Diophantine equations Phương trình diophantBui Loi
Đây là một trong các dạng câu khó của diophant , một dạng câu trong môn số học dành cho chuyên ngành toán học, Đhsp
facebook tui, fb.com/starheaven.2110
CÁC BIỆN PHÁP KỸ THUẬT AN TOÀN KHI XÃY RA HỎA HOẠN TRONG.pptxCNGTRC3
Cháy, nổ trong công nghiệp không chỉ gây ra thiệt hại về kinh tế, con người mà còn gây ra bất ổn, mất an ninh quốc gia và trật tự xã hội. Vì vậy phòng chông cháy nổ không chỉ là nhiệm vụ mà còn là trách nhiệm của cơ sở sản xuất, của mổi công dân và của toàn thể xã hội. Để hạn chế các vụ tai nạn do cháy, nổ xảy ra thì chúng ta cần phải đi tìm hiểu nguyên nhân gây ra các vụ cháy nố là như thế nào cũng như phải hiểu rõ các kiến thức cơ bản về nó từ đó chúng ta mới đi tìm ra được các biện pháp hữu hiệu nhất để phòng chống và sử lý sự cố cháy nổ.
Mục tiêu:
- Nêu rõ các nguy cơ xảy ra cháy, nổ trong công nghiệp và đời sống; nguyên nhân và các biện pháp đề phòng phòng;
- Sử dụng được vật liệu và phương tiện vào việc phòng cháy, chữa cháy;
- Thực hiện được việc cấp cứa khẩn cấp khi tai nạn xảy ra;
- Rèn luyện tính kỷ luật, kiên trì, cẩn thận, nghiêm túc, chủ động và tích cực sáng tạo trong học tập.
GIÁO TRÌNH 2-TÀI LIỆU SỬA CHỮA BOARD MONO TỦ LẠNH MÁY GIẶT ĐIỀU HÒA.pdf
https://dienlanhbachkhoa.net.vn
Hotline/Zalo: 0338580000
Địa chỉ: Số 108 Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội
Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ
:
https://www.facebook.com/garmentspace/
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
HOẶC
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
GIAO TRINH TRIET HOC MAC - LENIN (Quoc gia).pdfLngHu10
Chương 1
KHÁI LUẬN VỀ TRIẾT HỌC VÀ TRIẾT HỌC MÁC - LÊNIN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức: Trang bị cho sinh viên những tri thức cơ bản về triết học nói chung,
những điều kiện ra đời của triết học Mác - Lênin. Đồng thời, giúp sinh viên nhận thức được
thực chất cuộc cách mạng trong triết học do
C. Mác và Ph. Ăngghen thực hiện và các giai đoạn hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin;
vai trò của triết học Mác - Lênin trong đời sống xã hội và trong thời đại ngày nay.
2. Về kỹ năng: Giúp sinh viên biết vận dụng tri thức đã học làm cơ sở cho việc nhận
thức những nguyên lý cơ bản của triết học Mác - Lênin; biết đấu tranh chống lại những luận
điểm sai trái phủ nhận sự hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin.
3. Về tư tưởng: Giúp sinh viên củng cố niềm tin vào bản chất khoa học và cách mạng
của chủ nghĩa Mác - Lênin nói chung và triết học Mác - Lênin nói riêng.
B. NỘI DUNG
I- TRIẾT HỌC VÀ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TRIẾT HỌC
1. Khái lược về triết học
a) Nguồn gốc của triết học
Là một loại hình nhận thức đặc thù của con người, triết học ra đời ở cả phương Đông và
phương Tây gần như cùng một thời gian (khoảng từ thế kỷ VIII đến thế kỷ VI trước Công
nguyên) tại các trung tâm văn minh lớn của nhân loại thời cổ đại. Ý thức triết học xuất hiện
không ngẫu nhiên, mà có nguồn gốc thực tế từ tồn tại xã hội với một trình độ nhất định của
sự phát triển văn minh, văn hóa và khoa học. Con người, với kỳ vọng được đáp ứng nhu
cầu về nhận thức và hoạt động thực tiễn của mình đã sáng tạo ra những luận thuyết chung
nhất, có tính hệ thống, phản ánh thế giới xung quanh và thế giới của chính con người. Triết
học là dạng tri thức lý luận xuất hiện sớm nhất trong lịch sử các loại hình lý luận của nhân
loại.
Với tư cách là một hình thái ý thức xã hội, triết học có nguồn gốc nhận thức và nguồn
gốc xã hội.
