔNG TIN CẦN HỖ TRỢ TƯ VẤN HỌC TẬP, ĐĂNG KÝ HỌC, MUA TÀI LIỆU TOÁN LỚP 9 ÔN THI VÀO LỚP 10, LIÊN HỆ: 0976.179.282.
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...Hoàng Thái Việt
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11 (THẦY HOÀNG THÁI VIỆT)
- CHUYÊN ĐỀ BAO GỒM LÝ THUYẾT + BÀI TẬP THAM KHẢO + BÀI TẬP RÈN LUYỆN + TỔNG HỢP ĐỀ KIỂM TRA
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhất. Mọi thông tin cần hỗ trợ về tài liệu, tìm giáo viên dạy bồi dưỡng toán lớp 6, 7, 8, 9, ôn luyện thi vào chuyên, vui lòng liên hệ: 0919.281.916.
NHỊ THỨC NEWTON VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Tuyển tập 126 câu hỏi và bài tập trắc nghiệm nhị thức Newton (Niu-tơn) và các bài toán liên quan, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh học tốt Bài 3 chương 2 Đại số và Giải tích 11.
TONG HOP DE KIEM TRA CHUONG 2 DAI SO 11 HAY
ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ 11
BỘ ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ 11
KIEM TRA CHUONG 2 TOAN 11 18 de kiem tra chuong 2 dai so 11
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7Lớp 7 Gia sư
Gia sư lớp 7 tại nhà Hà Nội chất lượng cao. ĐT hỗ trợ: (043).990.6260 - 0936.128.126. Trung tâm gia sư Hà Nội nhận gia sư Toán, Văn, Anh, Lý, Sinh, Tiếng Nhật, Tiếng Pháp lớp 7 tại nhà mọi trình độ từ cơ bản đến nâng cao.
Tuyển tập 16 đề thi học kì I môn toán lớp 7. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn đăng ký học tập bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 vui lòng liên hệ Thầy Thích - Tel: 0919.281.916.
TUYỂN TẬP ĐỀ KIỂM TRA 15' - 1 TIẾT - TOÁN LỚP 6 - CHƯƠNG 3 - PHÂN SỐBồi dưỡng Toán lớp 6
TUYỂN TẬP ĐỀ KIỂM TRA 15' - 1 TIẾT - TOÁN LỚP 6 - CHƯƠNG 3 - PHÂN SỐ. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn, giải đáp, mua tài liệu học tập Toán lớp 6, vui lòng liên hệ theo số máy: Thầy Thích - 0919.281.916.
Chuyên đề Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 7. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, đăng ký học vui lòng liên hệ tới văn phòng gia sư thủ khoa Hà Nội theo số máy: 0936.128.126. Website: http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Tuyển tập 100 đề luyện thi HSG môn Toán lớp 7 có đáp án.
Mọi thông tin về tư vấn và đăng ký đặt mua tài liệu vui lòng liên hệ trực tiếp Thầy Thích theo:
- Điện thoại: 0919.281.916
- Email: doanthich@gmail.com
- Website: http://www.ToanIQ.com
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ & ĐỀ KIỂM TRA - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11...Hoàng Thái Việt
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC HÀM SỐ - CHƯƠNG 4 ĐẠI SỐ 11 (THẦY HOÀNG THÁI VIỆT)
- CHUYÊN ĐỀ BAO GỒM LÝ THUYẾT + BÀI TẬP THAM KHẢO + BÀI TẬP RÈN LUYỆN + TỔNG HỢP ĐỀ KIỂM TRA
Các chuyên đề bồi dưỡng HSG môn Toán THCS hay nhất. Mọi thông tin cần hỗ trợ về tài liệu, tìm giáo viên dạy bồi dưỡng toán lớp 6, 7, 8, 9, ôn luyện thi vào chuyên, vui lòng liên hệ: 0919.281.916.
