Binom Newton

1. Material didactic pentru lecţia:
“Binomul lui Newton”

2. 2
cuprins
• Scopul lecţiei
– Verificarea temei(1)
– Verificarea temei(2)
• Formula lui Newton
– Demonstrarea teoremei
– Despre formulă (1)
– Despre formulă (2)
• Aplicaţie 1
• Răspuns 1
• Aplicaţie 2
• Răspuns 2
• Aplicaţie 3
• Răspuns 3
• Aplicaţie 4
• Răspuns 4
• Aplicaţie 5
• Răspuns 5
• Identităţi
• Aplicaţie 6
• Răspuns 6
• Aplicaţie 7
• Răspuns 7
• Test
• Temă

3. 3
Binomul lui Newton
( )
n
Scopul lecţiei:
Prezentarea formulei pentru a+b , a,b şi n .
Găsirea proprietăţilor pentru coeficienţii termenilor
din dezvoltarea acestui binom.
Aplicaţii.
∗
• ∈ ∈
•
•
£ ¥

4. 4
Verificarea temei:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 3
4 5
2 2 2
3 3 2 2 3
24 2 2 2 3
4 3 2 2 3 4
1 Scrieţi formulele pentru: a+b , a+b , găsiţi
o modalitate de a calcula a+b şi calculaţi a+b .
Răspuns:
a+b =a +2ab+b
a+b =a +3a b+3ab +b
a+b a+b a+b a+b a+b a+b
a +4a b+6a b +4ab +b
a+b
 = = × = × =
 
=
5 5 4 3 2 2 3 4 5
=a +5a b+10a b +10a b +5ab +b .

5. 5
Ce puteţi spune
despre
coeficienţii
literelor?
Ce puteţi spune
despre numărul
de termeni din
fiecare
dezvoltare?
Ce puteţi spune
despre
exponenţii
literelor?
Răspundeţi la
următoarele
întrebări:

6. 6
Răspunsuri:
Coeficienţii termenilor extremi şi ai celor egal
depărtaţi de termenii extremi sunt egali.
Exponenţii puterilor lui a descresc de la cel mai mare la 0.
Exponenţii puterilor lui b cresc de la 0 la
•
•
• cel mai mare.
Exponentul cel mai mare pentru a şi pentru b este
exponentul la care se ridică binomul.
Numărul de termeni din dezvoltare depăşeşte cu 1
exponentul la care se ridică binomul.
•
•

7. 7
Verificarea temei:
( )
k
n
k
n
k
n
2 Calculaţi numerele C în situaţiile:
a) n 1; b) n 2; c) n 3; d) n 4; e) n 5.
Răspuns :
n!
Folosind formula combininărilor C n k, n,k şi
k! n k !
utilizând formula combinărilor complementare C
= = = = =
= ≥ ∈
× −
=
¥
n k
n
0 1
1 1
0 1 2
2 2 2
0 1 2 3
3 3 3 3
0 1 2 3 4
4 4 4 4 4
1 1
1 2 1
C obţinem:
C , C
C , C , C
1 3 3 1
1
C , C , C , C
C , C 4 6 4 1, C , C , C
−
= =
= = =
= = = =
= = = = =
0 1 2 3 4 5
5 5 5 5 5 5C , C , C ,1 5 C ,10 10 5 1C , C= = = = = =

8. 8
Legat de a doua problemă din temă observăm următoarele:
k
n
Coeficienţii din dezvoltare sunt chiar numerele
obţinute calculând C în situaţiile din temă:
a) n 1; b) n 2; c) n 3; d) n 4; e) n 5, anume:
a)
b)
1 1
= = = = =
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5
c)
d)
e)
Astfel gr
1
upate se observă o modalitate de calcul a acestor
numere din aproape în aproape ( triunghiul lui Pascal).

9. 9
Formula lui Newton
( )
( )
n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n 1 n 1 n n
n n n n n na+b =C a +C a b+C a b +.....+ C a b +.....+C ab
Are loc următoarea:
Teoremă a binomului . Fie a,b , n . Atunci :
cunoscută sub denumirea de formula lui Newton.
Isaac Newton m t
+C
a
b− − − − −
∗
∈ ∈¡ ¥
( )
( )
ematician, astronom, fizician englez 1643-1727 .
Demonstraţie cu metoda inducţiei matematice:
Etapa I. Verificare: P 1 : ...munca independentă...
  

