1. コードを書けば複素数がわかる
@taketo1024
情報科学若手の会冬の陣 2015

2. i2
= 1

3. 学校で習うとき
1. 虚数単位 i = -1 がいきなり出てくる
2. 複素数 z = a + bi の四則演算が定義される
3. 「数」と思っていた z がベクトルになってる
4. 「i をかけるのは90度回転です」などと教わる
5. 以後当たり前のように電流や波の方程式に出てくる
i =
p
1
z = a + bi
z
i

4. ちょっと待ってくれ…
i は「想像上の数」なんだろ…？i

5. 簡単なコードで i は
作れる！
i

6. 方針
1. 複素数を最初から2次元ベクトルとして定義する。
2. i^2 = -1 となるように 掛け算を入れる。
3. これが実数を拡大した「数」になることを確認。
i2
= 1

7. 1. 複素数を作ろう

8. まず2次元ベクトルから出発
struct Complex {
let x: Double
let y: Double
init(_ x: Double, _ y: Double) {
self.x = x
self.y = y
}
}
言語：Swift

9. let z = Complex(2, 3)
x
y
2
z =
✓
2
3
◆
3

10. 足し算・引き算・実数倍を定義
func + (z: Complex, w: Complex) -> Complex {
return Complex(z.x + w.x, z.y + w.y)
}
prefix func -(z: Complex) -> Complex {
return Complex(-z.x, -z.y);
}
func - (z: Complex, z: Complex) -> Complex {
return Complex(z.x - w.x, z.y - w.y)
}
func * (a: Double, z: Complex) -> Complex {
return Complex(a * z.x, a * z.y)
}
演算子のオーバーライド

11. イコールを定義
struct Complex: Equatable {
…
}
func == (a: Complex, b: Complex) -> Bool {
return (a.x == b.x) && (a.y == b.y)
}
プロトコル（Java のインターフェース）

12. Complex(2, 3) + Complex(1, -1) ==
Complex(3, 2)
x
y

13. 次に1 = (1, 0), i = (0, 1) として、
z = x + yi の形で書けるようにする。
1 =
✓
1
0
◆
i =
✓
0
1
◆
z = a + bi

14. Int, Double から Complex を生成
struct Complex: …, IntegerLiteralConvertible,
FloatLiteralConvertible {
…
init(integerLiteral x: IntegerLiteralType) {
self.x = Double(x)
self.y = 0
}
init(floatLiteral x: FloatLiteralType) {
self.x = x
self.y = 0
}
}
リテラル限定の静的キャスト（Swift特有？）

15. これで実数を複素数に「埋め込んだ」ことになる。
x
y
1 =
✓
1
0
◆
1 == Complex(1, 0) // true

16. あとは 定数 i を定義すれば…
let i = Complex(0, 1)
i
x
y
i =
✓
0
1
◆

17. let z = 2 + 3 * i
x
y
求めていた表現を得る！
2 =
✓
2
0
◆
3i =
✓
0
3
◆
z =
✓
2
3
◆
= 2 + 3i

18. さて、いよいよ掛け算の定義。

19. 複素数の掛け算は、
実数と同じ計算規則を満たし、かつ、
となるように定義したい。
i2
= 1

20. z = a + bi, w = c + di として、積 zw は、z = a + bi, w = c + di
となる。
特に a = c = 0, b = d = 1 の場合が i^2 = -1 の式。
zw
zw = (a + bi)(c + di)
= a(c + di) + bi(c + di)
分配法則
= ac + adi + bci + bdi2
= ac + adi + bci bd
分配法則
= ac bd + adi + bci
交換法則
= (ac bd) + (ad + bc)i
分配法則
i2
= 1
i2
= 1

21. 先の式で掛け算を定義してみると…
struct Complex { … }
func * (z: Complex, w: Complex) -> Complex {
return Complex(z.x * w.x - z.y * w.y,
z.x * w.y + z.y * w.x)
}