NHỊ THỨC NEWTON VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
Tuyển tập 126 câu hỏi và bài tập trắc nghiệm nhị thức Newton (Niu-tơn) và các bài toán liên quan, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp học sinh học tốt Bài 3 chương 2 Đại số và Giải tích 11.
TONG HOP DE KIEM TRA CHUONG 2 DAI SO 11 HAY
ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ 11
BỘ ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 2 ĐẠI SỐ 11
KIEM TRA CHUONG 2 TOAN 11 18 de kiem tra chuong 2 dai so 11
Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7Lớp 7 Gia sư
Gia sư lớp 7 tại nhà Hà Nội chất lượng cao. ĐT hỗ trợ: (043).990.6260 - 0936.128.126. Trung tâm gia sư Hà Nội nhận gia sư Toán, Văn, Anh, Lý, Sinh, Tiếng Nhật, Tiếng Pháp lớp 7 tại nhà mọi trình độ từ cơ bản đến nâng cao.
Tuyển tập 16 đề thi học kì I môn toán lớp 7. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn đăng ký học tập bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 vui lòng liên hệ Thầy Thích - Tel: 0919.281.916.
TUYỂN TẬP ĐỀ KIỂM TRA 15' - 1 TIẾT - TOÁN LỚP 6 - CHƯƠNG 3 - PHÂN SỐBồi dưỡng Toán lớp 6
TUYỂN TẬP ĐỀ KIỂM TRA 15' - 1 TIẾT - TOÁN LỚP 6 - CHƯƠNG 3 - PHÂN SỐ. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn, giải đáp, mua tài liệu học tập Toán lớp 6, vui lòng liên hệ theo số máy: Thầy Thích - 0919.281.916.
Chuyên đề Bồi dưỡng HSG môn Toán lớp 7. Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn học tập, đăng ký học vui lòng liên hệ tới văn phòng gia sư thủ khoa Hà Nội theo số máy: 0936.128.126. Website: http://giasutoan.giasuthukhoa.edu.vn
Tuyển tập 100 đề luyện thi HSG môn Toán lớp 7 có đáp án.
Mọi thông tin về tư vấn và đăng ký đặt mua tài liệu vui lòng liên hệ trực tiếp Thầy Thích theo:
- Điện thoại: 0919.281.916
- Email: doanthich@gmail.com
- Website: http://www.ToanIQ.com
GIAO TRINH TRIET HOC MAC - LENIN (Quoc gia).pdfLngHu10
Chương 1
KHÁI LUẬN VỀ TRIẾT HỌC VÀ TRIẾT HỌC MÁC - LÊNIN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức: Trang bị cho sinh viên những tri thức cơ bản về triết học nói chung,
những điều kiện ra đời của triết học Mác - Lênin. Đồng thời, giúp sinh viên nhận thức được
thực chất cuộc cách mạng trong triết học do
C. Mác và Ph. Ăngghen thực hiện và các giai đoạn hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin;
vai trò của triết học Mác - Lênin trong đời sống xã hội và trong thời đại ngày nay.
2. Về kỹ năng: Giúp sinh viên biết vận dụng tri thức đã học làm cơ sở cho việc nhận
thức những nguyên lý cơ bản của triết học Mác - Lênin; biết đấu tranh chống lại những luận
điểm sai trái phủ nhận sự hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin.
3. Về tư tưởng: Giúp sinh viên củng cố niềm tin vào bản chất khoa học và cách mạng
của chủ nghĩa Mác - Lênin nói chung và triết học Mác - Lênin nói riêng.