10. Elena-EugeniaCimpoeru 10
Demonstrarea teoremei:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n n
n n n n n
1 0 1
1 1
n+1 0 n+1 1 n k n+1 k k n+1 n+1
n+1 n+1 n+1 n+1
Fie P n : a+b =C a +C a b+C a b +.....+ C a b +.....+C b ,n .
I. Verificare: P 1 : a+b =C a+C b ;
II. P n P n+1 :
P n+1 : a+b =C a +C a b+.....C a b +.....+C b
P n+1 :
− − −
−
∈
→
A
?
¥
( ) ( ) ( ) ( )
( ) { ( ) ( )
0
1n+1
n +1 n +1
n 0 n 1 n 1 k n k k n n
n n n n
0 n+1 1 n k n k+1 k n n 0 n 1 n 1 2
n n n n n n
k n k k+1 n n+1
n n
n+1 0 n+1 1 0 n 2 1
n n n n n
C
C C
a+b a+b = a+b C a +C a b+.....+C a b +.....+C b =
=C a +C a b+....+C a b +...+C b +C a b+C a b +.....+
+C a b +.....+C b
a+b =C a + C +C a b+ C +C
− −
− −
−
⇒
14243 { ( )
( )
n+1
2 n+1
n 1 2 n n n+1
n n
C
a b +....+C C b
Conform principiului inducţiei matematice rezultă că P n este adevărată n .
−
∗
∀ ∈
A .
14243
¥

11. 11
Precizări privind formula lui Newton:
0 1 k n
n n n nCoeficienţii C , C , ...C ,...,C se numesc
şi sunt în număr de n +1
A se face distincţie între coeficientul binomial al unui termen şi
coeficienţi binomiali
ai dezvoltării
coeficientul nu
1)
meri
.
0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n
1 n 2 n 3 n n+1 n
0 2 4
n n n
al acelui termen!
Cei n+1 termeni sunt:
T =C a , T =C a b, T =C a b ,...., ,....,T =C b .
Numerele naturale C , C , C ... se numesc
coeficienţi binomiali de rang imp
− − k n-k k
k+1 n
c
T =
2)
3)
a bC
1 3 5
n n nar, iar numerele C , C , C ....
se numesc coeficienţi binomiali de rang par.
În formula lui Newton exponenţii puterilor lui a descresc
de la n la 0, iar exponenţii puterilor lui b cresc de l
4)
a 0 la n.

12. 12
Precizări privind formula (continuare):
0 n 1 n 1 2 n 2 k n k
n n n n n n n n
Coeficienţii binomiali ai termenilor extremi şi cei ai termenilor egal depărtaţi
de termenii extremi sunt egali: C =C , C =C , C =C , .... , C =C .
Dacă exponentul puterii e
− − −
5)
6)
0 1 2 k k+1 n
n n n n n n
ste par n=2k atunci dezvoltarea are 2k+1 termeni,
iar termenul din mijlocare coeficientul binomial cel mai mare:
C C C .... C C .... C< < < > > >
0
n
.
Dacă exponentul puterii este impar n=2k+1 atunci dezvoltarea are 2k+2
termeni şi există doi termeni la mijlocul dezvoltării cu coeficienţii binomiali
egali şi de valoare cea mai mare: C <
{ }
1 2 k k+1 k+2 n
n n n n n nC C .... C =C C .... C .
Un rol important în rezolvarea problemelor legate de binomul lui Newton
îl joacă de rang k+1:
< < > >
7
termenul general
)
k n-k k
k+1 nT = C a b , k∈ 0,1,2,....,n

13. 13
Aplicaţie:
Formula
( )
6
4
3
1 Calculaţi 1+2x folosind formula lui Newton.
După ce aţi dezvoltat binoamul cu ajutorul formulei completaţi:
a) T =................
b) coeficientul binomial al lui T este..........
c) coefi 5
5
9
cientul lui T este..............
d) termenul liber al dezvoltării este..............
d) termenul care conţine x este................
e) termenul care conţine x este................

