HIMPUNAN DAN OPERASINYA

HIMPUNAN
OLEH :
IDA KUSWANDANI, S.PD

APA SAJA YANG AKAN KITA
PELAJARI?
• Konsep Himpunan
• Keanggotaan Himpunan
• Menyatakan Himpunan
• Himpunan pada Bilangan
• Himpunan Semesta
• Himpunan Kosong
• Himpunan Bagian
• Diagram Venn
• Operasi Himpunan

Pengertian Himpunan
Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gugus dalam matematika
dikenal dengan istilah himpunan. Konsep tentang himpunan pertama kali
dikemukakan oleh seorang matematikawan
berkebangsaanJerman, yaitu Georg Cantor yang hidup antara tahun
1845−1918
Himpunan adalah kumpulan benda-benda yang didefinisikan
(diberi batasan) dengan jelas.
• Dalam hal ini, yang dimaksud didefinisikan dengan jelas adalah dapat
ditentukan dengan tegas, benda apa saja yang termasuk dan yang
tidak termasuk dalam suatu himpunan yang diketahui.
• Benda-benda yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota,
elemen, atau unsur dari suatu himpunan. Untuk selanjutnya
dipergunakan istilah anggota atau elemen.
Konsep Himpunan
www.cerdasmatematika.com

Contoh:
1. Kumpulan hewan berkaki empat.
Yang merupakan anggota, misalnya: kerbau, kuda, sapi.
Yang bukan anggota, misalnya: ayam, itik.
Jadi, kumpulan di atas adalah himpunan, karena jelas
batasannya.
2. Kelompok bilangan yang merupakan faktor dari 12.
Yang merupakan anggota adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.
Yang bukan anggota, misalnya: 5, 7, 8, 9, 10, 11.
Jadi, kelompok di atas adalah himpunan, karena jelas
batasannya.
3. Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.
Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya.
Karena tidak jelas batasannya, maka kumpulan tersebut
bukan himpunan.

• Contoh 1 dan 2 merupakan himpunan, sebab
dapat disebutkan dengan tegas benda yang
merupakan anggota dan yang bukan anggota
kelompok tersebut.
• Pada contoh 3, batasannya tidak jelas. Oleh
karena itu, contoh tersebut bukan merupakan
himpunan. Jadi, kumpulan atau kelompok tidak
dapat disebut himpunan jika batasannya tidak
jelas.

• Himpunan dapat
dinyatakan dengan
menggunakan tanda
kurung kurawal dan
biasanya diberi nama
dengan menggunakan
huruf kapital, misalnya A,
B, C, D, dan seterusnya
sampai Z.
• Misalkan himpunan
buah-buahan di atas
piring pada Gambar di
samping diberi nama B,
maka: B = {anggur,
ANGGOTA HIMPUNAN DAN LAMBANGNYA

Menyatakan Himpunan dengan Kata-kata atau Sifat
Keanggotaan
Contoh :
1. A = {Senin, Selasa, Sabtu}.
Penulisan dengan kata-kata atau sifat keanggotaan
himpunan adalah:
A = {nama hari dalam seminggu yang dimulai dengan
huruf S}.
2. C = {23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.
Penulisan dengan kata-kata atau sifat keanggotaan
himpunan adalah:
C = {bilangan prima antara 20 dan 50}.
MENYATAKAN SUATU HIMPUNAN

MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN NOTASI
PEMBENTUK HIMPUNAN
1. Nyatakan himpunan A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} dengan notasi
pembentuk himpunan!
Jawab: A = {x | x bilangan cacah kurang dari 6} atau A = {x
| x < 6, x bilangan cacah}.
A = {x | x < 6, x bilangan cacah} dibaca:
“A adalah himpunan x, dengan x kurang dari 6 dan x
adalah bilangan cacah.”
3. Nyatakan himpunan C = {a, b, c, d} dengan notasi
pembentuk himpunan!
Jawab:
C = { p | p empat huruf pertama dalam abjad}.

penulisan himpunan dengan cara mendaftar anggota-
anggotanya, jika semua anggota dapat ditulis, maka urutan
penulisan boleh diabaikan.
1. P = {nama bulan dalam setahun yang diawali dengan
huruf J}.
Penulisan dengan mendaftar anggota-anggotanya adalah
sebagai berikut.
P = {Januari, Juni, Juli} atau P = {Juni, Januari, Juli}.
2. Q = {x | x < 5, x ∈ A}, dengan A adalah himpunan bilangan
asli.
Dengan mendaftar anggota-anggotanya, himpunan itu
ditulis sebagai berikut.
Q = {1, 2, 3, 4} atau Q = {3, 1, 4, 2}.
MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN
MENDAFTAR ANGGOTA-ANGGOTANYA