B. NỘI DUNG
I- TRIẾT HỌC VÀ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TRIẾT HỌC
1. Khái lược về triết học
a) Nguồn gốc của triết học
Là một loại hình nhận thức đặc thù của con người, triết học ra đời ở cả phương Đông và
phương Tây gần như cùng một thời gian (khoảng từ thế kỷ VIII đến thế kỷ VI trước Công
nguyên) tại các trung tâm văn minh lớn của nhân loại thời cổ đại. Ý thức triết học xuất hiện
không ngẫu nhiên, mà có nguồn gốc thực tế từ tồn tại xã hội với một trình độ nhất định của
sự phát triển văn minh, văn hóa và khoa học. Con người, với kỳ vọng được đáp ứng nhu
cầu về nhận thức và hoạt động thực tiễn của mình đã sáng tạo ra những luận thuyết chung
nhất, có tính hệ thống, phản ánh thế giới xung quanh và thế giới của chính con người. Triết
học là dạng tri thức lý luận xuất hiện sớm nhất trong lịch sử các loại hình lý luận của nhân
loại.
Với tư cách là một hình thái ý thức xã hội, triết học có nguồn gốc nhận thức và nguồn
gốc xã hội.
* Nguồn gốc nhận thức
Nhận thức thế giới là một nhu cầu tự nhiên, khách quan của con người. Về mặt lịch
sử, tư duy huyền thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là loại hình triết lý đầu tiên mà con
người dùng để giải thích thế giới bí ẩn xung quanh. Người nguyên thủy kết nối những hiểu
biết rời rạc, mơ hồ, phi lôgích... của mình trong các quan niệm đầy xúc cảm và hoang
tưởng thành những huyền thoại để giải thích mọi hiện tượng. Đỉnh cao của tư duy huyền
thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là kho tàng những câu chuyện thần thoại và những tôn
9
giáo sơ khai như Tô tem giáo, Bái vật giáo, Saman giáo. Thời kỳ triết học ra đời cũng là
thời kỳ suy giảm và thu hẹp phạm vi của các loại hình tư duy huyền thoại và tôn giáo
nguyên thủy. Triết học chính là hình thức tư duy lý luận đầu tiên trong lịch sử tư tưởng
nhân loại thay thế được cho tư duy huyền thoại và tôn giáo.
Trong quá trình sống và cải biến thế giới, từng bước con người có kinh nghiệm và có
tri thức về thế giới. Ban đầu là những tri thức cụ thể, riêng lẻ, cảm tính. Cùng với sự tiến
bộ của sản xuất và đời sống, nhận thức của con người dần dần đạt đến trình độ cao hơn
trong việc giải thích thế giới một cách hệ thống
GIÁO TRÌNH 2-TÀI LIỆU SỬA CHỮA BOARD MONO TỦ LẠNH MÁY GIẶT ĐIỀU HÒA.pdf
https://dienlanhbachkhoa.net.vn
Hotline/Zalo: 0338580000
Địa chỉ: Số 108 Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội
Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ
:
https://www.facebook.com/garmentspace/
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
HOẶC
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
CÁC BIỆN PHÁP KỸ THUẬT AN TOÀN KHI XÃY RA HỎA HOẠN TRONG.pptxCNGTRC3
Cháy, nổ trong công nghiệp không chỉ gây ra thiệt hại về kinh tế, con người mà còn gây ra bất ổn, mất an ninh quốc gia và trật tự xã hội. Vì vậy phòng chông cháy nổ không chỉ là nhiệm vụ mà còn là trách nhiệm của cơ sở sản xuất, của mổi công dân và của toàn thể xã hội. Để hạn chế các vụ tai nạn do cháy, nổ xảy ra thì chúng ta cần phải đi tìm hiểu nguyên nhân gây ra các vụ cháy nố là như thế nào cũng như phải hiểu rõ các kiến thức cơ bản về nó từ đó chúng ta mới đi tìm ra được các biện pháp hữu hiệu nhất để phòng chống và sử lý sự cố cháy nổ.
Mục tiêu:
- Nêu rõ các nguy cơ xảy ra cháy, nổ trong công nghiệp và đời sống; nguyên nhân và các biện pháp đề phòng phòng;
- Sử dụng được vật liệu và phương tiện vào việc phòng cháy, chữa cháy;
- Thực hiện được việc cấp cứa khẩn cấp khi tai nạn xảy ra;
- Rèn luyện tính kỷ luật, kiên trì, cẩn thận, nghiêm túc, chủ động và tích cực sáng tạo trong học tập.
