1. Diberikan garis y = 2x + 1 yang menyinggung kurva f(x) = x3 + ax2 + bx + 2 pada y = 3. Persamaan garis singgung ketika x = 2 adalah y - 4 = 3(x - 2). 2. Garis g menyinggung kurva f(x) = x3 + 3x2 - x + n dengan gradien terkecil. Jika g potong sumbu x pada 3, maka n = 1. 3. Garis singgung kurva y = ax + b(x-2)

1. T U R U N A N
1. f(x) = sin3
x ⇒ f(x) = u3
, u = sinx
⇒ f ′(x) = 3 . u2
. u′
= 3 . sin2
x . cosx
Cara lain: f ′(x)=
dx
xsind 3
= xsind
xsind 3
.
dx
xsind
= 3 sin2
x . cosx
2. f(x) = 9x5tg3
4
+
⇒ f ′(x) =
dx
4d
9x5tg3 +
=
9xtg3d
4d
5
9x5tg3
+
+
. tgxd
9xtg3d 5 +
. xd
tgxd
= 9x5tg3
4
+
ln4 . 15 tg4
x . sec2
x
3. f(x) = 5 3 7 16xlog + + 30 x2
⇒ f ′(x) = 5
dx
)16xlog(d 3
1
7
+ + 60 x
= 5
16xlogd
)16xlog(d
7
3
1
7
+
+
. xd
16xlogd
7
+
+ 60 x
=
3
5
. 3
2
7
)16xlog(
−
+ .
7lnx
1
+ 60 x
4. f(x) = 5x3x 23 ++ sec(x5
+ 9)
Misalkan: u(x) = 5x3x 23 ++ ⇒ u′ =
)5x3x(d
)5x3x(d
23
2
1
23
++
++ .
dx
)5x3x(d 23 ++
⇒ u′ =
2
1 2
1
23 )5x3x(
−
++ . (3x2
+ 6x)
⇒ u′ =
5x3x2
x6x3
23
2
++
+
Misalkan: v(x) = sec(x5
+ 9) ⇒ v′ =
)9x(d
)9xsec(d
5
5
+
+
.
dx
)9x(d 5+
⇒ v′ = sec(x5
+ 9) tg(x5
+ 9) . 5 x4
f ′(x) = u′ . v + v′ . u
=
5x3x2
x6x3
23
2
++
+
sec(x5
+ 9) + 5 x4
sec(x5
+ 9) tg(x5
+ 9) . 5x3x 23 ++
5. f(x) = xsinxcos
tgxx2
+
Tentukan f ′(x) !
Jawab:
Misalkan: u = x2
tgx ⇒ u′ = tgx .
dx
dx2
+ x2
.
dx
tgxd
⇒ u′ = tgx . 2x + x2
. sec2
x
Misalkan: v = cosx + sinx ⇒ v′ = −sinx + cosx
f ′(x) = 2v
u'vv'u −
= 2
222
)xsinx(cos
)xsinx(costgxx)xsinx(cos)xsecxtgxx2(
+
−−++
6. Jika x2
+ y2
+5y + 2xy − 1 = 0, maka y′ = dx
dy
= ….
Jawab:
dx
d
( x2
+ y2
+ 5y + 2xy − 1) =
dx
d
0, maka y′ =
dx
dy
= ….
dx
dx2
+
dx
dy2
+
dx
y5d
+
dx
xy2d
−
dx
1d
= 0
y = un
⇒ y′ = n . un−1
. u′
Dalil Rantai

2. 2x + dy
dy2
dx
dy
+ 5
dx
dy
+ y
dx
x2d
+ 2x
dx
dy
− 0 = 0
2x + 2y . y′ + 5 y′ + 2y + 2x y′ = 0
y′ ( 2y + 2x + 5) = − 2x − 2y ⇒ y′ = − 5y2x2
y2x2
++
+
7. Jika f(x) = ctgx dan g(x) = 0h
lim
→
h2
)h3x(f)h8x(f −−+
, maka g (
6
π
) = ….