22. ちゃんと「掛け算の要件」を満たしている！
let α = 3 + 5 * i
let β = -1 + 4 * i
let γ = 4 - 7 * i
α * 1 == α // 1は単位元
α * β == β * α // 交換法則
(α * β) * γ == α * (β * γ) // 結合法則
α * (β + γ) == α * β + α * γ // 分配法則
当たり前に見えるが、テキトーに定義したのではこうならない。
これで安心して「数」として扱えるようになる。

23. i * i == -1 // true
できました！

24. 割り算は？

25. zw = (ac bd) + (ad + bc)i = 1 + 0i
割り算は「逆数との積」なので、z の逆数 w は、
これを解けば、
w =
1
a2 + b2
(a bi)
,
(
ac bd = 1
ad + bc = 0
z w

26. 「逆数との積」で割り算を定義
struct Complex { … }
func / (z: Complex, w: Complex) -> Complex {
let w_inv = (1 / (w.x * w.x + w.y * w.y) ) * Complex(w.x, -w.y)
return z * w_inv
}

27. 複素数、できました！
struct Complex: Equatable, IntegerLiteralConvertible, FloatLiteralConvertible {
let x: Double
let y: Double
init(_ x: Double, _ y: Double) {
self.x = x
self.y = y
}
init(_ x: Double) {
self.x = x
self.y = 0
}
init(integerLiteral x: IntegerLiteralType) {
self.x = Double(x)
self.y = 0
}
init(floatLiteral x: FloatLiteralType) {
self.x = x
self.y = 0
}
}
func == (z: Complex, w: Complex) -> Bool {
return z.x == w.x && z.y == w.y
}
func + (z: Complex, w: Complex) -> Complex {
return Complex(z.x + w.x, z.y + w.y)
}
func - (z: Complex, w: Complex) -> Complex {
return Complex(z.x - w.x, z.y - w.y)
}
prefix func -(z: Complex) -> Complex {
return Complex(-z.x, -z.y);
}
func * (a: Double, z: Complex) -> Complex {
return Complex(a * z.x, a * z.y)
}
func * (z: Complex, w: Complex) -> Complex {
return Complex(z.x * w.x - z.y * w.y, z.x * w.y + z.y * w.x)
}
func / (z: Complex, w: Complex) -> Complex {
let w_inv = Complex(w.x / (w.x * w.x + w.y * w.y), -w.y / (w.x * w.x + w.y * w.y))
return z * w_inv
}

28. この掛け算こそが複素数の本質
struct Complex: Equatable, IntegerLiteralConvertible, FloatLiteralConvertible {
let x: Double
let y: Double
init(_ x: Double, _ y: Double) {
self.x = x
self.y = y
}
init(_ x: Double) {
self.x = x
self.y = 0
}
init(integerLiteral x: IntegerLiteralType) {
self.x = Double(x)
self.y = 0
}
init(floatLiteral x: FloatLiteralType) {
self.x = x
self.y = 0
}
}
func == (z: Complex, w: Complex) -> Bool {
return z.x == w.x && z.y == w.y
}
func + (z: Complex, w: Complex) -> Complex {
return Complex(z.x + w.x, z.y + w.y)
}
func - (z: Complex, w: Complex) -> Complex {
return Complex(z.x - w.x, z.y - w.y)
}
prefix func -(z: Complex) -> Complex {
return Complex(-z.x, -z.y);
}
func * (a: Double, z: Complex) -> Complex {
return Complex(a * z.x, a * z.y)
}
func * (z: Complex, w: Complex) -> Complex {
return Complex(z.x * w.x - z.y * w.y, z.x * w.y + z.y * w.x)
}
func / (z: Complex, w: Complex) -> Complex {
let w_inv = Complex(w.x / (w.x * w.x + w.y * w.y), -w.y / (w.x * w.x + w.y * w.y))
return z * w_inv
}
func * (z: Complex, w: Complex) -> Complex {
return Complex(z.x * w.x - z.y * w.y, z.x * w.y + z.y * w.x)
}

