Rezolvati exercitiile din fisa Binomul lui Newton

1. BINOMUL LUI NEWTON
1) Să se dezvolte după formula lui Newton următoarele binoame:
a) (x + 3y)3
; b) 4
( )a b− ; c) (x + 2)7
; d) 7
( 3 )x y+ , unde x, y, a, b > 0
2) Să se determine termenul:
a) al cincilea al dezvoltării: 7
( 2 )a ab− ;
b) al optulea al dezvoltării:
11
31
x
x
 
+ ÷
 
c) în care nu apare x din dezvoltarea
21
5 1
x
x
 
+ ÷
 
d) din dezvoltarea
13
3
3
3
a
a
 
+ ÷ ÷
 
care îl conţine pe a4
. (x, y, a, b>0)
3) Determinaţi termenul ce nu-l conţine pe y din dezvoltarea
400
1
y
x
 
+ ÷
 
, unde x, y > 0.
4) Se consideră binomul
15
2
yx
y x
 
+ ÷ ÷
 
unde x, y > 0 . Determinaţi al 7lea termen (T7) al dezvoltării şi precizaţi cîţi
termeni are dezvoltarea.
5) Fie binomul
16
2
x x
y y
 
+ ÷ ÷
 
unde x, y > 0. Determinaţi termenul dezvoltării în care x şi y au puteri egale.
6) Se consideră binomul
17
3
2
yx
y x
 
+ ÷ ÷
 
unde x, y >0. Determinaţi termenul dezvoltării care-l conţine pe x-4
.
7) Determinaţi n şi x din dezvoltarea
1
2 2
3 3
nx x−
 
+ ÷
 
, n∈N*
, ştiind că suma coeficienţilor binomiali ai primilor trei
termeni este egală cu 22, iar suma dintre T3 şi T5 este 420.
8) Demonstraţi formula
2
1 1
k
k
T n k b
T k a
+
+
−
= ×
+
pentru dezvoltarea ( )n
a b+ şi determinaţi cel mai mare termen al
dezvoltării :
a)
42
1 1
2 2
 
+ ÷
 
; b)
30
2 5
7 7
 
+ ÷
 
; c)
90
1 4
4 5
 
+ ÷
 
;
9) Arătaţi că
0 1 2
... 2n n
n n n nC C C C+ + + + = , n∈N*
, a>0, folosind rezultatul precedent aflaţi termenul ce-l conţine pe
a din dezvoltarea 512
6
1
n
a
a
 
+ ÷
 
stiind ca suma tuturor coeficientilor binomiali este 128.
10) Arătaţi că
0 2 4 1
......... 2n
n n nC C C −
+ + = si aflaţi termenul în care x şi y au acelaşi exponent din dezvoltarea
44
n
yx
y x
 
− ÷ ÷
 
, unde x, y > 0, n∈N*
.
11) În dezvoltarea 1
( 2 2 )x x n−
+ suma coeficienţilor ultimilor trei termeni este egală cu 22. Aflaţi x pentru care
suma dintre T3 şi T5 este 135.
12) Se consideră dezvoltarea
n
y
y








+
42
1
, y∈R+
*
şi n∈N*
.
a) Să se determine n pentru care coeficienţii termenilor 1, 2, respectiv 3 ai dezvoltării, formează o progresie
aritmetică.
b) Pentru n= 8 să se găsească termenii dezvoltării care îl conţin pe y.