14. Elena-EugeniaCimpoeru 14
Răspuns:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
6 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6
6 6 6 6 6 6
33 3
4 6
2
3 6
4 4
5 6
1 1+2x =1+C 2x+C 2x +C 2x +C 2x +C 2x +C 2x
Astfel :
a) T =C 2x =160x
b) coeficientul binomial al termenului T este C =15
c) coeficientul termenului T este C 2 =240
d) termenul liber est
×
×
( )
1
55 5 5
6 6
9
e T =1
e) termenul care conţine x este T C 2x 192x
e) nu există termen care conţine x
= =
Formula

15. Elena-EugeniaCimpoeru 15
Aplicaţie:
( )
5
4
3
4
Calculaţi z= y-i folosind formula lui Newton
şi răspundeţi la următoarele întrebări:
a) T =..................
b) coeficientul binomial al lui T este...........
c) coeficientul lui T este.....
2
( )
( )
.....
d) Re z =.......
e) Im z =............
Formula

16. Elena-EugeniaCimpoeru 16
Răspuns:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
5 2 3 4 55 1 4 2 3 3 2 4 5
5 5 5 5 5
5 5 1 4 2 3 3 2 4 5
5 5 5 5 5
3 4
4 5
2
3 5
2 y i =y +C y i +C y i +C y i +C y i +C i
y i =y C y i C y +C y i+C y C i
În concluzie:
a) T =C y i
b) coeficientul binomial al termenului T este C =10
c) coeficientul terme
− − − − − −
⇒ − − − −
( )
( )
3
4 5
5 3
4 2
nului T este C i=10i
d) Re z y 10y +5y
e) Im z 5y +10y 1
= −
= − −
Formula

17. 17
Aplicaţie:
8
2
3
6
1
2
Fie binomul x + . Să se determine:
x
a) Termenul al treilea al dezvoltării.
b) Termenul din mijloc.
c) Rangul termenului ce conţine pe x .
d) Termenului ce conţine pe x .
e) Termenul liber din d
 
 ÷
 
3
( )
ezvoltare.
nu dezvoltaţi binomul!
Termen general

18. 18
Răspuns:
( ) { }
( )
k
8 kk 2
k+1 8 3
2
8 22 2 6
3 2+1 8 3
5
2
3 Temenul general este: T =C x , k 0,1,...,8
x
2
a) Luăm k=2 şi obţinem T =T =C x =112x
x
b) Cum n=8 înseamnă că dezvoltarea are 9 termeni şi
termenul din mijloc este T
−
−
 
× ∈ ÷
 
 
 ÷
 
( )
( ) ( )
4
8 44 2 4
4+1 8 3
6
k+1
k
8 k 2 8 k2 6 3k 6
33
2
=T =C x =1120x .
x
c) Pentru a găsi termenul care conţine x folosim din formula lui T
factorul x cu exponentul său:
1
x =x x x =x 16 5k=6 k=2 T .
x
d) Repetăm raţiona
− −
− − −
 
 ÷
 
 
× ⇒ × ⇒ − ⇒ ⇒ ÷
 
16 5k 1
4
16 5k 0
mentul şi găsim x =x k=3 T 448x.
e) Analog x =x 16 5k=0 k Nu există termen liber.
−
−
⇒ ⇒ =
⇒ − ⇒ ∉ ⇒¥
Termen general

19. 19
Aplicaţie:
( )
∈ *
n
4 Să se determine n N ştiind că al zecelea termen
al dezvoltării binomului 3 + n este cel mai mare
dintre termenii dezvoltării.
Termen general

20. 20
Răspuns:
( )
10
10 9 10 11
8 n 8 8 9 n 9 9
n n
10 n 10 10 9 n 9 9
n n
4 Termenul T este cel mai mare al dezvoltării dacă
T T şi T T sau echivalent cu sistemul
C 3 n C 3 n
, unde n 10,n
C 3 n C 3 n
3 n n 4 + 43,
n 8 9
n 3
10 n 9
− −
− −
≥ ≥
 × ≤ ×
≥ ∈
× ≤ ×
 ∈ ∞ ∩≤ −
⇔ ⇔
 ≤
 −
¥
{ }
9 201 9 + 201
n ,
2 2
9 + 201
n 4 + 43, 11 n 11
2


