đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )

Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
Chương 3. Không gian Euclide
1. Kiểm tra một không gian vector là không gian Euclide, chứng minh các tính
chất của tích vô hướng
Chứng minh ánh xạ được định nghĩa là một tích vô hướng, hay chứng minh các điều
kiện sau:
) ', , ',
) , ,
) , 0, 0
i x x y x y x y
ii kx y k x y
iii x x x
+ = +
=
> ∀ ≠
, ',x x y V∀ ∈ và k∀ ∈¡
Ví dụ:
Không gian vector 3
¡ với ánh xạ được định nghĩa như sau
1 1 2 2 3 3,x y x y x y x y= + + là một tích vô hướng. Đây là không gian Euclide.
Hướng dẫn:
Với
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ), ' ( ' , ' , ' ), ( , , )x x x x x x x x y y y y∀ = = = ∈¡
, thì
' ' '
1 1 2 2 3 3' ( , , )x x x x x x x x+ = + + +
' ' ' ' ' '
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3', ( ) ( ) ( )
, ',
x x y x x y x x y x x y x y x y x y x y x y x y
x y x y
+ = + + + + + = + + + + +
= +
Với 3
, ,k x y∈ ∈¡ ¡
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3, , ( )kx y k x y kx y kx y kx y k x y x y x y= = + + = + +
Với 3
x∀ ∈¡
2 2 2
1 2 3,x x x x x= + +
Vậy đây là tích vô hướng tầm thường trên 3
¡ .
1) Chứng tỏ rằng không gian vector 3
¡ với
1 1 2 2 3 3 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2
1
, [ ]
2
x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y= + + + + + + + + là một không gian
Euclide. Tìm một cơ sở trực chuẩn của nó.
Hướng dẫn:
Sinh viên làm tương tự như ví dụ.
Cơ sở trực chuẩn của nó.
Lấy một cơ sở bất kỳ của 3
¡ , ví dụ như cơ sở chính tắc của
3
¡ , rồi áp dụng phương
pháp trực giao hóa Schmidt để tìm cơ sở trực chuẩn của
3
¡ đối với tích vô hướng này.
Một cơ sở trực chuẩn của
3
¡ đối với tích vô hướng này là: (1, 0, 0); (-1, 1, 0);
(-1, 0, 1)
2) Tìm điều kiện cần và đủ để không gian vector 2
¡ với
1 1 2 2 1 1 2 2 2 1,x y x y x y x y x yα β γ γ= + + + là không gian Euclide.
Đại số tuyến tính 2 31

Hướng dẫn:
Sử dụng các điều kiện của một tích vô hướng để tìm giá trị của 1 2, , ,α β γ γ
Tức là:
) ', , ',
) , ,
) , 0, 0
i x x y x y x y
ii kx y k x y
iii x x x
+ = +
=
> ∀ ≠
Suy ra, điều kiện là
1 2
2
0
0
0
γ γ γ
α
β
αβ γ
= =
 >

>
 − >
3) Cho [ , ]a bV C= là không gian vector các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b]. CMR.
[ , ]a bC là không gian vector Euclide với tích vô hướng là , ( ) ( )
b
a
f g f x g x dx= ∫ , [ , ], a bf g C∀ ∈ .
Hướng dẫn:
Chứng minh rằng , ( ) ( )
b
a
f g f x g x dx= ∫
Là một tích vô hướng.
4) Chứng minh rằng trong không gian Euclide E thì
2 21 1
, || || || ||
4 4
x y x y x y= + − −
Hướng dẫn:
Áp dụng định nghĩa độ dài của vector và các tính chất của tích vô hướng, chứng minh vế
phải bằng vế trái.
2 21 1 1 1
|| || || || , , ... ,
4 4 4 4
x y x y x y x y x y x y x y+ − − = + + − − − = =
5) Chứng minh rằng ánh xạ
[ ] [ ]2 2
2 2
0 1 2 0 1 2 0 0 1 1 2 2
, :
( , )
x x
a a x a x b b x b x a b a b a b
× →
+ + + + + +
¡ ¡ ¡
a
là một tích vô hướng trên ¡ .
Hướng dẫn:
Chứng minh:
i) ', , ',x x y x y x y+ = +
ii) , ,kx y k x y=
iii) , 0,x x x≥ ∀

