2. Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan
proyeksi dan besar sudut dalam
ruang dimensi tiga
http://meetabied.wordpress.com
3. Proyeksi Pada Bangun Ruang:
proyeksi titik pada garis
proyeksi titik pada bidang
proyeksi garis pada bidang
http://meetabied.wordpress.com
4. Proyeksi titik pada garis
Dari titik P
ditarik garis m⊥ garis k
garis m memotong k di Q,
titik Q adalah
hasil proyeksi
titik P pada k
P
Q
k
m
http://meetabied.wordpress.com
6. Pembahasan
Proyeksi titik A pada
a. BC adalah titik
b. BD adalah titik
c. ET adalah titik
A B
CD
H
E F
G
T
B
T
A’
A’
(AC ⊥ ET)
(AB ⊥ BC)
(AC ⊥ BD)
http://meetabied.wordpress.com
7. Proyeksi Titik pada Bidang
Dari titik P
di luar bidang H
ditarik garis g ⊥ H.
Garis g menembus
bidang H di titik P’.
Titik P’ adalah
proyeksi titik P
di bidang H
H
P
P’
g
http://meetabied.wordpress.com
9. Pembahasan
a. Proyeksi titik E
pada bidang ABCD
adalah
b. Proyeksi titik C
pada bidang BDG
adalah
CE ⊥ BDG
A B
CD
H
E F
G
(EA ⊥ ABCD)
A
P
P
http://meetabied.wordpress.com
10. Proyeksi garis pada bidang
Proyeksi sebuah garis
ke sebuah bidang
dapat diperoleh
dengan memproyek-
sikan titik-titik yang
terletak pada garis itu
ke bidang.H
A
A’
g
Jadi proyeksi garis g pada bidang H
adalah g’
B
B’
g’
http://meetabied.wordpress.com
11. Fakta-fakta
1. Proyeksi garis pada bidang
umumnya berupa garis
2. Jika garis h ⊥ β maka
proyeksi garis h pada bidang β
berupa titik.
3. Jika garis g // bidang β maka
g’ yaitu proyeksi garis g padaβ
dan sejajar garis g
http://meetabied.wordpress.com
12. Contoh 1
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
a. Proyeksi garis EF
pada bidang ABCD
adalah….A B
CD
H
E F
G
b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm,
Panjang proyeksi garis CG
pada bidang BDG adalah….
http://meetabied.wordpress.com
13. Pembahasan
a. Proyeksi garis EF
pada bidang ABCD
berarti menentukan
proyeksi titik E dan F
pada bidang ABCD,
yaitu titik A dan B
A B
CD
H
E F
G
Jadi proyeksi EF pada ABCD
adalah garis AB
http://meetabied.wordpress.com
14. Pembahasan
b. Proyeksi garis CG
pada bidang BDG
berarti menentukan
proyeksi titik C
dan titik G
pada bidang BDG,
yaitu titik P dan G
A B
CD
H
E F
G
Jadi proyeksi CG pada BDG
adalah garis PG dan panjangnya?
P
6 cm
http://meetabied.wordpress.com
15. A B
CD
H
E F
G •Panjang proyeksi CG
pada BDG adalah
panjang garis PG.
•PG = ⅔.GR
= ⅔.½a√6
= ⅓a√6 = ⅓.6√6
P
R
•Jadi panjang proyeksi garis CG
pada bidang BDG adalah 2√6 cm
6 cm
http://meetabied.wordpress.com
17. Pembahasan
Proyeksi TA
pada bidang ABCD
adalah AT’.
Panjang AT’= ½AC
= ½.16√2
= 8√2
T
A
D C
B16 cm
18cm
T’
Jadi panjang proyeksi TA pada
bidang ABCD adalah 8√2 cm
http://meetabied.wordpress.com
18. Sudut Pada Bangun Ruang:
Sudut antara dua garis
Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara bidang dan bidang
http://meetabied.wordpress.com
19. Sudut antara Dua Garis
Yang dimaksud dengan
besar sudut antara
dua garis adalah
besar sudut terkecil
yang dibentuk
oleh kedua
garis tersebut
k
m
http://meetabied.wordpress.com
22. P
Q
V
Sudut antara
Garis dan Bidang
Sudut antara
garis a dan bidang β
dilambangkan (a,β)
adalah sudut antara
garis a dan
proyeksinya pada β.
Sudut antara garis PQ dengan V
= sudut antara PQ dengan P’Q
= ∠ PQP’
P’
http://meetabied.wordpress.com
23. Contoh 1
Diketahui
kubus ABCD.EFGH
panjang rusuk 6 cm.