* Nguồn gốc nhận thức
Nhận thức thế giới là một nhu cầu tự nhiên, khách quan của con người. Về mặt lịch
sử, tư duy huyền thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là loại hình triết lý đầu tiên mà con
người dùng để giải thích thế giới bí ẩn xung quanh. Người nguyên thủy kết nối những hiểu
biết rời rạc, mơ hồ, phi lôgích... của mình trong các quan niệm đầy xúc cảm và hoang
tưởng thành những huyền thoại để giải thích mọi hiện tượng. Đỉnh cao của tư duy huyền
thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là kho tàng những câu chuyện thần thoại và những tôn
9
giáo sơ khai như Tô tem giáo, Bái vật giáo, Saman giáo. Thời kỳ triết học ra đời cũng là
thời kỳ suy giảm và thu hẹp phạm vi của các loại hình tư duy huyền thoại và tôn giáo
nguyên thủy. Triết học chính là hình thức tư duy lý luận đầu tiên trong lịch sử tư tưởng
nhân loại thay thế được cho tư duy huyền thoại và tôn giáo.
Trong quá trình sống và cải biến thế giới, từng bước con người có kinh nghiệm và có
tri thức về thế giới. Ban đầu là những tri thức cụ thể, riêng lẻ, cảm tính. Cùng với sự tiến
bộ của sản xuất và đời sống, nhận thức của con người dần dần đạt đến trình độ cao hơn
trong việc giải thích thế giới một cách hệ thống
1. Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
Chương 3. Không gian Euclide
1. Kiểm tra một không gian vector là không gian Euclide, chứng minh các tính
chất của tích vô hướng
Chứng minh ánh xạ được định nghĩa là một tích vô hướng, hay chứng minh các điều
kiện sau:
) ', , ',
) , ,
) , 0, 0
i x x y x y x y
ii kx y k x y
iii x x x
+ = +
=
> ∀ ≠
, ',x x y V∀ ∈ và k∀ ∈¡
Ví dụ:
Không gian vector 3
¡ với ánh xạ được định nghĩa như sau
1 1 2 2 3 3,x y x y x y x y= + + là một tích vô hướng. Đây là không gian Euclide.
Hướng dẫn:
Với
3
1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ), ' ( ' , ' , ' ), ( , , )x x x x x x x x y y y y∀ = = = ∈¡
, thì
' ' '
1 1 2 2 3 3' ( , , )x x x x x x x x+ = + + +
' ' ' ' ' '
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3', ( ) ( ) ( )
, ',
x x y x x y x x y x x y x y x y x y x y x y x y
x y x y
+ = + + + + + = + + + + +
= +
Với 3
, ,k x y∈ ∈¡ ¡
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3, , ( )kx y k x y kx y kx y kx y k x y x y x y= = + + = + +
Với 3
x∀ ∈¡
2 2 2
1 2 3,x x x x x= + +
Vậy đây là tích vô hướng tầm thường trên 3
¡ .
1) Chứng tỏ rằng không gian vector 3
¡ với
1 1 2 2 3 3 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2
1
, [ ]
2
x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y= + + + + + + + + là một không gian
Euclide. Tìm một cơ sở trực chuẩn của nó.
Hướng dẫn:
Sinh viên làm tương tự như ví dụ.
Cơ sở trực chuẩn của nó.
Lấy một cơ sở bất kỳ của 3
¡ , ví dụ như cơ sở chính tắc của
3
¡ , rồi áp dụng phương
pháp trực giao hóa Schmidt để tìm cơ sở trực chuẩn của
3
¡ đối với tích vô hướng này.
Một cơ sở trực chuẩn của
3
¡ đối với tích vô hướng này là: (1, 0, 0); (-1, 1, 0);
(-1, 0, 1)
2) Tìm điều kiện cần và đủ để không gian vector 2
¡ với
1 1 2 2 1 1 2 2 2 1,x y x y x y x y x yα β γ γ= + + + là không gian Euclide.
Đại số tuyến tính 2 31
2. Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
Hướng dẫn:
Sử dụng các điều kiện của một tích vô hướng để tìm giá trị của 1 2, , ,α β γ γ
Tức là:
) ', , ',
) , ,
) , 0, 0
i x x y x y x y
ii kx y k x y
iii x x x
+ = +
=
> ∀ ≠
Suy ra, điều kiện là
1 2
2
0
0
0
γ γ γ
α
β
αβ γ
= =
>
>
− >
3) Cho [ , ]a bV C= là không gian vector các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b]. CMR.
[ , ]a bC là không gian vector Euclide với tích vô hướng là , ( ) ( )
b
a
f g f x g x dx= ∫ , [ , ], a bf g C∀ ∈ .
Hướng dẫn:
Chứng minh rằng , ( ) ( )
b
a
f g f x g x dx= ∫
Là một tích vô hướng.
4) Chứng minh rằng trong không gian Euclide E thì
2 21 1
, || || || ||
4 4
x y x y x y= + − −
Hướng dẫn:
Áp dụng định nghĩa độ dài của vector và các tính chất của tích vô hướng, chứng minh vế
phải bằng vế trái.