MENYATAKAN HIMPUNAN DENGAN MENDAFTAR
ANGGOTA-ANGGOTANYA
Jika suatu himpunan mempunyai anggota sangat banyak,
dan memiliki pola tertentu, maka penulisannya dapat
dilakukan dengan menggunakan tiga buah titik, dibaca “dan
seterusnya”.
1. A = {bilangan asli}, dapat kita tuliskan sebagai:
A = {1, 2, 3, 4, . . .}. himpunan tak berhingga.
2. J = {bilangan cacah ganjil kurang dari 100}, maka:
J = {1, 3, 5, 7, 9, . . . , 99}. himpunan berhingga.

1. Himpunan bilangan bulat, biasanya diberi nama B;
B = {. . . , –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, . . .}.
2. Himpunan bilangan asli, biasanya diberi nama A;
A = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}.
3. Himpunan bilangan cacah, biasanya diberi nama C;
C = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}.
4. Himpunan bilangan cacah ganjil, yaitu {1, 3, 5, 7, 9, . . .}.
5. Himpunan bilangan cacah genap, yaitu {2, 4, 6, 8, 10, . . .}.
6. Himpunan bilangan prima, yaitu {2, 3, 5, 7, 11, . . .}. Bilangan prima adalah
bilangan yang mempunyai tepat dua faktor yang berbeda, atau bilangan
yang hanya habis dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri.
7. Himpunan bilangan cacah kuadrat, yaitu {0, 1, 4, 9, 16, . . .}.
8. Himpunan bilangan cacah pangkat 3, yaitu {0, 1, 8, 27, 64, . . .}.
9. Himpunan bilangan komposit, yaitu {4, 6, 8, 9, 10, . . .}. Bilangan komposit
(tersusun) adalah bilangan cacah yang mempunyai lebih dari dua faktor.
MENGENAL BEBERAPA HIMPUNAN BILANGAN

•Sifat-sifat Himpunan

KARDINALITAS HIMPUNAN
• Kardinalitas himpunan adalah bilangan yang
menyatakan banyak anggota dari suatu himpunan
• Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan
dengan n
• Banyak anggota himpunan A dapat dinyatakan
dengan notasi n(A).
• notasi n(B) artinya banyak anggota pada
himpunan

Contoh :
1. Diketahui himpunan bilangan asli genap yang kurang dari
9.
Misalkan himpunan tersebut diberi nama A, maka dapat
ditulis:
A = {2, 4, 6, 8}
n(A)=4
2. Diketahui P = {huruf-huruf pembentuk kata “siswa”}.
• Pada himpunan tersebut, kata siswa terdiri atas 5 huruf,
yaitu s, i, s, w, dan a
• Karena terdapat anggota yang sama, yaitu s dan hanya
boleh ditulis satu kali, : P = {s, i, w, a}.
• n(P) = 4.

• Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak
mempunyai anggota, dapat ditulis dengan notasi
atau simbol { } atau ∅
• Perhatikan!
• { }
adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota,
dan
• {0}
adalah himpunan yang mempunyai anggota. Banyak
anggotanya adalah 1, yaitu 0.
• Jadi, { } berbeda dengan {0}, atau { } ≠ {0}.
HIMPUNAN KOSONG

HIMPUNAN KOSONG
Contoh dan Bukan Contoh:
1. Himpunan hewan berkaki tiga
• himpunan kosong, karena tidak ada hewan yang
berkaki tiga.
2. Himpunan nama hari dalam seminggu yang
dimulai dengan huruf J
• bukan himpunan kosong karena ada nama hari
yang dimulai dengan huruf J, yaitu Jum’at.