2) Hệ trực giao - Cơ sở trực giao – Cơ sở trực chuẩn:
Chú ý: Dựa vào định nghĩa và các tính chất của hệ trực giao, cơ sở trực giao, cơ sở trực
chuẩn.
1) Chứng minh rằng hệ vector sau là hệ trực giao trong không gian vector Euclide 4
¡ .
1
2
) (1, 2,2, 3)
(2, 3,2,4)
a α
α
= − −
= −
b)
1
2
(1,1,1,2)
(1,2,3, 3)
α
α
=
= −
c)
1
2
1 1 1 1
, , ,
2 2 2 2
1 1 1 1
, , ,
2 2 2 2
α
α
 
=  ÷
 
 
= − − ÷
 
Hướng dẫn:
Trong 4
¡ xét tích vô hướng được định nghĩa như sau:
1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4, , ( , , , ); ( , , , )x y x y x y x y x y x x x x x y y y y y= + + + ∀ = =
Khi đó,
1 2
1 2
, 1.(2) ( 2).( 3) 2.2 ( 3).4 0α α
α α
= + − − + + − =
⇒ ⊥
Các câu còn lại sinh viên làm tương tự.
2) Hãy tìm một cơ sở trực giao của không gian con L⊥
với L được sinh bởi các vector
1 2 3(1,0,2,1); (2,1,2,3); (0,1,2, 1)α α α= = = − trong 4
¡ .
Hướng dẫn:
Gọi
4
1 2 3 4( , , , )x x x x x= ∈¡ để x L⊥
∈ thì
1
2
3
,
x
x y y L x
x
α
α
α
⊥

⊥ ∀ ∈ ⇒ ⊥
 ⊥
Suy ra, ta có hệ pt thuần nhất sau:
1 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 0
2 2 3 0
2 0
x x x
x x x x
x x x
+ + =

+ + + =
 + − =
Giải hệ pt này được
1
2
3
4
2
0
1
2
x t
x
x t
x t
= −
 =

=

= ∈ ¡
Chọn t = (-2, 0, ½, 1) là vector của cơ sở L⊥
.
Đây là cơ sở trực giao cần tìm.
3) Không gian con V của 4
¡ được xác định bởi hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 3 0
3 2 2 0
3 9 0
x x x x
x x x
x x x x
+ + − =

+ − =
 + + − =
Hãy tìm cở sở của V và một cơ sở của V ⊥

Hướng dẫn:
- Giải hệ pt trên ta được nghiệm tổng quát của hệ.
1
2
3
4
6
9
x t
x t u
x t
x u
= −
 = +

= ∈
 = ∈
¡
¡
Cơ sở của V gồm 2 vector sau: w = (-6, 9, 1, 0); v = (0, 1, 0, 0).
- Nhận xét vector
4
1 2 3 4, ( , , , )x x x x x x∈ =¡ để x V ⊥
∈ thì x V⊥ . Suy ra,
, 0
, 0
x w
x v
 =