2 21 1 1 1
|| || || || , , ... ,
4 4 4 4
x y x y x y x y x y x y x y+ − − = + + − − − = =
5) Chứng minh rằng ánh xạ
[ ] [ ]2 2
2 2
0 1 2 0 1 2 0 0 1 1 2 2
, :
( , )
x x
a a x a x b b x b x a b a b a b
× →
+ + + + + +
¡ ¡ ¡
a
là một tích vô hướng trên ¡ .
Hướng dẫn:
Chứng minh:
i) ', , ',x x y x y x y+ = +
ii) , ,kx y k x y=
iii) , 0,x x x≥ ∀
Đại số tuyến tính 2 32
3. Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
2) Hệ trực giao - Cơ sở trực giao – Cơ sở trực chuẩn:
Chú ý: Dựa vào định nghĩa và các tính chất của hệ trực giao, cơ sở trực giao, cơ sở trực
chuẩn.
1) Chứng minh rằng hệ vector sau là hệ trực giao trong không gian vector Euclide 4
¡ .
1
2
) (1, 2,2, 3)
(2, 3,2,4)
a α
α
= − −
= −
b)
1
2
(1,1,1,2)
(1,2,3, 3)
α
α
=
= −
c)
1
2
1 1 1 1
, , ,
2 2 2 2
1 1 1 1
, , ,
2 2 2 2
α
α
= ÷
= − − ÷
Hướng dẫn:
Trong 4
¡ xét tích vô hướng được định nghĩa như sau:
1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4 1 2 3 4, , ( , , , ); ( , , , )x y x y x y x y x y x x x x x y y y y y= + + + ∀ = =
Khi đó,
1 2
1 2
, 1.(2) ( 2).( 3) 2.2 ( 3).4 0α α
α α
= + − − + + − =
⇒ ⊥
Các câu còn lại sinh viên làm tương tự.
2) Hãy tìm một cơ sở trực giao của không gian con L⊥
với L được sinh bởi các vector
1 2 3(1,0,2,1); (2,1,2,3); (0,1,2, 1)α α α= = = − trong 4
¡ .
Hướng dẫn:
Gọi
4
1 2 3 4( , , , )x x x x x= ∈¡ để x L⊥
∈ thì
1
2
3
,
x
x y y L x
x
α
α
α
⊥
⊥ ∀ ∈ ⇒ ⊥
⊥
Suy ra, ta có hệ pt thuần nhất sau:
1 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 0
2 2 3 0
2 0
x x x
x x x x
x x x
+ + =
+ + + =
+ − =
Giải hệ pt này được
1
2
3
4
2
0
1
2
x t
x
x t
x t
= −
=
=
= ∈ ¡
Chọn t = (-2, 0, ½, 1) là vector của cơ sở L⊥
.
Đây là cơ sở trực giao cần tìm.
3) Không gian con V của 4
¡ được xác định bởi hệ phương trình
1 2 3 4
1 2 4
1 2 3 4
2 3 0
3 2 2 0
3 9 0
x x x x
x x x
x x x x
+ + − =
+ − =
+ + − =
Hãy tìm cở sở của V và một cơ sở của V ⊥
Đại số tuyến tính 2 33
4. Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
Hướng dẫn:
- Giải hệ pt trên ta được nghiệm tổng quát của hệ.
1
2
3
4
6
9
x t
x t u
x t
x u
= −
= +
= ∈
= ∈
¡
¡
Cơ sở của V gồm 2 vector sau: w = (-6, 9, 1, 0); v = (0, 1, 0, 0).
- Nhận xét vector
4
1 2 3 4, ( , , , )x x x x x x∈ =¡ để x V ⊥
∈ thì x V⊥ . Suy ra,
, 0
, 0
x w
x v
=
=
Giải hệ pt này ta được cơ sở của V ⊥
.
4) Trong không gian 3
¡ với tích vô hướng chính tắc, cho không gian con
{ }3
( , , ) / 0F a b c a b c= ∈ + − =¡
a) Tìm một cơ sở và số chiều của F.
b) Với giá trị nào của m thì vectơ 3
(2,2, )x m= ∈¡ trực giao với không gian con F?
Hướng dẫn:
Ta tìm được
(1, 0,1);(0,1,1)F =
Dễ thấy hệ { (1, 0,1); (0,1,1)}u v= = độc lập tuyến tính nên là một cơ sở của F, và số
chiều của F là 2.
b) Vectơ x trực giao với F khi và chỉ khi:
, 0
, 0
u x
v x
ìï =ïïí
ï =ïïî
Û
2.1 2.0 .1 0
2
2.0 2.1 .1 0
m
m
m
ìï + + =ï = -Ûí
ï + + =ïî
5) Trong không gian vectơ Euclide 4
¡ , cho không gian vectơ con
4
{( , , , ) / 0; 0}W a b c d R a b c a b d= + + = - + + =Î
a) Tìm một cơ sở của .W
b) Tìm tất cả các vectơ trực giao với .W
Hướng dẫn:
a) Ta tìm được ( 1, 1,2, 0);(1, 1, 0,2)W =< - - - > .