CÁC BIỆN PHÁP KỸ THUẬT AN TOÀN KHI XÃY RA HỎA HOẠN TRONG.pptx
DÃY SỐ - CẤP SỐ
1. Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com
www.MATHVN.com Trang 1
I. Phương pháp qui nạp toán học
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương
n, ta thực hiện như sau:
· Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
· Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tuỳ ý (k ³ 1), chứng minh rằng
mệnh đề đúng với n = k + 1.
Chú ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) là đúng với với mọi số nguyên dương n ³ p thì:
+ Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
+ Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k ³ p và phải chứng
minh mệnh đề đúng với n = k + 1.
Baøi 1: Chứng minh rằng với mọi n Î N*, ta có:
a) 1 + 2 + … + n =
( 1)
2
n n +
b) 2 2 2 ( 1)(2 1)
1 2 ...
6
n n n
n
+ +
+ + + =
c)
2
3 3 3 ( 1)
1 2 ...
2
n n
n
é ù+
+ + + = ê úë û
d) 2
1.4 2.7 ... (3 1) ( 1)n n n n+ + + + = +
e)
( 1)( 2)
1.2 2.3 ... ( 1)
3
n n n
n n
+ +
+ + + + = f)
1 1 1
...
1.2 2.3 ( 1) 1
n
n n n
+ + + =
+ +
Baøi 2: Chứng minh rằng với mọi n Î N*, ta có:
a) 2 2 1n
n> + (n ³ 3) b) 2
2 2 5n
n+
> +
c)
2 2
1 1 1
1 ... 2
2 nn
+ + + < - (n ³ 2) d)
1 3 2 1 1
. ...
2 4 2 2 1
n
n n
-
<
+
e)
1 1
1 ... 2
2
n
n
+ + + < f)
1 1 1 13
...
1 2 2 24n n n
+ + + >
+ +
(n > 1)
Baøi 3: Chứng minh rằng với mọi n Î N*, ta có:
a) 3
11n n+ chia hết cho 6. b) 3 2
3 5n n n+ + chia hết cho 3.
c) 2 2 2 1
7.2 3n n- -
+ chia hết cho 5. d) 3
2n n+ chia hết cho 3.
e) 2 1 2
3 2n n+ +
+ chia hết cho 7. f) 13 1n
- chia hết cho 6.
Baøi 4: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là
( 3)
2
n n -
.
Baøi 5: Dãy số (an) được cho như sau: 1 12, 2n na a a+= = + với n = 1, 2, …
Chứng minh rằng với mọi n Î N* ta có:
1
2cos
2
n n
a
+
=
p
.
CHƯƠNG III
DÃY SỐ – CẤP SỐ
2. www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng
Trang 2 www.MATHVN.com
II. Dãy số
1. Dãy số
: *
( )
u
n u n
®¥ ¡
a
Dạng khai triển: (un) = u1, u2, …, un, …
2. Dãy số tăng, dãy số giảm
· (un) là dãy số tăng Û un+1 > un với " n Î N*.
Û un+1 – un > 0 với " n Î N* Û 1
1n
n
u
u
+
> với "n Î N* ( un > 0).
· (un) là dãy số giảm Û un+1 < un với "n Î N*.
Û un+1 – un< 0 với " n Î N* Û 1
1n
n
u
u
+
< với "n Î N* (un > 0).
3. Dãy số bị chặn
· (un) là dãy số bị chặn trên Û $M Î R: un £ M, "n Î N*.
· (un) là dãy số bị chặn dưới Û $m Î R: un ³ m, "n Î N*.
· (un) là dãy số bị chặn Û $m, M Î R: m £ un £ M, "n Î N*.
