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Let's enjoy modulo!

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The slide describes a basic idea about modulo arithmetic.

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Let's enjoy modulo!

  1. 1. moduloとお友達になろう たのしい数学普及委員会(仮) @tsujimotter
  2. 2. moduloとはmodulo計算(法計算、合同算術、時計算術)とは 「余りの四則演算」のこと + - × ÷
  3. 3. 25 = 3 × 7 + 4 余り (modulo) 法
  4. 4. 25 = 3 × 7 + 4 余り (modulo) 法
  5. 5. 25 = 3 × 7 + 4 余り (modulo) 法 25 ≡ 4 (mod 7)読み方:「25は7を法(modulo)として4に合同である」日本語訳:「25も4も7で割った余りはおんなじやで」
  6. 6. 記法のイメージ正しい書き方は・・・ 25 ≡ 4 (mod 7)だけど 25 ≡ 4イメージは・・・ (mod 7)
  7. 7. 合同記号が続くとき32 ≡ 25 ≡ 11 ≡ 4 (mod 7) 32 ≡ 25 ≡ 11 ≡ 4イメージは・・・ (mod 7) (mod 7) (mod 7)
  8. 8. mod演算の書き方a + b ≡ c1 (mod n)a – b ≡ c2 (mod n)a×b ≡ c3 (mod n)a÷b ≡ c4 (mod n)
  9. 9. moduloの四則演算M1, M2 を n で割った余り r1, r2M1 = q1 × n + r1 M1 ≡ r1 ( mod n )M2 = q2 × n + r2 M2 ≡ r2 ( mod n ) M1とM2の四則演算を考えよう +-×÷
  10. 10. moduloの足し算M1 = q1 × n + r1 M1 ≡ r1 ( mod n )M2 = q2 × n + r2 M2 ≡ r2 ( mod n ) M1 + M2 = (q1 + q2)×n + (r1 + r2) M1 + M2 ≡ r1 + r2 ( mod n )
  11. 11. moduloの掛け算M1 = q1 × n + r1 M1 ≡ r1 ( mod n )M2 = q2 × n + r2 M2 ≡ r2 ( mod n ) M1×M2 = (q1 q2 n + r1 q2 + r2 q1)×n + (r1×r2) M1 × M2 ≡ r1 × r2 ( mod n )
  12. 12. moduloの割り算?M1 = q1 × n + r1 M1 ≡ r1 ( mod n )M2 = q2 × n + r2 M2 ≡ r2 ( mod n ) M1 q1 × n + r1 = =? M2 q2 × n + r2 ちょっと難しい・・・
  13. 13. moduloの四則演算M1 ≡ r1 ( mod n )M2 ≡ r2 ( mod n ) のとき M1 + M2 ≡ r1 + r2 ( mod n ) M1 – M2 ≡ r1 – r2 ( mod n ) M1×M2 ≡ r1×r2 ( mod n )
  14. 14. みんな使ってるよね?• 20時から8時間経ちました。今何時? 20+8 ≡ 4 (mod 24)
  15. 15. みんな使ってるよね?• 250°から150°回転したら今何°? 250+150 ≡ 50 (mod 360)
  16. 16. 9で割った余り(問)2012を9で割った余りを求めよ(解)2012 = 1000×2 + 100×0 + 10×1 + 1×2 ≡ 1×2 + 1×0 + 1×1 + 1×2 (mod 9) ≡ 2+ 0+ 1+ 2 (mod 9) ≡ 5 (mod 9)
  17. 17. modと暗号「RSA暗号とmodulo」 To be continued.
  18. 18. 暗号とmodulo“HELLOWORLD” シーザー暗号 (文字を3つずらす)“KHOORZRUOG”
  19. 19. 暗号とmodulo‘A’ + 3 = ‘D’‘B’ + 3 = ‘E’‘C’ + 3 = ‘F’‘D’ + 3 = ‘G’・・・‘V’ + 3 = ‘Y’‘W’ + 3 = ‘Z’‘X’ + 3 = ? ‘X’ + 3 ≡ ‘A’ (mod 26)‘Y’ + 3 = ? ‘Y’ + 3 ≡ ‘B’ (mod 26)
  20. 20. moduloとお友達になろう(まとめ)25 = 3 × 7 + 4 25 ≡ 4 (mod 7) (modulo) 法 余り M1 ≡ r1 ( mod n ) M2 ≡ r2 ( mod n ) のとき M1 + M2 ≡ r1 + r2 ( mod n ) M1×M2 ≡ r1×r2 ( mod n )

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