Suy ra W có 2 vectơ trên là cơ sở và dim 2W = .
b) Gọi
4
1 2 3 4
( , , ,y y y y y= Î ¡ là vectơ trực giao với W.
Đại số tuyến tính 2 34
5. Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
Ta có y trực giao với 1
( 1, 1,2, 0)u = - - và y trực giao với 2
(1, 1, 0,2)u = - .
Suy ra, ta có hệ:
1 2 3
1 2 4
2 0
2 0
y y y
y y y
ìï - + + =ï
í
ï - + =ïî
Û 1 3 4
2 3 4
y y y
y y y
ìï = - -ï
í
ï = +ïî
Vậy, 3 4 3 4 3 4 3 4
( ; ; ; ) (1,1,1, 0) ( 1,1, 0,1)y y y y y y y y y= - - - + = + -
Kết luận, các vectơ trực giao với W là các vectơ (1,1,1, 0) và ( 1,1, 0,1)- .
6) Trong không gian Euclide 2[ ]P x với tích của hai vectơ được định nghĩa như sau:
1
0
, ( ). ( )u v u x v x dx< >= ∫
a) Chứng tỏ rằng tích của hai vectơ đã cho là một tích vô hướng trong 2[ ].P x
b) Cho 3 vectơ
2 2 2
1 2 3; 5 4 ;u x u x x u x ax b= = − + = + + .
Xác định a và b để 3 vectơ trên tạo thành một hệ trực giao của 2[ ]P x .
Hướng dẫn:
a) Cần kiểm tra tích của hai vectơ đã định nghĩa như trên thỏa các tiên đề sau:
(i) , ,u v v u=
(ii) , , ,u v w u w v w+ = +
(iii) , , ,u v u v u vα = α = α
(iv) , 0u u ≥ ; , 0u u u= ⇔ = θ
Với mọi 2, , [ ]u v w P x∈ ; với mọi α∈¡ .
b) Ta có 1 2 3
{ ; ; }u u u là một hệ trực giao khi và chỉ khi:
1 2
2 3
3 1
, 0
, 0
, 0
u u
u u
u u
ìï =ïïï =í
ïïï =ïî
Û
1
0
4 3 5
0
3 12
a b
b a
ìïï + + =ïïïí
ïï + =ïïïî
Û
6
5
3
10
a
b
ìïï = -ïïïí
ïï =ïïïî
Vậy
6 3
;
5 10
a b= - =
7) Trong không gian vectơ Euclide 4
¡ với tích vô hướng thông thường, cho 3 vectơ:
1 1 7 7
(1,1,1,1); (2,2, 2, 2); ( , , , )
2 2 2 2
x y z= = − − = − −
Đại số tuyến tính 2 35
6. Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
a) Chứng tỏ rằng hệ { , , }x y z là hệ trực giao.
b) Hãy bổ sung vào hệ đã cho thêm một vectơ để có được một cơ sở trực giao của 4
¡ .
Hướng dẫn:
a) Ta có
, 0; , 0; , 0x y y z z x= = =
nên { , , }x y z là một hệ trực giao.
b) Giả sử 4
( , , , )u a b c d= Î ¡ trực giao với các vectơ , , ,x y z ta có:
, 0
, 2 2 2 2 0
1 1 7 7
, 0
2 2 2 2
u x a b c d
u y a b c d
u z a b c d
ìïïï = + + + =ïïï = + - - =í
ïïïï = - + - + =ïïî
Giải hệ phương trình trên, ta tìm được (7, 7, 1,1);u a a= - - Î ¡
Vậy cần bổ sung vào hệ đã cho vectơ (7, 7, 1,1)u = - - hay ,ua a Î ¡ để trở thành một
cơ sở trực giao của 4
¡ .
8) Trong không gian vectơ Euclide 4
¡ với tích vô hướng thông thường, cho 3 vectơ
(0,1,1,1); (3, 2,1,1); (3, 3, 4,1)x y z= = - = -
a) Chứng tỏ rằng hệ { , , }x y z là một hệ trực giao.
b) Hãy bổ sung vào hệ đã cho thêm một vectơ để có được một cơ sở trực giao
Hướng dẫn:
Làm tương tự như bài 7.