Jawab: 0h
lim
→
1h2
)h3x(f)h5x(f
−
−−+
= 0h
lim
→
)1h2(
dh
d
)]h3x(f)h5x(f[
dh
d
−
−−+
= 0h
lim
→
2
)h3x('f3)h5x('f5 −++
= 4 f ′(x)
Jadi, g(x) = 4 f ′(x) = − 4 cosec2
x ⇒ g (
6
π
) = −4 . 4 = − 16
1. Diketahui garis y = 2x + 1 menyinggung kurva f(x) = x3
+ ax2
+ bx + 2 pada ordinat
y = 3. Persamaan garis yang menyinggung kurva f pada absis x = 2 adalah
(A) y − 1 = 2 (x −2) (C) y − 5 = − (x − 2) (E) y − 4 = 3 (x −2)
(B) y − 3 = 5 (x −2) (D) y + 1 = 3 (x − 2)
Jawab: E
• Perhatikan garis y = 2x + 1, garis singgung kurva f pada ordinat y = 3!
Titik singgung: y = 3 ⇒ 3 = 2 . x + 1 ⇒ x = 1
Diperoleh titik singgung (1,3)
Jadi, f(1) = 3 ⇒ 13
+ a . 12
+ b . 1 + 2 = 3 ⇒ a + b = 0 …. (1)
Gradien: garis y = 2x + 1 mempunyai gradien 2
m = 2 ⇒ f ′(1) = 2 ⇒ 3 . 12
+ 2a . 12
+ b . 1 + 2 = 2
⇒ 2a + b = −3 …. (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh a = −3 dan b = 3
Dengan demikian persaman kurva f(x) = x3
− 3x2
+ 3x + 2
• Untuk garis singgung kurva f pada absis x = 2,
titik singgung: x = 2 ⇒ y = 23
− 3 . 22
+ 3 . 2 + 2 = 4
gradien: f ′ (x) = 3 x2
− 6x + 3 ⇒ m = f ′(2) = 3
Jadi, garis singgung: y − 4 = 3 ( x − 2)
2. Garis g menyinggung f(x) = x3
+ 3x2
− x + n dengan gradiennya nilai terkecil dari
gradien garis singgung kurva f. Jika g memotong sumbu x pada absis 3, maka nilai
n = ….
(A) −9 (B) −4 (C) 1 (D) 5 (E) 14
Jawab: C
Kurva gradien: f ′(x) = 3x2
+ 6x − 1
Titik puncak xp = −
a2
b
= −2
yp = f ′min = f ′(−2) = −1
Gradien garis g: m = f ′min = −1
Titik singgung: x = −2 ⇒ y = f(−2) = 6 − n ⇒ titik singgung (−2, 6 − n)
Jadi, persamaan garis g: y − (6 − n) = −1 (x + 2)
Garis g memotong sumbu x pada absis 3 ⇒ 3 − (6 − n) = −1 (0 + 2) ⇒ n = 1.
3. Jika garis singgung kurva y = ax + b x−2
pada (−1,−1) sejajar dengan garis
4x − y + 65 = 0, maka nilai a dan b berturut-turut adalah
(A) 2 dan −1 (B) 2 dan 1 (C) −2 dan 3 (D) 2 dan 3 (E) 2 dan −3
Jawab: B
Titik Singgung (−1,−1) ⇒ −1 = a . (−1) + b . (−1)−2
⇒ b − a = −1 …. (1)
Tulislah g garis singgung yang dimaksud!
Ingat! Kurva y = h(x) = ax2
+ bx + c
Misalkan titik puncak (xp
,yp
)
xp
= − yp
= − atau yp
= h(xp
)

3. y ′ = a − 2bx−3
⇒ mg = a − 2b . (−1)−3
⇒ mg = a + 2b
Garis g sejajar 4x − y + 65 = 0 ⇒ mg = 4 ⇒ a + 2b = 4 …. (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh a = 2 dan b = 1.
