Membahas mengenai aturan cramer, eliminasi gauss dan eliminasi gauss jordan

2. SPL
Homogen
Non
Homogen
Konsisten
Tidak
Konsisten
SolusiTrivial
x1=0,x2=0,..,xn=0
Solusi Nontrivial
Solusi tak
terhingga
Konsisten
Tidak
Konsisten
1. Metode Cramer
2. Metode Invers
3. Metode Gauss
4. Metode Gauss-
Jordan

3. Secara umum persamaan linear dengan 𝑛 variabel dapat ditulis
sbb:
bn
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
n
nn
n
n
n
n
n
n












...
....
..........
..........
..........
..........
...
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11

4. Metode Cramer didasarkan atas perhitungan determinan matriks.
Suatu sistem persamaan linier berbentuk dengan A adalah
matriks bujur sangkar dapat dikerjakan dengan metode Cramer jika
hasil perhitungan menunjukkan bahwa . Penyelesaian yang
didapatkan dengan metode ini adalah penyelesaian tunggal.
𝐴𝑥 = 𝑏
det( 𝐴) ≠ 0
Determinan matriks koefisien adalah
Bila lAkl adalah determinan yang didapat dari A dengan mengganti
kolom ke k dengan suku tetap b maka aturan Cramer
mengatakan:
nn
m
m
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
22
21
1
12
11

0
,...,
2
,
1
; 

 A
asalkan
n
k
A
A
x k
k

5. Selesaikan Sistem Persamaan Linier di bawah ini:
1. 2x + 8y + 6z = 20
4x + 2y – 2z = -2
3x - y + z = 11
dengan menggunakan Aturan Cramer!

6. Sistem Persamaan Linier di atas dapat ditulis dalam
bentuk matriks, yaitu:
atau AX = B
Hitung determinan matriks koefisien:


































11
2
20
1
1
3
2
2
4
6
8
2
z
y
x
𝐴 =
2 8 6
4 2 −2
3 −1 1
= −140
𝐴1 =
20 8 6
−2 2 −2
11 −1 1
= −280

7. 𝐴2 =
2 20 6
4 −2 −2
3 11 1
= 140
𝐴3 =
2 8 20
4 2 −2
3 −1 11
= −560
𝑥 =
𝐴1
𝐴
= 2, 𝑦 =
𝐴2
𝐴
= −1, 𝑧 =
𝐴3
𝐴
= 4

8.  Bentuk Baris Eselon/Tereduksi
Matriks yang berbentuk baris eselon tereduksi harus
mempunyai sifat - sifat berikut ini :
1. Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol,
maka angka tak nol pertama dalam baris tersebut
adalah angka 1.
2. Jika ada sebarang baris yang seluruhnya terdiri dari
nol, maka baris - baris ini dikelompokkan di bagian
bawah matriks.
3. Jika sebarang dua baris yang berurutan yang tidak
seluruhnya terdiri dari nol, angka 1 dalam baris yang
lebih bawah terletak di sebelah kanan angka 1 dalam
baris yang lebih atas.
4. Masing - masing kolom yang berisi angka 1,
mempunyai nol di tempat lainnya.

9. Contoh matriks - matriks berikut dalam bentuk
baris eselon tereduksi.


























0
0
0
0
,
1
0
0
0
1
0
0
0
1
,
3
1
0
0
7
0
1
0
4
0
0
1
































5
1
0
0
2
6
1
0
7
3
4
1
,
0
0
0
0
1
0
0
1
1
,
0
0
0
0
4
1
0
0
2
6
1
0
7
3
4
1
Suatu matriks yang mempunyai sifat 1, 2, dan 3 saja (tidak perlu 4) disebut
mempunyai bentuk baris eselon.

10. Selesaikan sistem persamaan dengan
membentuk eselon baris :















1
5
6
5
4
2
28
12
6
10
4
2
12
7
0
2
0
0
Pemecahan Eliminasi Gauss
&Gaus-Jordan :
Merupakan penyelesaian sistem persamaan Linier
yang menghasilkan matriks dalam bentuk eselon
(tangga) baris

11. Langkah 1. Letakkanlah kolom yg paling kiri yang
tidak terdiri seluruhnya dari nol















1
5
6
5
4
2
12
7
0
2
0
0
28
12
6
10
4
2
* Tukarkan baris ke 1 dengan baris ke 2
Langkah 2. Jadikan kolom paling kiri pd baris 1
untuk memperoleh 1 utama















1
5
6
5
4
2
12
7
0
2
0
0
14
6
3
5
2
1
R1½* R1

12. Langkah 3. Tambahkan kelipatan yg sesuai dari
baris atas kepada baris-baris yang dibawah
sehingga entri-entri dibawah 1 utama menjadi nol
R3 -2* R1+ R3














29
17
0
5
0
0
12
7
0
2
0
0
14
6
3
5
2
1
Langkah 4. Sekarang tutuplah baris paling atas,
Ulangi langkah 1, 2, dan 3 untuk baris yang
tersisa.

13. 














29
17
0
5
0
0
6
2
/
7
0
1
0
0
14
6
3
5
2
1
R2-½* R2
R3 -5* R2+ R3













1
2
/
1
0
0
0
0
6
2
/
7
0
1
0
0
14
6
3
5
2
1

14. R32 * R3













2
1
0
0
0
0
6
2
/
7
0
1
0
0
14
6
3
5
2
1
Langkah selanjutnya kita dapat menyelesaikannya dengan substitusi balik
maupun dengan menjadikan bentuk eselon baris yang tereduksi (entri bukan
nol pertama dalam setiap baris)
Proses menggunakan operasi - operasi baris elementer untuk mengubah
suatu matriks menjadi bentuk eselon baris yang tereduksi disebut Eliminasi
Gauss-Jordan
sedangkan prosedur yang hanya menghasilkan bentuk baris eselon disebut
eliminasi Gaussian.

15. R27/2 * R3 + R2









 
2
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
2
0
3
5
2
1
R1-6 * R3 + R1
R15 * R2 + R1










2
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
7
0
3
0
2
1

16. Kemudian kita memperoleh hasil sbb :
X1+2x2+ 3x4 =7
x3 = 1
x5 = 2
x1= -2x2 - 3x4 + 7 = -2. r – 3. t + 7
X2 = r x4 = t x3 = 1 x5 = 2
Sistem tersebut konsisten dengan tak berhingga
banyaknya pemecahan.