9) Trong không gian vector Euclide 3
¡ , cho hai không gian con
3 3
1 2 3 1 2 3 2 3{ / 0; 0}; { / 0}U x x x x x x x V x x x= ∈ + − = − + = = ∈ + =¡ ¡
a) Tìm một cơ sở và số chiều của ; ;U V U V+ .
b) Hỏi U và V có trực giao nhau không? Vì sao?
Hướng dẫn:
a) Ta tìm được 1 2
(0,1,1) ; (1, 0,0); (0,1, 1)U u V v v= = = = = -
Suy ra, cơ sở của U là hệ vectơ {(0,1,1)} , dim( ) 1U = .
Mặt khác, ma trận
1 0 0
0 1 -1
A
é ù
ê ú= ê ú
ê úë û
có hạng bằng 2 nên hệ {(1, 0, 0);(0,1, }1)- là độc lập
tuyến tính. Do đó, một cơ sở của V là {(1, 0, 0);(0,1, }1)- và dim( ) 2V = .
Xét :
Đại số tuyến tính 2 36
7. Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
(0,1,1);(1,0, 0);(0,1, 1)U V+ = -
Dễ dàng kiểm tra hệ vectơ {(0,1,1);(1, 0,0);(0,1, 1)}- độc lập tuyến tính nên là cơ sở của
U V+ . Do đó, ( ) 3dim U V+ = .
b) Ta có
1
2
, 0
, 0
u v
u v
ìï =ïïí
ï =ïïî
Suy ra, các vectơ của V đều trực giao với vectơ của U , nên U và V trực giao nhau.
10) Trong không gian vector Euclide 3
¡ , cho một tập con
3
1 2 3 1 2 3
{ ( , , ) / 2 0}W x x x x x x x= = + - =Î ¡
a) Chứng tỏ W là một không gian con của 3
.¡
b) Tìm một cơ sở trực giao và một cơ sở trực chuẩn của .W
Hướng dẫn:
Ta có (0, 0, 0) WÎ vì 2.0 0 0 0+ - = , nên W ¹ Æ.
Với mọi 1 2 3 1 2 3
( , , ), ( , , )x x x x y y y y W= = Î ; ta có:
1 2 3
1 2 3
2 0
2 0
x x x
y y y
+ - =
+
ìï
-
í
=
ï
ïïî
Với mọi r Î ¡ , ta chứng minh được
1 1 2 2 3 3
( , , )rx y rx y rx y rx y W+ = + + + Î
Vì 1 21 1 3 12 2 32 3 3
22( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .0 02 0rx y rx y rx y r rx x x y y y+ -+ + + - + = -+ = + =+
Do đó, W là một không gian con của 4
.¡
b) Ta có:
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
3
1 2 3 1 2 3
{( , ,2 ) / , }
{ (1, 0,2) (0,1,1) / , }
(1, 0
{ ( , , ) / 2 0}
,2),(0,1,1) ,
x x
W x
x x x x
x x x x
u u
x x x x x x
+ Î
= + Î
= = + - =Î
=
= =
¡
¡
¡
Vì ma trận
1 0 2
0 1 1
A
é ù
ê ú= ê ú
ê úë û
có hạng bằng 2 nên hệ 1 2
,u u { }1 2
,u u là độc lập tuyến tính.
Do đó, { }1 2
,u u là một cơ sở của .W
Thực hiện quá trình trực giao hóa Gram - Schmidt, ta đựợc một cơ sở trực giao của W
là
2 1
(1,0,2); - ,1,
5 5
ì üæ öï ï÷ï ïç ÷çí ý÷ç ÷ï ç ïè øï ïî þ
Đại số tuyến tính 2 37
8. Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
Trực chuẩn hóa hệ trực giao trên, ta được một cơ sở trực chuẩn của W là:
1 2 2 5 1
;0; ; ; ;
5 5 15 6 30
ì üæ öï ïæ ö ÷ï ïç÷ïç ï÷ç÷ -ç ÷í ýç÷ç ÷÷ï ïçç ÷çè øè øï ïï ïî þ
11) Trong không gian vectơ 2
[ ]P x , ta định nghĩa tích của hai vectơ như sau:
1
21
, ( ). ( ) ; ( ), ( ) [ ]u v u x v x dx u x v x P x
-
< > = Îò
a) Chứng tỏ rằng tích của hai vectơ đã cho là một tích vô hướng.
b) Hãy trực giao hóa hệ vectơ 2
{1, , }x x trong không gian 2
[ ]P x bằng phương pháp trực
giao hóa Gram - Schmidt.
Hướng dẫn:
a) Cần kiểm tra tích của hai vectơ đã định nghĩa như trên thỏa các tiên đề sau:
(i) , ,u v v u=
(ii) , , ,u v w u w v w+ = +
(iii) , , ,u v u v u vα = α = α
(iv) , 0u u ≥ ; , 0u u u= ⇔ = θ
Với mọi 2, , [ ]u v w P x∈ ; với mọi α∈¡ .
b) Đặt 2
1 2 31; ;u u x u x= = = .
