極限の問題

1. x→0
正の数 a1, a2, a3, c1, c2, c3 が a1 ≤ a2 ≤ a3, c1 + c2 + c3 = 1 をみたしている とする。
０でない実数 x に対して，関数 f (x) を
f (x) = (c1ax
1
+ c2 ax
2
+ c3 ax
3
)1/x
と定める。このとき以下の問に答えよ。
(1) ０でない実数 x に対して，a1 ≤ f (x) ≤ a3 が成り立つことを示せ。
(2)lim f (x) を求めよ。
(3) lim f (x) および lim f (x) を求めよ。
x→∞ x→−∞

2. 正の数 a1, a2, a3, c1, c2, c3 が a1 ≤ a2 ≤ a3, c1 + c2 + c3 = 1 をみたしている とする。
０でない実数 x に対して，関数 f (x) を
f (x) = (c1ax
1
+ c2 ax
2
+ c3 ax
3
)1/x
と定める．このとき以下の問に答えよ。
(1) ０でない実数 x に対して，a1 ≤ f (x) ≤ a3 が成り立つことを示せ。
f 𝑥
(x) = (c1ax
1
+ c2 ax
2
+ c3 ax
3
)
x>０の時 f 𝑥
ー 𝑎1
𝑥
= 𝑐1 − 1 𝑎1
𝑥
+ 𝑐2 𝑎2
𝑥
+ 𝑐3 𝑎3
𝑥
= 𝑎2
𝑥
− 𝑎1
𝑥
𝑐2 + 𝑎3
𝑥
− 𝑎1
𝑥
𝑐3 ≧ ０
同様にx>0の時 f 𝑥
ー 𝑎3
𝑥
≦ 0 よって 𝑎1
𝑥
≦f 𝑥
≦ 𝑎3
𝑥
x<0の時も同様である。
証明

3. x→0
正の数 a1, a2, a3, c1, c2, c3 が a1 ≤ a2 ≤ a3, c1 + c2 + c3 = 1 をみたしている とする。
０でない実数 x に対して，関数 f (x) を
f (x) = (c1ax
1
+ c2 ax
2
+ c3 ax
3
)1/x
と定める．このとき以下の問に答えよ。
(2)lim f (x) を求めよ。
計算
f (x) = (c1ax
1
+ c2 ax
2
+ c3 ax
3
)1/x
＝ a1
{(c1 + c2 + c3 + c2 {
𝑎2
𝑎1
𝑥
−1} + c3 {
𝑎3
𝑎1
𝑥
−1}}1/x
=a1
{(1+ c2 {
𝑎2
𝑎1
𝑥
−1} + c3 {
𝑎3
𝑎1
𝑥
−1}}1/x
G=c2 {
𝑎2
𝑎1
𝑥
−1} + c3 {
𝑎3
𝑎1
𝑥
−1}}1/x
とすると
=a1
{(1+ G}1/x
=a1
{(1+ G)
1/𝐺
}G/x
簡単な計算からx→0の時、G→0
G/x=c2
𝑎2
𝑎1
𝑥
−1
𝑥−1
+c3
𝑎3
𝑎1
𝑥
−1
𝑥−1
x→0 G/x=c2log
𝑎2
𝑎1
+c3log
𝑎3
𝑎1
よって
f(x)→a1 exp(c2log
𝑎2
𝑎1
+c3log
𝑎3
𝑎1
)=a 𝑐1
1 a 𝑐2
2 a 𝑐3
3

4. 別証明
logf (x) =
log(c1ax
1
+ c2 ax
2
+ c3 ax
3
)
𝑥
x→０にすると分母も分子も０へ行くのでリピタルの定理より
lim
log(c1ax
1
+ c2 ax
2
+ c3 ax
3
)
𝑥
=lim
dlog(c1ax
1
+ c2 ax
2
+ c3 ax
3
)/dx
1
=log(a 𝑐1
1 a 𝑐2
2 a 𝑐3
3
)

5. 正の数 a1, a2, a3, c1, c2, c3 が a1 ≤ a2 ≤ a3, c1 + c2 + c3 = 1 をみたしている とする。
０でない実数 x に対して，関数 f (x) を
f (x) = (c1ax
1
+ c2 ax
2
+ c3 ax
3
)1/x
と定める。このとき以下の問に答えよ。
(3) lim f (x) および lim f (x) を求めよ。
x→∞ x→−∞
計算
f(x)≧(𝑐3 𝑎3
𝑥
)1/𝑥
→𝑎3 (x→∞
(1)よりf(x)≦𝑎3 よりx→∞の時f→𝑎3
f(x)≦(𝑐1 𝑎1
𝑥
)1/𝑥→𝑎1 (x→-∞
(1)よりf(x)≧𝑎1 よりx→-∞の時f→𝑎1