1. CHƯƠNG 2
x y z
x y z
x y z
- + = ìï
2 3 7 1
3 9 2 3
+ - = íï
î- + - =
4 5 0
2. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ phương trình tuyến tính
,(2.1)
3. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ phương trình tuyến tính
4. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ phương trình tuyến tính
5. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ: Cho hệ phương trình
x x x x
x x x x
x x x x
- + - = ìï
- - + + = ïí
2 3 5 2
1 2 3 4
2 3 4 0
1 2 3 4
+ - + = - ïïî - + - =
3 8 5 3 2
1 2 3 4
x x x
4 2 7 9
2 3 4
6. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ phương trình tuyến tính
7. §5: Hệ phương trình tuyến
tính
Đại Số Tuyến Tính å
Ví dụ: Cho hệ phương trình
x x x x
x x x x
ì 2 - 3 + 5 - = 2 1 2 3 4
é 2 - 3 5 - 1
ù
ï ï- - 2 + 3 + 4 = 0 ê- 1 2 3 4
1 - 2 3 4
ú í « A
= ê ú ï 3 x + 8 x - 5 x + 3 x
= - 2 ê 3 8 - 5 3
ú 1 2 3 4
îï - 4 x + 2 x - 7 x
= 9 ê ë 0 - 4 2 - 7
ú 2 3 4
û
8. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ phương trình tuyến tính
9. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ phương trình tuyến tính
Ví dụ: Cho hệ phương trình
x x x x
x x x x
ì 2 - 3 + 5 - = 2 é 2
ù
ï ï- 1 2 3 4
- 2 + 3 + 4 = 0 ê ú í 1 2 3 4
« B
= ê 0
ú ï 3 x + 8 x - 5 x + 3 x
= - 2 ê- 2
ú 1 2 3 4
îï - 4 x + 2 x - 7 x
= 9 ê 9
ú 2 3 4
ë û
10. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ phương trình tuyến tính
11. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ phương trình tuyến tính
12. §5: Hệ phương trình tuyến
tính
Đại Số Tuyến Tính å
Ví dụ: Cho hệ phương trình
2 3 5 2
1 2 3 4
2 3 4 0
1 2 3 4
3 8 5 3 2
1 2 3 4
4 2 7 9
2 3 4
2 3 5 1 2
1 2 3 4 0
3 8 5 3 2
0 4 2 7 9
bs
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
A
- + - = ìï
- - + + = ïí
+ - + = - ïï
î - + - =
é - - ù
ê- - ú « = ê ú
ê - - ú
ê - - ú ë û
13. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ phương trình tuyến tính
14. §5: Hệ phương trình tuyến
tính
Đại Số Tuyến Tính å
Ví dụ:
x
y
z
2 7 1 9
3 1 4 0
5 9 2 5
é ù é ù é ù
ê - ú ê ú = ê ú ê ú ê ú ê ú
êë úû êë úû êë úû
x y z
x y z
x y z
+ + = ìï
Û - + = íï
î + + =
2 7 9
3 4 0
5 9 2 5
24. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ Grame
Bài tập: Giải hệ phương trình sau:
x x x
x x x
x x x
- + = ìï
2 1
1 2 3
+ - = íï
î - + =
2 3 5
1 2 3
3 2 1
1 2 3
1 1 2
2 1 3
3 2 1
D
-
= -
-
1
1 1 2
5 1 3
1 2 1
D
-
= -
-
2
1 1 2
2 5 3
3 1 1
D = -
3
1 1 1
2 1 5
3 2 1
D
-
=
-
= --1199
== --2299
== --99
== --88
25. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ Grame
1
1
2
2
3
3
19
8
29
8
9
8
x D D
x D D
x D D
= = - -
= = - -
= = - -
26. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
CCáácc pphhéépp bbiiếếnn đđổổii ttưươơnngg đđưươơnngg hhệệ pphhưươơnngg ttrrììnnhh
l ¹ 0
NNhhâânn mmộộtt ssốố (( )) vvààoo 22 vvếế ccủủaa 11 PPTT ccủủaa
hhệệ..
ĐĐổổii cchhỗỗ hhaaii PPTT ccủủaa hhệệ..