Cần trực giao hóa hệ vectơ 1 2 3{ ; ; }u u u .
Đặt 1 1: 1v u= = .
Cần tìm 2v sao cho 2v trực giao với 1v . Do 2 1, 0u v = nên 2 2v u x= = .
Tiếp tục, cần tìm 3v sao cho 3v trực giao với 1 2;v v , ta được: 2
3
1
3
v x= − .
Vậy, ta được một hệ trực giao của 2[ ]P x là:
2 1
{1; ; }
3
x x −
12) Cho không gian Euclide E, gọi 1 2,E E là những không gian con của E và 1E sinh bởi
1S ; 2E sinh bởi 2S . Chứng minh rằng nếu 1S trực giao với 2S thì 1E trực giao với 2E .
Hướng dẫn:
Giả sử 1x E∀ ∈ ,
1
n
i i
i
x a x
=
= ∑ (với 1ix S∈ )
Và 2y E∀ ∈ ,
1
m
j j
j
y b y
=
= ∑ (với 2jy S∈ )
Khi đó, 1 2, 0x y E E= ⇒ ⊥
Đại số tuyến tính 2 38
9. Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
13) CMR nếu 1 2, ,..., nx x x là một hệ trực chuẩn của không gian Euclide E thì x E∀ ∈ , ta
luôn có:
2 2 2
1, ... , || ||mx x x x x+ + ≤
3) Phần bù trực giao:
1)
1 2,L L
là hai không gian con của không gian vector Euclide n chiều E với
1 2dim dimL L< . Chứng minh rằng trong 2L luôn tồn tại ít nhất một vector khác 0 trực giao
với 1L .
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức chiều:
1 1dim dimL n L⊥
= − và 1 2 1 2dim dim dim dimL L n L L n⊥
+ = − + >
Suy ra, 1 2L L⊥
∩ ≠ ∅ .
Sinh viên cho ví dụ minh họa.
2) Ký hiệu L⊥
là phần bù trực giao của không gian con L của không gian vector Euclide
n chiều E. Chứng minh:
a) L⊥
là không gian con của E.
b) dimL+ dim L⊥
= n.
Hướng dẫn:
a) Dựa vào định nghĩa không gian con.
b) Dựa vào định lý về số chiều.
Sinh viên cho ví dụ minh họa.
Sinh viên tự chứng minh các tính chất của phần bù trực giao trong tài liệu.
3) Chứng minh rằng ( )L K L K
⊥ ⊥ ⊥
∩ = +
Hướng dẫn:
Lấy ( ) ,x L K x y y L K⊥
∈ ∩ ⇒ ⊥ ∀ ∈ ∩
Vì
y L x L
y L K x L K
y K x K
⊥
⊥ ⊥
⊥
∈ ∈
∈ ∩ ⇒ ⇒ ⇒ ∈ +
∈ ∈
Ngược lại giả sử 1 2x L K x x x⊥ ⊥
∈ + ⇒ = + với 1 1 2 2,x L x L⊥ ⊥
∈ ∈ , thì
1 2 1 2, , , , , 0y L K x y x x y x y x y∀ ∈ ∩ = + = + =
Suy ra, ( )x L K ⊥
∈ ∩
Vậy ( )L K L K
⊥ ⊥ ⊥
∩ = +
4. Vector trực giao – Hình chiếu – Khoảng cách – Góc giữa hai vector:
Cho ,x E∈ và V E⊂ là không gian con của không gian Euclide. Giả sử 1 2, ,..., me e e là một
cơ sở trực giao của V . Khi đó, vector hình chiếu của x lên V có thể được tính bằng công
thức sau:
1
1
1 1
, ,
....
, ,
m
m
m m
x e x e
y e e
e e e e
= + +
(Sinh viên tự chứng minh công thức trên như bài tập nhỏ).
Ví dụ:
Đại số tuyến tính 2 39
10. Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
Tìm vector hình chiếu và vector độ cao của vector x lên không gian con 4
V ⊂ ¡ sinh bởi
các vector 1 2 3, ,v v v trong các trường hợp sau:
a) x = (2, -1, 3, -2) và 1 2 3 1 2 3, , ; (1,0,1,0); (2,1,4,2); ( 3,4,5,8)V v v v v v v= = = = −
b) (1, 3,4,5)x = − và 1 2 3 1 2 3, , ; ( 1,1, 1,1); ( 1,3,1,1); (1,4,2,3)V v v v v v v= = − − = − =
Hướng dẫn:
Tìm cơ sở và cơ sở trực giao của V.