⇔  −
∈ ∩  ÷ ÷
  
 
⇔ ∈ ∩ = ⇒ = ÷ ÷
 
¥
¥
¥
Termen general

21. 21
Aplicaţie:
( )
100
3
Fie binomul 2 + 3 .
a) Determinaţi numărul de termeni din dezvoltare.
b) Aflaţi câţi termeni raţionali are dezvoltarea.
c) Câţi termeni iraţionali are dezvoltarea?
5
Termen general

22. 22
Răspuns:
( )
( ) ( )
{ }
100
3
100 k k
k 3
k+1 100
k+1
5 a) Binomul 2 + 3 are în dezvoltare 101 termeni.
b) Formula temenului general este:
T C 2 3 , k 0,100.
2 100 k 2 k
T 6 k k 0,6,....,96
3 k 3 k
sau se mai scrie k 0,6 1,6 2 ,6 3 ,...
−
= =
 − 
∈ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ∈ 
  
∈ × × ×
¤
{ }.,6 16
există 17 termeni raţionali.
c) În concluzie sunt 101 17 84 termeni iraţionali.
× ⇒
⇒
− =
Termen general

23. Elena-EugeniaCimpoeru 23
Identităţi în calculul cu combinări
( )
( )
n
n 0 n 1 n 1 2 n 2 2 k n k k n 1 n 1 n n
n n n n n n
Utilizând formula lui Newton de dezvoltare a binomului a + b
a+b =C a +C a b+C a b +.....C a b +.....+C ab +C b ,
se pot deduce câteva identităţi interesante în care intervin coeficinţii
− − − − −
n 0 1 2 n 1 n
n n n n
n
n2 C + C + C + .
binomiali.
Particularizând în formula lui Newton a b 1 găsim:
Suma coeficienţilor binomiali ai dezvoltării este 2
În aceeaşi formulă a lui Newto
.... + C + C
n
−
• = =
=
•
( )
n0 1 2 n
n n n n0 C C
luân
+ C .....
d a 1 şi b 1 obţinem:
Suma alternantă a coeficienţilor binomiali este
1 C
0
=
= −
− − −
=

24. Elena-EugeniaCimpoeru 24
Identităţi în calculul cu combinări
(continuare)
( )
( )
n 0 1 2 n 1 n
n n n n n
n0 1 2 n
n 1 0 2 4 6
n n n n
n 0 2 4 6
n n
n
n n
n n n
Adunând cele două sume membru cu membru obţinem:
2 C + C + C + ..... + C + C
0 C C + C ..... 1 C
2 2
2
C + C + C + C + .
C
.... sau
Suma coeficienţilor
+ C + C + C + ....
−
−
=
=
= − − −
=
( )
n
n 1 1 3 5 7
n
1
n 1 3 5 7
n n n n
n 1
n n n
binomiali de rang impar este 2
Scăzând cele două sume obţinem:
2 2 C + C + C + C + ..... sau
Suma coeficienţilor binomiali de rang
2 C + C + C + C
par est
+ ...
e
.
2
−
−
−
=
=

25. Elena-EugeniaCimpoeru 25
Aplicaţie:
1 2 3 n
n n n n n
k k 1
n n 1
k n k
n n
6 Să se calculeze suma:
S C + 2C + 3C +.....+ nC .
a) utilizând egalitatea kC nC
pentru n,k , n k;
b) utilizând formula combinărilor complementare:
C C pentru n,k , n k;
−
−
∗
−
=
=
∈ ≥
= ∈ ≥
¥
¥
Suma

26. Elena-EugeniaCimpoeru 26
Răspuns:
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
k
n
k 1
n 1
0 1 2 n 1
n
0 1 2 n 1 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1
n 1 n 1 n 1 n 1
a) Demonstrarea formulei:
n n 1 !n!
kC k k
k!. n k ! k k 1 ! n k !
n 1 !
n nC
k 1 ! n k !
Astfel suma se rescrie:
S nC + nC + nC +....+ nC
n C + C + C +.... + C 2n− −
− − −
−
−
−
− −
−
− −
−
= = =
− − −
−
= =
− −
= =
= = ×
Suma