29. 2. 複素数を動かしてみよう

30. class ComplexPlane : UIView {
var unit: CGFloat = 50.0
var scale: CGFloat = 1.0
var points: [String: Complex] = [:]
var colors: [String: UIColor] = [:]
override func drawRect(rect: CGRect) {
let ctx = UIGraphicsGetCurrentContext()
let centerX = self.bounds.width / 2
let centerY = self.bounds.height / 2
// fill background
CGContextSetFillColorWithColor(ctx, UIColor.whiteColor().CGColor)
CGContextFillRect(ctx, self.bounds)
// draw axises
…
}
}
複素平面のViewクラス

31. let cplane = ComplexPlane(frame: …)
cplane["1"] = 1
cplane["i"] = i
let z = Complex(r: 2, θ: M_PI / 3)
cplane["z"] = z
let w = z * z
cplane["w"] = w

32. DEMO : 動かしてみよう！

33. z と w の関係は？z w

34. Re
Im
複素数 z は絶対値 r = ¦z¦, 偏角 θ= arg(z) を用いて、
z = r(cosθ + i sin θ) と書ける（極表示）
r
✓
r = |z| ✓ = arg(z)z
z = r(cos✓ + isin✓)
z = r(cos✓ + isin✓)
rcos✓
irsin✓

35. 複素数の掛け算を極表示で書き直してみると…

36. z = r(cos✓ + isin✓), w = s(cos + isin )
zw = rs{(cos✓cos sin✓sin ) + i(sin✓cos + cos✓sin )}
= rs(cos(✓ + ) + isin(✓ + ))
に対して、
つまり…、
加法定理

37. Re
Im
r
✓
s
z
w
zw
rs
= rs(cos(✓ + ) + isin(✓ + ))zw
複素数の掛け算は「絶対値の積」 「偏角の和」だった！

38. Re
Im
特に i^2 = -1 は、
「90 回転を2回すれば180 回転」
i2
= 1
i
90
i2
= 1

39. 3. なぜ複素数？

40. そもそもこれはどこから出て来た？
i2
= 1

41. (例) 方程式: x^2 + x + 1 = 0
-10 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10
-5
-2.5
2.5
5
x2
+ x + 1 = 0
この方程式は実数の範囲では解を持たない。
y = x2
+ x + 1

42. 形式的に2方程式の解の公式を使うと、
ここで -3 を 3 i と置き換えて：
は、x^2 + x + 1 = 0 の解になっている。
p
3
p
3i
x2
+ x + 1 = 0
x =
1 ±
p
12 4 · 1 · 1
2
=
1 ±
p
3
2
↵ =
1 +
p
3i
2
, =
1
p
3i
2

43. -10 -7.5 -5 -2.5 0 2.5 5 7.5 10
-5
-2.5
2.5
5
y = x2
+ x + 1
y = x^2 + x + 1 は x = α, β で x 軸と交わっている…？y = x2
+ x + 1 x = ↵,
↵? ?
x, y を複素数と見てグラフを描くには、
残念ながら我々の世界では次元が1つ足りない。

44. Re
Im
Re
Im
z
w
w = f(z) = z^2 + z + 1 を平面から平面への写像と見て、
z の動きにあわせて w がどう動くか見てみる。z w
w = f(z) = z2
+ z + 1
代わりに、
f

45. DEMO
w = f(z) = z2
+ z + 1

46. Re
Im
Re
Im
z w
z を半径を大きくしながら円上で動かす。z

47. Re
Im
Re
Im
z w
半径 1 のときに w = 0 となる点が２つある。w = 0

48. Re
Im
Re
Im
↵
z w
この２点が α, β で、f によって 0 に写されていた！↵, f
↵ =
1 +
p
3i
2
, =
1
p
3i
2

49. Re
Im
Re
Im
z w
したがって…
一般の n 次式の場合も同様に、
z を 0 から大きくしていけば、w は必ず 0 を通る
↵

50. 代数学の基本定理
複素数の範囲では必ず解を持つ！
anzn
+ ... + a1z + a0 = 0n 次方程式 は、

51. コードを書いて自分で動かしてみれば、
数学はグッと身近になる！

53. 「SwiftComplex」github で公開してます：

54. 1/30(金) 「第1回 プログラマのための数学勉強会」開催！
もう満席ですが、次も近いうちやります！
発表者募集中！

55. Thanks!
@taketo1024