• Himpunan semesta adalah himpunan yang
memuat semua anggota himpunan yang
dibicarakan.
• Himpunan semesta disebut juga semesta
pembicaraan atau himpunan universum. Lambang
himpunan semesta adalah S.
Contoh: 1.
S = {murid-murid di MTs Al-Hidayah},
A = {murid-murid di kelas 7E}
Ternyata himpunan S memuat semua anggota himpunan A
sehingga
himpunan S merupakan himpunan semesta dari himpunan A.
HIMPUNAN SEMESTA

HIMPUNAN SEMESTA
CONTOH 2
C = {3, 5, 7}.
Himpunan-himpunan yang dapat memuat semua
anggota himpunan C di antaranya adalah
{bilangan ganjil}
{bilangan prima}, atau
{bilangan asli}.
Dengan demikian:
{bilangan ganjil}, {bilangan prima}, dan {bilangan asli}
merupakan himpunan semesta dari himpunan C.

Pengertian Himpunan Bagian
• Himpunan A merupakan himpunan
bagian dari B, bila setiap anggota A
menjadi anggota B, ditulis dengan
notasi A ⊂ B
• Pada diagram Venn di samping,
ternyata himpunan A termuat di
dalam B. setiap anggota A, yaitu a, b,
dan c menjadi anggota B.
• Dalam hal ini, dikatakan bahwa A
adalah himpunan bagian dari B
• INGAT
Himpunan kosong adalah himpunan
bagian dari semua himpunan
HIMPUNAN BAGIAN

Contoh:
1. Diketahui himpunan-himpunan berikut.
A = {1, 2, 3, 4, 5}.
B = {anggota A yang genap}.
C = {anggota A yang lebih dari 3}.
Tentukan hubungan himpunan B dan C terhadap A!
Jawab:
• B = {2, 4}, maka {2, 4} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} atau B ⊂ A.
• C = {4, 5}, maka {4, 5} ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} atau C ⊂ A.
2. Untuk himpunan H = {a, b, c, d}, tulislah himpunan-himpunan bagian dari
himpunan H
a. Mempunyai 1 anggota b. Mempunyai 2 anggota. c. Mempunyai 3 anggota.
Jawab:
a. Himpunan bagian dari H yang mempunyai 1 anggota adalah:
{}, {a}, {b}, {c}, {d}
b. Himpunan bagian dari H yang mempunyai 2 anggota adalah:
{a, b}, {a, c}, {a, d},
{b, c}, {b, d},
{c, d}.
c Himpunan bagian dari H yang mempunyai 3 anggota adalah:
{a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}.

• Himpunan kuasa adalah himpunan yang memuat semua
himpunan bagian. Notasi Himpunan Kuasa adalah P
• Misal ada himpunan E ={u, m,y}
• Himpunan kuasa dari himpunan E ditulis dengan notasi P(E).
Banyak anggota dari himpunan kuasa P(E) dinyatakan dengan
n(P(E)). Dengan demikian, untukhimpunan E = {u, m, y} dapat
dinyatakan sebagai berikut:
1. Himpunan kuasa dari himpunan E adalah:
P(E) = {∅, { u }, { m }, { y }, {u, m}, {u, y}, {m, y}, {u, m, y}}.
2. Banyak anggota dari himpunan kuasa H adalah:
n(P(E)) = 8.
HIMPUNAN KUASA

Membuat Diagram Venn
• Cara lain untuk menyatakan suatu
himpunan, yaitu dengan gambar
atau diagram yang disebut diagram
Venn.
• Diagram ini diperkenalkan pertama
kali oleh John Venn, ahli
matematika berkebangsaan Inggris
yang hidup pada tahun 1834−1923.
DIAGRAM VENN

Ketentuan dalam membuat diagram Venn adalah sebagai
berikut.
a. Himpunan semesta digambarkan dengan sebuah persegi
panjang dan di pojok kiri atas diberi simbol S.
b. Setiap anggota himpunan semesta ditunjukkan dengan
sebuah noktah di dalam persegi panjang itu dan nama
anggotanya ditulis berdekatan dengan noktahnya. Misal: S
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
c. Setiap himpunan yang termuat di dalam himpunan
semesta ditunjukkan oleh kurva tertutup sederhana. Misal: S
= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {2, 4, 6, 8}. Karena semua
anggota himpunan A termuat di dalam himpunan S, maka
himpunan A berada di dalam himpunanS
d. Untuk himpunan-himpunan yang mempunyai anggota
sangat banyak, pada diagram Venn anggota-anggota
tersebut tidak digambarkan dengan noktah karena tidak
praktis pengerjaannya. Misal: S = {siswa di sekolahmu}, D =
{siswa di kelasmu}.