27. Elena-EugeniaCimpoeru 27
Răspuns (continuare):
( )
( )
n
k n k
n n
n 1 n 2 n 3 1 0
n n n n n n
0 1 n 3 n 2 n 1
n n n n n
n
b) Rescriem suma S utilizând formula combinărilor
complementare, C C şi se obţine:
S C + 2C + 3C +.....+ n 1 C + nC
nC + n 1 C +....+3C + 2C + C .
Adunăm cele două sume:
S
−
− − −
− − −
=
= − =
= −
= ( ) ( )
( ) ( )
( )
1 2 n
0 1 2 n 2 n 1 n
n n n n n n
2 n 1 n
n n n n n
0 1 2 n 2 n 1
n n n n n n
n
n
C + 2C +...+ n 2 C + n 1 C + nC
S nC + n 1 C + n 2 C +...........+ 2C +
C + C + C +..............
..
+ C
.+ C
+2S n
2S n
C + C
− −
−
− −
−
− −
= − −
= ⇒
= × nn 1
nS 22 n−
⇒ = ×
Suma

28. Elena-EugeniaCimpoeru 28
Aplicaţie:
k k+1
n n+1
1 2 n
0 n n n
n n
7 Să se demonstreze egalitatea
C C
pentru n,k , n k
k +1 n +1
şi apoi să se calculeze suma:
C C C
S C + + + ..... +
2 3 n +1
= ∈ ≥
=
¥
Suma

29. Elena-EugeniaCimpoeru 29
Răspuns:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
k
kn
n
k+1
k+1 n+1
n+1
1 2 n
0 n n n n
n n
Demonstrarea formulei:
C 1 1 n! n! n +1
C
k +1 k +1 k +1 k! n k ! k +1 ! n k ! n +1
n +1 ! 1 1 C
C .
k +1 ! n k ! n +1 n +1 n +1
Cu această formulă rescriem fiecare termen al sumei
C C C C
S C + + + .....+
2 3 n +1
= = × = × =
− −
= × = =
−
= =
7
( )
( ) ( )
1 2 n+1
+1 n+1 n+1
1 2 3 n+1
n+1 n+1 n+1 n
0 1 2 3 n+1
n+1 n+1 n+1 n+1 n
+1
n+
+1
1
C C
+ +.... +
n +1 n +1 n +1
1
C + C + C +.
C + C + C + C +.... + C
...+ C
n +1
1 1
2 1
n +1 n +1
1−
=
= =
= = −
Suma

30. Elena-EugeniaCimpoeru 30
Test
14
31
Fie binomul x , x 0.
x
Câţi termeni are dezvoltarea?
Care este rangul termenului din mijloc?
Care este suma coeficienţilor binomiali ai acestui binom?
Folosind formul termenului general,
 
− ≠ ÷
 
1)
2)
3)
k n k k
k+1 n
2
T =C a b aflaţi:
Rangul termenului care conţine pe x .
Câţi termeni raţionali are dezvoltarea?
−
4)
5)

31. Elena-EugeniaCimpoeru 31
Temă
n
3
5
1
Să se afle termenul dezvoltării binomului x x + care
x
îl conţine pe x dacă suma coeficienţilor binomiali este 128.
 
 ÷
 
1)
2)
n
2 2
Se consideră dezvoltarea x , x , n .
x
Să se determine n astfel încât suma coeficienţilor primilor
trei termeni
∗ ∗ 
− ∈ ∈ ÷
 
a)
¡ ¥
4
ai dezvoltării să fie 97.
Pentru n=8 verificaţi dacă există un termen care-l conţine pe x .
Pentru n=80 aflaţi suma coefic
b)
c)
( )
n
n
ienţilor dezvoltării.
Să se scrie numărul complex z 1+ i sub forma trigonomtrică
şi apoi să se clculeze z cu formula lui Moivre;
Să se dezvolte 1+ i după formula lui Newton;
Egalând egalităţil
=3) a)
b)
c)
( ) ( )
n n
0 2 4 6 1 3 5 7
n n n n n n n n
e de la a) şi b) să se deducă egalităţile:
n n
C C + C C +..... 2 cos şi C C + C C +..... 2 sin
4 4
π π
− − = − − =