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
2 1 4 2 0 1 2 2 0 1 2 2
3 4 5 8 0 4 8 8 0 0 0 0
A
= → →
−
Rank A = 2.
Cơ sở của V gồm hai vector sau 1 2(1,0,1,0); (0,1,2,2)u u= =
Trực giao hóa cơ sở này bằng phương pháp trực giao hóa Gram Schmidt ta được
1 2(1,0,1,0); ( 1,1,1,2)e e= = −
Khi đó, vector hình chiếu của x lên V được xác định bởi công thức:
1 2
1 2
1 1 2 2
, ,
, ,
x e x e
y e e
e e e e
= +
5 4 43 4 27 8
(1,0,1,0) ( 1,1,1,2) , , ,
2 7 14 7 14 7
y
− −
= − − = ÷
Vector độ cao là:
15 3 15 6
, , ,
14 7 14 7
x y
− −
− = − ÷
b) Sinh viên làm tương tự như câu a)
1) Hãy tìm hình chiếu vuông góc và đường trực giao hạ từ vector x xuống L với
a) 4
(4, 1, 3,4)x = − − ∈¡ và L là không gian con của 4
¡ sinh bởi các vector
1 2 3(1,1,1,1); (1,2,2, 1); (1,0,0,3)α α α= = − =
b) 4
(5,2, 2,2)x = − ∈¡ và L là không gian con của 4
¡ sinh bởi các vector
1 2 3(2,1,1, 1); (1,1,3,0); (1,2,8,1)α α α= − = =
c) 4
(2, 1,3, 2)x = − − ∈¡ và L là không gian con của 4
¡ sinh bởi các vector
1 2 3(1,0,1,0); (2,1,4,2); ( 3,4,5,8)α α α= = = −
d) 4
(1, 3,4,5)x = − ∈¡ và L là không gian con của 4
¡ sinh bởi các vector
1 2 3( 1,1, 1,1); ( 1,3,1,1); (1,4,2,3)α α α= − − = − =
e) 4
(7, 4, 1,2)x = − − ∈¡ và L là tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất
sau:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 0
3 2 2 0
2 2 9 0
x x x x
x x x x
x x x x
+ + + =
+ + + =
+ + − =
Hướng dẫn:
Các câu a, b, c, d sinh viên làm tương tự ví dụ.
Đại số tuyến tính 2 40
11. Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
Câu e) Tìm nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, rồi giải tương tự như các
câu trên.
2) Cho L là một không gian con của không gian vector Euclide n chiều E và vector
0x E∈ . Ta gọi tập 0 0{ | }P L x x x x L= + = + ∈ là một đa tạp tuyến tính của E. Ta gọi khoảng
cách từ một vector Eα ∈ tới đa tạp P là số: min{|| || }u u Pα − ∈ . Chứng minh rằng khoảng
cách từ α tới đa tạp P bằng độ dài đường trực giao hạ từ vector 0xα − đến L
3) Tìm khoảng cách từ vector α
thuộc 4
¡ tới đa tạp P:
a) (4,2, 5,1)α = − và P xác định bởi hệ phương trình tuyến tính:
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 2 9
2 4 2 3 12
x x x x
x x x x
− + + =
− + + =
Hướng dẫn:
Giải hệ pt sau:
2 2 1 2 9 2 2 1 2 9
2 4 2 3 12 0 2 1 1 3
A
− −
= →
− −
Hệ pt trên có vô số nghiệm phụ thuộc 2 tham số:
1 1
2 1 2
3 2
4 1
2 2 1 2 9 2 2 1 2 9
2 4 2 3 12 0 2 1 1 3
1
3
2
1
(3 )
2
A
x t
x t t
x t
x t
− −
= →
− −
= −
− = − −
= ∈
= ∈
¡
¡
Suy ra, 0
3
3, ,0,0
2
x
−
= ÷
và 1 1 2 2 1 1 2
1 1 1
, , , | ,
2 2 2
L t t t t t t t
−
= + ∈ ÷
¡
Và (4,2, 5,1)α = − Chọn cơ sở của L là: 1 2
1 1 1
, ,0,1 ; 0, ,1,0
2 2 2
e e
−
= = ÷ ÷
.
Cơ sở trực giao của L:
1 1
2 1
2 2 1
1 1
1 1
, ,0,1 ;
2 2
, 1 1 1
, ,0,
, 12 12 12
u e
e u
u e e
u u
−
= = ÷
= − = − ÷
.
Khi đó, 0
7
1, , 5,1
2
xα
− = − ÷
Tìm độ dài đường trực giao hạ từ vector 0xα − đến L với cơ sở trực giao u1, u2.
