Ds10 c6a

1. Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 56
I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho OA OM( , ) a= . Giả sử M x y( ; ).
( )
x OH
y OK
AT k
BS k
cos
sin
sin
tan
cos 2
cos
cot
sin
a
a
a p
a a p
a
a
a a p
a
= =
= =
æ ö
= = ¹ +ç ÷
è ø
= = ¹
Nhận xét:
· , 1 cos 1; 1 sin 1a a a" - £ £ - £ £
· tana xác định khi k k Z,
2
p
a p¹ + Î · cota xác định khi k k Z,a p¹ Î
· ksin( 2 ) sina p a+ = · ktan( ) tana p a+ =
kcos( 2 ) cosa p a+ = kcot( ) cota p a+ =
2. Dấu của các giá trị lượng giác
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
0
6
p
4
p
3
p
2
p 2
3
p 3
4
p
p
3
2
p
2p
00
300
450
600
900
1200
1350
1800
2700
3600
sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
0 –1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
-
2
2
- –1 0 1
tan 0
3
3
1 3 3- –1 0 0
cot 3 1
3
3
0
3
3
- –1 0
CHƯƠNG VI
GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Phần tư
Giá trị lượng giác
I II III IV
cosa + – – +
sina + + – –
tana + – + –
cota + – + –
cosin
O
cotang
sin
tang
H A
M
K
B S
a
T

2. Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 57
4. Hệ thức cơ bản:
2 2
sin cos 1a a+ = ; tan .cot 1a a = ; 2 2
2 2
1 1
1 tan ; 1 cot
cos sin
a a
a a
+ = + =
5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
II. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng
2. Công thức nhân đôi
sin2 2sin .cosa a a=
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a= - = - = -
2
2
2tan cot 1
tan2 ; cot 2
2cot1 tan
a a
a a
aa
-
= =
-
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = +
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a- = -
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = -
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b- = +
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
-
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
-
- =
+
Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
p a p a
a a
a a
æ ö æ ö+ -
+ = - =ç ÷ ç ÷
- +è ø è ø
Góc hơn kém p Góc hơn kém
2
p
sin( ) sinp a a+ = - sin cos
2
p
a a
æ ö
+ =ç ÷
è ø
cos( ) cosp a a+ = - cos sin
2
p
a a
æ ö
+ = -ç ÷
è ø
tan( ) tanp a a+ = tan cot
2
p
a a
æ ö
+ = -ç ÷
è ø
cot( ) cotp a a+ = cot tan
2
p
a a
æ ö
+ = -ç ÷
è ø
Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau
cos( ) cosa a- = sin( ) sinp a a- = sin cos
2
p
a a
æ ö
- =ç ÷
è ø
sin( ) sina a- = - cos( ) cosp a a- = - cos sin
2
p
a a
æ ö
- =ç ÷
è ø
tan( ) tana a- = - tan( ) tanp a a- = - tan cot
2
p
a a
æ ö
- =ç ÷
è ø
cot( ) cota a- = - cot( ) cotp a a- = - cot tan
2
p
a a
æ ö
- =ç ÷
è ø

3. Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 58
3. Công thức biến đổi tổng thành tích
4. Công thức biến đổi tích thành tổng
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a
a
a
a
a
-
=
+
=
-
=
+
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
a a a
a a a
a a
a
a
= -
= -
-
=
-
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ -
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ -
- = -
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ -
+ =
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ -
- =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
-
- =
sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
+ =
b a
a b
a b
sin( )
cot cot
sin .sin
-
- =
sin cos 2.sin 2.cos
4 4
p p
a a a a
æ ö æ ö
+ = + = -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
p p
a a a a
æ ö æ ö
- = - = - +ç ÷ ç ÷
è ø è ø
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
é ù= - + +ë û
é ù= - - +ë û
é ù= - + +ë û

4. Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 59
VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn
của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.
Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) A = 0 0
sin50 .cos( 300 )- b) B = 0 21
sin215 .tan
7
p
c) C =
3 2
cot .sin
5 3
p pæ ö
-ç ÷
è ø
d) D = c
4 4 9
os .sin .tan .cot
5 3 3 5
p p p p
Bài 2. Cho 0 0
0 90a< < . Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = 0
sin( 90 )a + b) B = 0
cos( 45 )a -
c) C = 0
cos(270 )a- d) D = 0
cos(2 90 )a +
Bài 3. Cho 0
2
p
a< < . Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = cos( )a p+ b) B = tan( )a p-
c) C =
2
sin
5
p
a
æ ö
+ç ÷
è ø
d) D =
3
cos
8
p
a
æ ö
-ç ÷
è ø
Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = A B Csin sin sin+ + b) B = A B Csin .sin .sin
c) C =
A B C
cos .cos .cos
2 2 2
d) D =
A B C
tan tan tan
2 2 2
+ +
Bài 5.
a)
VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị
lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
1. Cho biết sina, tính cosa, tana, cota
· Từ 2 2
sin cos 1a a+ = Þ 2
cos 1 sina a= ± - .
– Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc IV thì 2
cos 1 sina a= - .
– Nếu a thuộc góc phần tư II hoặc III thì 2
cos 1 sina a= - - .
· Tính
sin
tan
cos
a
a
a
= ;
1
cot
tan
a
a
= .
2. Cho biết cosa, tính sina, tana, cota
· Từ 2 2
sin cos 1a a+ = Þ 2
sin 1 cosa a= ± - .
– Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc II thì 2
sin 1 cosa a= - .
– Nếu a thuộc góc phần tư III hoặc IV thì 2
sin 1 cosa a= - - .
· Tính
sin
tan
cos
a
a
a
= ;
1
cot
tan
a
a
= .

5. Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 60
3. Cho biết tana, tính sina, cosa, cota
· Tính
1
cot
tan
a
a
= .
· Từ 2
2
1
1 tan
cos
a
a
= + Þ
2
1
cos
1 tan
a
a
= ±
+
.
– Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc IV thì
2
1
cos
1 tan
a
a
=
+
.
– Nếu a thuộc góc phần tư II hoặc III thì
2
1
cos
1 tan
a
a
= -
+
.
· Tính sin tan .cosa a a= .
4. Cho biết cota, tính sina, cosa, tana
· Tính
1
tan
cot
a
a
= .
· Từ 2
2
1
1 cot
sin
a
a
= + Þ
2
1
sin
1 cot
a
a
= ±
+
.
– Nếu a thuộc góc phần tư I hoặc II thì
2
1
sin
1 cot
a
a
=
+
.
– Nếu a thuộc góc phần tư III hoặc IV thì
2
1
sin
1 cot
a
a
= -
+
.
II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức
· Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.
· Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:
A B A B AB2 2 2
( ) 2+ = + - A B A B A B4 4 2 2 2 2 2
( ) 2+ = + -
A B A B A AB B3 3 2 2
( )( )+ = + - + A B A B A AB B3 3 2 2
( )( )- = - + +
IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình
· Đặt t x t2
sin , 0 1= £ £ Þ x t2
cos = . Thế vào giả thiết, tìm được t.
Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính.
· Thiết lập phương trình bậc hai: t St P2
0- + = với S x y P xy;= + = . Từ đó tìm x, y.
Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:
a) a a0 04
cos , 270 360
5
= < < b)
2
cos , 0
25
p
a a= - < <
c) a a
5
sin ,
13 2
p
p= < < d) 0 01
sin , 180 270
3
a a= - < <
e) a a
3
tan 3,
2
p
p= < < f) tan 2,
2
p
a a p= - < <
g) 0
cot15 2 3= + h)
3
cot 3,
2
p
a p a= < <
Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:

6. Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 61
a)
a a
A khi a a
a a
cot tan 3
sin , 0
cot tan 5 2
p+
= = < <
-
ĐS:
25
7
b)
a a
B khi a a
a a
2
0 08tan 3cot 1 1
sin , 90 180
tan cot 3
+ -
= = < <
+
ĐS:
8
3
c)
a a a a
C khi a
a a a a
2 2
2 2
sin 2sin .cos 2cos
cot 3
2sin 3sin .cos 4cos
+ -
= = -
- +
ĐS:
23
47
-
d)
a a
D khi a
a a3 3
sin 5cos
tan 2
sin 2cos
+
= =
-
ĐS:
55
6
e)
a a a
E khi a
a a
3 3
3
8cos 2sin cos
tan 2
2cos sin
- +
= =
-
ĐS:
3
2
-
g)
a a
G khi a
a a
cot 3tan 2
cos
2 cot tan 3
+
= = -
+
ĐS:
19
13
h)
a a
H khi a
a a
sin cos
tan 5
cos sin
+
= =
-
ĐS:
3
2
-
Bài 3. Cho a a
5
sin cos
4
+ = . Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A a asin .cos= b) B a asin cos= - c) C a a3 3
sin cos= -
ĐS: a)
9
32
b)
7
4
± c)
41 7
128
±
Bài 4. Cho a atan cot 3- = . Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A a a2 2
tan cot= + b) B a atan cot= + c) C a a4 4
tan cot= -
ĐS: a) 11 b) 13± c) 33 13±
Bài 5.
a) Cho x x4 4 3
3sin cos
4
+ = . Tính A x x4 4
sin 3cos= + . ĐS:
7
A
4
=
b) Cho x x4 4 1
3sin cos
2
- = . Tính B x x4 4
sin 3cos= + . ĐS: B = 1
c) Cho x x4 4 7
4sin 3cos
4
+ = . Tính C x x4 4
3sin 4cos= + . ĐS: C C
7 57
4 28
= Ú =
Bài 6.
a) Cho x x
1
sin cos
5
+ = . Tính x x x xsin , cos , tan , cot .
b) Cho x xtan cot 4+ = . Tính x x x xsin , cos , tan , cot .
ĐS: a)
4 3 4 3
; ; ;
5 5 3 4
- - - b)
1 2 3
; ; 2 3; 2 3
22 2 3
-
+ -
-
hoặc
2 3 1
2 3; 2 3; ;
2 2 2 3
-
- +
-
Bài 7.
a)

7. Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 62
VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết).
Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau:
a) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550
b)
7 13 5 10 5 11 16 13 29 31
9 ; 11 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
2 4 4 3 3 3 3 6 6 4
p p p p p p p p p p
p p - - - -
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A x x xcos cos(2 ) cos(3 )
2
p
p p
æ ö
= + + - + +ç ÷
è ø
b) B x x x x
7 3
2cos 3cos( ) 5sin cot
2 2
p p
p
æ ö æ ö
= - - + - + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
c) C x x x x
3
2sin sin(5 ) sin cos
2 2 2
p p p
p
æ ö æ ö æ ö
= + + - + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
d) D x x x x
3 3
cos(5 ) sin tan cot(3 )
2 2
p p
p p
æ ö æ ö
= - - + + - + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A
0 0 0 0
0 0
sin( 328 ).sin958 cos( 508 ).cos( 1022 )
cot 572 tan( 212 )
- - -
= -
-
ĐS: A = –1
b) B
0 0
0
0 0
sin( 234 ) cos216
.tan36
sin144 cos126
- -
=
-
ĐS: B 1= -
c) C 0 0 0 0 0
cos20 cos40 cos60 ... cos160 cos180= + + + + + ĐS: C 1= -
d) D 2 0 2 0 2 0 2 0
cos 10 cos 20 cos 30 ... cos 180= + + + + ĐS: D 9=
e) E 0 0 0 0 0
sin20 sin 40 sin60 ... sin340 sin360= + + + + + ĐS: E 0=
f) x x x x0 0 0 0
2sin(790 ) cos(1260 ) tan(630 ).tan(1260 )+ + - + + - ĐS: F x1 cos= +
Bài 4.
a)
VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác.
Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức.
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:
A B C p+ + = và
A B C
2 2 2 2
p
+ + =
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) x x x4 4 2
sin cos 1 2cos- = -
b) x x x x4 4 2 2
sin cos 1 2cos .sin+ = -
c) x x x x6 6 2 2
sin cos 1 3sin .cos+ = -

8. Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 63
d) x x x x x x8 8 2 2 4 4
sin cos 1 4sin .cos 2sin .cos+ = - +
e) x x x x2 2 2 2
cot cos cos .cot- =
f) x x x x2 2 2 2
tan sin tan .sin- =
g) x x x x x1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )+ + + = + +
h) x x x x x x x x2 2
sin .tan cos .cot 2sin .cos tan cot+ + = +
i)
x x x
x x x
sin cos 1 2cos
1 cos sin cos 1
+ -
=
- - +
k)
x
x
x
2
2
2
1 sin
1 tan
1 sin
+
= +
-
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
a b
a b
a b
tan tan
tan .tan
cot cot
+
=
+
b)
a a a
a a a a a
2
2
sin cos 1 cot
sin cos cos sin 1 cot
+
- =
- - -
c)
a a
a a
a a
2 2
sin cos
1 sin .cos
1 cot 1 tan
- - =
+ +
d)
a a a
a a
a a a
2
2
sin sin cos
sin cos
sin cos tan 1
+
- = +
- -
e)
a a
a
a a
2
2
1 cos (1 cos )
1 2cot
sin sin
é ù+ -
- =ê ú
ë û
f)
a a a
a a a a
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan
.
1 tan cot tan cot
+ +
=
+ +
g)
a a
a
a a
2
21 sin 1 sin
4tan
1 sin 1 sin
æ ö+ -
- =ç ÷
- +è ø
h)
a b a b
a b a b
2 2 2 2
2 2 2 2
tan tan sin sin
tan .tan sin .sin
- -
=
i)
a a
a
a a
2 2
6
2 2
sin tan
tan
cos cot
-
=
-
k)
a a
a a
a aa a
3 3
3 3
2 2
tan 1 cot
tan cot
sin .cossin cos
- + = +
Bài 3. Cho
x a
vôùi a b
a b a b
4 4
sin cos 1
, , 0.+ = >
+
Chứng minh:
x x
a b a b
8 8
3 3 3
sin cos 1
( )
+ =
+
.
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a) x x x2 2 2
(1 sin )cot 1 cot- + - b) x x x x2 2
(tan cot ) (tan cot )+ - -
c)
x x x
x x x
2 2 2
2 2 2
cos cos .cot
sin sin .tan
+
+
d) x a y a x a y a2 2
( .sin .cos ) ( .cos .sin )- + +
e)
x x
a x
2 2
2 2
sin tan
cos cot
-
-
f)
x x x
x x x
2 2 4
2 2 4
sin cos cos
cos sin sin
- +
- +
g) x x x x2 2
sin (1 cot ) cos (1 tan )+ + + h)
x x
x
x x
1 cos 1 cos
; (0, )
1 cos 1 cos
p
+ -
- Î
- +
i)
x x
x
x x
1 sin 1 sin
; ;
1 sin 1 sin 2 2
p pæ ö+ -
+ Î -ç ÷
- + è ø
k) x x x x2 2 3
cos tan sin ; ;
2 2
p pæ ö
- - Îç ÷
è ø
Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
a) x x x x4 4 6 6
3(sin cos ) 2(sin cos )+ - + ĐS: 1
b) x x x x x8 8 6 6 4
3(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin- + - + ĐS: 1
c) x x x x4 4 2 2
(sin cos 1)(tan cot 2)+ - + + ĐS: –2
d) x x x x x2 2 2 2 2
cos .cot 3cos cot 2sin+ - + ĐS: 2
e)
x x
x x x
4 4
6 6 4
sin 3cos 1
sin cos 3cos 1
+ -
+ + -
ĐS:
2
3

9. Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 64
f)
x x x x
x x
2 2 2 2
2 2
tan cos cot sin
sin cos
- -
+ ĐS: 2
g)
x x
x x
6 6
4 4
sin cos 1
sin cos 1
+ -
+ -
ĐS:
3
2
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a) B A Csin sin( )= + b) A B Ccos( ) cos+ = -
c)
A B C
sin cos
2 2
+
= d) B C A Ccos( ) cos( 2 )- = - +
e) A B C Ccos( ) cos2+ - = - f)
A B C
A
3
cos sin2
2
- + +
= -
g)
A B C
C
3
sin cos
2
+ +
= h)
A B C C2 3
tan cot
2 2
+ -
=
Bài 7.
a)
VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = +
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a- = -
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = -
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b- = +
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
-
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
-
- =
+
Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
p a p a
a a
a a
æ ö æ ö+ -
+ = - =ç ÷ ç ÷
- +è ø è ø
Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:
a) 0 0 0
15 ; 75 ; 105 b)
5 7
; ;
12 12 12
p p p
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) khi
3
tan sin ,
3 5 2
p p
a a a p
æ ö
+ = < <ç ÷
è ø
ĐS:
38 25 3
11
-
b) khi
12 3
cos sin , 2
3 13 2
p p
a a a p
æ ö
- = - < <ç ÷
è ø
ĐS:
(5 12 3)
26
-
c) a b a b khi a b
1 1
cos( ).cos( ) cos , cos
3 4
+ - = = ĐS:
119
144
-
d) a b a b a bsin( ), cos( ), tan( )- + + khi a b
8 5
sin , tan
17 12
= = và a, b là các góc nhọn.
ĐS:
21 140 21
; ; .
221 221 220
e) a b a btan tan , tan , tan+ khi a b a b0 , ,
2 4
p p
< < + = và a btan .tan 3 2 2= - . Từ đó

10. Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 65
suy ra a, b . ĐS: 2 2 2- ; a b a btan tan 2 1,
8
p
= = - = =
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
a) A = o o o2 2 2
sin 20 sin 100 sin 140+ + ĐS:
3
2
b) B = o o o2 2
cos 10 cos110 cos 130+ + ĐS:
3
2
c) C = o o o o o o
tan20 .tan80 tan80 .tan140 tan140 .tan20+ + ĐS: –3
d) D = o o o o o o
tan10 .tan70 tan 70 .tan130 tan130 .tan190+ + ĐS: –3
e) E =
o o o
o o
cot 225 cot 79 .cot71
cot 259 cot 251
-
+
ĐS: 3
f) F = o o2 2
cos 75 sin 75- ĐS:
3
2
-
g) G =
o
0
1 tan15
1 tan15
-
+
ĐS:
3
3
h) H = 0 0
tan15 cot15+ ĐS: 4
HD: 0 0 0 0 0 0
40 60 20 ; 80 60 20= - = + ; 0 0 0 0 0 0
50 60 10 ; 70 60 10= - = +
Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:
a) x y x y x y2 2
sin( ).sin( ) sin sin+ - = -
b)
x y
x y
x y x y
2sin( )
tan tan
cos( ) cos( )
+
+ =
+ + -
c) x x x x x x
2 2
tan .tan tan .tan tan .tan 3
3 3 3 3
p p p pæ ö æ ö æ ö æ ö
+ + + + + + = -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
d) x x x x
3 2
cos .cos cos .cos (1 3)
3 4 6 4 4
p p p pæ ö æ ö æ ö æ ö
- + + + + = -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
e) o o o o
(cos70 cos50 )(cos230 cos290 )+ + o o o o
(cos40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0+ + + =
f)
x x
x x
x x
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan 2 .tan
-
=
-
Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:
a) a a b khi b a cos a b2tan tan( ) sin sin . ( )= + = +
b) a a b khi b a b2tan tan( ) 3sin sin(2 )= + = +
c) a b khi a b a b
1
tan .tan cos( ) 2cos( )
3
= - + = -
d)
k
a b b khi a b k a
k
1
tan( ).tan cos( 2 ) cos
1
-
+ = + =
+
HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a
c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a) C A B B Asin sin .cos sin .cos= +
b)
C
A B A B
A B
0sin
tan tan ( , 90 )
cos .cos
= + ¹
c) A B C A B C A B C 0
tan tan tan tan .tan .tan ( , , 90 )+ + = ¹
d) A B B C C Acot .cot cot .cot cot .cot 1+ + =

11. Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 66
e)
A B B C C A
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
+ + =
f)
A B C A B C
cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
+ + =
g) oC B
B C A
B A C A
cos cos
cot cot ( 90 )
sin .cos sin .cos
+ = + ¹
h)
A B C A B C A B C A B C
cos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= + +
i)
A B C A B C2 2 2
sin sin sin 1 2sin sin sin
2 2 2 2 2 2
+ + = +
HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 1800
e, f) Sử dụng
A B C 0
90
2 2 2
æ ö
+ + =ç ÷
è ø
g) VT = VP = tanA h) Khai triển
A B C
cos
2 2 2
æ ö
+ +ç ÷
è ø
i) Khai triển
A B C
sin
2 2 2
æ ö
+ +ç ÷
è ø
.
Chú ý: Từ
B C A
cos sin
2 2 2
æ ö
+ =ç ÷
è ø
Þ
B C A B C
cos .cos sin sin .sin
2 2 2 2 2
= +
Þ
A B C A A B C2
sin .cos .cos sin sin .sin .sin
2 2 2 2 2 2 2
= +
Bài 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh:
a) A B C ABC nhoïntan tan tan 3 3, .D+ + ³ "
b) A B C ABC nhoïn2 2 2
tan tan tan 9, .D+ + ³ "
c) A B C ABC nhoïn6 6 6
tan tan tan 81, .D+ + ³ "
d)
A B C2 2 2
tan tan tan 1
2 2 2
+ + ³
e)
A B C
tan tan tan 3
2 2 2
+ + ³
HD: a, b, c) Sử dụng A B C A B Ctan tan tan tan .tan .tan+ + = và BĐT Cô–si
d) Sử dụng a b c ab bc ca2 2 2
+ + ³ + +
và
A B B C C A
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
+ + =
e) Khai triển
A B C
2
tan tan tan
2 2 2
æ ö
+ +ç ÷
è ø
và sử dụng câu c)
Bài 8.
a)

12. Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 67
VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân
Công thức nhân đôi
sin2 2sin .cosa a a=
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a= - = - = -
2
2
2tan cot 1
tan2 ; cot 2
2cot1 tan
a a
a a
aa
-
= =
-
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) khi
5 3
cos2 , sin2 , tan2 cos ,
13 2
p
a a a a p a= - < <
b) khicos2 , sin2 , tan2 tan 2a a a a =
c) khi
4 3
sin , cos sin2 ,
5 2 2
p p
a a a a= - < <
d) khi
7
cos2 , sin2 , tan2 tan
8
a a a a =
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức sau:
a) o o o o
A cos20 .cos40 .cos60 .cos80= ĐS:
1
16
b) o o o
B sin10 .sin50 .sin70= ĐS:
1
8
c) C
4 5
cos .cos .cos
7 7 7
p p p
= ĐS:
1
8
d) D 0 0 0
cos10 .cos50 .cos70= ĐS:
3
8
e) o o o o
E sin6 .sin 42 .sin66 .sin78= ĐS:
1
16
f) G
2 4 8 16 32
cos .cos .cos .cos .cos
31 31 31 31 31
p p p p p
= ĐS:
1
32
h) o o o o o
H sin5 .sin15 .sin25 .... sin75 .sin85= ĐS:
2
512
i) I 0 0 0 0 0
cos10 .cos20 .cos30 ...cos70 .cos80= ĐS:
3
256
k) K 96 3 sin .cos .cos cos cos
48 48 24 12 6
p p p p p
= ĐS: 9
l) L
2 3 4 5 6 7
cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos
15 15 15 15 15 15 15
p p p p p p p
= ĐS:
1
128
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
a
a
a
a
a
a
a
-
=
+
=
-
=
+
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
a a a
a a a
a a
a
a
= -
= -
-
=
-

13. Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 68
m) M sin .cos .cos
16 16 8
p p p
= ĐS:
2
8
Bài 3. Chứng minh rằng:
a)
n
n
n
a a a a a
P
a2 3
sin
cos cos cos ... cos
2 2 2 2 2 .sin
2
= =
b)
n
n
Q
n n n
2 1
cos .cos ... cos
2 1 2 1 2 1 2
p p p
= =
+ + +
c)
n
R
n n n
2 4 2 1
cos .cos ... cos
2 1 2 1 2 1 2
p p p
= = -
+ + +
Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:
a) x x4 4 3 1
sin cos cos4
4 4
+ = + b) x x x6 6 5 3
sin cos cos4
8 8
+ = +
c) x x x x x3 3 1
sin .cos cos .sin sin 4
4
- = d)
x x
x x6 6 21
sin cos cos (sin 4)
2 2 4
- = -
e)
x
x 2
1 sin 2sin
4 2
pæ ö
- = -ç ÷
è ø
f)
x
x x
2
2
1 sin
1
2cot .cos
4 4
p p
-
=
æ ö æ ö
+ -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
g)
x
x
x
1 cos
2tan . 1
4 2
sin
2
p
p
p
æ ö
+ +ç ÷æ ö è ø+ =ç ÷
è ø æ ö
+ç ÷
è ø
h)
x
x
x
1 sin2
tan
4 cos2
pæ ö +
+ =ç ÷
è ø
i)
x x
x
cos
cot
1 sin 4 2
pæ ö
= -ç ÷
- è ø
k)
x x
x x
x x
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan .tan 2
-
=
-
l) x x xtan cot 2cot= - m) x x
x
2
cot tan
sin2
+ =
n)
x
x vôùi x
1 1 1 1 1 1
cos cos , 0 .
2 2 2 2 2 2 8 2
p
+ + + = < <
Bài 5.
a)
VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi
1. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ -
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ -
- = -
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ -
+ =
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ -
- =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
-
- =
sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
+ =
b a
a b
a b
sin( )
cot cot
sin .sin
-
- =

14. Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 69
2. Công thức biến đổi tích thành tổng
Bài 1. Biến đổi thành tổng:
a) a b a b2sin( ).cos( )+ - b) a b a b2cos( ).cos( )+ -
c) x x x4sin3 .sin2 .cos d)
x x
x
13
4sin .cos .cos
2 2
e) o o
x xsin( 30 ).cos( 30 )+ - f)
2
sin .sin
5 5
p p
g) x x x2sin .sin2 .sin3 . h) x x x8cos .sin2 .sin3
i) x x xsin .sin .cos2
6 6
p pæ ö æ ö
+ -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
k) a b b c c a4cos( ).cos( ).cos( )- - -
Bài 2. Chứng minh:
a) x x x x4cos .cos cos cos3
3 3
p pæ ö æ ö
- + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
b) x x x x4sin .sin sin sin3
3 3
p pæ ö æ ö
- + =ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Áp dụng tính:
o o o
A sin10 .sin50 .sin70= o o o
B cos10 .cos50 .cos70=
C 0 0 0
sin20 .sin 40 .sin80= D 0 0 0
cos20 .cos40 .cos80=
Bài 3. Biến đổi thành tích:
a) x2sin 4 2+ b) x2
3 4cos-
c) x2
1 3tan- d) x x xsin2 sin 4 sin6+ +
e) x x3 4cos4 cos8+ + f) x x x xsin5 sin6 sin7 sin8+ + +
g) x x x1 sin2 – cos2 – tan2+ h) o o
x x2 2
sin ( 90 ) 3cos ( 90 )+ - -
i) x x x xcos5 cos8 cos9 cos12+ + + k) x xcos sin 1+ +
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
x x x x
A
x x x x
cos7 cos8 cos9 cos10
sin7 sin8 sin9 sin10
- - +
=
- - +
b)
x x x
B
x x x
sin2 2sin3 sin 4
sin3 2sin 4 sin5
+ +
=
+ +
c)
x x x
C
x x2
1 cos cos2 cos3
cos 2cos 1
+ + +
=
+ -
d)
x x x
D
x x x
sin 4 sin5 sin6
cos4 cos5 cos6
+ +
=
+ +
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A
2
cos cos
5 5
p p
= + b) B
7
tan tan
24 24
p p
= +
c) o o o
C 2 2 2
sin 70 .sin 50 .sin 10= d) o o o o
D 2 2
sin 17 sin 43 sin17 .sin 43= + +
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
é ù= - + +ë û
é ù= - - +ë û
é ù= - + +ë û
sin cos 2.sin 2.cos
4 4
p p
a a a a
æ ö æ ö
+ = + = -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
p p
a a a a
æ ö æ ö
- = - = - +ç ÷ ç ÷
è ø è ø

15. Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 70
e) o
o
E
1
2sin 70
2sin10
= - f)
o o
F
1 3
sin10 cos10
= -
g)
o o
o o o o
G
tan80 cot10
cot 25 cot 75 tan25 tan75
= -
+ +
h) H 0 0 0 0
tan9 tan27 tan63 tan81= - - +
ĐS: A
1
2
= B 2( 6 3)= - C
1
64
= D
3
4
=
E = 1 F = 4 G = 1 H = 4
Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
7 13 19 25
sin sin sin sin sin
30 30 30 30 30
p p p p p
ĐS:
1
32
b) o o o o o
16.sin10 .sin30 .sin50 .sin70 .sin90 ĐS: 1
c) o o o o
cos24 cos48 cos84 cos12+ - - ĐS:
1
2
d)
2 4 6
cos cos cos
7 7 7
p p p
+ + ĐS:
1
2
-
e)
2 3
cos cos cos
7 7 7
p p p
- + ĐS:
1
2
f)
5 7
cos cos cos
9 9 9
p p p
+ + ĐS: 0
g)
2 4 6 8
cos cos cos cos
5 5 5 5
p p p p
+ + + ĐS: –1
h)
3 5 7 9
cos cos cos cos cos
11 11 11 11 11
p p p p p
+ + + + ĐS:
1
2
Bài 7. Chứng minh rằng:
a) o o o o
tan9 tan27 tan63 tan81 4- - + =
b) o o o
tan20 tan40 tan80 3 3- + =
c) o o o o
tan10 tan50 tan60 tan70 2 3- + + =
d) o o o o o8 3
tan30 tan 40 tan50 tan60 .cos20
3
+ + + =
e) o o o o o
tan20 tan 40 tan80 tan60 8sin40+ + + =
f) o o o6 4 2
tan 20 33tan 20 27tan 20 3 0- + - =
Bài 8. Tính các tổng sau:
a) S n k1 cos cos3 cos5 ... cos(2 1) ( )a a a a a p= + + + + - ¹
b)
n
S
n n n n2
2 3 ( 1)
sin sin sin ... sin .
p p p p-
= + + + +
c)
n
S
n n n n3
3 5 (2 1)
cos cos cos ... cos .
p p p p-
= + + +
d) S vôùi a
a a a a a a4
1 1 1
... , .
cos .cos2 cos2 .cos3 cos4 .cos5 5
p
= + + + =
e)
n
S
x x x x
5 1
1 1 1 1
1 1 1 ... 1
cos cos2 cos3 cos2 -
æ öæ öæ ö æ ö
= + + + +ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷
è øè øè ø è ø

16. Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 71
ĐS:
n
S1
sin2
2sin
a
a
= ; S
n2 cot
2
p
= ; S
n3 cos
p
= - ;
a a
S
a4
tan5 tan
1 5
sin
-
= = - ;
n
x
S
x
1
5
tan2
tan
2
-
=
Bài 9.
a) Chứng minh rằng: x x x3 1
sin (3sin sin3 ) (1)
4
= -
b) Thay n
nn n
a a a a
x vaøo tính S 3 3 1 3
2
(1), sin 3sin ... 3 sin .
33 3 3
-
= = + + +
ĐS: n
n n
a
S a
1
3 sin sin .
4 3
æ ö
= -ç ÷
è ø
Bài 10.
a) Chứng minh rằng:
a
a
a
sin2
cos
2sin
= .
b) Tính n n
x x x
P
2
cos cos ... cos .
2 2 2
= ĐS: n
n
n
x
P
x
sin
.
2 sin
2
=
Bài 11.
a) Chứng minh rằng:
x
x
x
1
cot cot
sin 2
= - .
b) Tính n
n
S k1
1
1 1 1
... (2 )
sin sin2 sin2
a p
a a a
-
-
= + + + ¹ ĐS: n
S 1
cot cot2
2
a
a-
= -
Bài 12.
a) Chứng minh rằng: x x x x2
tan .tan2 tan2 2tan= - .
b) Tính n
n n n
a a a a a
S a2 2 1 2
2 1
tan .tan 2tan .tan ... 2 tan .tan
2 22 2 2
-
-
= + + +
ĐS: n
n n
a
S atan 2 tan
2
= -
Bài 13. Tính x2
sin 2 , biết:
x x x x2 2 2 2
1 1 1 1
7
tan cot sin cos
+ + + = ĐS:
8
9
Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) x x x xcot tan 2 tan2 4cot 4- - = b)
x x
x x
2
1 2sin 2 1 tan2
1 sin 4 1 tan2
- +
=
- -
c)
x
x
x x
2
6
6 2
1 3tan
tan 1
cos cos
- = + d)
x x
x
x x x
1 sin2 cos2
tan 4
cos4 sin2 cos2
-
- =
+
e) x x x x x xtan6 tan 4 tan2 tan2 .tan 4 .tan6- - =
f)
x
x x x
x
sin7
1 2cos2 2cos4 2cos6
sin
= + + +
g) x x x x x xcos5 .cos3 sin7 .sin cos2 .cos4+ =
Bài 15.
a) Cho a b bsin(2 ) 5sin+ = . Chứng minh:
a b
a
2tan( )
3
tan
+
=

17. Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 72
b) Cho a b atan( ) 3tan+ = . Chứng minh: a b a bsin(2 2 ) sin2 2sin2+ + =
Bài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
A B C
A B Csin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
+ + =
b)
A B C
A B Ccos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
+ + = +
c) A B C A B Csin2 sin2 sin2 4sin .sin .sin+ + =
d) A B C A B Ccos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cos+ + = - -
e) A B C A B C2 2 2
cos cos cos 1 2cos .cos .cos+ + = -
f) A B C A B C2 2 2
sin sin sin 2 2cos .cos .cos+ + = +
Bài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biết:
a) B C vaø B C
1
sin .sin .
3 2
p
- = = ĐS: B C A, ,
2 6 3
p p p
= = =
b) B C vaø B C
2 1 3
sin .cos .
3 4
p +
+ = = ĐS: A B C
5
, ,
3 12 4
p p p
= = =
Bài 18. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông:
a) A B Ccos2 cos2 cos2 1+ + = - b) A B Ctan2 tan2 tan2 0+ + =
c)
b c a
B C B Ccos cos sin .sin
+ = d)
B a c
b
cot
2
+
=
Bài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:
a)
A B
a A b B a btan tan ( )tan
2
+
+ = + b) B C B C2
2tan tan tan .tan+ =
c)
A B
A B
A B
sin sin 1
(tan tan )
cos cos 2
+
= +
+
d)
C A B
C
2sin .sin
cot
2 sin
=
Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều:
a) A B C
3 3
sin sin sin
2
+ + £ HD: Cộng sin
3
p
vào VT.
b) A B C
3
cos cos cos
2
+ + £ HD: Cộng cos
3
p
vào VT.
c) A B Ctan tan tan 3 3+ + ³ (với A, B, C nhọn)
d) A B C
1
cos .cos .cos
8
£ HD: Biến đổi A B C
1
cos .cos .cos
8
- về dạng hằng đẳng thức.
Bài 21.
a)

18. Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 73
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG VI
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x
x
x x x
2 2 4
4
2 2 4
sin cos cos
tan
cos sin sin
- +
=
- +
b) x x x x x2
(tan2 tan )(sin2 tan ) tan- - =
c)
x
x x
x
2 2 6 2cos4
tan cot
1 cos4
+
+ =
-
d)
x x x
x x x
1 cos 1 cos 4cot
1 cos 1 cos sin
+ -
- =
- +
e)
x x
x x
x x
2 2
sin cos
1 sin .cos
1 cot 1 tan
- - =
+ +
f) x x x0 0
cos cos(120 ) cos(120 ) 0+ - + + =
g)
x x
x
x x
2 cos 2cos
4
tan
2sin 2 sin
4
p
p
æ ö
- +ç ÷
è ø =
æ ö
+ -ç ÷
è ø
h)
x x
x x
x
2 2
2 2
3
cot cot
2 2 8
3
cos .cos . 1 cot
2 2
-
=
æ ö
+ç ÷
è ø
i) x x x x6 6 21
cos sin cos2 1 sin 2
4
æ ö
- = -ç ÷
è ø
k) x x x x4 4
cos sin sin2 2 cos 2
4
pæ ö
- + = -ç ÷
è ø
Bài 2. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) x x x x4 4 6 6
3(sin cos ) 2(sin cos )+ - +
b) x x x x x x6 4 2 2 4 4
cos 2sin cos 3sin cos sin+ + +
c) x x x x
3
cos .cos cos .cos
3 4 6 4
p p p pæ ö æ ö æ ö æ ö
- + + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø è ø
d) x x x2 2 22 2
cos cos cos
3 3
p pæ ö æ ö
+ + + -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Bài 3. a) Chứng minh:
1
cot cot 2
sin2
a a
a
- = .
b) Chứng minh: x x
x x x x
1 1 1 1
cot cot16
sin 2 sin 4 sin8 sin16
+ + + = - .
Bài 4. a) Chứng minh: tan cot 2cot 2a a a= - .
b) Chứng minh:
n n n n
x x x x
x
2 2
1 1 1 1
tan tan ... tan cot cot
2 2 2 2 2 2 2 2
+ + + = - .
Bài 5. a) Chứng minh:
x x x2 2 2
1 4 1
4cos sin 2 4sin
= - .
b) Chứng minh:
n n
n n
x x x xx2
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1
...
sin4cos 4 cos 4 cos 4 sin
2 2 2 2
+ + + = - .
Bài 6. a) Chứng minh: x x x3 1
sin (3sin sin3 )
4
= - .
b) Chứng minh: n n
n n
x x x x
x3 3 1 3
2
1
sin 3sin ... 3 sin 3 sin sin
3 43 3 3
- æ ö
+ + + = -ç ÷
è ø
.
Bài 7. a) Chứng minh:
1 tan2
1
cos2 tan
a
a a
+ = .
b) Chứng minh:
n
n
x
x xx x2
1 1 1 tan2
1 1 ... 1
cos2 tancos2 cos2
æ öæ ö æ ö
+ + + =ç ÷ç ÷ ç ÷
è øè ø è ø
.

19. Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 74
Bài 8. a) Chứng minh:
sin2
cos
2sin
a
a
a
= .
b) Chứng minh:
n
n
n
x x x x
x2
sin
cos .cos ...cos
2 2 2 2 sin
2
= .
Bài 9. Đơn giản các biểu thức sau:
a) o o o o o o o o o
A tan3 .tan17 .tan23 .tan37 .tan 43 .tan57 .tan63 .tan77 .tan83=
b) B
2 4 6 8
cos cos cos cos
5 5 5 5
p p p p
= + + +
c) C
11 5
sin .cos
12 12
p p
=
d) D
5 7 11
sin .sin .sin .sin
24 24 24 24
p p p p
=
HD: a) o
A tan27= . Sử dụng x x x x0 0
tan .tan(60 ).tan(60 ) tan3- + = .
b) B = –1 c) C
1 3
2 4
= - d) D
1
16
=
Bài 10. Chứng minh:
a)
2 3 1
cos cos cos
7 7 7 2
p p p
- + =
b) o o3 2
8sin 18 8sin 18 1+ =
c) 8 4tan 2tan tan cot
8 16 32 32
p p p p
+ + + =
d)
o o
1 1 4
3cos290 3.sin250
+ =
e) o o o o o8 3
tan30 tan40 tan50 tan60 cos20
3
+ + + =
f) o o o o o 3 1
cos12 cos18 4cos15 .cos21 .cos24
2
+
+ - = -
g) o o o o
tan20 tan40 3.tan20 .tan 40 3+ + =
h)
3 9 1
cos cos ... cos
11 11 11 2
p p p
+ + + =
i)
2 4 10 1
cos cos ... cos
11 11 11 2
p p p
+ + + = -
Bài 11. a) Chứng minh: x x x x x
1
sin .cos .cos2 .cos4 sin8
8
= .
b) Áp dụng tính: A 0 0 0 0
sin6 .sin42 .sin66 .sin78= , B
3 5
cos .cos .cos
7 7 7
p p p
= .
Bài 12. a) Chứng minh: x x x4 3 1 1
sin cos2 cos4
8 2 8
= - + .
b) Áp dụng tính: S 4 4 4 43 5 7
sin sin sin sin
16 16 16 16
p p p p
= + + + . ĐS: S
3
2
=
Bài 13. a) Chứng minh:
x
x
x
1 cos2
tan
sin2
-
= .

20. Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 75
b) Áp dụng tính: S 2 2 23 5
tan tan tan
12 12 12
p p p
= + + .
Bài 14. Không dúng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) 0 0
sin18 , cos18 b) A 2 0 2 0 0 0
cos 18 .sin 36 cos36 .sin18= -
c) B 2 0 2 0
sin 24 sin 6= -
d) C 0 0 0 0 0 0 0 0 0
sin2 .sin18 .sin22 .sin38 .sin 42 .sin58 .sin62 .sin78 .sin82=
HD: a) 0 5 1
sin18
4
-
= . Chú ý: 0 0
sin54 cos36= Þ 0 0
sin(3.18 ) cos(2.18 )=
b) A
1
16
= c) B
5 1
4
-
=
d) C
5 1
1024
-
= . Sử dụng: x x x x0 0 1
sin .sin(60 ).sin(60 ) sin3
4
- + =
Bài 15. Chứng minh rằng:
a) Nếu a bcos( ) 0+ = thì a b asin( 2 ) sin+ = .
b) Nếu a b bsin(2 ) 3sin+ = thì a b atan( ) 2tan+ = .
Bài 16. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
a) b B c C a B Ccos cos cos( )+ = - b) S R A B C2
2 sin .sin .sin=
c) S R a A b B c C2 ( cos cos cos )= + + d)
A B C
r R4 sin sin sin
2 2 2
=
Bài 17. Chứng minh rằng:
a) Nếu
B C
A
B C
sin sin
sin
cos cos
+
=
+
thì tam giác ABC vuông tại A.
b) Nếu
B B
C C
2
2
tan sin
tan sin
= thì tam giác ABC vuông hoặc cân.
c) Nếu
B
A
C
sin
2cos
sin
= thì tam giác ABC cân.
Bài 18.
a)