4. Jumlah absis titik singgung dari garis yang melalui titik (1,1) dan menyinggung kurva
y = x2
− 4x + 10 adalah
(A)
3
2
(B)
4
3
(C)
5
2
(D)
5
3
(E)
5
4
Jawab: A
Titik (1,1) bukan titik singgung, karena 1 ≠ 12
− 4 . 1 + 10
Misalkan: titik singgung (α, α2
− 4 α +10)
Perhatikan! y ′ = 2x − 4 ⇒ m = 2α − 4
Jadi, garis singgung: y − (α2
− 4 α +10) = (2α − 4) ( x − α)
Garis melalui (1,1) ⇒ 1 − (α2
− 4 α +10) = (2α − 4) ( 1 − α)
⇒ − α2
+ 4 α − 9 = −2α2
+ 6α − 4 ⇒ 3α2
− 2α − 5 = 0
Jadi, α1 + α2 = −
a
b =
3
2
: Selidiki naik turunnya fungsi-fungsi berikut:
a. f(x) = x3
− 6x2
− 36x + 7
b. f(x) = −2x3
+ 9x2
− 12x
c. f(x) = x3
− x2
+ 8x − 5
d. f(x) = −x3
+ 2x2
− 9x + 1
Jawab: a. f ′(x) = 3x2
− 12x − 36
= 3 (x2
− 4x −12)
= 3 ( x − 6) (x + 2)
Dengan demikian, f naik pada interval x < −2 atau x > 1
f turun pada interval −2 < x < 1
b.f ′(x) = −6x2
+ 18x − 12
= −6 (x2
− 3x + 2)
= −6 (x − 1) (x − 2)
Dengan demikian, f turun pada interval x < −2 atau x > 1
f naik pada interval −2 < x < 1
c. f ′(x) = 3x2
− 2x + 8
f ′(x) selalu positif (definit positif), karena D < 0 dan a > 0
Dengan demikian, kurva f selalu naik.
d.f ′(x) = −3x2
+ 4x − 9
f ′(x) selalu negatif (definit positif), karena D < 0 dan a < 0
Dengan demikian, kurva f selalu turun.
1. Tentukan titik stasioner dari f(x) = x3
−9x2
+ 24x dan jenisnya!
Jawab:
f ′(x) = 3x2
− 18x + 24
= 3 (x2
− 6x + 8)
= 3 (x − 2) (x − 4)
f ′(x) = 0 ⇒ x1 = 2 dan x2 = 4
f(2) = 3 . 23
− 9 . 22
+ 24 . 2 = 36
f(4) = 3 . 43
− 9 . 42
+ 24 . 4 = 144
Titik stasioner (2,36) dan (4,144)
Untuk x = 2 tanda f ′ berubah dari (+) ke (−) ⇒ (2,36) titik balik maksimum.
Untuk x = 4 tanda f ′ berubah dari (+) ke (−) ⇒ (4,144) titik balik minimum.
2. Tentukan titik stasioner dari f(x) = − x4
+ 4x3
+ 11 dan jenisnya!
Jawab:
−2 6
f ′ = + f ′ = +f ′ = −
1 2
f ′ = − f ′ = −f ′ = +
f ′ = + (f naik) f ′ = − (f turun)
2 4
f ′ = + (f naik)
Disekitar x=2 tanda f ′
berubah dari (+) ke (−)
Disekitar x=4 tanda f ′
berubah dari (−) ke (+)
f ′ = + (f naik) f ′ = + (f naik)
0 3
f ′ = − (f turun)

4. f ′(x) = −4x3
+ 12x2
= −4x2
(x − 3)
f ′(x) = 0 ⇒ x1 = 0 dan x2 = 3
f(0) = 11 dan f(3) = 38 ⇒ titik stasioner (0,11) dan (3,38)
Untuk x = 0 tidak terjadi perubahan tanda f ′ ⇒ (0,11) titik belok horizontal.