Gambarlah sudut
antara garis BG
dengan ACGE,
A B
CD
H
E F
G
6 cm
Kemudian hitunglah besar sudutnya!
http://meetabied.wordpress.com
24. Pembahasan
Proyeksi garis BG
pada bidang ACGE
adalah garis KG
(K = titik potong
AC dan BD)A B
CD
H
E F
G
6 cm
Jadi ∠(BG,ACGE) = ∠(BG,KG)
= ∠BGK
K
http://meetabied.wordpress.com
25. Pembahasan
BG = 6√2 cm
BK = ½BD
= ½.6√2
= 3√2 cm
∆BKG siku-siku di K
A B
CD
H
E F
G
6 cm
sin∠BGK =
Jadi, besar ∠BGK = 300
K
=
BG
BK
2
1
26
23
=
http://meetabied.wordpress.com
27. Pembahasan
tan∠(CG,AFH)
= tan ∠(PQ,AP)
= tan ∠APQ
=
=
A B
CD
H
E F
G
8 cm
P
Q
=
PQ
AQ
8
24
8
28.2
1
=
GC
AC2
1
Nilai tangens sudut antara garis CG
dan bidang AFH adalah ½√2
http://meetabied.wordpress.com
28. Contoh 3
Pada limas
segiempat beraturan
T.ABCD yang semua
rusuknya sama panjang,
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah….
T
A B
CD
a cm
a cm
http://meetabied.wordpress.com
29. Pembahasan
• TA = TB = a cm
• AC = a√2 (diagonal
persegi)
• ∆TAC = ∆ siku-siku
samakaki
T
A B
CD
a cm
a cm
sudut antara TA dan bidang ABCD
adalah sudut antara TA dan AC
yang besarnya 450
http://meetabied.wordpress.com
30. Sudut antara
Bidang dan Bidang
Sudut antara
bidang α dan bidang β
adalah sudut antara
garis g dan h, dimana
g ⊥ (α,β) dan h ⊥ (α,β).
(α,β) garis potong bidang α dan β
α
β
(α,β)
g
h
http://meetabied.wordpress.com
31. Contoh 1
Diketahui kubus
ABCD.EFGH
a. Gambarlah sudut
antara bidang BDG
dengan ABCD
b. Tentukan nilai sinus
sudut antara BDG
dan ABCD!
A B
CD
H
E F
G
http://meetabied.wordpress.com
32. Pembahasan
a. ∠(BDG,ABCD)
• garis potong BDG
dan ABCD → BD
• garis pada ABCD
yang ⊥ BD → AC
• garis pada BDG
yang ⊥ BD → GP
A B
CD
H
E F
G
Jadi ∠(BDG,ABCD) = ∠(GP,PC)
=∠GPC
P
http://meetabied.wordpress.com
33. Pembahasan
b. sin∠(BDG,ABCD)
= sin ∠GPC
=
=
= ⅓√6A B
CD
H
E F
G
Jadi, sin∠(BDG,ABCD) = ⅓√6
P
GP
GC
x
6a
a
2
1
.6
6
6
6
2
1
=
http://meetabied.wordpress.com
34. Contoh 2
Limas beraturan
T.ABC, panjang
rusuk alas 6 cm dan
panjang rusuk tegak
9 cm. Nilai sinus sudut
antara bidang TAB
dengan bidang ABC
adalah….
A
B
C
T
6 cm
9
cm
http://meetabied.wordpress.com
36. • Lihat ∆ TPC
PT = 6√2, PC = 3√3
Aturan cosinus
TC2
= TP2
+ PC2
– 2TP.TC.cos∠TPC
81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cos∠TPC
36√6.cos∠TPC = 99 – 81
36√6.cos∠TPC = 18
cos∠TPC =
=
A
B
C
T
9
cm
P
6√2
3√3 2 1
62
1
6
6
x
12
6
http://meetabied.wordpress.com
37. • Lihat ∆ TPC
cos∠P =
Maka diperoleh
Sin ∠P =
Jadi sinus ∠(TAB,ABC)
=
12
6
12
√6
6144 -
P
138= 12
138
12
138
http://meetabied.wordpress.com
38. Contoh 3
Diketahui kubus
ABCD.EFGH, pan-
jang rusuk 4 cm
Titik P dan Q
berturut-turut
di tengah-tengah
AB dan AD.
A B
CD
H
E F
G
Sudut antara bidang FHQP dan bi-
dang AFH adalah α. Nilai cosα =…
4 cm
P
Q
http://meetabied.wordpress.com
39. Pembahasan
• ∠(FHQP,AFH)
= ∠(KL,KA)
= ∠AKL = α
• AK = ½a√6 = 2√6
• AL = LM = ¼ AC
= ¼a√2 = √2
• KL =
=
=3√2
A B
CD
H
E F
G
4 cm
P
Q
K
L
α
M
22
MLKM +
18242
=+
http://meetabied.wordpress.com
40. Pembahasan
• AK = 2√6 , AL = √2
KL = 3√2
Aturan Cosinus:
AL2
= AK2
+ KL2
– 2AK.KLcosα
2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cosα
24√3.cosα = 42 – 2
24√3.cosα = 40
cosα =
K
L
α
MA
Jadi nilai cosα = 3
9
5
3
9
5
http://meetabied.wordpress.com