Baøi 1: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
a)
2
2
2 1
1
n
n
u
n
-
=
+
b)
( 1)
2 1
n
n
n
u
n
+ -
=
+
c)
2
1
1
n
n
u
n
-
=
+
d)
1
3
n
nu
æ ö
= -ç ÷
è ø
e) 2
cosnu n n= + f)
( 1)!
2
n n
n
u
+
=
Baøi 2: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:
a) ( )1 1
1
2, 1
3n nu u u+= = + b) 1 2 2 115, 9, n n nu u u u u+ += = = -
c) 1 1 2
2
0,
1
n
n
u u
u
+= =
+
d) 1 2 2 11, 2, 2n n nu u u u u+ += = - = -
Baøi 3: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un), dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng
minh công thức đó bằng qui nạp:
a) 1 11, 2 3n nu u u+= = + b) 2
1 13, 1n nu u u+= = + c) 1 13, 2n nu u u+= =
d) 1 11, 2 1n nu u u+= - = + e) 1 11, 7n nu u u+= = + e) 1
5
4
u = ,
2
1
1
+
=+
n
n
u
u
ĐS: a) n
nu 1
2 3+
= - b) nu n 8= + c) n
nu 1
3.2 -
=
d) nu 1= - e) nu n7 6= - f)
n
n n
u
1
1
2 1
2
+
+
+
=
Baøi 4: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) cho bởi:
a)
2 1
3 2n
n
u
n
+
=
-
b)
4 1
4 5
n
n n
u
-
=
+
c)
( 1)
2
n
nu
n
-
=
+
d)
2
2
1
1
n
n n
u
n
+ +
=
+
e) 2
cosnu n n= + f)
2
n
n
u
n
-
=
Baøi 5: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số (un) cho bởi:
a)
2 3
2n
n
u
n
+
=
+
b)
1
( 1)nu
n n
=
+
c) 2
4nu n= +
3. Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com
www.MATHVN.com Trang 3
d)
2
2
2
1
n
n n
u
n n
+
=
+ +
e)
2
2
n
n
u
n n n
=
+ +
f) ( 1) cos
2
n
nu
n
= -
p
III. Cấp số cộng
1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng Û un+1 = un + d, "n Î N* (d: công sai)
2. Số hạng tổng quát: 1 ( 1)nu u n d= + - với n ³ 2
3. Tính chất các số hạng: 1 1
2
k k
k
u u
u - ++
= với k ³ 2
4. Tổng n số hạng đầu tiên: 1
1 2
( )
...
2
n
n n
n u u
S u u u
+
= + + + = = 12 ( 1)
2
n u n dé ù+ -ë û
Baøi 1: Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và
công sai của nó:
a) un = 3n – 7 b)
3 2
5n
n
u
+
= c) 2
nu n=
d) 3n
nu = e)
7 3
2n
n
u
-
= f) 1
2n
n
u = -
Baøi 2: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:
a) 1 5 3
1 6
10
17
u u u
u u
ì + - =
í + =î
b) 2 5 3
4 6
10
26
u u u
u u
ì + - =
í + =î
c) 3
14
15
18
u
u
ì = -
í =î
d) 7 3
2 7
8
. 75
u u
u u
ì - =
í =î
e) 7 15
2 2
4 12
60
1170
u u
u u
ì + =ï
í
+ =ïî
f) 1 3 5
1 2 3
12
8
u u u
u u u
ì + + = -
í =î
Baøi 3: a) Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng.
b) Giữa các số 4 và 67 hãy đặt thêm 20 số nữa để được một cấp số cộng.
Baøi 4: a) Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các
bình phương của chúng là 293.
b) Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 22 và tổng các
bình phương của chúng bằng 66.
Baøi 5: a) Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Tìm số đo các góc đó.
b) Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có công sai d = 30
.
Tìm số đo của các góc đó.
c) Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc
nhỏ nhất. Tìm số đo các góc đó.