Untuk x = 3 tanda f ′ berubah dari (+) ke (−) ⇒ (4,144) titik balik minimum.
3. Titik stasioner fungsi f(x) = x3
+ ax2
+ bx masing-masing x = a dan x = b, maka titik
balik maksimum fungsi untuk x = ….
(A) − 3
1 (B) − 9
5
(C) 9
5
(D) 3
1 (E) 3
2
Jawab: B
x = a dan x = b titik stasioner ⇒ f ′(x) = 0 untuk x = a dan x = b
⇒ 3x2
+ 2ax + b = 0, akarnya x1 = a dan x2 = b
Dari hasil kali akar: x1 . x2 =
3
1 ⇒ a . b = 3
b ⇒ a =
3
1 .
Dari hasil jumlah akar: x1 + x2 = − 3
a2 ⇒ a + b = − 3
a2 ⇒ b = − 3
a5 = − 9
5
.
Perhatikan! Persamaan f ′(x) = 0 mempunyai akar
3
1 dan −
9
5 ,
berarti f ′(x) = 3x2
+ 2ax + b
= 3( x −
3
1 ) (x +
9
5 ).
Jadi, titik balik maksimum untuk x = − 9
5
4. Tentukan nilai stasioner fungsi f(x) = (x2
− 5) (x − 3)2
dan jenisnya!
Jawab:
f ′(x) = 2x (x − 3)2
+ 2 (x2
− 5 ) ( x − 3)
= 2(x − 3) [ x (x − 3) + x2
− 5]
= 2 (x − 3) [ 2x2
− 3x − 5]
= 2 (x − 3) (2x − 5) ( x + 1)
Titik stasioner (−1,−64), (
2
5
,
16
5
) dan (3,0)
Perhatikan! Table tanda f ′(x), kita dapat
menggambar kurva f(x) seperti di samping. Jadi,
fungsi f(x) mempunyai nilai minimum lokal
16
5
,
maksimum lokal 0, dan nilai minimum mutlak −64.
5. Nilai minimum dan maksimum dari y = x3
− 12x , 1 ≤ x ≤ 3 adalah
Jawab :
Titik stasioner jika y′ = 0 ⇒ 3x2
− 12 = 0 ⇒ x2
= 4 ⇒ x = ± 2
dari stasioner: x = −2 (tidak terpakai, karena tidak pada daerah 1 ≤ x ≤ 3)
x =2 ⇒ y = 23
− 12 . x = −16
dari batas: x = 1 ⇒ y = − 13
− 12 . 1 = − 11
x = 3 ⇒ y = 33
− 12 . 3 = − 9
Dengan demikian diperoleh ymin = − 16 dan ymaks = −9.
6. Jika x2
+ px − p + 3 = 0 mempunyai akar-akar tidak real α dan β, maka nilai maksimum
dari α3
+ β3
adalah
(A) −5 (B) 24 (C) 270 (D) 312 (E) 516
Jawab: C
• Akar-akar tidak real ⇒ D < 0 ⇒ p2
+ 4p −
12 < 0
⇒ (p + 6) (p − 2) < 0
⇒ −6 < p < 2
• α3
+ β3
= (α + β)3
− 3 α β (α + β) = (−p)3
− 3 (p + 3) (−p)
f ′ = + f ′ = − f ′ = +
−
9
5
3
1
f ′= + f ′= −f ′= +
2
5
f ′= −
−1 3
(−1,−64)
(0,3)
(
2
5 ,
16
5 )y = f(x)
−6 2
+ +−

5. = −p3
+ 3p2
+ 9p
• Nilai batas: p = −6 ⇒ α3
+ β3
= −(−6)3
+ 3
(−6)2
+ 9 (−6) = 270
p = 2 ⇒ α3
+ β3
= −(2)3
+ 3 (2)2
+ 9 (2) = 24
• Nilai stasioner: dp
d
(α3
+ β3
) = 0 ⇒ −3p2
+ 6p + 9 = 0 ⇒ p2
− 2p − 3 = 0
⇒ (p + 1) (p − 3) = 0 ⇒ p = −1 atau p = 3
Untuk p = −1 ⇒ α3
+ β3
= −(−1)3
+ 3 (−1)2
+ 9 (−1) = −5.