Contoh:
1. Buatlah diagram Venn dari himpunan-
himpunan berikut!
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
P = {1, 3, 5, 7},
Q = {6, 7, 8}.
2. Buatlah diagram Venn himpunan-himpunan berikut!
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
A = {bilangan asli genap kurang dari 10},
K = {bilangan asli genap antara 1 dan 5}.
Jawab:Untuk membuat diagram Venn,
daftarlah terlebih dahulu anggota A dan K.
A = {2, 4, 6, 8}, K = {2, 4}.
Ternyata semua anggota K termuat dalam A,

LANJUTAN CONTOH :
3. Buatlah diagram Venn dari
himpunan-himpunan berikut!
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
E = {1, 3, 5}, F = {6, 8}.
Jawab: Perhatikan anggota-
anggota E dan F!
Ternyata anggota-anggota E dan F
tidak ada yang sama,
sehingga diagramnya seperti pada
gambar di samping.

BUATLAH DIAGRAM VENN DARI
HIMPUNAN-HIMPUNAN BERIKUT!
1. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
E = {7, 8}, F = {1,2, 7,8}.
2. S = {huruf yang membentuk kata OLIMPIADE}
A= {a, i, e}, B={o, l, m, p}
3. S = {bilangan asli kurang dari 20}
M={bilangan genap kurang dari 20}
N={bilangan prima kurang dari 20}

Irisan Himpunan
• Irisan himpunan A dan B atau A ∩ B adalah suatu
himpunan yang anggota anggotanya merupakan
anggota himpunan A yang sekaligus menjadi
anggota himpunan B juga.
• Dengan notasi pembentuk himpunan, irisan A
dan B didefinisikan sebagai: A ∩ B = {x | x ∈ A
dan x ∈ B}.
OPERASI HIMPUNAN

1. Diketahui: K = {bilangan prima kurang dari 12},
L = {bilangan ganjil antara 2 dan 8}.
a. Tentukan K ∩ L dengan mendaftar anggota-
anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah yang
menyatakan K ∩ L!
Jawab:
a. K = {2, 3, 5, 7, 11} L = {3, 5, 7} b.
Anggota K yang sekaligus menjadi
anggota L adalah 3, 5, dan 7, maka:
K ∩ L = {3, 5, 7}.

2. Diketahui: P = {1, 2, 3, 4, 5},
Q = {2, 4, 6, 8}.
a. Tentukan P ∩ Q dengan mendaftar anggota-
anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah yang
menyatakan P ∩ Q!
Jawab:
a. P = {1, 2, 3, 4, 5} b.
Q = {2, 4, 6, 8}
Anggota P yang sekaligus menjadi
anggota Q adalah 2 dan 4, maka:P ∩ Q = {2, 4}.

3. Diketahui: G = {1, 3, 5, 7}, H = {2, 4, 6}.
a. Tentukan G ∩ H dengan mendaftar anggota-
anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah
yang menyatakan G ∩ H!
Jawab:
a. G = {1, 3, 5, 7}
b. H = {2, 4, 6} H
G ∩ H = ∅
Oleh karena G ∩ H tidak mempunyai
anggota,maka tidak ada daerah yang diarsir.

Pengertian Gabungan Himpunan
• Gabungan himpunan A dan B atau A ∪ B
adalah suatu himpunan yang anggota-
anggotanya merupakan anggota A, atau
anggota B, atau anggota persekutuan A dan B.
• Dengan notasi pembentuk himpunan,
gabungan A dan B didefinisikan sebagai:
• A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }.
GABUNGAN (UNION) HIMPUNAN

GABUNGAN (UNION) HIMPUNAN
Contoh:
1. Diketahui: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 5}.
a. Nyatakan A ∪ B dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah A ∪ B!
Jawab:
a. A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {3, 5} b.
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}

2. Diketahui: E = {bilangan asli genap kurang dari 10},
F = {bilangan asli ganjil kurang dari 10}.
a. Nyatakan E ∪ F dengan mendaftar anggota-
anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah E
∪ F!
Jawab:
a. E = {2, 4, 6, 8} b.
F = {1, 3, 5, 7, 9}
E ∪ F = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