=
Giải hệ pt này ta được cơ sở của V ⊥
.
4) Trong không gian 3
¡ với tích vô hướng chính tắc, cho không gian con
{ }3
( , , ) / 0F a b c a b c= ∈ + − =¡
a) Tìm một cơ sở và số chiều của F.
b) Với giá trị nào của m thì vectơ 3
(2,2, )x m= ∈¡ trực giao với không gian con F?
Hướng dẫn:
Ta tìm được
(1, 0,1);(0,1,1)F =
Dễ thấy hệ { (1, 0,1); (0,1,1)}u v= = độc lập tuyến tính nên là một cơ sở của F, và số
chiều của F là 2.
b) Vectơ x trực giao với F khi và chỉ khi:
, 0
, 0
u x
v x
ìï =ïïí
ï =ïïî
Û
2.1 2.0 .1 0
2
2.0 2.1 .1 0
m
m
m
ìï + + =ï = -Ûí
ï + + =ïî
5) Trong không gian vectơ Euclide 4
¡ , cho không gian vectơ con
4
{( , , , ) / 0; 0}W a b c d R a b c a b d= + + = - + + =Î
a) Tìm một cơ sở của .W
b) Tìm tất cả các vectơ trực giao với .W
Hướng dẫn:
a) Ta tìm được ( 1, 1,2, 0);(1, 1, 0,2)W =< - - - > .
Suy ra W có 2 vectơ trên là cơ sở và dim 2W = .
b) Gọi
4
1 2 3 4
( , , ,y y y y y= Î ¡ là vectơ trực giao với W.

Ta có y trực giao với 1
( 1, 1,2, 0)u = - - và y trực giao với 2
(1, 1, 0,2)u = - .
Suy ra, ta có hệ:
1 2 3
1 2 4
2 0
2 0
y y y
y y y
ìï - + + =ï
í
ï - + =ïî
Û 1 3 4
2 3 4
y y y
y y y
ìï = - -ï
í
ï = +ïî
Vậy, 3 4 3 4 3 4 3 4
( ; ; ; ) (1,1,1, 0) ( 1,1, 0,1)y y y y y y y y y= - - - + = + -
Kết luận, các vectơ trực giao với W là các vectơ (1,1,1, 0) và ( 1,1, 0,1)- .
6) Trong không gian Euclide 2[ ]P x với tích của hai vectơ được định nghĩa như sau:
1
0
, ( ). ( )u v u x v x dx< >= ∫
a) Chứng tỏ rằng tích của hai vectơ đã cho là một tích vô hướng trong 2[ ].P x
b) Cho 3 vectơ
2 2 2
1 2 3; 5 4 ;u x u x x u x ax b= = − + = + + .
Xác định a và b để 3 vectơ trên tạo thành một hệ trực giao của 2[ ]P x .
Hướng dẫn:
a) Cần kiểm tra tích của hai vectơ đã định nghĩa như trên thỏa các tiên đề sau:
(i) , ,u v v u=
(ii) , , ,u v w u w v w+ = +
(iii) , , ,u v u v u vα = α = α
(iv) , 0u u ≥ ; , 0u u u= ⇔ = θ
Với mọi 2, , [ ]u v w P x∈ ; với mọi α∈¡ .
b) Ta có 1 2 3
{ ; ; }u u u là một hệ trực giao khi và chỉ khi:
1 2
2 3
3 1
, 0
, 0
, 0
u u
u u
u u
ìï =ïïï =í
ïïï =ïî
Û
1
0
4 3 5
0
3 12
a b
b a
ìïï + + =ïïïí
ïï + =ïïïî
Û
6
5
3
10
a
b
ìïï = -ïïïí
ïï =ïïïî
Vậy
6 3
;
5 10
a b= - =
¡ với tích vô hướng thông thường, cho 3 vectơ:
1 1 7 7
(1,1,1,1); (2,2, 2, 2); ( , , , )
2 2 2 2
x y z= = − − = − −

