1. Bài tập chương 4,5,6
1) Trong KG 3 R cho qui tắc:
3
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 x (x ,x ,x   ),y  (y ,y ,y )R ,x,y  2x y 3x y .
Qui tắc trên có phải là một tích vô hướng trong KG 3 R không? Tại sao?
2) Trong KG 3 R cho tích vô hướng:
3
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 x  (x ,x ,x ),y  (y ,y ,y )R ,x,y  x y  x y 3x y .
Hãy trực giao hóa hệ vector 1 2 3 S {u  (1,1,1),u  (1,1,0),u  (1,0,0)}.
3) Trên 2 P [x], cho hệ vector 2
1 2 B{u  5,u  3x }. Hãy trực chuẩn hóa B với tích vô
hướng:
1
p,qP [x], p,q  pqdx.
2
0
4) Tìm giá trị riêng, vector riêng, cơ sở của không gian riêng tương ứng của ma trận
 2  1 2

 
 
 
     
A 5 3 3 .
1 0 2
5) Cho
1 4 1
 
 
  
 
      
A 2 4 1 .
Ma trận A có chéo hóa được trên R hay không? Tại sao?
2 4 2
6) Cho ma trận
 2  1  1

 
 
 
   
A 1 0 1 .
1 1 2
a) Chéo hóa ma trận A.
b) Tính nA.
7) Tính nA , n = 1,2,... với
1 4
 
 
 
A .
1 1
8) Cho ma trận đối xứng thực
 2  1  1

 
  
 
    
A 1 2 1 .
1 1 2
a) Hãy chéo hóa trực giao ma trận A.
b) Hãy thực hiện phép biến đổi trực giao đưa dạng toàn phương f (x,x) có ma
trận biểu diễn diễn là ma trận A về dạng chính tắc và viết dạng chính tắc đó.

2. 9) Hãy đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange:
a) 2 2 2
1 2 3 1 2 2 f (x,x) 4x 2x 3x 8x x 6x x 3 9x x1 3.
b) 1 2 2 3 3 4 f (x, x) x x  x x  x x .
10) Hãy đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phương pháp chéo hóa
trực giao:
a) 2 2
1 2 1 2 f (x,x)  5x 5x  4x x .
b)
2 2 2
1 2 3 1 3 2 3 f (x,x)  2x  2x 3x  2x x  2x x .