Baøi 6: Chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng thì các số x, y, z cũng lập
thành một cấp số cộng, với:
a) 2 2 2 2 2 2
; ;x b bc c y c ca a z a ab b= + + = + + = + +
b) 2 2 2
; ;x a bc y b ca z c ab= - = - = -
Baøi 7: Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với:
a) 2
10 3 ; 2 3; 7 4a x b x c x= - = + = - b) 2
1; 3 2; 1a x b x c x= + = - = -
Baøi 8: Tìm các nghiệm số của phương trình: 3 2
15 71 105 0x x x- + - = , biết rằng các nghiệm số
phân biệt và tạo thành một cấp số cộng.
Baøi 9: Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng
thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, …. Hỏi có bao nhiêu hàng?
4. www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng
Trang 4 www.MATHVN.com
IV. Cấp số nhân
1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân Û un+1 = un.q với n Î N* (q: công bội)
2. Số hạng tổng quát: 1
1. n
nu u q -
= với n ³ 2
3. Tính chất các số hạng: 2
1 1.k k ku u u- += với k ³ 2
4. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1
1
(1 )
1
1
n
n
n
S nu vôùi q
u q
S vôùi q
q
é = =
ê
-ê = ¹
ê -ë
Baøi 1: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:
a) 4 2
5 3
72
144
u u
u u
ì - =
í - =î
b) 1 3 5
1 7
65
325
u u u
u u
ì - + =
í + =î
c) 3 5
2 6
90
240
u u
u u
ì + =
í - =î
d) 1 2 3
1 2 3
14
. . 64
u u u
u u u
ì + + =
í =î
e)
1 2 3
1 2 3
21
1 1 1 7
12
u u u
u u u
ì + + =
ï
í + + =
ï
î
f) 1 2 3 4
2 2 2 2
1 2 3 4
30
340
u u u u
u u u u
ì + + + =ï
í
+ + + =ïî
Baøi 2: a) Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân.
b) Giữa các số 243 và 1 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân.
Baøi 3: Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216.
Baøi 4: a) Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng công bội là 3, tổng số các số hạng là
728 và số hạng cuối là 486.
b) Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các
số hạng là 889.
Baøi 5: a) Tìm 4 góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối
gấp 9 lần góc thứ hai.
b) Độ dài các cạnh của DABC lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng DABC có hai
góc không quá 600
.
Baøi 6: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng
thứ nhất 35, còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560.
Baøi 7: Số số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn. Tổng tất cả các số hạng của nó lớn gấp 3
lần tổng các số hạng có chỉ số lẻ. Xác định công bội của cấp số đó.
Baøi 8: Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là
148
9
, đồng thời,
theo thứ tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng.
Baøi 9: Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2 thì các số đó
tạo thành một cấp số cộng, còn nếu sau đó tăng số cuối thêm 9 thì chúng lại lập thành một
cấp số nhân.
Baøi 10: Tìm 4 số trong đó ba số đầu là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân, còn ba số sau là
ba số hạng kế tiếp của một cấp số cộng; tổng hai số đầu và cuối bằng 32, tổng hai số giữa
bằng 24.
Baøi 11: Tìm các số dương a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b lập thành một cấp số cộng và (b + 1)2
,
ab + 5, (a + 1)2
lập thành một cấp số nhân.
Baøi 12: Chứng minh rằng nếu 3 số
2 1 2
, ,
y x y y z- -
lập thành một cấp số cộng thì 3 số x, y, z lập
thành một cấp số nhân.
5. Trần Sĩ Tùng www.MATHVN.com
www.MATHVN.com Trang 5
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III
Bài 1: Tính tổng : S n n1.2 2.3 ... ( 1)= + + + +
Bài 2: Dãy số ( )nu xác định bởi công thức:
1
1
1
3 1n n
u
u u+
=ìï
í
= -ïî
với 1n ³ .