a) Chứng tỏ rằng hệ { , , }x y z là hệ trực giao.
b) Hãy bổ sung vào hệ đã cho thêm một vectơ để có được một cơ sở trực giao của 4
¡ .
Hướng dẫn:
a) Ta có
, 0; , 0; , 0x y y z z x= = =
nên { , , }x y z là một hệ trực giao.
b) Giả sử 4
( , , , )u a b c d= Î ¡ trực giao với các vectơ , , ,x y z ta có:
, 0
, 2 2 2 2 0
1 1 7 7
, 0
2 2 2 2
u x a b c d
u y a b c d
u z a b c d
ìïïï = + + + =ïïï = + - - =í
ïïïï = - + - + =ïïî
Giải hệ phương trình trên, ta tìm được (7, 7, 1,1);u a a= - - Î ¡
Vậy cần bổ sung vào hệ đã cho vectơ (7, 7, 1,1)u = - - hay ,ua a Î ¡ để trở thành một
cơ sở trực giao của 4
¡ .
¡ với tích vô hướng thông thường, cho 3 vectơ
(0,1,1,1); (3, 2,1,1); (3, 3, 4,1)x y z= = - = -
a) Chứng tỏ rằng hệ { , , }x y z là một hệ trực giao.
b) Hãy bổ sung vào hệ đã cho thêm một vectơ để có được một cơ sở trực giao
Hướng dẫn:
Làm tương tự như bài 7.
9) Trong không gian vector Euclide 3
¡ , cho hai không gian con
3 3
1 2 3 1 2 3 2 3{ / 0; 0}; { / 0}U x x x x x x x V x x x= ∈ + − = − + = = ∈ + =¡ ¡
a) Tìm một cơ sở và số chiều của ; ;U V U V+ .
b) Hỏi U và V có trực giao nhau không? Vì sao?
Hướng dẫn:
a) Ta tìm được 1 2
(0,1,1) ; (1, 0,0); (0,1, 1)U u V v v= = = = = -
Suy ra, cơ sở của U là hệ vectơ {(0,1,1)} , dim( ) 1U = .
Mặt khác, ma trận
1 0 0
0 1 -1
A
é ù
ê ú= ê ú
ê úë û
có hạng bằng 2 nên hệ {(1, 0, 0);(0,1, }1)- là độc lập
tuyến tính. Do đó, một cơ sở của V là {(1, 0, 0);(0,1, }1)- và dim( ) 2V = .
Xét :

(0,1,1);(1,0, 0);(0,1, 1)U V+ = -
Dễ dàng kiểm tra hệ vectơ {(0,1,1);(1, 0,0);(0,1, 1)}- độc lập tuyến tính nên là cơ sở của
U V+ . Do đó, ( ) 3dim U V+ = .
b) Ta có
1
2
, 0
, 0
u v
u v
ìï =ïïí
ï =ïïî
Suy ra, các vectơ của V đều trực giao với vectơ của U , nên U và V trực giao nhau.
10) Trong không gian vector Euclide 3
¡ , cho một tập con
3
1 2 3 1 2 3
{ ( , , ) / 2 0}W x x x x x x x= = + - =Î ¡
a) Chứng tỏ W là một không gian con của 3
.¡
b) Tìm một cơ sở trực giao và một cơ sở trực chuẩn của .W
Hướng dẫn:
Ta có (0, 0, 0) WÎ vì 2.0 0 0 0+ - = , nên W ¹ Æ.
Với mọi 1 2 3 1 2 3
( , , ), ( , , )x x x x y y y y W= = Î ; ta có:
1 2 3
1 2 3
2 0
2 0
x x x
y y y
+ - =
+
ìï
-
í
=
ï
ïïî
Với mọi r Î ¡ , ta chứng minh được
1 1 2 2 3 3
( , , )rx y rx y rx y rx y W+ = + + + Î
Vì 1 21 1 3 12 2 32 3 3
22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0 02 0rx y rx y rx y r rx x x y y y+ -+ + + - + = -+ = + =+
Do đó, W là một không gian con của 4
.¡
b) Ta có:
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
3
1 2 3 1 2 3
{( , ,2 ) / , }
{ (1, 0,2) (0,1,1) / , }
(1, 0
{ ( , , ) / 2 0}
,2),(0,1,1) ,
x x
W x
x x x x
x x x x
u u
x x x x x x
+ Î
= + Î
= = + - =Î
=
= =
¡
¡
¡
Vì ma trận
1 0 2
0 1 1
A
é ù
ê ú= ê ú
ê úë û
có hạng bằng 2 nên hệ 1 2
,u u { }1 2
,u u là độc lập tuyến tính.
Do đó, { }1 2
,u u là một cơ sở của .W
Thực hiện quá trình trực giao hóa Gram - Schmidt, ta đựợc một cơ sở trực giao của W
là
2 1
(1,0,2); - ,1,
5 5
ì üæ öï ï÷ï ïç ÷çí ý÷ç ÷ï ç ïè øï ïî þ