3. Diketahui: K = {bilangan asli kurang dari 7},
L = {lima bilangan prima yang pertama}.
a. Nyatakan K ∪ L dengan mendaftar anggota-
anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dan arsirlah daerah K ∪ L!
Jawab:
a. K = {1, 2, 3, 4, 5, 6} b. S
L = {2, 3, 5, 7, 11}
K ∪ L = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11}

KOMPLEMEN HIMPUNAN

Contoh: Diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10},
A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {1, 2, 3, 6}.
a. Nyatakan A’, A ∩ B, dan A ’ ∪ (A ∩ B)
dengan mendaftar anggota-anggotanya!
b. Buatlah diagram Venn-nya dengan memberi arsiran!
Jawab: a. A ∪ (A ∩ B) = {2, 4, 6, 8, 10} ∪ {1, 3} = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10}.
b. Langkah-langkah membuat diagram Venn A ’ ∪ (A ∩ B) adalah:
A ‘ A ∩ B A ’ ∪ (A ∩ B)

• Selisih himpunan A dan B atau A – B adalah
himpunan semua anggota A yang tidak menjadi
anggota B.
• Dengan notasi pembentuk himpunan, selisih
himpunan A dan B didefinisikan sebagai:
A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B }.
SELISIH DUA HIMPUNAN

SELISIH DUA HIMPUNAN
Contoh
Diketahui: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 3, 4, 7}, dan B = {2, 3,
5, 6, 7}.
Tentukan selisih himpunan berikut!
a. A – B b. B – A
Jawab:
a. Anggota A yang tidak menjadi anggota B adalah 1 dan 4,
maka:
A – B = {1, 4}.
b. Anggota B yang tidak menjadi anggota A adalah 2, 5, dan 6,
maka:
B – A = {2, 5, 6}.

2. Diketahui: P = {semua faktor dari 15}, dan
Q = {bilangan asli kelipatan 4 yang kurang dari 20}.
Dengan mendaftar anggota-anggotanya, tentukan
himpunan berikut:
a. P ∩ Q c. Q – P
b. P – Q
Jawab:
P = {1, 3, 5, 15} dan Q = {4, 8, 12, 16}.
a. P ∩ Q = { }
b. P – Q = {1, 3, 5, 15} = P
c. Q – P = {4, 8, 12, 16} = Q

Dari diagram Venn di samping, tentukan
selisih himpunan berikut!
a. S – (P ∩ Q) c. (P ∪ Q) – (P ∩ Q)
b. S – (P ∪ Q)
Jawab:
a. S – (P ∩ Q) = S – {c, d}
= {a, b, e, f, g, h, i, j}.
b. S – (P ∪ Q) = S – {a, b, e, c, d, f, g}
= {h, i, j}.
c. (P ∪ Q) – (P ∩ Q) = {a, b, e, c, d, f, g} – {c, d}
= {a, b, e, f, g}.

1. Setelah diadakan pencatatan terhadap 50 anak
tentang jenis olahraga yang digemari, terdapat 32
anak gemar voli, 40 anak gemar bulu tangkis, dan
25 anak gemar kedua-duanya.
a. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas!
b. Berapa anak yang tidak gemar voli maupun
bulu tangkis?
PENGGUNAAN DIAGRAM VENN UNTUK IRISAN
DAN GABUNGAN HIMPUNAN

Jawab:
a. V = {anak yang gemar voli}
B = {anak yang gemar bulu tangkis}
Yang hanya gemar voli : 32 – 25 = 7 anak.
yang hanya gemar bulu tangkis 40 – 25 = 15 anak.
b. Banyak anak yang tidak gemar voli maupun bulu tangkis
adalah 3 anak. Yang tidak gemar voli maupun bulu tangkis,
yaitu:
50 – (7 + 25 + 15) = 50 – 47 = 3 anak.

2. Dalam sebuah kelas terdapat 40 orang siswa, 25 orang gemar
minum es buah, 35 orang gemar minum es krim, dan yang
gemar kedua minuman tersebut sebanyak x orang.
a. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas!
b. Berapa orang siswa yang gemar kedua
jenis minuman tersebut?
Jawab :
a. b. 25 – x + x + 35 – x = 40
60 – x = 40
x = 20
Jadi, yang gemar kedua jenis minuman
tersebut adalah 20 orang siswa.

HIMPUNAN DAN OPERASINYA

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to HIMPUNAN DAN OPERASINYA

Similar to HIMPUNAN DAN OPERASINYA (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

HIMPUNAN DAN OPERASINYA