Untuk p = 3, tidak di cek, karena tidak pada daerah batas −6 < p < 2.
• Dengan demikian [α3
+ β3
]maksimum = nilai
terbesar dari −5, 24, 270 = 270.
1. Jika (a,f(a)) dan (b,f(b)) masing-masing titik belok dan titik balik minimum dari fungsi
f(x) = x5
− 5x4
, maka f(a) − f(b) = ….
(A) 51 (B) 92 (C) 114 (D) 216 (E) 247
Jawab: B
f ′(x) = 5x4
− 20x3
= x3
(5x − 20)
f ′ = 0 ⇒ x = 0 atau x = 4
Uji turunan kedua untuk menentukan titik
maksimum dan minimum
f ″(0) = −3 ⇒ (0,0) maksimum
f ″(4) = 320 ⇒ (4,−256) minimum
Jadi, f (b) − f(a) = −162 − (−256) = 92
2. Dari gambar f ′ di samping dapat disimpulkan fungsi y = f (x) mempunyai ….
(A) Titik balik maksimum di x = a
(B) Titik balik maksimum di x = d
(C) Titik balik minimum di x = b
(D) Titik balik minimum di x = c
(E) Titik belok di x = e
Jawab: E
f ′ berubah tanda dari (+) ke (−) pada x = a ⇒ (a,f(a)) titik balik minimum f(x).
f ′ berubah tanda dari (−) ke (+) pada x = c ⇒ (c,f(c)) titik balik maksimum f(x).
Untuk x = b, x = d, x = e, terjadi perubahan naik dan turun pada f ′. Dengan demikian f ″
berubah tanda. Jadi, titik-titik ini titik belok fungsi f.
1. Letak titik P pada penggal garis OB sehingga
5
1
panjang AP +
8
1
panjang PB menjadi
minimum ….
(B) (
39
15
,0) (D) (
39
30
,0)
(C) (
39
20
,0) (E) (
39
35
, 0)
(D) (
39
25
,0)
Jawab: B
Tulislah! f =
5
1
panjang AP +
8
1
panjang PB
=
5
1 2
ap
2
ap )yy()xx( −+− +
8
1 2
pb
2
pb )yy()xx( −+−
=
5
1 22 )40()0x( −+− +
8
1 22 )00()x10( −+−
=
5
1 2
1
2 )16x( + +
8
1
(10 − x)
A(0,4)
P(x,0) B(10,0)
a
b
c d
y = f ′(x)
e
f ″(x) = 20x3
− 60x2
= 20x2
(x −3)
Untuk x = 0: f ″ tidak berubah tanda
(0,0) bukan titik belok.
Untuk x = 3: f ″ berubah tanda
(3,−162) titik belok
f ″ = − f ″ = − f ″ = +
0 3

6. agar f minimum ⇒ f ′ = 0 ⇒
5
1
.
2
1 2
1
2 )16x(
−
+ . 2x −
8
1
= 0
⇒ 16x5
x
2 + =
8
1
⇒ 8x = 5 16x2 + ⇒ 64x2
= 25 (x2
+ 16)
⇒ 39 x2
= 25 . 16 ⇒ x = 39
16.25
=
39
4.5
=
39
20
2. Sebuah balok berbentuk prisma tegak, alasnya berbentuk
segitiga siku-siku sama kaki dan isinya 4 ( 2 − 2 ) m3
.
Jika balok itu dibuat sehingga luas seluruh permukaannya
sekecil mungkin, maka luas alasnya menjadi ….
(A) )22(3 − (C) 8 (E) 2
(B) 4 3
4 (D) 4
Jawab: E
Volume = Luas alas . tinggi ⇒ 4 ( 2 − 2 ) =
2
1
x2
. y
⇒ y = 2x
)22(8 −
Tulislah! A = Luas seluruh permukaan
A = 2 . luas alas + luas selimut
= ( 2 .