Trực chuẩn hóa hệ trực giao trên, ta được một cơ sở trực chuẩn của W là:
1 2 2 5 1
;0; ; ; ;
5 5 15 6 30
ì üæ öï ïæ ö ÷ï ïç÷ïç ï÷ç÷ -ç ÷í ýç÷ç ÷÷ï ïçç ÷çè øè øï ïï ïî þ
11) Trong không gian vectơ 2
[ ]P x , ta định nghĩa tích của hai vectơ như sau:
1
21
, ( ). ( ) ; ( ), ( ) [ ]u v u x v x dx u x v x P x
-
< > = Îò
a) Chứng tỏ rằng tích của hai vectơ đã cho là một tích vô hướng.
b) Hãy trực giao hóa hệ vectơ 2
{1, , }x x trong không gian 2
[ ]P x bằng phương pháp trực
giao hóa Gram - Schmidt.
Hướng dẫn:
a) Cần kiểm tra tích của hai vectơ đã định nghĩa như trên thỏa các tiên đề sau:
(i) , ,u v v u=
(ii) , , ,u v w u w v w+ = +
(iii) , , ,u v u v u vα = α = α
(iv) , 0u u ≥ ; , 0u u u= ⇔ = θ
Với mọi 2, , [ ]u v w P x∈ ; với mọi α∈¡ .
b) Đặt 2
1 2 31; ;u u x u x= = = .
Cần trực giao hóa hệ vectơ 1 2 3{ ; ; }u u u .
Đặt 1 1: 1v u= = .
Cần tìm 2v sao cho 2v trực giao với 1v . Do 2 1, 0u v = nên 2 2v u x= = .
Tiếp tục, cần tìm 3v sao cho 3v trực giao với 1 2;v v , ta được: 2
3
1
3
v x= − .
Vậy, ta được một hệ trực giao của 2[ ]P x là:
2 1
{1; ; }
3
x x −
12) Cho không gian Euclide E, gọi 1 2,E E là những không gian con của E và 1E sinh bởi
1S ; 2E sinh bởi 2S . Chứng minh rằng nếu 1S trực giao với 2S thì 1E trực giao với 2E .
Hướng dẫn:
Giả sử 1x E∀ ∈ ,
1
n
i i
i
x a x
=
= ∑ (với 1ix S∈ )
Và 2y E∀ ∈ ,
1
m
j j
j
y b y
=
= ∑ (với 2jy S∈ )
Khi đó, 1 2, 0x y E E= ⇒ ⊥