NNhhâânn mmộộtt ssốố (( )) vvààoo mmộộtt PPTT rrồồii ccộộnngg vvààoo
PPTT kkhháácc ccủủaa hhệệ..
l ¹ 0
1
x y z
x y z
x y z
- + = ìï
+ - = íï + + = î
2 3 2
2 5
x y z
x y z
x y z
- + = ìï
Û + - = íï
î + + =
íï
- + 1
= Û + + = î + - ìï
=
x y z
x y z
x y z
1
2 3 2
2 4 2 10
2 4 2 10
2 3 2
27. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Như vậy các phép biến đổi tương đương hệ
PT chính là các phép BĐSC trên dòng của
ma trận bổ sung tương ứng..
28. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Xét hệ phương trình tổng quát sau:
29. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Ta có ma trận bổ sung tương ứng
30. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
31. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Bằng các phép BĐSC chuyển ma trận bổ sung
về dạng:
a a a a b
' ' ... ' ... ' '
0 ' ... ' ... ' '
... ... ... ... ... ... ...
é ê 11 12 1 r 1 n
1
ù
ê a a a b
ú
22 2 r 2 n
2
ú
ê ú
= ê ú ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
êë úû
A a a b
' 0 0 ... ' ... ' '
r r r n r
k
0 0 ... 0 ... 0
.. .. .. .. .. .. ..
0 0 ... 0 ... 0 0
32. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Ma trận A’ tương ứng cho ta hệ PTTT
ì + + + + + =
ï + + + + = ïïíï
a x a x a x a x b
' ' ... ' ... ' '
r r n n
r r n n
11 1 12 2 1 1 1
a x a x a x b
' ... ' ... ' '
... ... ... ... ...
22 2 2 2 2
+ + = ïïî + + + + + =
x x x x k
1 2
a x a x b
' ... ' '
r r r r n n r
0 0 ... 0 ... 0
r n
33. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Khi đó ta có:
1. Nếu k ¹ 0
thì PT thứ (r +1) vô nghiệm suy
ra hệ PT vô nghiệm.
2. Nếu k = 0
thì hệ có nghiệm:
a. Nếu r = n (số ẩn) thì hệ PT có nghiệm
duy nhất.
b. Nếu r < n (số ẩn) thì hệ PT có vô số
nghiệm, phụ thuộc vào (n – r) tham số.
34. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
a.Khi r = n (số ẩn) thì hệ PT (II) viết dưới dạng:
a x a x a x a x b
+ + + + + = ìï
' ' ... ' ... ' '
r r n n
r r n n
11 1 12 2 1 1 1
a x a x a x b
+ + + + = ïïïí
' ... ' ... ' '
... ... ... ... ...
22 2 2 2 2
a x a x b
+ + = ïïï îï =
' ... ' '
... ... ...
rr r rn n r
a x b
' '
nn n n
35. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
b. Khi r < n ta chuyển (n – r) ẩn sang vế
phải của hệ PT ta được hệ PT sau:
a x a x a x a x a x b
+ + + = - - - + ìï
' ' ... ' ' ... ' '
r r r + r +
n n
11 1 12 2 1 1( 1) 1 1 1
a x a x a x a x b
+ + = - - - + ïíïï
î = - - - +
' ... ' ' ... ' '
r r r + r +
n n
... ... ... ... ...
22 2 2 2( 1) 1 2 2
a x a x a x b
' ' ... ' '
r r r r ( r + 1) r +
1
r n n r
Ta xem các ẩn ở vế phải là các tham số, sau đó
giải các ẩn còn lại theo các tham số đó.
36. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
37. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
h 2
h
h 4
h
h h
-+
2 1
4 1
5 1
- ¾¾¾®
….
38. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
39. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Vậy hệ phương trình
40. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
41. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
42. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma
trận bổ sung về dạng ma trận hình thang:
Abs ®...®
43. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
44. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
45. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
46. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Bài Tập: Giải hệ phương trình:
x x x x
x x x x
- + + = ìï
2 2
1 2 3 4
+ - - = ïí
2 3 2 2
1 2 3 4
x x x
+ - = - ïï
î- + + - =
3 4 5 1
2 3 4
x x x x
2 3 0
1 2 3 4
47. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
é - ù
2
ê ú ¾¾¾¾®ê 2 2 1
- - - 4 4 1
ú
1 1 2 1 2
0 3 7 4 2
0 3 4 5 1
0 0 4 2 2
= -
= +
ê - - ú
ê - ú ë û
h h h
h h h
é 1 - 1 2 1 2
ù
ê ê 2 1 - 3 - 2 2
ú ú
ê 0 3 4 - 5 - 1
ú
ê- ë 1 1 2 - 3 0
ú û
é - ù
ê ¾¾¾¾®ê - - - ú 3 3 2
ú
1 1 2 1 2
0 3 7 4 2
0 0 11 1 1
0 0 4 2 2
= -
ê - ú
ê - ú ë û
h h h
é - ù
ê - - - ú ¾¾¾¾¾®ê 4 11 4 4 3
ú
1 1 2 1 2
0 3 7 4 2
0 0 11 1 1
0 0 0 18 18
= -
ê - ú
ê - ú ë û
h h h
HD:
…
48. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Bài Tập: Giải hệ phương trình:
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
- - + = ìï
- + + - = - ïí - + + - = - ïï
î - - + =
2 5 1
3 4 3 1
4 7 1
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 5 5 8 2
1 2 3 4
49. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
* Biện luận theo m số nghiệm của hệ:
é 1 2 - 1 1 1
ù
ê 0 1 3 2 2
ú
= ê ú
ê 0 0 - 1 - 2 3
ú
ê ë 0 0 0 - 1 - 1
ú û
x y z t
+ - + = ìï
2 1
y z t
+ + = ïí
3 2 2
z t
m t m
- - 2 = 3
î 2
- = ïï
-
( 1) 1
+m = -1Þr(A) = 3 ¹ r(Abs ) = 4Þ
2
Abs
m m
+ m =1Þr(A) = r(Abs ) = 3 < nÞ
Hệ vô nghiệm
Hệ có VSN
+m ¹ ±1Þr(A) = r(Abs ) = nÞ Hệ có Ng duy nhất
50. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ
phương trình
+ - + = ìï + + + = ïí
2 2 1
2 5 3 0
- - = ïï
î - + + =
2 3 3
1
x y z t
x y z t
y z t
x y z mt
51. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ cấp
é 1 2 - 1 2 1
ù
ê ®ê 0 1 5 - 3 - 2
ú ú
ê 0 0 - 7 0 5
ú
ê ë 0 0 0 7 - 77 43
ú û
Abs
m
>m =11Þr(A) = 3 < r(Abs ) = 4Þhệ vô nghiệm
>m ¹ 11Þr(A) = r(Abs ) = 4Þhệ có nghiệm duy nhất
52. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Giải hệ PT bằng PP Gauss
Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của hệ
phương trình
x y z
x y mz
x y z
+ + = ìï - + + = íï
î - + =
3 2 1
2 3 2
3 4 2 1
57. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Nhận xét: Trong hệ thuần nhất hạng của ma
trận hệ số luôn bằng hạng của ma trận bổ
sung
é ê n
ù
ú
= ê ú ê ú
ê ú
êë úû
a a a
a a a
11 12 1
21 22 2
bs n
1 2
.. 0
.. 0
.. .. .. .. ..
.. 0
m m mn
A
a a a
Khi biện luận cho hệ thuần nhất ta chỉ quan
tâm hạng của ma trận hệ số
58. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Hệ thuần nhất chỉ có 2 trường hợp:
Hệ có nghiệm duy nhất
Hạng ma trận hệ số bằng số ẩn của hệ phương
trình
Hệ có vô số nghiệm
Hạng ma trận hệ số nhỏ hơn số ẩn của hệ
phương trình
59. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ PTTT thuần nhất
Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm duy
nhất đó là nghiệm tầm thường: (0,0,…,0).
Ta gọi hệ thuần nhất chỉ có nghiệm tầm
thường.
Nếu hệ có vô số nghiệm thì lúc đó ngoài
nghiệm tầm thường hệ còn có nghiệm khác
nữa.
Ta gọi hệ thuần nhất có nghiệm không
tầm thường.
64. Đại Số Tuyến Tính å
§5: Hệ PTTT thuần nhất
é - ù
1 2 1
0 3 1
0 0 2
A
¾¾¾¾®ê ú ê ú
êë m
+ úû
m = -2Þr(A) < 3
Ta có:
Biến đổi
sơ cấp
Do đó với
Vậy với m =-2
thì hệ có nghiệm không
tầm thường