2
1
x2
) + ( x . y + x . y + x. y 2 )
= x2
+ ( 2 + 2 ) x y
= x2
+ ( 2 + 2 ) x 2x
)22(8 −
= x2
+ 16 x−1
agar A minimum ⇒ A′ = 0 ⇒ 2x − 16 x−2
= 0 ⇒ 2x = 2x
16
⇒ x3
= 8 ⇒ x = 2
⇒ luas alas =
2
1
x2
=
2
1
22
= 2
3. Sebuah tabung tanpa tutup yang terbuat dari seng tipis dapat memuat zat cair sebanyak
64 cm3
. Seluruh luas tabung itu akan minimum, jika jari-jari tabung sama dengan ….
(A)
π
8 π (B)
π
4 π2 (C)
π
4 π (D)
π
4 3 2π (E)
π
4 3 2π
Jawab: D
V = 64 ⇒ π r2
t = 64 ⇒ t = 2r
64
π
L = luas tabung
= π r2
+ 2π r t = π r2
+ 2π r 2r
64
π
= π r2
+ 128 r−1
agar L minimum ⇒ L′ = 0 ⇒ 2 π r − 128 r−2
= 0 ⇒ π r = 64 r−2
⇒ r3
=
π
64 ⇒ r = 3
4
π
=
π
4 3 2π
x
y
x
t
r

7. agar f minimum ⇒ f ′ = 0 ⇒
5
1
.
2
1 2
1
2 )16x(
−
+ . 2x −
8
1
= 0
⇒ 16x5
x
2 + =
8
1
⇒ 8x = 5 16x2 + ⇒ 64x2
= 25 (x2
+ 16)
⇒ 39 x2
= 25 . 16 ⇒ x = 39
16.25
=
39
4.5
=
39
20
2. Sebuah balok berbentuk prisma tegak, alasnya berbentuk
segitiga siku-siku sama kaki dan isinya 4 ( 2 − 2 ) m3
.
Jika balok itu dibuat sehingga luas seluruh permukaannya
sekecil mungkin, maka luas alasnya menjadi ….
(A) )22(3 − (C) 8 (E) 2
(B) 4 3
4 (D) 4
Jawab: E
Volume = Luas alas . tinggi ⇒ 4 ( 2 − 2 ) =
2
1
x2
. y
⇒ y = 2x
)22(8 −
Tulislah! A = Luas seluruh permukaan
A = 2 . luas alas + luas selimut
= ( 2 .
2
1
x2
) + ( x . y + x . y + x. y 2 )
= x2
+ ( 2 + 2 ) x y
= x2
+ ( 2 + 2 ) x 2x
)22(8 −
= x2
+ 16 x−1
agar A minimum ⇒ A′ = 0 ⇒ 2x − 16 x−2
= 0 ⇒ 2x = 2x
16
⇒ x3
= 8 ⇒ x = 2
⇒ luas alas =
2
1
x2
=
2
1
22
= 2
3. Sebuah tabung tanpa tutup yang terbuat dari seng tipis dapat memuat zat cair sebanyak
64 cm3
. Seluruh luas tabung itu akan minimum, jika jari-jari tabung sama dengan ….
(A)
π
8 π (B)
π
4 π2 (C)
π
4 π (D)
π
4 3 2π (E)
π
4 3 2π
Jawab: D
V = 64 ⇒ π r2
t = 64 ⇒ t = 2r
64
π
L = luas tabung
= π r2
+ 2π r t = π r2
+ 2π r 2r
64
π
= π r2
+ 128 r−1
agar L minimum ⇒ L′ = 0 ⇒ 2 π r − 128 r−2
= 0 ⇒ π r = 64 r−2
⇒ r3
=
π
64 ⇒ r = 3
4
π
=
π
4 3 2π
x
y
x
t
r