Chứng minh dãy số tăng bằng phương pháp quy nạp
Bài 3: Cho dãy số )( nu xác định bởi:
4
5
1 =u và
2
1
1
+
=+
n
n
u
u với mọi 1³n .
a) Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với mọi 1³n ta có 1
2
1
1
+= +nnu .
b) Chứng minh rằng dãy số )( nu là dãy giảm và bị chặn.
Bài 4: Xét tính tăng, giảm của dãy số ( )nu với:
a) n
nu 2-
= b)
3 1
4
n
n n
n
u
+
=
Bài 5: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 =2 và 1 2n nu u+ = + với mọi 1n ³ . Chứng minh un = 2
với mọi 1n ³ . Có nhận xét gì về dãy số này ?
Bài 6: Cấp số cộng:
a) Tìm các nghiệm của phương trình: x x x3 2
–15 71 –105 0+ = . Biết rằng các nghiệm này
tạo thành một cấp số cộng.
b) Cho một cấp số cộng biết tổng ba số hạng đầu tiên bằng –6 và tổng các bình phương của
chúng bằng 30. Hãy tìm cấp số cộng đó.
c) Cho phương trình x m x m4 2 2
–(3 4) ( 1) 0+ + + = . Định m dể phương trình có bốn
nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
d) Cho các số a, b, c thoả mãn
1 1 1
, ,
a b a c b c+ + +
tạo thành một cấp số cộng. Chứng minh
rằng a b c2 2 2
, , cũng tạo thành một cấp số cộng
e) Nếu số thứ p, thứ q và thứ r của một cấp số cộng lần lượt là a, b, c. Chứng minh rằng:
q r a r p b p q c( – ) ( – ) ( – ) 0+ + =
f) Cho biết tổng n số hạng của một cấp số cộng là nS n n(5 –3)= . Tìm số hạng thứ p của
cấp số cộng đó.
g) Cho hai cấp số cộng lần lượt có tổng n số hạng là nS n7 1= + và nT n4 7= + . Tìm tỉ số
11
11
u
v
của 2 số hạng thứ 11 của hai cấp số đó.
Bài 7: Cấp số nhân:
a) Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số nhân, biết số hạng thứ hai là 16 và tổng ba số
hạng đầu bằng 56.
b) Một cấp số nhân ( )nu có 5 số hạng, biết công bội
1
4
q = và 1 4 24u u+ = . Tìm các số hạng
của cấp số nhân này.
Bài 8: Cấp số cộng – Cấp số nhân:
a) Các số x y x y x y6 , 5 2 , 8+ + + , theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng. Đồng thời
1, 2, 3- + -x y x y theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Hãy tìm x và y.
b) Cho 3 số có tổng bằng 28 lập thành cấp số nhân. Tìm cấp số nhân đó biết nếu số thứ nhất
giảm 4 thì ta được 3 số lập thành cấp số cộng.
c) Tìm hai số a và b biết ba số: 1, 8a + , b theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và ba số
1, ,a b theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
6. www.MATHVN.com Trần Sĩ Tùng
Trang 6 www.MATHVN.com
d) Ba số có tổng là 217 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một CSN, hoặc là các số hạng
thứ 2, thứ 9 và thứ 44 của một CSC. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của CSC để tổng
của chúng là 280?
e) Một CSC và một CSN có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của CSC lớn hơn số
hạng thứ 2 của CSN là 10, còn các số hạng thứ 3 bằng nhau. Tìm các cấp số ấy?
Bài 9: Cho dãy số (un) với
2 5
2 5
n n
n n n
u
-
=
+
. Tính 10
1 2 10
1 1 1
....
1 1 1
S
u u u
= + + +
- - -
.
Bài 10: Cho dãysố(un), kí hiệu tổng n số hạngđầu tiên củanó là Sn, đượcxácđịnh
2
37 2
nn
Sn
-
= .
a) Tính u1, u2, u3.
b) Chứng minh dãy số trên là một cấp số cộng và xác định số hạng tổng quát của nó.