13) CMR nếu 1 2, ,..., nx x x là một hệ trực chuẩn của không gian Euclide E thì x E∀ ∈ , ta
luôn có:
2 2 2
1, ... , || ||mx x x x x+ + ≤
3) Phần bù trực giao:
1)
1 2,L L
là hai không gian con của không gian vector Euclide n chiều E với
1 2dim dimL L< . Chứng minh rằng trong 2L luôn tồn tại ít nhất một vector khác 0 trực giao
với 1L .
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức chiều:
1 1dim dimL n L⊥
= − và 1 2 1 2dim dim dim dimL L n L L n⊥
+ = − + >
Suy ra, 1 2L L⊥
∩ ≠ ∅ .
Sinh viên cho ví dụ minh họa.
2) Ký hiệu L⊥
là phần bù trực giao của không gian con L của không gian vector Euclide
n chiều E. Chứng minh:
a) L⊥
là không gian con của E.
b) dimL+ dim L⊥
= n.
Hướng dẫn:
a) Dựa vào định nghĩa không gian con.
b) Dựa vào định lý về số chiều.
Sinh viên cho ví dụ minh họa.
Sinh viên tự chứng minh các tính chất của phần bù trực giao trong tài liệu.
3) Chứng minh rằng ( )L K L K
⊥ ⊥ ⊥
∩ = +
Hướng dẫn:
Lấy ( ) ,x L K x y y L K⊥
∈ ∩ ⇒ ⊥ ∀ ∈ ∩
Vì
y L x L
y L K x L K
y K x K
⊥
⊥ ⊥
⊥
∈ ∈ 
∈ ∩ ⇒ ⇒ ⇒ ∈ + 
∈ ∈ 
Ngược lại giả sử 1 2x L K x x x⊥ ⊥
∈ + ⇒ = + với 1 1 2 2,x L x L⊥ ⊥
∈ ∈ , thì
1 2 1 2, , , , , 0y L K x y x x y x y x y∀ ∈ ∩ = + = + =
Suy ra, ( )x L K ⊥
∈ ∩
Vậy ( )L K L K
⊥ ⊥ ⊥
∩ = +
4. Vector trực giao – Hình chiếu – Khoảng cách – Góc giữa hai vector:
Cho ,x E∈ và V E⊂ là không gian con của không gian Euclide. Giả sử 1 2, ,..., me e e là một
cơ sở trực giao của V . Khi đó, vector hình chiếu của x lên V có thể được tính bằng công
thức sau:
1
1
1 1
, ,
....
, ,
m
m
m m
x e x e
y e e
e e e e
= + +
(Sinh viên tự chứng minh công thức trên như bài tập nhỏ).
Ví dụ:

Tìm vector hình chiếu và vector độ cao của vector x lên không gian con 4
V ⊂ ¡ sinh bởi
các vector 1 2 3, ,v v v trong các trường hợp sau:
a) x = (2, -1, 3, -2) và 1 2 3 1 2 3, , ; (1,0,1,0); (2,1,4,2); ( 3,4,5,8)V v v v v v v= = = = −
b) (1, 3,4,5)x = − và 1 2 3 1 2 3, , ; ( 1,1, 1,1); ( 1,3,1,1); (1,4,2,3)V v v v v v v= = − − = − =
Hướng dẫn:
Tìm cơ sở và cơ sở trực giao của V.
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 1 4 2 0 1 2 2 0 1 2 2
3 4 5 8 0 4 8 8 0 0 0 0
A
     
     = → →     
     −     
Rank A = 2.
Cơ sở của V gồm hai vector sau 1 2(1,0,1,0); (0,1,2,2)u u= =
Trực giao hóa cơ sở này bằng phương pháp trực giao hóa Gram Schmidt ta được
1 2(1,0,1,0); ( 1,1,1,2)e e= = −
Khi đó, vector hình chiếu của x lên V được xác định bởi công thức:
1 2
1 2
1 1 2 2
, ,
, ,
x e x e
y e e
e e e e
= +
5 4 43 4 27 8
(1,0,1,0) ( 1,1,1,2) , , ,
2 7 14 7 14 7
y
− − 
= − − =  ÷
 
Vector độ cao là:
15 3 15 6
, , ,
14 7 14 7
x y
− − 
− = − ÷
 
b) Sinh viên làm tương tự như câu a)
1) Hãy tìm hình chiếu vuông góc và đường trực giao hạ từ vector x xuống L với
a) 4
(4, 1, 3,4)x = − − ∈¡ và L là không gian con của 4
¡ sinh bởi các vector
1 2 3(1,1,1,1); (1,2,2, 1); (1,0,0,3)α α α= = − =
b) 4
(5,2, 2,2)x = − ∈¡ và L là không gian con của 4
1 2 3(2,1,1, 1); (1,1,3,0); (1,2,8,1)α α α= − = =
c) 4
(2, 1,3, 2)x = − − ∈¡ và L là không gian con của 4
1 2 3(1,0,1,0); (2,1,4,2); ( 3,4,5,8)α α α= = = −
d) 4
(1, 3,4,5)x = − ∈¡ và L là không gian con của 4
1 2 3( 1,1, 1,1); ( 1,3,1,1); (1,4,2,3)α α α= − − = − =
e) 4
(7, 4, 1,2)x = − − ∈¡ và L là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
sau:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 0
3 2 2 0
2 2 9 0
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =

+ + + =
 + + − =
Hướng dẫn:
Các câu a, b, c, d sinh viên làm tương tự ví dụ.

Câu e) Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, rồi giải tương tự như các
câu trên.
2) Cho L là một không gian con của không gian vector Euclide n chiều E và vector
0x E∈ . Ta gọi tập 0 0{ | }P L x x x x L= + = + ∈ là một đa tạp tuyến tính của E. Ta gọi khoảng
cách từ một vector Eα ∈ tới đa tạp P là số: min{|| || }u u Pα − ∈ . Chứng minh rằng khoảng
cách từ α tới đa tạp P bằng độ dài đường trực giao hạ từ vector 0xα − đến L
3) Tìm khoảng cách từ vector α
thuộc 4
¡ tới đa tạp P:
a) (4,2, 5,1)α = − và P xác định bởi hệ phương trình tuyến tính:
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 2 9
2 4 2 3 12
x x x x
x x x x
− + + =

− + + =
Hướng dẫn:
Giải hệ pt sau:
2 2 1 2 9 2 2 1 2 9
2 4 2 3 12 0 2 1 1 3
A
 −   − 
= →   
− −   
Hệ pt trên có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số:
1 1
2 1 2
3 2
4 1
2 2 1 2 9 2 2 1 2 9
2 4 2 3 12 0 2 1 1 3
1
3
2
1
(3 )
2
A
x t
x t t
x t
x t
 −   − 
= →   
− −   

= −

− = − −

= ∈
 = ∈
¡
¡
Suy ra, 0
3
3, ,0,0
2
x
− 
=  ÷
 
và 1 1 2 2 1 1 2
1 1 1
, , , | ,
2 2 2
L t t t t t t t
 −  
= + ∈  ÷
  
¡
Và (4,2, 5,1)α = − Chọn cơ sở của L là: 1 2
1 1 1
, ,0,1 ; 0, ,1,0
2 2 2
e e
−   
= = ÷  ÷
   
.
Cơ sở trực giao của L:
1 1
2 1
2 2 1
1 1
1 1
, ,0,1 ;
2 2
, 1 1 1
, ,0,
, 12 12 12
u e
e u
u e e
u u
− 
= =  ÷
 
 
= − = − ÷
 
.
Khi đó, 0
7
1, , 5,1
2
xα
 
− = − ÷
 
Tìm độ dài đường trực giao hạ từ vector 0xα − đến L với cơ sở trực giao u1, u2.
Sinh viên làm như bài tập nhỏ.
b) (2,4, 4,2)α = − và P xác định bởi hệ phương trình tuyến tính:

