積分問題

1. (1)
𝑋2
− 𝑎2
𝑥2 + 𝑎2 2 𝑑𝑥を求めよ。ただし𝑎は正の定数とする。
d(
−𝑥
𝑥2+𝑎2 )/dx=
𝑋2−𝑎2
𝑥2+𝑎2 2 から
𝑋2−𝑎2
𝑥2+𝑎2 2 𝑑𝑥＝
−𝑥
𝑥2+𝑎2 ＋C
(ヒントは分母の2乗であった)
2)a,bを正の定数とするとき、積分 0
𝑏
0
𝑎 𝑥2−𝑦2−1
𝑥2+𝑦2+1 2 𝑑𝑥𝑑𝑦を求めよ。
0
𝑏
0
𝑎 𝑥2−𝑦2−1
𝑥2+𝑦2+1 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1 より 0
𝑏
[
x
𝑥2+𝑦2+1
] 𝑥=0
𝑥=𝑎
dy= 0
𝑏 𝑦
𝑦2+𝑎2+1
dy
=-
a
𝑎2+1
[arctan
y
𝑎2+1
] 𝑥=0
𝑥=𝑏
=
−a
𝑎2+1
arctan
y
𝑎2+1
b→無限 a→無限 のとき0 a→無限 b→無限のとき-π/4
よって積分は収束しない。
(3)広義積分 𝑥≧0,𝑦≧0
𝑥2−𝑦2−1
𝑥2+𝑦2+1 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 は収束するかどうか
調べよ。
収束する場合はその値を求め、収束しない場合はその理
由を述べよ。