2. 1. Definitie
2. Forma algebrica
3. Forma trigonometrica
4. Conjugatul unui număr complex
5. Modulul unui număr complex
6. Puterile lui I
7. Operații cu numere complexe
8. Ecuații cu numere complexe.
9. Cum au aparut numerele complexe?
10. Aplicatiile numerelor complexe in viata de zi cu zi
3. Numerele complexe au apărut in literatura matematică din necesitatea
construirii unei soluţii a ecuaţiilor de gradul doi cu Δ=b2-4ac< 0.
Mulţimea numerelor complexe formează un corp - corpul numerelor
complexe, notat cu C . Formal, mulţimea numerelor complexe reprezintă
mulţimea tuturor perechilor ordonate de numere reale, (a,b), înzestrată cu
operaţiile de adunare și înmulţire definite mai jos:
(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d);
(a,b) * (c,d) = (ac-bd, bc+ad);
4. Numărul complex (0,1) are proprietatea
(0,1)(0,1)=(1,0), adică (0,1)2 =(-1,0) identificat cu numărul real -1 .
Niciun număr real nu are această proprietate; de aceea el a fost
denumit "numărul i " („i” de la „imaginar”).
5. Numărul complex este notat cu i și numit „numărul i”. Are proprietatea i 2 = -
1. Un număr complex poate fi scris (1,b)=(a,0)+(b,0)(0,1)= a+bi.
Forma algebrică a unui număr complex este z= a+bi , unde a și b sunt numere
reale.
Pentru un număr complex, se numește partea reală a lui z și se notează a=Re(z), iar
b se numește partea imaginară a lui z și se notează b=Im(z) .
• (0,1) = i numit unitatea imaginară; (0,0)=0 ; (1,0)= 1.
• Un număr complex cu partea reală nulă (deci de forma: z= bi ) se mai numește
„număr imaginar”.
• Egalitatea a două numere complexe z = (a,b) = a+bi și
w = (c,d) = c + di are loc dacă a = c și b = d.
Exemplu:
(2,-1)=2+(-1)ˑi=2-i
6. Numerele complexe pot fi reprezentate grafic, alegând axa Oy ca axă
imaginară şi Ox ca axă reală. Astfel fiecărui număr complex z (x, y)
i se poate ataşa un punct M de abscisă x şi de ordonată y. Astfel
M se numeşte imaginea lui z, iar z afixul lui M. Poziţia lui M este
definită şi de vectorul de poziţie r = OM .
r = xi + yj
7. Orice numar complex a carui forma algebrica este z=a+bi poate fi
scris sub forma trigonometrica, adica sub forma z=r(cosα+i sinα),
unde r= este modulul numarului complex z, iar
α = arctg este argumentul acestui numar complex.
8. Conjugatul complex al unui numar z = a+bi este numarul complex
z = a-bi.
Proprietatile conjugatului complex :
9.
10.
11. 1. Adunarea este asociativă (Z₁+Z₂)+Z₃=Z₁+ (Z₂+Z₃) ,(∀) Z₁,Z₂,Z₃∊ ℂ
2.Adunarea este comutativă Z₁+Z₂= Z₂ +Z₁ , (∀) Z₁,Z₂ ∊ ℂ
3. Elementul neutru la adunare : 0=0+0i , (∀) Z ∊ ℂ
4.Opusul unui nr complex: (∀) Z ∊ ℂ , ∃ (-z) ∊ ℂ a.î z+(-z)=0
5.Înmulțirea este asociativă (Z₁Z₂)Z₃= Z₁(Z₂Z₃) ,(∀) Z₁,Z₂,Z₃∊ ℂ
6.Înmulțirea este comutativă : Z₁Z₂= Z₂ Z₁ ,(∀) Z₁,Z₂,Z₃∊ ℂ
7. Elementul neutru la adunare : 1=1+0i
8. Distributivitatea față de adunare Z₁(Z₂+Z₃)= Z₁Z₂ + Z₁ Z₃
9.Egalitatea numerelor complexe:
Z₁= a₁ + b₁ i
Z₂= a₂ + b₂ i
Z₁=Z₂ ⇒ a₁ = a₂
b₁= b₂
12. Ecuația are două rădăcini
complex conjugate date de formula :
13. In mijlocul secolului 16, in Europa nu era folosit numarul 0 si nici
numerele negative. De asemenea nu se considera ca ecuatiile patrate
au doua radacini. Matematicienii din acea vreme stiau ca problema
rezolvarii ecuatiilor cubice se putea reduce la rezolvarea a doua cazuri
+mx=n si =mx+n unde m si n erau numere pozitive.
Solutia ecuatiei cubice +ax=b, unde a si b sunt numere pozitive este
data de formula:
14. Cardano a observat ca daca aplica formula de rezolvare ecuatiei
a carei solutie este 4, rezultatul se exprima sub forma
. Aceasta expresie parea sa nu aiba sens
deoarece -121 nu avea radacina patrata. Desi Cardano nu intelegea
numerele complexe, el opera cu aceata radacina patrata ca si cand
ar fi un numar obisnuit si a observat ca:
Adunand cele doua radacini cubice obtinem = 4
care este solutia ecuatiei
15. În dinamica fluidelor, functiile complexe sunt folosite pentru a
descrie potentialul de curgere în două dimensiuni.
În inginerie electrică, transformarea Fourier este folosita pentru a
analiza diferite tensiuni și curenti. Tratamentul de rezistente,
condensatori, inductoare și pot fi apoi unite prin introducerea de
rezistente imaginare, dependente de frecventă pentru cele două
din urmă și care combină toate cele trei într-un număr complex
unic numit impedanta. Această abordare se numește calcul phasor.
16. În matematică, transformarea Fourier (numită astfel după
matematicianul și fizicianul Joseph Fourier) este o operatie care se
aplică unei functii complexe și produce o altă functie complexă
care contine aceeași informatie ca functia originală.
17. În domeniul fizicii :
Numerele complexe au aplicabilitate si in alte domenii, cum ar fi :mecanica,
fizica teoretica, hidrodinamica si chimie
Pentru a putea analiza cu succes circuitele de curent alternativ, trebuie să
abandonăm numerele scalare şi să luăm în considerare cele complexe,
capabile să reprezinte atât amplitudine cât şi faza unei unde în acelaşi timp.
Numerele complexe sunt mai uşor de înţeles dacă sunt trecute pe un grafic.
Dacă desenăm o linie cu o anumită lungime (amplitudine) şi unghi (direcţie),
obţinem o reprezentare grafică a unui număr complex, reprezentare
cunoscută în fizica sub numele de vector.
18. În formularea matematică a mecanicii cuantice, fiecărui sistem de referință i
se asociază un număr complex din spațiul Hilbert, astfel încât, fiecărei stări
instantanee a sistemului îi corespunde câte un vector unitate din acel spațiu.
Acel vector, numit adeseori și vector de stare al sistemului.