1 2 3 4
1 2 3 4
2 1
3 3 2
x x x x
x x x x
+ + − =

+ + − =
Sinh viên làm tương tự.
4) Ta gọi khoảng cách giữa hai đa tạp tuyến tính 1P và 2P là số nhỏ nhất trong tất cả các
khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, một điểm thuộc 1P và điểm còn lại thuộc 2P .
Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đa tạp tuyến tính 1 1 1P L x= + và 2 2 2P L x= + bằng
độ dài đường trực giao hạ từ vector 1 2x x− xuống không gian con 1 2L L L= + .
5) Hãy tìm khoảng cách giữa hai đa tạp sau:
1 1 1 2 2 1 1 2{ | , }P x t a t a x t t= = + + ∈¡ và 2 3 3 4 4 2 3 4{ | , }P x t a t a x t t= = + + ∈¡
Trong đó:
1 2 3 4 1 2(1,2,2,2); (2, 2,1,2); (2,0,2,1); (1, 2,0, 1); (4,5,3,2); (1, 2,1, 3)a a a a x x= = − = = − − = = − −
4) Chứng minh rằng trong tất cả các vector thuộc không gian con L, hình chiếu vuông
góc v (xuống L) của vector u tạo với u một góc nhỏ nhất. Hơn nữa, nếu có 'v L∈
sao cho
cos(u, v) = cos(u, v’) thì v’=kv với k là số dương. Ta gọi góc nhỏ nhất này là góc giữa vector
u và không gian con L.
5) Tính cosin của góc giữa hai vector sau:
a) u = (-1, 2, -3) và v = (2, 1, 4) trong 3
¡
b) (2, 1,3, 2); (1,0,1,0)x y= − − = trong 4
¡
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức:
,
cos
|| ||.|| ||
u v
u v
α =
6) Tìm góc giữa vector u và L:
a) (2,2,1,1)u = và L sinh bởi 1 (3,4, 4, 1)α = − − và 2 (0,1, 1,2)α = −
b) u = (1,0,3,0) và L sinh bởi 1 2 3(5,3,4, 3); (1,1,4,5); (2, 1,1,2)α α α= − = = −
7) Cho u, v là hai vector khác 0 của không gian Euclide. Chứng minh rằng:
a) u vα= với 0α > khi và chỉ khi góc giữa u và v bằng 0.
b) u vα= với 0α < khi và chỉ khi góc giữa u và v bằng π .
Hướng dẫn:
Dựa vào công thức
,
cos
|| ||.|| ||
u v
u v
α =
5) Phương pháp trực giao hóa Gram – Schmidt – Ma trận Gram – Toán tử trực
giao:
1) Áp dụng phương pháp trực giao hóa Gram – Schmidt, tìm một cơ sở trực giao của
không gian con sinh bởi các vector {(1,2,3);( 1,3,0)}− .

2) Chứng minh rằng trong không gian Euclide thì:
2
1 1 1 1| ( ,..., , , ,..., ) | | ( ,..., )i i n nG v v v v v G v vα α− + =
Hướng dẫn:
Dùng định nghĩa định thức Gram.
Cho ví dụ minh họa.
3) Cho 1,..., mv v là các vector thuộc không gian Euclide E. Chứng minh rằng ma trận
1( ,.., )mG v v là ma trận đối xứng.
Hướng dẫn:
Dùng định nghĩa định thức Gram.
4) Cho ϕ là một toán tử trực giao trong 3
¡ , với ma trận biểu diễn theo cơ sở tự nhiên là
2 2 1
1
2 1 2
3
1 2 2
A
− 
 = − 
 − 
.
Tìm một cơ sở trực chuẩn của 3
¡ để ma trận của ϕ có dạng chéo.
Hướng dẫn:
Tìm đa thức đặc trưng của ϕ .
Tìm giá trị riêng – vector riêng của ϕ .
Trực chuẩn hóa các vector riêng.
4) Cho ϕ là một toán tử trực giao trong 3
¡ , với ma trận biểu diễn theo cơ sở tự nhiên là
4 / 9 1/ 9 8 / 9
7 / 9 4 / 9 4 / 9
4 / 9 8 / 9 1/ 9
A
− 
 =  
 − 
.
Tìm một cơ sở trực chuẩn của 3
¡ để ma trận của ϕ có dạng chéo.
Hướng dẫn:
Tìm đa thức đặc trưng của ϕ .
Tìm giá trị riêng – vector riêng của ϕ .
Trực chuẩn hóa các vector riêng.

đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )

More Related Content

What's hot

Similar to đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )

More from Bui Loi

Recently uploaded

đại số tuyến tính 2 ( không gian eculid )