Sinh viên làm như bài tập nhỏ.
b) (2,4, 4,2)α = − và P xác định bởi hệ phương trình tuyến tính:
Đại số tuyến tính 2 41
12. Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
1 2 3 4
1 2 3 4
2 1
3 3 2
x x x x
x x x x
+ + − =
+ + − =
Sinh viên làm tương tự.
4) Ta gọi khoảng cách giữa hai đa tạp tuyến tính 1P và 2P là số nhỏ nhất trong tất cả các
khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ, một điểm thuộc 1P và điểm còn lại thuộc 2P .
Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai đa tạp tuyến tính 1 1 1P L x= + và 2 2 2P L x= + bằng
độ dài đường trực giao hạ từ vector 1 2x x− xuống không gian con 1 2L L L= + .
5) Hãy tìm khoảng cách giữa hai đa tạp sau:
1 1 1 2 2 1 1 2{ | , }P x t a t a x t t= = + + ∈¡ và 2 3 3 4 4 2 3 4{ | , }P x t a t a x t t= = + + ∈¡
Trong đó:
1 2 3 4 1 2(1,2,2,2); (2, 2,1,2); (2,0,2,1); (1, 2,0, 1); (4,5,3,2); (1, 2,1, 3)a a a a x x= = − = = − − = = − −
4) Chứng minh rằng trong tất cả các vector thuộc không gian con L, hình chiếu vuông
góc v (xuống L) của vector u tạo với u một góc nhỏ nhất. Hơn nữa, nếu có 'v L∈
sao cho
cos(u, v) = cos(u, v’) thì v’=kv với k là số dương. Ta gọi góc nhỏ nhất này là góc giữa vector
u và không gian con L.
5) Tính cosin của góc giữa hai vector sau:
a) u = (-1, 2, -3) và v = (2, 1, 4) trong 3
¡
b) (2, 1,3, 2); (1,0,1,0)x y= − − = trong 4
¡
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức:
,
cos
|| ||.|| ||
u v
u v
α =
6) Tìm góc giữa vector u và L:
a) (2,2,1,1)u = và L sinh bởi 1 (3,4, 4, 1)α = − − và 2 (0,1, 1,2)α = −
b) u = (1,0,3,0) và L sinh bởi 1 2 3(5,3,4, 3); (1,1,4,5); (2, 1,1,2)α α α= − = = −
7) Cho u, v là hai vector khác 0 của không gian Euclide. Chứng minh rằng:
a) u vα= với 0α > khi và chỉ khi góc giữa u và v bằng 0.
b) u vα= với 0α < khi và chỉ khi góc giữa u và v bằng π .
Hướng dẫn:
Dựa vào công thức
,
cos
|| ||.|| ||
u v
u v
α =
5) Phương pháp trực giao hóa Gram – Schmidt – Ma trận Gram – Toán tử trực
giao:
1) Áp dụng phương pháp trực giao hóa Gram – Schmidt, tìm một cơ sở trực giao của
không gian con sinh bởi các vector {(1,2,3);( 1,3,0)}− .
Đại số tuyến tính 2 42
13. Hướng dẫn giải bài tập chương 3. Không gian Euclide
2) Chứng minh rằng trong không gian Euclide thì:
2
1 1 1 1| ( ,..., , , ,..., ) | | ( ,..., )i i n nG v v v v v G v vα α− + =
Hướng dẫn:
Dùng định nghĩa định thức Gram.
Cho ví dụ minh họa.
3) Cho 1,..., mv v là các vector thuộc không gian Euclide E. Chứng minh rằng ma trận
1( ,.., )mG v v là ma trận đối xứng.
Cho ví dụ minh họa.
Hướng dẫn:
Dùng định nghĩa định thức Gram.
Cho ví dụ minh họa.
4) Cho ϕ là một toán tử trực giao trong 3
¡ , với ma trận biểu diễn theo cơ sở tự nhiên là
2 2 1
1
2 1 2
3
1 2 2
A
−
= −
−
.
Tìm một cơ sở trực chuẩn của 3
¡ để ma trận của ϕ có dạng chéo.
Hướng dẫn:
Tìm đa thức đặc trưng của ϕ .
Tìm giá trị riêng – vector riêng của ϕ .
Trực chuẩn hóa các vector riêng.
4) Cho ϕ là một toán tử trực giao trong 3
¡ , với ma trận biểu diễn theo cơ sở tự nhiên là
4 / 9 1/ 9 8 / 9
7 / 9 4 / 9 4 / 9
4 / 9 8 / 9 1/ 9
A
−
=
−
.
Tìm một cơ sở trực chuẩn của 3
¡ để ma trận của ϕ có dạng chéo.
Hướng dẫn:
Tìm đa thức đặc trưng của ϕ .
Tìm giá trị riêng – vector riêng của ϕ .
Trực chuẩn hóa các vector riêng.
Đại số tuyến tính 2 43